郭忠臣

宿州學(xué)院環(huán)境與測(cè)繪工程學(xué)院，宿州，234000

利用滑動(dòng)式Lagrange插值方法擬合衛(wèi)星精密星歷

郭忠臣

宿州學(xué)院環(huán)境與測(cè)繪工程學(xué)院，宿州，234000

為了得到精確的衛(wèi)星三維坐標(biāo)，應(yīng)用滑動(dòng)式Lagrange插值方法對(duì)GPS精密星歷內(nèi)插，給出衛(wèi)星位置插值公式。通過設(shè)置不同的插值階數(shù)，對(duì)插值精度統(tǒng)計(jì)分析。結(jié)果表明：插值精度隨著階數(shù)的增加而提高，當(dāng)階數(shù)達(dá)到11階時(shí)，插值精度較高，X、Y和Z三個(gè)方向的RMS分別達(dá)到0.378、0.514、0.306 mm，且均值偏差都在0.1 mm左右，精度略優(yōu)于其他階數(shù)，可滿足導(dǎo)航方面的需求。

滑動(dòng)式Lagrange；插值；精密星歷；GPS

在高精度衛(wèi)星導(dǎo)航和深空探測(cè)等領(lǐng)域中，需使用精確的衛(wèi)星三維坐標(biāo)。當(dāng)前使用較多的為IGS(International GNSS Service)發(fā)布的精密星歷產(chǎn)品，但精密星歷是按照一定時(shí)間間隔提供的[1-2]，若想得到任意時(shí)刻的衛(wèi)星位置，必須對(duì)精密星歷進(jìn)行擬合和插值。本文采用滑動(dòng)式Lagrange插值算法對(duì)IGS提供的精密星歷進(jìn)行處理，并對(duì)插值結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，為后續(xù)研究提供參考。

1 滑動(dòng)式Lagrange插值算法原理

利用Lagrange多項(xiàng)式可內(nèi)插出節(jié)點(diǎn)之內(nèi)任意時(shí)刻的衛(wèi)星位置。Lagrange插值函數(shù)可表示為[3-5]：

(1)

滑動(dòng)式Lagrange插值算法是在原有方法的基礎(chǔ)上構(gòu)建一個(gè)活動(dòng)的“窗口”，以保證插值點(diǎn)的位置時(shí)刻保持在插值范圍的中心。當(dāng)選取的節(jié)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，最佳插值點(diǎn)有2個(gè)，選取的節(jié)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，最佳插值點(diǎn)即為中間時(shí)刻。如選取9個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，可構(gòu)造8階Lagrange擬合多項(xiàng)式，此時(shí)最佳插值點(diǎn)位于第4至第5和第5至第6個(gè)節(jié)點(diǎn)之間；選取8個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，可構(gòu)造7階Lagrange擬合多項(xiàng)式，此時(shí)最佳插值點(diǎn)位于第4和第5個(gè)節(jié)點(diǎn)之間，具體說明見圖1。

圖1 滑動(dòng)式Lagrange插值示意圖

根據(jù)IGS發(fā)布的精密星歷可得到各給定時(shí)刻衛(wèi)星的三維坐標(biāo)X(t)，本文選取偶數(shù)個(gè)節(jié)點(diǎn)作為插值點(diǎn)[3]，依據(jù)上述原理，可得任意時(shí)刻t的衛(wèi)星位置的表達(dá)式為[6]:

(2)

其中，X(t)、X(ti)為對(duì)應(yīng)時(shí)刻t和ti的位置，i,j≠0，2n-1為插值階數(shù)。

2 實(shí)驗(yàn)分析

本文采用WHU站提供的時(shí)間間隔為15 min、包含衛(wèi)星坐標(biāo)和鐘差的1 791周(GPST)的精密星歷數(shù)據(jù)，共672組三維坐標(biāo)，提取該周內(nèi)以1 800 s為時(shí)間間隔(0 s，1 800 s，3 600 s，5 400 s，7 200 s，…，604 800 s)的坐標(biāo)作為已知數(shù)據(jù)，對(duì)本周內(nèi)26 100～578 700 s之間每隔1 800 s的時(shí)刻位置進(jìn)行插值擬合。選取PG04號(hào)衛(wèi)星進(jìn)行Lagrange插值計(jì)算，并對(duì)插值結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

表1和圖2列出了使用不同階數(shù)的Lagrange插值精度的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，通過分析可知：(1)隨著階數(shù)的增加，插值精度明顯提高，但當(dāng)階數(shù)增加到一定程度時(shí)，精度趨于穩(wěn)定；(2)當(dāng)階數(shù)增加到11階后，插值精度較高，X、Y和Z三個(gè)方向的RMS分別達(dá)到0.378、0.514、0.306 mm，且均值偏差都在0.1 mm左右，精度略優(yōu)于其他階數(shù)；(3)隨著階數(shù)增加，插值過程中的計(jì)算量增加，對(duì)計(jì)算機(jī)的耗損增加，當(dāng)需要大量插值結(jié)果時(shí)，可從精度與耗時(shí)等方面綜合考慮，以確定最佳階數(shù)。

圖2 不同階數(shù)插值精度統(tǒng)計(jì)

表1 不同階數(shù)插值精度統(tǒng)計(jì)

表2列出了部分時(shí)刻的精密星歷和當(dāng)階數(shù)為11階時(shí)的插值結(jié)果，表3給出了相應(yīng)時(shí)刻的插值誤差。由表3可知，當(dāng)階數(shù)為11階時(shí)，X、Y和Z三個(gè)方向的插值誤差均優(yōu)于1 mm，能滿足導(dǎo)航方面的需求。

表2 部分時(shí)刻的精密星歷與插值結(jié)果

4 結(jié)束語

(1)滑動(dòng)式Lagrange插值算法因算法簡(jiǎn)單、插值精度高而廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，用它對(duì)精密星歷插值，可使插值誤差保持在1 mm以內(nèi)，基本滿足導(dǎo)航方面的需求。

(2)本文選取不同階數(shù)進(jìn)行插值，插值精度隨著階數(shù)的增加而增加，但當(dāng)階數(shù)增加到一定程度時(shí)，插值精度趨于穩(wěn)定，甚至?xí)陀诘碗A的插值精度。

(3)文中選取了一周的精密星歷進(jìn)行插值計(jì)算，但若想對(duì)該周的起始與結(jié)束時(shí)刻進(jìn)行插值，需聯(lián)合使用前一周和后一周數(shù)據(jù)。

表3 部分時(shí)刻插值誤差

[1]王興,高井祥,王堅(jiān),等.利用滑動(dòng)式切比雪夫多項(xiàng)式擬合衛(wèi)星精密坐標(biāo)和鐘差[J].測(cè)繪通報(bào),2015(5):6-8

[2]何玉晶,楊力.基于拉格朗日插值方法的GPSIGS精密星歷插值分析[J].測(cè)繪工程,2011,20(5):60-62

[3]雷雨,趙丹寧,高玉平,等.基于滑動(dòng)式Lagrange插值方法的GPS精密星歷內(nèi)插分析[J].測(cè)繪工程,2013,22(2):34-36

[4]向榮榮,蘭孝奇,劉鋒,等.拉格朗日和切比雪夫多項(xiàng)式在精密星歷插值中的應(yīng)用[J].測(cè)繪與空間地理信息,2015,38(11):131-134

[5]何玉晶,楊力.基于拉格朗日插值方法的GPSIGS精密星歷插值分析[J].測(cè)繪工程,2011,20(5):60-62

[6]郭忠臣,高井祥,曹新運(yùn).北斗廣播星歷軌道及鐘差精度分析[J].煤炭技術(shù),2015,34(7):113-116

(責(zé)任編輯：汪材印)

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：A

：1673-2006(2017)07-0106-03

10.3969/j.issn.1673-2006.2017.07.027

2017-03-09

郭忠臣(1992-)，安徽阜陽人，碩士，助教，研究方向：GNSS數(shù)據(jù)處理。