金楊建

巧用一元二次方程的“B B超單”

金楊建

漫畫(huà)欣賞：

從上述漫畫(huà)，我們可以看出，通過(guò)一元二次方程的根的判別式Δ可以判斷這個(gè)方程根的情況.這相當(dāng)于給一元二次方程做“B超”.也就是說(shuō)，關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）：

當(dāng)b2-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

反之，通過(guò)一元二次方程根的情況，也可以知道此方程判別式Δ的情況.因此，巧用一元二次方程的判別式Δ這一“B超單”，能快速、簡(jiǎn)捷處理一元二次方程中涉及根的情況的問(wèn)題.

一、正用：研究Δ與0的關(guān)系，判斷方程根的情況.

例1（2017·揚(yáng)州）一元二次方程x2-7x-2=0的實(shí)數(shù)根的情況是（）.

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

D.不能確定

【分析】此方程的判別式b2-4ac=57＞0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選A.

例2（2016·白銀）已知關(guān)于x的方程x2+ mx+m-2=0.

（1）若此方程的一個(gè)根為1，求m的值；

（2）求證：不論m取何實(shí)數(shù)，此方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

【分析】（1）把x=1代入方程即可得到一個(gè)關(guān)于m的一元一次方程，解該方程即可；（2）要證明一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，只要證明原一元二次方程的根的判別式為正數(shù)即可.

（1）解：把x=1代入方程x2+mx+m-2=0得1+m+m-2=0，解得m=-

（2）證明：Δ=m2-4（m-2）=（m-2）2+4

∵（m-2）2≥0，

∴（m-2）2+4＞0，即Δ＞0，

∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

例3（2017·北京）關(guān)于x的一元二次方程x2-（k+3）x+2k+2=0.

（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若方程有一個(gè)根小于1，求k的取值范圍.

【分析】（1）求方程的根的判別式Δ，觀察其與0的關(guān)系，進(jìn)而求解；（2）由因式分解法可將方程化為（x-2）（x-k-1）的形式，解出兩根即可.

（1）證明：∵Δ=（k+3）2-4（2k+2）=k2-2k+1=

（k-1）2≥0，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（2）解：∵x2-（k+3）x+2k+2=（x-2）（x-k-1）=0，∴x1=2，x2=k+1，∵方程總有一個(gè)根小于1，∴k+1＜1，∴k＜0，即k的取值范圍為：k＜0.

【方法總結(jié)】若要不解方程判斷方程根的情況，則需要先將一元二次方程寫(xiě)成ax2+bx+ c=0（a≠0）的形式，然后求出Δ的值，并與0進(jìn)行比較.

二、反用：根據(jù)方程根的情況，得到Δ與0的大小關(guān)系

例4（2017·益陽(yáng)）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1=1，x2=-1，那么下列結(jié)論一定成立的是（）.

A.b2-4ac＞0

B.b2-4ac=0

C.b2-4ac＜0

D.b2-4ac≤0

【分析】關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1=1，x2=-1，，說(shuō)明一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以b2-4ac＞0，因此選A.

例5（2017·南通）若關(guān)于x的方程x2-6x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值為_(kāi)______.

【分析】∵x2-6x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ=36-4c=0，解得c=9.

例6（2017·寧夏）關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x2+3x-2=0有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（）.

【分析】根據(jù)關(guān)于x的二元一次方程有實(shí)數(shù)根，得Δ≥0且a-1≠0，即32-4（a-1）·（-2）=9+8（a-1）≥0，a-1≠0，解得a≥--且a≠1.故選D.

【方法總結(jié)】根據(jù)題目信息，判斷方程根的情況，特別要注意的是：①方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根、方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、方程有實(shí)數(shù)根，這三句話(huà)的含義是不相同的；②對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0有一隱含條件a≠0，這一信息千萬(wàn)不能被忽略.

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校）