■陳海燕

在活動中生成 在問題中發(fā)展
——“圓”教學實錄與反思

■陳海燕

為了更好地體現(xiàn)新課程的基本理念，正確理解和把握教學內(nèi)容，突出數(shù)學知識的本質(zhì)內(nèi)涵，關注數(shù)學知識的形成過程，本節(jié)課的框架共分為5個部分。課堂上，學生通過自主動手畫圓，理解什么是圓，從而抽象、歸納出圓的定義，同時，教師以問題串來驅(qū)動，使學生在愉悅的氣氛下較自然地經(jīng)歷了數(shù)學知識的形成過程，理解了數(shù)學知識的本質(zhì)內(nèi)涵，培養(yǎng)了學生數(shù)學學習的思維方式和思維習慣。

一、教學實錄

1.我們認識的圓是什么樣的圖形——激活糾偏。

師：同學們請看，這里有沒有你熟悉的幾何圖形？

生（七嘴八舌）：圓。

師：在小學我們就學過圓，現(xiàn)在你對圓有哪些認識呢？

生（七嘴八舌）：圓有圓心、半徑，我們還會求圓的面積、周長等。

師：在古代曾有記載“圓，一中同長也”，這是什么意思？圓到底是一個什么樣的圖形呢？我們先來看這幾個問題，問題1：（出示呼啦圈圖片。）呼啦圈是圓嗎？你還能舉出生活中跟圓有關的例子嗎？

生1：車輪，滿月，紅日……

師：生活中的圓處處可見，問題2：（出示籃球圖片。）籃球是圓嗎？為什么？

生2：不是，圓是平面圖形。

師：好，再看問題3：（出示一元硬幣圖片。）一元硬幣是圓嗎？牡丹花在圓上嗎？

生3：一元硬幣是圓，牡丹花在圓上。

生4：一元硬幣不是圓，圓好像是線，不是面。

師：那么究竟是不是呢？我們過會兒再來判斷。問題4：（出示橢圓圖片。）這個圖形是圓嗎？為什么？

生5：是。

生6：不是，這個圖形有點圓圓的樣子，但好像又不是那么圓。

師：是不是呢？似乎有點說不太清楚，所以在初中階段，我們需要對圓做進一步的研究。今天這節(jié)課我們就一起來研究圓。（板書：2.1圓。）

評析：教師把要講的東西形成問題串，以問題串來驅(qū)動，用4個問題達到目標，這里每個問題都是有目的，有用意的。問題1，這是正面的例子，讓學生感知生活中圓的形象處處可見；問題2，是反例，認識圓是平面圖形；問題3，這也是反例，圓不是面，是曲線，認識上的誤區(qū)引起認知上的沖突，這就是最后我們需要認清的東西；問題4，還是反例，究竟什么是圓呢，得出進一步研究的必要性，從而引出課題。

2.圓是怎樣形成的——運動定義。

師：同學們會不會用圓規(guī)畫圓？下面先請同學們用圓規(guī)在作業(yè)紙上畫一個圓。

活動1：用圓規(guī)畫圓。（學生動手操作，教師巡視指導。）

師：我來看看同學們畫的，畫得真不錯，畫圓最主要是要確定什么？

生7：圓心和半徑。

師：老師也想來畫一個圓，但是這圓規(guī)在白板上不能畫怎么辦？老師這兒有筆還有繩子，能畫圓嗎？你們能不能動手試試？

活動2：用一根繩子和筆，在作業(yè)紙上作圓。（學生動手嘗試，請一位學生在黑板上演示。）

師：厲害??！利用繩子我們也能畫出一個圓，能畫出圓的同學請舉手。我想問，這個圓是怎樣形成的呀？同座位同學可以互相交流一下。

生8：我們可以將這根繩子看成是一條線段，繞著它的一端，旋轉(zhuǎn)一周。

師：那是誰形成的圖形？

生9：繩子的另一端。

師：這樣我們就得到了圓的定義：我們把平面內(nèi)線段OP繞著點O旋轉(zhuǎn)一周，端點P運動所形成的圖形叫作圓。這是從圓形成的運動的角度來給它下的定義。（板書圓的運動定義。）其中點O叫作圓心，線段OP叫作半徑。我們來給這個圓起個名字吧，叫它什么呢？我們通常是以圓心的字母來命名圓的，記作“⊙O”，讀作“圓O”。

評析：對于運動定義部分，教師安排了兩個活動。學生用圓規(guī)畫圓，這是對已有知識的回顧，明確圓的兩要素：圓心和半徑。將繩子拉直了就可以看成是一條線段，用繩子畫圓的過程其實就是圓形成的過程。學生自己動手操作，感知圓的運動定義。

3.圓由什么樣的點組成——集合定義。

師：剛才我們在作業(yè)紙上畫了一個圓，現(xiàn)在你在這個平面上再任意畫一個點，請同學們思考問題5：平面上任意一點與圓的位置關系有幾種呢？

生10：點在圓上，點在圓內(nèi)，點在圓外。（教師板書。）

師：好，我們來看練習1——說出圖中點A、點B、點C與圓的位置關系。

生11：點A在圓內(nèi)、點B在圓上、點C在圓外。

師：很好，練習2——在圖中再畫一些圓內(nèi)的點、圓上的點、圓外的點。哪位同學愿意上黑板來畫一畫？（學生們在作業(yè)紙上畫圓內(nèi)的點，請一位學生在黑板上畫。）

師：這樣的點還有嗎？

生12：有。

師：繼續(xù)畫，還有嗎？

生13：有。

師：這樣的點多不多？

生14：多。

師：有多少個？

生15：無數(shù)個。

師：誰再來畫圓上的點？圓上的點有多少個？

生16：無數(shù)個。

師：那圓外的點呢？誰來畫一畫？

生17：圓外的點也有無數(shù)個。

師：也就是說，一個圓可將整個平面劃分為3個區(qū)域：圓的內(nèi)部、圓上、圓的外部。每個部分都可以看成是由無數(shù)個點所組成的。這無數(shù)個點就組成了點的集合。下面我們分別來研究這3類點的集合，我們先從最簡單的開始——圓上的點，請問：圓上所有點都滿足什么條件？

生18：到圓心的距離等于半徑。

師：到圓心距離等于半徑的點都在哪？

生19：圓上。

師：好，問題6——圓可以看成是滿足什么條件的點的集合？

生20：圓是到圓心的距離等于半徑的點的集合。（教師板書。）

師：圓心和半徑在沒有圓的時候能用嗎？

生21：不能。

師：所以在這兒我們把它改為定點和定長，這樣更規(guī)范。這樣，我們從集合的角度又給圓下了一個定義：圓是到定點（圓心）的距離等于定長（半徑）的點的集合。（教師板書。）

師：現(xiàn)在我們知道圓是由無數(shù)個滿足一定條件的點組成的，當然這無數(shù)個點也就組成了圓，所以圓是一條線？還是一個面？

生22：是一條線。

師：是一條怎樣的線？

生23：是一條曲線。

師：怎樣的曲線？

生24：首尾順次相接的封閉的曲線。

師：好，問題7——用上述類似的方法研究圓的內(nèi)部和圓的外部，你能得出什么結(jié)論？

生25：圓內(nèi)部的所有點到圓心的距離小于半徑。

師：咦？這里怎么又改成圓心和半徑啦？要想確定圓的內(nèi)部和外部，首先要有什么呀？

生26：圓。

師：所以在這里我們用圓心和半徑，在這個細節(jié)上我們感受到了數(shù)學的嚴謹美！我還想問，圓內(nèi)部的點到圓心的距離為什么小于半徑呢？你能用幾何的方法說明嗎？

生27：在圓的內(nèi)部任意取一點，設為A，連接OA并延長交⊙O于點C，因為OA＜OC，所以A到圓心的距離小于半徑。

師：反過來，我們又得到——所有到圓心的距離大于半徑的點都在圓的外部。那么圓的內(nèi)部又可以看成是滿足什么條件的點的集合呢？

生28：圓的內(nèi)部是到圓心的距離都小于半徑的點的集合。

師：圓的外部呢？

生29：圓的外部是到圓心的距離都大于半徑的點的集合。

師：現(xiàn)在你能解決前面的兩個問題嗎？一元硬幣是圓嗎？牡丹花在圓上嗎？

生30：一元硬幣不是圓，圓不是面，是曲線，牡丹花不在圓上，它在圓的內(nèi)部。

師：那橢圓是圓嗎？

生31：不是圓。

評析：圓的集合定義是這節(jié)課的難點，為了突破難點，教師讓學生自己動手畫圓內(nèi)的點、圓上的點、圓外的點，讓他們充分感知每部分都是由無數(shù)個點所組成的，感受到點的集合的概念，并提煉出：一個圓可以把整個平面劃分為圓的內(nèi)部、圓上、圓的外部這3個區(qū)域。再分別研究這3類點的集合，重點研究最簡單的一個——圓上的點，然后類比得出圓的內(nèi)部、圓的外部的概念。當學生得到結(jié)論：圓內(nèi)部的所有點到圓心的距離都小于半徑時，教師并沒有滿足于學生通過直觀感知得到的這一結(jié)論，而是希望學生能結(jié)合圖形簡單說理，這種思維對學生以后的數(shù)學學習是非常重要的。

4.如何判定點與圓的位置關系——判定定理。

師：任何一個定義其實都有判定和性質(zhì)兩大功能，現(xiàn)在我們嘗試用圓的集合定義來尋找判定點與圓位置關系的方法。為了表示方便，我們用r表示圓的半徑，用d表示點到圓心的距離，所以圓上的點滿足的特征我們可以簡潔地表示為：點在圓上，反過來，我們也可以簡潔地表示為點在圓上，合起來即為：點在圓上d=r。（教師板書。）

師：對于點在圓內(nèi)、點在圓外，你是否可以得出類似的結(jié)論？

師：現(xiàn)在我們來看這3個結(jié)論，等號左邊刻畫的是點與圓的位置關系，等號右邊刻畫的是d與r的數(shù)量關系。從左到右，是由位置關系推出數(shù)量關系，是性質(zhì)；從右到左，是由數(shù)量關系推出位置關系，是判定。二者結(jié)合起來，則體現(xiàn)了一種完美的數(shù)形結(jié)合的思想。

評析：在整體框架中，其實每個部分之間還是有聯(lián)系的，圓的判定定理就是根據(jù)集合定理得到的，教師講解時仍然是重點講了點在圓上，推而廣之得到點在圓內(nèi)、點在圓外。最后結(jié)論賞析，體現(xiàn)了一種完美的數(shù)形結(jié)合思想。

5.用結(jié)論解決相關問題——交集思想。

例1.已知⊙O的半徑為5，點P為平面上的一點。（1）若PO=_____，則點P在圓上；（2）若PO=5.5，則點P在 ；（3）若點P在圓內(nèi)，則PO的取值范圍是 。

圖1

例2.如圖1，已知點P，請作出到點P的距離等于1cm的點的集合。（1）這個圓的外部是滿足什么條件的點的集合？（2）請用陰影表示出到點P的距離小于或等于1cm的點的集合。

圖2

例3.如圖2，已知點P、Q，且PQ＝2cm。（1）畫出下列圖形：到點P的距離等于1cm的點的集合，到點Q的距離等于1.5cm的點的集合；（2）在所畫圖中，到點P的距離等于1cm，且到點Q的距離等于1.5cm的點有幾個？請在圖中將它們表示出來；（3）在所畫圖中，到點P的距離小于或等于1cm，且到點Q的距離大于或等于1.5cm的點的集合是怎樣的圖形？把它表示出來。

評析：這一環(huán)節(jié)有3個例題。例1是一個簡單的實例，讓學生對由數(shù)量關系來刻畫位置關系，由位置關系來刻畫數(shù)量關系進行應用。例2讓學生再次體會集合思想，并為例3做了一個鋪墊，降低難度。例3引導學生用集合的觀點理解圖形。此外，這里還滲透了一種常用的數(shù)學思想方法——交集法。所謂交集法，就是先由部分條件構成一個集合，然后再由剩余的條件構成另一個集合，兩個集合的交集就是問題的解。

師：通過今天的學習，你對圓有哪些新的認識嗎？（學生暢所欲言。）

師：我們不僅從運動的角度了解了圓，也從集合的角度認識了圓，更理解了點與圓的位置關系與數(shù)量關系之間的一種轉(zhuǎn)化。

二、教后反思

1.數(shù)學概念注重生成與預設相結(jié)合。

數(shù)學概念是客觀世界中數(shù)量關系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映，是學生數(shù)學學習的邏輯起點，是學生進行數(shù)學思維的核心，是數(shù)學思想與方法的載體，在數(shù)學學習過程中具有十分重要的意義。在揭示新知階段，教師讓學生經(jīng)歷了用圓規(guī)和繩子兩種不同工具畫圓的過程，感受圓是怎樣產(chǎn)生的，使學生在動手操作的過程中理解什么是圓，從而抽象、歸納出圓的定義。在這節(jié)課中，教師對圓的定義的教學，是把已有的知識和經(jīng)驗作為新知識的生成點，當學生的嘗試、探究有了生成時，教師不斷引導，使得圓的概念在學生的概括中一步步完善，定義的給出合情合理，學生的抽象歸納顯得水到渠成。

2.數(shù)形結(jié)合思想主要體現(xiàn)在點與圓的位置關系上。

平面上的一個點與圓存在3種關系：點在圓內(nèi)、點在圓上、點在圓外，這3種關系可以直接判斷。但通過學生的探索，發(fā)現(xiàn)點與圓的位置關系又和點到圓心的距離和圓的半徑的大小比較上存在著等價的關系。前者是從圖形的角度進行的研究，后者是從數(shù)量的角度進行的研究，一個是形，一個是數(shù)，兩者很好地結(jié)合并相輔相成。轉(zhuǎn)化思想是數(shù)形結(jié)合思想的延續(xù)，因為數(shù)形結(jié)合思想就是把圖形問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成圖形問題。學生在運用數(shù)形結(jié)合思想的同時，也在運用著轉(zhuǎn)化的思想。

3.例題的設計環(huán)環(huán)相扣，目的清晰。

設計的例題既加深了學生對集合概念的理解，又突出了點和圓的位置關系與點到圓心的距離和半徑之間的數(shù)量關系之間的相互轉(zhuǎn)化，為本章后續(xù)內(nèi)容的教學做好了鋪墊。同時習題的設計突出層次，不同的學生能獲得不同的體驗，此外解決問題的方法、蘊含的思維含量都具有挑戰(zhàn)性，這樣更有利于學生認識圓的本質(zhì)及點與圓的位置關系，增強對數(shù)學的學習興趣。重在理解教學內(nèi)容，而不是停留在沒有思維的運算和反復操練上。

（作者為江蘇省丹陽市華南實驗學校教師）