王相海, 朱毅歡, 耿 丹, 宋傳鳴

(1.遼寧師范大學 計算機與信息技術學院, 遼寧 大連 116029; 2.遼寧師范大學 數(shù)學學院, 遼寧 大連 116029)

基于Cauchy分布模型與NSST變換的圖像去噪算法

王相海1, 朱毅歡1, 耿 丹2, 宋傳鳴1

(1.遼寧師范大學 計算機與信息技術學院, 遼寧 大連 116029; 2.遼寧師范大學 數(shù)學學院, 遼寧 大連 116029)

非下采樣Shearlet變換(NSST)具有良好的方向敏感性，各向異性以及平移不變性，是接近最優(yōu)的多尺度稀疏表示方法.提出一種基于先驗柯西(Cauchy)模型的NSST域圖像去噪方法, 利用Cauchy分布對NSST變換域子帶系數(shù)概率分布進行擬合，作為先驗分布模型，再通過最大后驗概率(MAP)方法估計不含噪聲的系數(shù).該方法不但保留了傳統(tǒng)統(tǒng)計模型去噪方法中的優(yōu)點，還通過對NSST具有更好擬合效果的柯西分布模型作為先驗的概率分布模型，使估計出的系數(shù)更接近于原始圖像的系數(shù).大量仿真實驗驗證了所提出方法的有效性.

非下采樣Shearlet；Cauchy分布模型；最大后驗概率；圖像去噪

圖像在采集和傳輸過程中不可避免地會受到噪聲的污染，因此圖像去噪作為圖像處理的重要研究領域一直受到高度重視，同時它通常也是更深層次圖像處理的基礎性工作.圖像去噪的目標是在有效去除圖像噪聲的同時，盡可能地保留圖像邊緣、紋理等細節(jié)信息.近年來，基于小波變換多尺度特性和局部特性的圖像去噪方法受到關注，然而雖然小波變換可以很好地捕捉一維信號的奇異性，但是對二維信號的輪廓、邊緣和紋理等高維奇異特性的捕捉效果并不理想，為了更好地表示圖像的這種高維奇異特性，Ridgelet、Curvelet、Contourlet等多尺度幾何工具被提出[1]，特別是近年來被提出的Shearlet變換[2]作為小波變換在多維方向的自然擴展，其基函數(shù)具有可變的楔形支撐空間，能夠通過剪切和膨脹自適應表示圖像的幾何邊緣，接近最優(yōu)的二維圖像的稀疏表示[3-8].

在基于多尺度變換的圖像去噪方法中閾值去噪方法通常以簡單著稱，它將圖像的變換域系數(shù)當作確定的獨立信號進行處理.雖然多尺度變換具有解相關性，但圖像多尺度變換子帶之間還是會存在一定的聯(lián)系，如何有效地確定這些系數(shù)之間的關系，并使之對圖像多尺度變換系數(shù)進行有效評估成為基于統(tǒng)計模型圖像去噪方法的一個關鍵問題.事實上，基于多尺度變換的統(tǒng)計模型去噪方法通常需要解決兩個問題[9]，一是系數(shù)子帶的先驗概率模型選取問題；另一個是去噪方法的確定.常用的多尺度子帶系數(shù)的概率分布模型有廣義高斯分布(GGD)[10]和拉普拉斯分布(Laplacian)[11]等.本文通過大量實驗統(tǒng)計表明，Cauchy分布能夠更好地對Shearlet域子帶系數(shù)進行擬合.基于此，將Cauchy分布模型作為先驗概率模型，并采用最大后驗概率對Shearlet子帶系數(shù)進行估計，在此基礎上實現(xiàn)去噪操作，取得了很好地去噪效果.

1 NSST變換概述

K.H.Guo和D.Labate提出的Shearlet變換具有完備的構造理論框架和嚴格的數(shù)學邏輯支持，是仿射系統(tǒng)對多維信號幾何特征提取的一個最有效的方法[2,8].該變換作為一種新型的多尺度變換繼承了Contourlet變換與Curvelet變換的優(yōu)點，其與Curvelet變換具有相同的圖像近似階數(shù)，但實現(xiàn)更加簡單，同時尺度方向比Contourlet變換更加靈活.對于二維信號，Shearlet變換不僅能夠檢測其所有的奇異點，同時還能夠自適應的追蹤奇異曲線的方向.

Shearlet變換由合成小波理論衍生而來，當維n=2時，具有合成膨脹的仿射系統(tǒng)定義為

ΨAB(ψ)={ψj,k,l(X)=|detA|j/2ψ(BlAjX-k):j,l∈,k∈2}.

其中，ψ∈L2(2)，A和B為2×2的可逆矩陣，detΒ=1.

如果ΨAB(ψ)滿足Parseval框架，即對任意f∈L2(2)有

圖1 Shearlet變換頻率分解和支撐區(qū)間Fig.1 Frequency decompositions by the shearlet transform and frequency support of a shearlet

為了使Shearlet變換具有平移不變特性，仿造非下采樣輪廓波變換(Nonsubsampled Contourlet Transform，NSCT)的構造方法，文獻[13]中通過用非下采樣的Laplacian金字塔算法替換Laplacian金字塔算法，構造了非下采樣剪切波變換(Nonsubsampled Shearlet Transform，NSST).NSST分解過程如圖2所示，圖像經(jīng)過兩層NSST分解實例如圖3所示.

圖2 NSST的兩層分解過程Fig.2 Two layer decomposition process of NSST

圖3 zoneplate 圖像的2層NSST變換后的系數(shù)圖像Fig.3 The coefficient images of the zoneplate image after two level NSST transform

2 基于Cauchy分布模型與NSST變換的圖像去噪算法

2.1 最大后驗方法估計子帶系數(shù)

假設含噪聲圖像經(jīng)過NSST變換后的系數(shù)表示成如下形式：

x=y+n.

其中，y為不含噪聲的NSST系數(shù)，n為噪聲系數(shù).因此可以通過最大后驗概率(MAP)方法，最大化ln(y|x)來估計不含噪聲的NSST系數(shù)y[14]，形式如下：

其中,lnpx|y≈lnpn.

假如噪聲為均值為0的高斯白噪聲，因此n服從均值為0的高斯分布，即有

其中，σ2為噪聲方差，因此只要針對NSST系數(shù)進行合適的模型建立，則可估計出不含噪聲的系數(shù).

2.2 先驗柯西分布模型

自然圖像經(jīng)過NSST變換的系數(shù)分布直方圖呈現(xiàn)“高尖峰、長拖尾”的形狀，且峰值分布在零點處，不符合傳統(tǒng)的高斯分布.常用的多尺度系數(shù)先驗模型有廣義高斯分布(GGD)、拉普拉斯分布(Laplacian)和柯西分布(Cauchy)等.其中Cauchy分布是一個含兩參數(shù)的概率密度模型，其對“長拖尾”的系數(shù)分布具有良好的建模效果.

對于系數(shù)集X={x1,x2,…,xN}，其Cauchy分布函數(shù)的定義為

圖4 圖像系數(shù)擬合結果Fig.4 The testing images’ coefficients fitting results

下面分別采用廣義GGD分布模型、Laplacian分布模型和Cauchy分布模型對兩種不同類型測試圖像的NSST子帶系數(shù)進行精度擬合實驗，利用極大似然估計法對參數(shù)進行估計，并選取 KS(Kolmogorov-Smirnov)值作為評價指標來判別對NSST子帶系數(shù)的擬合程度.KS的計算公式為

KS=maxw∈RFh(w)-Fe(w).

其中,Fh(·)和Fe(·)分別為先驗概率分布函數(shù)和標準分布的累積分布函數(shù).KS越小表明擬合效果越好.圖4和表1分別表示了圖像的擬合結果以及精度檢測結果.

表1 不同分布對圖像系數(shù)擬合結果

從圖4和表1可以看出，對于兩種不同類型測試圖像的NSST子帶系數(shù)，Cauchy分布較廣義GGD分布和Laplacian分布具有更好的自適應性和擬合效果.可見，在NSST變換域下，Cauchy分布是比廣義GDD分布和Laplacian分布擬合精度更好的概率分布函數(shù)，因此本文選取Cauchy分布模型對NSST系數(shù)進行建模，作為NSST系數(shù)的先驗模型.

2.3 去噪算法的實現(xiàn)過程

基于柯西分布模型與NSST變換的圖像去噪算法總體步驟如下：

Step1 將含噪聲圖像進行3層NSST分解.

Step2 通過蒙特卡羅方法估計噪聲方差，再通過極大似然方法估計先驗模型的參數(shù).

Step3 獲得不含噪聲的NSST子帶系數(shù)估計.

Step4 將估計得到的子帶進行NSST逆變換，獲得去噪聲圖像.

3 實驗結果與分析

為了驗證本文提出方法的有效性，選取North Island，Shedao，Lena和Barara四幅512×512大小的圖像進行實驗.實驗環(huán)境為Matlab R2009b.其中，NSST變換選用了“maxflat”非下采樣多尺度濾波器和“dmaxflat7”非下采樣方向濾波器，分解層數(shù)為3，每層子帶個數(shù)為2，4，8，方向濾波器的分解方向分別為16，32，64.添加的噪聲為不同方差的高斯白噪聲，實驗結果通過去噪圖像的主觀視覺效果和客觀峰值信噪比來(PSNR)評價去噪方法的性能.PSNR定義如下：

表2給出了本文提出方法在不同方差下，與NL-Means[15]方法和Wavelet-Bayesian[16]方法相比較之后的客觀評價結果，圖5為在噪聲方差30的情況下，本文提出的方法與對比方法的去噪主觀結果，圖6為Lena圖像經(jīng)過4倍放大后的去噪結果.

表2 不同模型去噪方法的PSNR對比

續(xù)表

圖5 不同去噪方法的去噪圖像對比Fig.5 The comparison of the denosing results for different methods

圖6 Lena中局部區(qū)域放大4倍的去噪圖像對比Fig.6 The comparison of the denoising results of the four times partial Lena image

4 結束語

首先對圖像NSST域的系數(shù)子帶系數(shù)進行擬合實驗，獲得Cauchy分布較GGD和Laplacian分布具有更好的自適應性和擬合效果；進一步將Cauchy分布作為圖像去噪的先驗概率模型，通過最大后驗概率方法估計出子帶的后驗系數(shù).在此基礎上，提出一種基于Cauchy分布模型與NSST的圖像去噪算法，取得了很好的去噪效果.與文獻[16]方法相比，對添加噪聲方差為30后的圖像噪聲，去噪后圖像的PSNR平均提高1.93 dB,同時從視覺效果上看，該模型在有效去除噪聲的同時，較好地保留了原圖像中的邊緣和紋理細節(jié)信息，特別對紋理復雜、豐富的圖像具有一定的優(yōu)勢.

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ImagedenoisingalgorithmbasedonCauchydistributionmodelandNSSTtransform

WANGXianghai1,ZHUYihuan1,GENGDan2,SONGChuanming1

(1.School of Computer and Information Technology, Liaoning Normal University,Dalian 116081,China; 2.School of Mathematics,Liaoning Normal University,Dalian 116029,China)

In order to solve the problem that the multi-scale transform threshold denoising method does not consider the correlation between sub-band coefficients, a denoising method based on statistical model is proposed.The non-downsampling Shearlet transform (NSST) has a good directional sensitivity, anisotropy and translation invariance, which is close to the optimal multi-scale sparse representation.In this paper, the effectiveness of the Cauchy distribution model as a priori probability model is analyzed.An image denoising algorithm based on the Cauchy distribution model and NSST transform is proposed. The statistical model denoising method based on wavelet and NSST transform based on Laplacian distribution Denoising method are compared.The simulation results show that the presently proposed method has better denoising effect.

non-subsampling Shearlet;Cauchy distribution model;maximum a posteriori probability;image denoising

王相海(1965- )，男，吉林汪清人，遼寧師范大學教授,博士，博士生導師,CCF高級會員.

TP391

:A

2017-04-27

國家自然科學基金資助項目(41671439；61402214)；高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20132136110002)；大連市科學技術基金資助項目(2013J21DW027)

1000-1735(2017)03-0324-08

10.11679/lsxblk2017030324