朱春媚，莫鴻強

(1.電子科技大學(xué)中山學(xué)院 機電工程學(xué)院，廣東 中山 528400； 2.華南理工大學(xué) 自動化科學(xué)與工程學(xué)院，廣州 510641) (*通信作者電子郵箱cmzhu@zsc.edu.cn)

一類適應(yīng)度函數(shù)的遺傳算法編碼

朱春媚1*，莫鴻強2

(1.電子科技大學(xué)中山學(xué)院 機電工程學(xué)院，廣東 中山 528400； 2.華南理工大學(xué) 自動化科學(xué)與工程學(xué)院，廣州 510641) (*通信作者電子郵箱cmzhu@zsc.edu.cn)

針對在探討適應(yīng)度函數(shù)的周期性特點與整數(shù)編碼元數(shù)之間的關(guān)聯(lián)特性時，一階積木塊數(shù)量對編碼性能的評價不一定成立的問題，提出以累積逃脫概率(AEP)作為遺傳算法(GA)編碼性能的評價指標，對以頻率為正整數(shù)m的整數(shù)次冪的正弦函數(shù)為基函數(shù)線性組合構(gòu)成的適應(yīng)度函數(shù)編碼展開研究。首先給出了該類適應(yīng)度函數(shù)的一般形式和m進制整數(shù)編碼的含義；然后介紹了AEP的定義，并根據(jù)函數(shù)特點制定了AEP的計算方法；最后分析比較了該類適應(yīng)度函數(shù)在不同整數(shù)編碼下的AEP，指出其采用m元整數(shù)編碼時更容易進化。仿真結(jié)果表明，該類適應(yīng)度函數(shù)采用m元整數(shù)編碼時，其最終優(yōu)化結(jié)果和群體適應(yīng)度均值的上升時間皆明顯優(yōu)于其他編碼，反映了AEP能有效評價編碼的性能，并再次驗證了對于該類適應(yīng)度函數(shù)m元整數(shù)編碼優(yōu)于非m元整數(shù)編碼的結(jié)論。

編碼；性能評價；遺傳算法；周期性適應(yīng)度函數(shù)；累積逃脫概率

0 引言

編碼作為遺傳算法(Genetic Algorithm, GA)設(shè)計中的首要環(huán)節(jié)，決定著遺傳算法的精度和效率，是算法能否解決問題的前提。隨著GA研究和應(yīng)用的日益深入，編碼方法也在不斷地改進，目前已有多種編碼方式，常用的有二進制編碼、實數(shù)編碼、矩陣編碼、樹型編碼和量子編碼等[1-3]。自Holland[4]提出GA以來，二進制編碼成為應(yīng)用最早和最廣的編碼方式，具有簡單、符合最小符號集編碼原則和模式定理的優(yōu)點，但對于一些多維、高精度連續(xù)函數(shù)優(yōu)化問題，二進編碼又存在不能直接反映問題的固有結(jié)構(gòu)和個體編碼長度大等不足。針對二進制編碼的缺陷，Michalewicz等[5]提出了實數(shù)編碼，實數(shù)編碼精度高，適合復(fù)雜大空間搜索，對多參數(shù)連續(xù)函數(shù)優(yōu)化問題具有更好的性能。矩陣編碼尤其適用于求解大規(guī)模復(fù)雜問題、高維數(shù)值優(yōu)化問題和多目標優(yōu)化問題，例如文獻[6]和[7]分別采用矩陣編碼的遺傳算法實現(xiàn)試題庫自動組卷和模擬集成電路模塊布局。樹型編碼也是一種有效的編碼方式，主要適用于求解能用樹或圖表示的優(yōu)化問題，如Web服務(wù)選擇[8]、配電網(wǎng)優(yōu)化規(guī)劃[9]等。量子編碼是將染色體用量子的態(tài)矢量表示，使算法能夠在較小的種群規(guī)模下求得最優(yōu)解，被廣泛應(yīng)用于組合優(yōu)化、信號處理和自動控制等方面[10]。

由此可見，不同編碼方式有其自身的優(yōu)缺點和適用場合，事實上，關(guān)于該如何設(shè)計編碼策略長期以來存在許多爭議。傳統(tǒng)的觀點認為，進化的本質(zhì)主要在于交叉而非變異，從最大化隱并行性的角度出發(fā)，建議采用最小字符集編碼，例如二進制編碼，以便獲得盡可能多的模式[11]，但該原則未能得到一致認同，一方面由于對于相當(dāng)多的搜索和優(yōu)化問題，二進制編碼不符合問題本身的結(jié)構(gòu)特點，實現(xiàn)起來并不方便[12]；另一方面，有的研究結(jié)果也表明，最小字符集的編碼原則并不一定合理。例如，Antonisse等[13]發(fā)現(xiàn)，即使是為了最大化算法的隱并行性，只要從不同的角度解釋無關(guān)符的作用，就可得到完全相反的結(jié)論，即應(yīng)采用大的編碼字符集而非小字符集。而以Fogel等[14]為代表的研究者對進化的本質(zhì)持相反的觀點，認為其主要在于變異而非交叉，因而置疑隱并行性的意義和最小字符集的編碼原則。Fogel等[15]指出，僅需滿足一些一般性的假設(shè)條件，即可對任意兩種編碼字符集設(shè)計出功能等效的兩類進化算法。此外，即使不考慮最小字符原則，對應(yīng)該采用二進制編碼還是格雷碼同樣存在爭議[16]。這些爭議以及近年來對NFL(No Free Lunch)定理[17]等關(guān)于優(yōu)化算法的一般性定理的研究[18-19]表明：通用又高效的編碼方式是不存在的，不同類型的適應(yīng)度函數(shù)應(yīng)采用不同的編碼。解決編碼策略選擇問題的一個可行出路是將通用編碼方式的研究轉(zhuǎn)為探尋編碼與適應(yīng)度函數(shù)特性之間的通用依賴關(guān)系。

在前期研究中，為揭示適應(yīng)度函數(shù)的周期性特點與編碼元數(shù)之間的關(guān)聯(lián)特性，以可展開為分立周期的正弦函數(shù)分量線性組合而成的適應(yīng)度函數(shù)為研究對象，采用一階積木塊數(shù)量作為編碼性能的評價方法，發(fā)現(xiàn)對頻率為正整數(shù)m的整數(shù)次冪的正弦函數(shù)為基函數(shù)線性組合構(gòu)成的適應(yīng)度函數(shù)，采用m元整數(shù)編碼時性能優(yōu)于其他編碼[20-21]。

然而，一階積木塊是以模式定理為依據(jù)的，即認為較優(yōu)的模式在遺傳算法的迭代過程中將按指數(shù)規(guī)律增長，如果在多個基因座上存在一階積木塊，則在這些基因座上，全局最優(yōu)串的搜索可以轉(zhuǎn)化為在這些基因座上的并行搜索，故而GA可較快找到較優(yōu)值，但事實上模式定理在某些情況下不一定成立，GA欺騙、超平面不一致性和同步等現(xiàn)象可能會導(dǎo)致GA向錯誤的方向搜索[22]，這時將不能保證積木塊數(shù)量與優(yōu)化性能之間的正相關(guān)關(guān)系。

基于此，本文希望找到一種更合理的編碼性能評價方法來進一步驗證適應(yīng)度函數(shù)的周期性特點與編碼元數(shù)之間的關(guān)聯(lián)特性。編碼方式影響到GA的很多方面，如積木塊數(shù)量、連鎖[23]和適應(yīng)度分布[24]等，所有這些因素又最終影響到GA進化的難易程度，在其他參數(shù)相同的情況下，不同編碼下GA進化的難易程度是編碼性能最直觀的體現(xiàn)。在判斷進化算法的難易程度時，運行時間是使用最廣泛、最可靠的性能指標[25-26]，文獻[27]指出，逃脫概率(Escape Probability， EP)反映了當(dāng)前個體進化到更優(yōu)個體的概率，其大小與期望運行時間成反相關(guān)，因此，EP可以有效反映進化算法的難易程度；在EP基礎(chǔ)上得到的累積逃脫概率(Accumulated Escape Probability， AEP)實現(xiàn)了進化難易程度數(shù)值化，可用于比較不同算法之間的性能。本文提出以AEP作為編碼性能的評價指標。

1 研究對象

1.1 適應(yīng)度函數(shù)

1.2 廣義整數(shù)編碼

2 基于逃脫概率的編碼選擇方法

2.1 AEP定義

文獻[27]在逃脫概率的基礎(chǔ)上給出了AEP的定義。給定G(x)，在其搜索空間進行采樣，并將所得結(jié)果按適應(yīng)度大小分為L級，得適應(yīng)度集合為F={f0,f1,…,fL|f0

P(fi)=1/Si

(1)

對于特定的fi，逃脫概率越大表示越容易獲得比當(dāng)前值更高的適應(yīng)度。將逃脫概率的定義擴展到適應(yīng)度集合，Pi表示所有大于等于fi的適應(yīng)度的逃脫概率平均值，定義如下：

(2)

其中Ci={fj|j>i}。進一步定義適應(yīng)度概率云(Fitness-Probability Cloud， FPC)為：

FPC={(f0,P0),(f1,P1),…,(fL,PL)}

(3)

由FPC，得到累積逃脫概率AEP為:

(4)

AEP實際上是集合F中Pi的平均值。由逃脫概率P(fi)和Pi的定義可知，AEP越大，則表示適應(yīng)度函數(shù)進化難度越小。

2.2 AEP計算方法

根據(jù)AEP的定義，本文實現(xiàn)AEP的計算步驟如下：

1)采樣。本文研究對象為連續(xù)適應(yīng)度函數(shù)，為了得到離散的適應(yīng)度集合F={f0,f1,…,fL|f0

開始 隨機生成個體s1fori:=2tondo1)隨機生成個體α; 2)在(0, 1)范圍等概率隨機生成一實數(shù)k; 3)若(k≤φ(f(si-1),f(α))) 則sk:=α否則跳轉(zhuǎn)至1) 4)i:=i+1

end for

結(jié)束

2)計算每個樣本點的適應(yīng)度函數(shù)，按從小到大排序(根據(jù)適應(yīng)度的取值范圍，本文中若兩個樣本點適應(yīng)度之差小10-6，則認為這兩個樣本點適應(yīng)度位于同一級)。計算所有適應(yīng)度處于第i級的個體的適應(yīng)度均值作為fi)，得到適應(yīng)度集合F={f0,f1,…,fL|f0

圖1 5組適應(yīng)度函數(shù)在不同編碼下的AEP

3)計算每個樣本點的逃脫概率。對每個采樣點，采用交叉和位變異操作獲得若干個鄰域點，以大于該樣本適應(yīng)度的鄰域點數(shù)與總鄰域點數(shù)的比值近似計算逃脫概率P(fi)。

由于采樣點沒有現(xiàn)成的個體與之進行交叉，本文通過以下步驟近似實現(xiàn)交叉操作：按交叉率決定是否需要進行交叉，若是，則隨機選擇樣本個體串上一個點，分別對該點之前的所有位和之后的所有位按一定概率變異，得到兩個新的個體，取適應(yīng)度較大的個體作為交叉的結(jié)果。

4)由式(3)計算得到FPC。

紅山的陽坡，二丫的新墳還氤氳著黃土的氣息，墳頭的紙幡在夜風(fēng)中上下翻飛。我婆婆墳前，當(dāng)年植下的兩株柏苗，已有幾人高了。月光垂照下來，柏樹披上白紗，靜穆地肅立著。我跟她們說，狼剩兒我找到了。婆婆說，你帶來讓我瞅瞅！我不敢直視婆婆的眼睛，低頭小聲說，我?guī)Р换亍牌艆柭曍?zé)備我，看你這個娘是么樣當(dāng)?shù)模@點能耐都冇得！

5)由式(4)計算得到AEP。

為了提高準確率，對每個適應(yīng)度函數(shù)樣本重復(fù)計算AEP 10次，取10次結(jié)果的均值作為最終的AEP值。

2.3 不同編碼的AEP比較

表1 適應(yīng)度函數(shù)樣本

按以上步驟計算AEP，其中樣本點數(shù)、鄰域點數(shù)和變異率分別取10 000，50和0.3，每組適應(yīng)度函數(shù)的1 000個函數(shù)樣本在不同編碼下的AEP分別如圖1所示。

由圖1可見，當(dāng)m=2時，1 000個G1(x)樣本在base- 2編碼下AEP的均值為0.322，base- 3和base- 5編碼對應(yīng)AEP均值分別為0.261和0.269，base- 2對應(yīng)的AEP明顯大于base- 3和base- 5編碼；當(dāng)m為3，4，5和6時，分別是base- 3，base- 4，base- 5和base- 6編碼對應(yīng)的AEP值最大。圖1的結(jié)果表明，對于適應(yīng)度函數(shù)G(x)，base-m編碼對應(yīng)的AEP明顯大于另外兩種編碼，反映了base-m編碼的GA進化難度較小，即在相同條件下，base-m編碼將期望獲得優(yōu)于另外兩種編碼的性能。

3 GA仿真

為了驗證AEP的結(jié)論，采用兩種方式對不同編碼的性能進行比較，第一種是最終優(yōu)化結(jié)果比較，第二種是群體平均適應(yīng)度的上升時間比較，適應(yīng)度的最終優(yōu)化結(jié)果越大、群體適應(yīng)度均值上升到一定值時所需的進化代數(shù)越小則表示編碼的性能越好。

采用傳統(tǒng)GA對表1中的5組適應(yīng)度函數(shù)共5 000個樣本進行優(yōu)化仿真。仿真參數(shù)設(shè)置如表2所示。每個函數(shù)重復(fù)運算20次，取這20個最優(yōu)值的均值得到平均適應(yīng)度作為最終的優(yōu)化結(jié)果。為了方便比較，對不同編碼下的優(yōu)化結(jié)果取差值。5組函數(shù)在不同編碼下的優(yōu)化結(jié)果差分別如圖2所示。

圖2 5組適應(yīng)度函數(shù)在不同編碼下的優(yōu)化結(jié)果差

由圖2可見，當(dāng)m=2時,1 000個G1(x)樣本采用base- 2編碼與base- 3和base- 5的優(yōu)化結(jié)果差的均值分別為0.626和0.662，base- 2的優(yōu)化結(jié)果明顯優(yōu)于其他兩種編碼；當(dāng)m為3，4，5和6時，分別是base- 3、base- 4、base- 5和base- 6編碼對應(yīng)的優(yōu)化結(jié)果最優(yōu)。由此可見，對G(x)，base-m編碼的性能明顯優(yōu)于碼元非m的整數(shù)編碼，與AEP的結(jié)論一致。

表2 GA仿真參數(shù)設(shè)置

3.2 群體平均適應(yīng)度上升時間比較

對表1中的5組適應(yīng)度函數(shù)，以10-6為步長，通過窮舉搜索法得到每個樣本函數(shù)適應(yīng)度的全局極大值，然后計算不同編碼下每個樣本函數(shù)群體適應(yīng)度的均值上升到全局極大值70%時所需要的進化代數(shù)，最大進化代數(shù)設(shè)500，其他參數(shù)與表2相同。將所需進化代數(shù)劃分為(0～15)、(16～30)和(>30)3組，統(tǒng)計每組進化代數(shù)的樣本函數(shù)比例，結(jié)果如圖3所示。由圖3可見，對5組適應(yīng)度函數(shù)，當(dāng)采用base-m編碼時，最少83.8%以上的樣本函數(shù)在15代以內(nèi)群體平均適應(yīng)度上升到全局極大值的70%，所需進化代數(shù)的均值和方差都明顯小于其他兩種編碼，反映了該類適應(yīng)度函數(shù)采用base-m編碼更容易進化，與AEP的結(jié)論一致。

4 結(jié)語

本文以頻率為正整數(shù)m的整數(shù)次冪的正弦函數(shù)為基函數(shù)線性組合構(gòu)成的適應(yīng)度函數(shù)為研究對象，采用AEP作為編碼性能指標，分析比較了該類適應(yīng)度函數(shù)在不同碼元整數(shù)編碼下的AEP，發(fā)現(xiàn)該類適應(yīng)度函數(shù)采用base-m編碼時進化難度小于其他碼元非m編碼。5 000個適應(yīng)度函數(shù)樣本的仿真結(jié)果表明，該類函數(shù)采用base-m編碼時，最終優(yōu)化結(jié)果和群體平均適應(yīng)度的上升速度明顯優(yōu)于其他非m碼元編碼，驗證了AEP對編碼性能評價的有效性。

本文結(jié)果再次確認了對于該類適應(yīng)度函數(shù)m元整數(shù)編碼優(yōu)于非m元整數(shù)編碼的結(jié)論，可為GA的編碼設(shè)計提供借鑒。另外，AEP反映了進化的難易程度，可推廣應(yīng)用于適應(yīng)度函數(shù)的設(shè)計和操作算子的選擇，如設(shè)計不同的適應(yīng)度函數(shù)通過AEP選擇較容易進化的一個，以及選擇有利于進化的選擇算子、交叉率和變異率等。

圖3 不同編碼下群體適應(yīng)度均值上升至全局極大值70%所需的進化代數(shù)統(tǒng)計

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This work is partially supported by National Natural Science Foundation of China (61105062).

ZHUChunmei, born in 1981, Ph. D. candidate. Her research interests include intelligent control, pattern recognition.

MOHongqiang, born in 1976, Ph. D., professor. His research interests include evolutionary computation.

Encodingofgeneticalgorithmforaclassoffitnessfunctions

ZHU Chunmei1*, MO Hongqiang2

(1.CollegeofMechanicalandElectricalEngineering,ZhongshanInstitute,UniversityofElectronicScienceandTechnologyofChina,ZhongshanGuangdong528400,China;2.CollegeofAutomationScienceandEngineering,SouthChinaUniversityofTechnology,GuangzhouGuangdong510641,China)

In the investigation of relationship between the periodicity of fitness function and encoding cardinality, the evaluation of encoding performance using the number of order- 1 building blocks is not necessarily established. Focused on this issue, evaluating method of encoding performance of Genetic Algorithm (GA) using Accumulated Escape Probability (AEP) was proposed, and for a class of fitness functions linearly combined of sinusoidal functions whose frequencies are exponential to a positive integerm, research on encoding was carried out. Firstly, the general form of the fitness function was given, and the concept of base-mencoding was explained. Secondly, the definition of AEP was introduced, and a method was proposed to figure out AEPs. Then the AEPs of the above-mentioned fitness functions under encodings with different encoding bases were compared, and the results showed that, for a fitness function which was linearly combined of sinusoidal functions with frequencies exponential to a positive integerm, a base-mencoding could achieve higher AEP than encodings with bases other thanm. The simulation results show that, the optimization performance and the rise time of the average fitness of the population under a base-mencoding are significantly better than those of the other encodings.

encoding; performance evaluation; Genetic Algorithm (GA); periodic fitness function; Accumulated Escape Probability (AEP)

TP301.6; TP18

:A

2017- 01- 05;

:2017- 03- 04。

國家自然科學(xué)基金資助項目(61105062)。

朱春媚(1981—)，女，廣東河源人，講師，博士研究生，主要研究方向：智能控制、模式識別； 莫鴻強(1976—)，男，廣東茂名人，教授，博士，主要研究方向：進化計算。

1001- 9081(2017)07- 1972- 05

10.11772/j.issn.1001- 9081.2017.07.1972