董崇杰，陳俞強(qiáng)

(東莞職業(yè)技術(shù)學(xué)院 計(jì)算機(jī)工程系，廣東 東莞 523808) (*通信作者電子郵箱dchj2008@163.com)

相依網(wǎng)絡(luò)中負(fù)載全局分配的級(jí)聯(lián)故障模型

董崇杰*，陳俞強(qiáng)

(東莞職業(yè)技術(shù)學(xué)院 計(jì)算機(jī)工程系，廣東 東莞 523808) (*通信作者電子郵箱dchj2008@163.com)

針對(duì)目前不同網(wǎng)絡(luò)耦合成相依網(wǎng)絡(luò)的研究不考慮相依邊和負(fù)載的共同影響，提出一種同時(shí)考慮相依邊和負(fù)載的相依網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)故障模型。在級(jí)聯(lián)故障中區(qū)分連接邊和相依邊對(duì)相依網(wǎng)絡(luò)的不同作用，負(fù)載分配采用基于最短路徑長(zhǎng)度的可變負(fù)載全局分配原則，正常節(jié)點(diǎn)分配到的額外負(fù)載與距離故障節(jié)點(diǎn)的距離成反比關(guān)系，相依網(wǎng)絡(luò)的子網(wǎng)選用IEEE118標(biāo)準(zhǔn)電網(wǎng)、小世界網(wǎng)絡(luò)和隨機(jī)圖網(wǎng)絡(luò)。相依網(wǎng)絡(luò)的仿真結(jié)果表明，負(fù)載全局分配效應(yīng)越小，網(wǎng)絡(luò)抵制故障能力越強(qiáng)，負(fù)載故障對(duì)級(jí)聯(lián)故障的貢獻(xiàn)程度越小，不同耦合網(wǎng)絡(luò)在特定的容忍系數(shù)下取得不同的平均故障迭代步數(shù)峰值；而負(fù)載全局分配效應(yīng)較大時(shí)，網(wǎng)絡(luò)崩潰或近似崩潰，平均故障迭代步數(shù)與容忍系數(shù)呈現(xiàn)近似單調(diào)遞增關(guān)系。

相依網(wǎng)絡(luò)；級(jí)聯(lián)故障；負(fù)載全局分配；小世界網(wǎng)絡(luò)；隨機(jī)圖

0 引言

現(xiàn)實(shí)中孤立、單一網(wǎng)絡(luò)是不存在的，不同網(wǎng)絡(luò)之間存在千絲萬縷的聯(lián)系，最終形成相依網(wǎng)絡(luò)。最近幾年以來，對(duì)相依網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和功能的研究取得重大成果，各種模型和理論被提出以更好地解釋復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[1-2]。

文獻(xiàn)[3]第一次對(duì)相依網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)故障進(jìn)行了研究，得出相依網(wǎng)絡(luò)移除節(jié)點(diǎn)時(shí)，其滲流過程表現(xiàn)為一階形式，而單一網(wǎng)絡(luò)移除節(jié)點(diǎn)時(shí)的滲流過程表現(xiàn)為二階形式；文獻(xiàn)[4]采用一種新的相依網(wǎng)絡(luò)的邊權(quán)重定義方式，提出相依網(wǎng)絡(luò)的相依邊的故障滲流模型，有效解決了相依網(wǎng)絡(luò)的連邊在目的攻擊下的級(jí)聯(lián)故障問題；文獻(xiàn)[5]通過定義結(jié)構(gòu)信息和攻擊信息，提出信息缺失條件下的相依網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)故障模型，據(jù)此得出不同情況下的滲流閾值，發(fā)現(xiàn)相依網(wǎng)絡(luò)遠(yuǎn)遠(yuǎn)比單一網(wǎng)絡(luò)脆弱；文獻(xiàn)[6]對(duì)新英格蘭電網(wǎng)和WS(Watts-Strogatz)小世界網(wǎng)絡(luò)模擬負(fù)載重分布情況下的級(jí)聯(lián)故障過程，發(fā)現(xiàn)高聚類特性和小世界性質(zhì)導(dǎo)致故障發(fā)生的“局部性”，且在高冗余網(wǎng)絡(luò)中故障局部性現(xiàn)象更顯著；文獻(xiàn)[7]構(gòu)建雙層指揮控制相依網(wǎng)絡(luò)模型，通過對(duì)小世界網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的故障攻擊模擬，發(fā)現(xiàn)相依網(wǎng)絡(luò)在受到惡意攻擊時(shí)尤其脆弱，各層子網(wǎng)絡(luò)的平均度越大，相依網(wǎng)絡(luò)抵制故障能力越強(qiáng)；文獻(xiàn)[8]對(duì)相依網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行回顧，并以經(jīng)濟(jì)網(wǎng)絡(luò)為例解釋故障如何對(duì)相依網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生作用；文獻(xiàn)[9]提出一種基于鄰居節(jié)點(diǎn)的負(fù)載分配方法和故障主動(dòng)恢復(fù)模型，表明網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)降低級(jí)聯(lián)故障規(guī)模極其重要；文獻(xiàn)[10]和[11]分別提出二維方格網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)故障模型和不同耦合方式、強(qiáng)度的相依網(wǎng)絡(luò)模型，表明相依網(wǎng)絡(luò)較單一網(wǎng)絡(luò)脆弱和不同參數(shù)對(duì)相依網(wǎng)絡(luò)的不同影響。

上述研究成果相當(dāng)豐富，但對(duì)相依網(wǎng)絡(luò)的故障研究集中于以下2個(gè)不同方面：1)不考慮負(fù)載對(duì)級(jí)聯(lián)故障的影響，僅考慮相依邊的作用；2)不考慮相依邊的作用，直接將各個(gè)子網(wǎng)耦合成的相依網(wǎng)絡(luò)視作一個(gè)整體考慮負(fù)載的作用，負(fù)載分配采用局部分配原則?；诖?，本文同時(shí)考慮相依邊和負(fù)載對(duì)相依網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)故障的影響：初始子網(wǎng)內(nèi)考慮負(fù)載的作用，負(fù)載采用全局分配原則，而子網(wǎng)之間考慮相依邊的作用，進(jìn)而對(duì)不同耦合網(wǎng)絡(luò)模擬和分析。

1 相依網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)故障

1.1 相依網(wǎng)絡(luò)

網(wǎng)絡(luò)與網(wǎng)絡(luò)之間的耦合非常普遍，比如生活中的電力網(wǎng)絡(luò)和通信網(wǎng)絡(luò)之間的耦合，電力網(wǎng)絡(luò)的正常運(yùn)行需要通信網(wǎng)絡(luò)的控制信息進(jìn)行調(diào)控，而通信網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行又需要電力網(wǎng)絡(luò)的供電，2個(gè)網(wǎng)絡(luò)彼此依賴。

構(gòu)成相依網(wǎng)絡(luò)的各個(gè)網(wǎng)絡(luò)稱為“子網(wǎng)”，子網(wǎng)間不同的耦合方式對(duì)相依網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有不同影響。假設(shè)有2個(gè)子網(wǎng)，分別記作A和B(B為A的副本)，一般有3種不同的連邊耦合方式：同配耦合、異配耦合和隨機(jī)耦合。同配耦合指子網(wǎng)A中大度節(jié)點(diǎn)與子網(wǎng)B中大度節(jié)點(diǎn)連邊，子網(wǎng)A中小度節(jié)點(diǎn)與子網(wǎng)B中小度節(jié)點(diǎn)連邊。異配耦合指子網(wǎng)A中大度節(jié)點(diǎn)與子網(wǎng)B中小度節(jié)點(diǎn)連邊。隨機(jī)耦合指子網(wǎng)A中一節(jié)點(diǎn)隨機(jī)選擇子網(wǎng)B中一節(jié)點(diǎn)連邊。子網(wǎng)內(nèi)部的邊稱為“連接邊”，而子網(wǎng)之間的邊稱為“相依邊”。圖1中的相依網(wǎng)絡(luò)由子網(wǎng)A和子網(wǎng)B隨機(jī)耦合而成，實(shí)線代表連接邊，虛線代表相依邊。

圖1 隨機(jī)耦合的相依網(wǎng)絡(luò)

1.2 級(jí)聯(lián)故障

實(shí)際社會(huì)中大部分網(wǎng)絡(luò)均存在負(fù)載效應(yīng)，而相依網(wǎng)絡(luò)各個(gè)子網(wǎng)之間又存在依賴關(guān)系，本文同時(shí)考慮相依邊和負(fù)載對(duì)相依網(wǎng)絡(luò)的共同影響。首先假定子網(wǎng)A中某一節(jié)點(diǎn)i發(fā)生故障，則：1)子網(wǎng)A內(nèi)其他節(jié)點(diǎn)j會(huì)因?yàn)楣?jié)點(diǎn)i負(fù)載重分配發(fā)生過載而故障，2)子網(wǎng)B中與節(jié)點(diǎn)i連接的節(jié)點(diǎn)k會(huì)因?yàn)橄嘁肋叺淖饔枚收?，即發(fā)生在子網(wǎng)內(nèi)部的故障和發(fā)生在子網(wǎng)之間的故障。

方便起見，將初始故障節(jié)點(diǎn)所在的子網(wǎng)稱為“初始子網(wǎng)”，初始子網(wǎng)內(nèi)部的故障過程稱為“負(fù)載故障”，相應(yīng)的故障節(jié)點(diǎn)稱為“負(fù)載故障節(jié)點(diǎn)”；子網(wǎng)之間的故障過程稱為“相依故障”，相應(yīng)的故障節(jié)點(diǎn)稱為“相依故障節(jié)點(diǎn)”。

以圖2為例說明相依網(wǎng)絡(luò)中級(jí)聯(lián)故障如何發(fā)生，選定子網(wǎng)A是初始子網(wǎng)，節(jié)點(diǎn)a2是初始故障節(jié)點(diǎn)(黑色圓圈代表故障節(jié)點(diǎn)，其他顏色圓圈代表非故障節(jié)點(diǎn))。

步驟1 初始子網(wǎng)A中節(jié)點(diǎn)a2發(fā)生初始故障，連邊〈a2,a1〉、〈a2,b2〉、〈a2,a3〉斷開。

步驟2

a)步驟1中節(jié)點(diǎn)a2發(fā)生負(fù)載全局分配導(dǎo)致初始子網(wǎng)A中節(jié)點(diǎn)a3過載發(fā)生“負(fù)載故障”，連邊〈a3,b3〉、〈a3,a4〉、〈a3,a5〉斷開。

b)與節(jié)點(diǎn)a2存在相依邊的子網(wǎng)B中節(jié)點(diǎn)b2由于失去依賴節(jié)點(diǎn)發(fā)生“相依故障”，連邊〈b2,b1〉、〈b2,b3〉、〈b2,b5〉斷開。

步驟3 步驟2中a)中〈a3,b3〉斷開導(dǎo)致子網(wǎng)B中節(jié)點(diǎn)b3發(fā)生“相依故障”，連邊〈b3,b4〉斷開。步驟2中b)連邊〈b2,b1〉斷開導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)b1成為子網(wǎng)B中孤立節(jié)點(diǎn)而故障，連邊〈b1,a1〉斷開。

步驟4 步驟3中連邊〈b1,a1〉斷開導(dǎo)致子網(wǎng)A中節(jié)點(diǎn)a1發(fā)生“相依故障”，進(jìn)一步連邊〈a1,a5〉斷開。節(jié)點(diǎn)a1發(fā)生負(fù)載全局分配，但沒有節(jié)點(diǎn)過載，相依網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)故障停止。

級(jí)聯(lián)故障停止后，存在3類不同的故障節(jié)點(diǎn)：初始子網(wǎng)中的負(fù)載故障節(jié)點(diǎn)(比如a2 → a3)、不同子網(wǎng)間的相依故障節(jié)點(diǎn)(比如a2 → b2、b1 → a1、a3 → b3)、孤立的單個(gè)故障節(jié)點(diǎn)(比如b2 → b1)。

圖2 相依網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)故障

1.2.1 相依故障

初始子網(wǎng)A中節(jié)點(diǎn)i故障，移除子網(wǎng)B中與節(jié)點(diǎn)i存在“相依邊”的節(jié)點(diǎn)k；移除子網(wǎng)B中與節(jié)點(diǎn)k存在“連接邊”的其他節(jié)點(diǎn)h；移除子網(wǎng)A中與節(jié)點(diǎn)h存在“相依邊”的節(jié)點(diǎn)i′,不斷重復(fù)上述過程直至沒有節(jié)點(diǎn)故障?？傮w思路如下：子網(wǎng)A中某一節(jié)點(diǎn)故障會(huì)導(dǎo)致子網(wǎng)B中節(jié)點(diǎn)失去相依邊而故障，而子網(wǎng)B中的節(jié)點(diǎn)故障后，亦會(huì)導(dǎo)致子網(wǎng)A中其他節(jié)點(diǎn)失去相依邊而故障，不斷迭代。

1.2.2 負(fù)載故障

初始子網(wǎng)內(nèi)某一節(jié)點(diǎn)故障，故障節(jié)點(diǎn)的負(fù)載依據(jù)全局分配原則，分配給初始子網(wǎng)中的其他節(jié)點(diǎn)，導(dǎo)致初始子網(wǎng)內(nèi)的其他節(jié)點(diǎn)過載而故障。

在Internet等網(wǎng)絡(luò)中，如果一個(gè)節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障，經(jīng)過該節(jié)點(diǎn)的信息會(huì)路由選擇新的線路，該節(jié)點(diǎn)周圍的其他節(jié)點(diǎn)會(huì)被分配到多余信息(即負(fù)載)。假定節(jié)點(diǎn)u為故障節(jié)點(diǎn)，新定義負(fù)載全局分配原則如下：

ΔLj=e-wdu,jLu

(1)

其中：du,j代表故障節(jié)點(diǎn)u和j的最短路徑長(zhǎng)度；w用以調(diào)節(jié)分配負(fù)載的分布，w越小，全局分配效應(yīng)越強(qiáng)。du,j越大，ΔLj越小，即距離故障節(jié)點(diǎn)越遠(yuǎn)，節(jié)點(diǎn)分配到的多余負(fù)載越小。圖3是負(fù)載全局分配示意圖。

圖3中：節(jié)點(diǎn)u是初始故障節(jié)點(diǎn)；節(jié)點(diǎn)m、n距離u比較近，分配的負(fù)載較多；而i和j距離u比較遠(yuǎn)，分配的負(fù)載較少。黑色實(shí)線說明負(fù)載分配給鄰居節(jié)點(diǎn)，黑色虛線說明負(fù)載分配給非鄰居節(jié)點(diǎn)。

負(fù)載故障的完整過程如下。

a)定義網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)u的初始負(fù)載Lu和容量Cu：

Lu=Bu

(2)

其中Bu為節(jié)點(diǎn)u的介數(shù)中心性[12]，介數(shù)中心性刻畫經(jīng)過某一節(jié)點(diǎn)的最短路徑多少。

Cu=(1+t)Lu

(3)

其中t代表容忍系數(shù)[13]，用來調(diào)節(jié)節(jié)點(diǎn)的容量大小。t越大節(jié)點(diǎn)容量越大，節(jié)點(diǎn)越不容易故障，網(wǎng)絡(luò)越冗余，抵制故障的成本也就越大。當(dāng)t小于某一值tc時(shí)網(wǎng)絡(luò)處于崩潰狀態(tài)，t大于tc時(shí)網(wǎng)絡(luò)脫離崩潰逐步趨向完整狀態(tài)，該值稱為閾值tc。tc越小說明網(wǎng)絡(luò)抵制故障能力越強(qiáng)，抵制成本越低。

b)故障節(jié)點(diǎn)發(fā)生后按式(1)進(jìn)行負(fù)載全局分配，將負(fù)載分配給其他節(jié)點(diǎn)j，若

Lj+ΔLj>Cj

(4)

則表明節(jié)點(diǎn)j過載而故障。

c)對(duì)所有故障節(jié)點(diǎn)重復(fù)步驟b)，直至子網(wǎng)內(nèi)的所有節(jié)點(diǎn)均不過載。

圖3 負(fù)載全局分配示例

2 網(wǎng)絡(luò)模型和數(shù)據(jù)集

2.1 小世界網(wǎng)絡(luò)模型和隨機(jī)圖模型

1)在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)各種模型中，影響較大的是由Watts等[14]提出的WS(Watts-Strogatz)小世界網(wǎng)絡(luò)模型。WS小世界網(wǎng)絡(luò)模型刻畫的現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)有較小的平均路徑長(zhǎng)度和較大的平均聚類系數(shù)。構(gòu)造過程如下：

步驟1 初始化含有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的環(huán)形規(guī)則最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)與左右各k/2個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)相連。

步驟2 對(duì)步驟1中網(wǎng)絡(luò)的每個(gè)條邊，保持連邊一端不變，另一端以隨機(jī)概率p選擇網(wǎng)絡(luò)的其他節(jié)點(diǎn)。

其中，構(gòu)造過程中，k必須為偶數(shù)，連邊隨機(jī)重連時(shí)不能有重邊和自連。

2)隨機(jī)圖理論由Erdos和Renyi所建立，簡(jiǎn)稱ER隨機(jī)圖。雖然ER隨機(jī)圖在某些方面不能很好刻畫實(shí)際網(wǎng)絡(luò)，但某種程度上卻是實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中小世界現(xiàn)象產(chǎn)生的基本機(jī)制。構(gòu)造過程如下：

步驟1 初始化含有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)；

步驟2 對(duì)步驟1中的網(wǎng)絡(luò)選擇沒有連邊的節(jié)點(diǎn)對(duì)進(jìn)行加邊；

步驟3 重復(fù)步驟2直至網(wǎng)絡(luò)中的邊數(shù)達(dá)到指定值m。

在本文中：采用WS小世界網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建WS網(wǎng)絡(luò)時(shí)，參數(shù)n=500，k=4，p=0.02；采用ER隨機(jī)圖模型構(gòu)建ER網(wǎng)絡(luò)時(shí)，參數(shù)n=500，m=1 500。

2.2 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湫再|(zhì)

依據(jù)2.1節(jié)描述，創(chuàng)建相依網(wǎng)絡(luò)所需的子網(wǎng)：小世界網(wǎng)絡(luò)WS和隨機(jī)圖ER。IEEE118電網(wǎng)是標(biāo)準(zhǔn)電力系統(tǒng)拓?fù)洌嘧鳛橄嘁谰W(wǎng)絡(luò)所需的子網(wǎng)之一。表1是單一子網(wǎng)的拓?fù)湫再|(zhì)。其中，N代表節(jié)點(diǎn)總數(shù)，M代表邊總數(shù)，〈k〉代表平均度，D代表網(wǎng)絡(luò)直徑，C代表網(wǎng)絡(luò)平均聚類系數(shù)，d代表網(wǎng)絡(luò)平均路徑長(zhǎng)度。

表1 單一網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)

采用隨機(jī)耦合方式，分別將IEEE118電網(wǎng)、WS網(wǎng)絡(luò)和ER網(wǎng)絡(luò)作為子網(wǎng)絡(luò)，形成IEEE118耦合網(wǎng)絡(luò)、WS耦合網(wǎng)絡(luò)和ER耦合網(wǎng)絡(luò)，在不引起歧義的前提下，表中和下文仍簡(jiǎn)稱為IEEE118、WS和ER)。表2是相依網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)。

表2 相依網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)

由表2可知，3個(gè)耦合網(wǎng)絡(luò)的平均度、網(wǎng)絡(luò)直徑和平均路徑長(zhǎng)度均較小，WS耦合網(wǎng)絡(luò)的平均聚類系數(shù)較大。相對(duì)表1而言，相依網(wǎng)絡(luò)的平均度增大，而其他中心性指標(biāo)普遍下降(ER耦合網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度例外，小幅增大)。平均度增大是由于耦合操作增加了節(jié)點(diǎn)的連邊，而其他中心性指標(biāo)下降是由于隨機(jī)耦合方式致使節(jié)點(diǎn)之間的三角關(guān)系被弱化。

3 不同指標(biāo)的結(jié)果分析

本文采用python建模，數(shù)值模擬相依網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)故障，實(shí)驗(yàn)結(jié)果均為全部節(jié)點(diǎn)的結(jié)果均值。采用4種指標(biāo)度量級(jí)聯(lián)故障結(jié)果：“平均剩余節(jié)點(diǎn)比例”刻畫級(jí)聯(lián)故障對(duì)網(wǎng)絡(luò)的破壞程度，“平均負(fù)載故障節(jié)點(diǎn)比例”刻畫負(fù)載故障對(duì)級(jí)聯(lián)故障的貢獻(xiàn)程度，“平均故障迭代步數(shù)”刻畫級(jí)聯(lián)故障對(duì)網(wǎng)絡(luò)的持續(xù)影響力和故障過程的快慢，“第一次迭代中平均最近最短路徑長(zhǎng)度”刻畫初始故障中后續(xù)故障節(jié)點(diǎn)的分布情況。

3.1 平均剩余節(jié)點(diǎn)比例

級(jí)聯(lián)故障終止后，網(wǎng)絡(luò)剩余的正常節(jié)點(diǎn)數(shù)目與總節(jié)點(diǎn)數(shù)目的比例用以刻畫網(wǎng)絡(luò)抵制故障的能力，同等容忍系數(shù)t下，比例越大抵制能力越強(qiáng)，比例越小抵制能力越弱。圖4是網(wǎng)絡(luò)的平均剩余節(jié)點(diǎn)比例。

分析不同w曲線總體趨勢(shì)，發(fā)現(xiàn)不同的w值對(duì)應(yīng)不同的閾值tc。w越大，tc值越小，負(fù)載全局分配對(duì)網(wǎng)絡(luò)破壞越小，網(wǎng)絡(luò)脫離崩潰狀態(tài)(縱坐標(biāo)≈0)所需要成本越小，網(wǎng)絡(luò)抵制故障能力越強(qiáng)。當(dāng)w≤0.01時(shí)，3個(gè)相依網(wǎng)絡(luò)的平均故障節(jié)點(diǎn)比例≈0，說明負(fù)載全局分配效應(yīng)非常顯著時(shí)，網(wǎng)絡(luò)抵制故障能力趨于零。w=0.1，t=1.0時(shí)，IEEE118耦合網(wǎng)絡(luò)保持30%的完整率，WS耦合網(wǎng)絡(luò)保持9%的完整率，ER耦合網(wǎng)絡(luò)保持3%的完整率。w越大，w對(duì)應(yīng)tc越小，網(wǎng)絡(luò)抵制故障能力越強(qiáng)。IEEE118耦合網(wǎng)絡(luò)相比其他耦合網(wǎng)絡(luò)，w曲線更靠近左側(cè)，在同一w下有更小的tc，說明IEEE118耦合網(wǎng)絡(luò)在負(fù)載全局分配下有更強(qiáng)的級(jí)聯(lián)故障抵制能力。

圖4 平均剩余節(jié)點(diǎn)比例

3.2 平均負(fù)載故障節(jié)點(diǎn)比例

負(fù)載故障節(jié)點(diǎn)比例刻畫負(fù)載故障對(duì)級(jí)聯(lián)故障的貢獻(xiàn)程度，對(duì)應(yīng)也可知道相依故障對(duì)級(jí)聯(lián)故障的貢獻(xiàn)程度，結(jié)果如圖5所示。

由于負(fù)載故障節(jié)點(diǎn)只存在于初始子網(wǎng)中，初始子網(wǎng)節(jié)點(diǎn)數(shù)目是整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的一半，所以平均負(fù)載故障節(jié)點(diǎn)比例最大為0.5。總體趨勢(shì)：t越大，負(fù)載故障節(jié)點(diǎn)比例逐漸下降，說明網(wǎng)絡(luò)冗余既可以增強(qiáng)相依網(wǎng)絡(luò)抵制故障能力，又可以降低負(fù)載故障對(duì)級(jí)聯(lián)故障的貢獻(xiàn)程度。在同一t值下，w越大，負(fù)載全局分配效應(yīng)越小，平均負(fù)載故障節(jié)點(diǎn)比例越小，負(fù)載故障對(duì)級(jí)聯(lián)故障的貢獻(xiàn)越小。

3.3 平均故障迭代步數(shù)

圖6是平均故障迭代步數(shù)。顯然：在負(fù)載全局分配效應(yīng)較小(w較大)時(shí)，不同的w對(duì)應(yīng)的平均故障迭代步數(shù)隨著容忍系數(shù)t的增大，先上升達(dá)到峰值再下降；而負(fù)載全局分配效應(yīng)較大(w較小)時(shí)，平均故障迭代步數(shù)與容忍系數(shù)t呈現(xiàn)單調(diào)遞增關(guān)系。

3.4 第一次迭代中平均最近最短路徑長(zhǎng)度

進(jìn)一步分析初始故障節(jié)點(diǎn)負(fù)載重分配后，最初瞬間距離初始故障節(jié)點(diǎn)最近距離的過載節(jié)點(diǎn)的相關(guān)性質(zhì)。

假設(shè)初始故障節(jié)點(diǎn)i，定義f(n)為第n個(gè)迭代步中過載節(jié)點(diǎn)集合，|f(n)|代表過載節(jié)點(diǎn)集合中節(jié)點(diǎn)數(shù)目，k∈f(n)。由于在n≥2時(shí)，不同迭代步之間存在多個(gè)故障觸發(fā)源，不便于分析，這里取n=1，則

(5)

表達(dá)為第一次故障迭代步中過載節(jié)點(diǎn)的最近最短路徑長(zhǎng)度。圖7是第一次迭代步中過載節(jié)點(diǎn)距離初始故障節(jié)點(diǎn)的平均最近最短路徑長(zhǎng)度。

圖5 平均負(fù)載故障節(jié)點(diǎn)比例

圖6 平均故障迭代步數(shù)

從圖7可知，總體趨勢(shì)而言：隨著t越大，網(wǎng)絡(luò)越冗余，過載節(jié)點(diǎn)距離初始故障節(jié)點(diǎn)越近。當(dāng)w較小，即負(fù)載全局分配效應(yīng)較明顯時(shí)，過載節(jié)點(diǎn)與初始故障節(jié)點(diǎn)較遠(yuǎn)；而w較大時(shí)，即全局負(fù)載分配策略較弱時(shí)，過載節(jié)點(diǎn)靠近在初始故障節(jié)點(diǎn)附近。

圖7 第一次迭代中平均最近最短路徑長(zhǎng)度

4 結(jié)語

不同子網(wǎng)耦合而成的相依網(wǎng)絡(luò)廣泛存在于各種系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)中，其故障表現(xiàn)形式與孤立網(wǎng)絡(luò)不盡相同。文中在相依網(wǎng)絡(luò)的初始子網(wǎng)內(nèi)部考慮負(fù)載對(duì)節(jié)點(diǎn)的影響，節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配原則定義為最短路徑長(zhǎng)度的指數(shù)形式，子網(wǎng)之間考慮相依邊對(duì)節(jié)點(diǎn)的影響。通過對(duì)IEEE118耦合網(wǎng)絡(luò)、WS耦合網(wǎng)絡(luò)和ER耦合網(wǎng)絡(luò)仿真，對(duì)現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)有以下幾點(diǎn)指導(dǎo)意義：1)不同w值下相依網(wǎng)絡(luò)的故障結(jié)果差異較大且區(qū)分顯著，提高相依網(wǎng)絡(luò)的魯棒性需要降低負(fù)載的全局效應(yīng)程度；2)“平均剩余節(jié)點(diǎn)比例”等指標(biāo)表明WS網(wǎng)絡(luò)和ER網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建的相依網(wǎng)絡(luò)的魯棒性較弱，應(yīng)該采用無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)(IEEE118已被驗(yàn)證屬于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)[15-16]，其對(duì)應(yīng)的度分布滿足冪律分布)作為子網(wǎng)構(gòu)建相依網(wǎng)絡(luò)；3)當(dāng)負(fù)載的全局效應(yīng)在一定范圍內(nèi)時(shí)(w≥0.5)，后續(xù)的其他故障節(jié)點(diǎn)更傾向于發(fā)生在初始故障節(jié)點(diǎn)附近，便于有針對(duì)性地預(yù)防和修復(fù)節(jié)點(diǎn)故障。

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This work is partially supported by the National Natural Science Foundation of China (61106019), Guangdong Province Higher Education Outstanding Young Teachers Training Program (YQ2015232), Dongguan Science and Technology Social Development Project (2013108101045, 2013108101046).

DONGChongjie, born in 1982, M. S., associate professor. His research interests include network software development, database technology.

CHENGYuqiang, born in 1980, Ph. D., professor. His research interests include network technology, artificial intelligence.

Cascadingfailuremodelininterdependentnetworkconsideringglobaldistributionofloads

DONG Chongjie*, CHEN Yuqiang

(DepartmentofComputerEngineering,DongguanPolytechnic,DongguanGuangdong523808,China)

Concerning the interdependent network coupled by different networks, a new model for cascading failures was proposed which considered the combined effects of traffic load and interdependent edge. In the new model, the roles of interdependent edge and connected edge in interdependent networks were considered separately, variant-load global distribution principle based on the shortest path length was adopted in load allocation; the additional load assigned by the normal node was inversely proportional to the distance from the failed node. Finally, cascading failures of the interdependent network coupled by the IEEE118 standard grid network, small world network and random network were simulated. The simulation results show that the effect of global distribution of load is smaller, the failures resistance ability is stronger, the contribution of the traffic load of cascading failures is smaller and IEEE118 coupling network and the small-world coupling network have bigger failures steps when tolerance coefficient is smaller. Meanwhile, the network is unable to maintain the integrity, tolerance coefficient and failures steps appear approximately monotonically increasing relationship when the effect of global distribution of load is bigger.

interdependent network; cascading failure; global distribution of load; small-world network; random graph

TP393.07

:A

2017- 01- 15;

:2017- 03- 10。

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61106019)；廣東省高等學(xué)校優(yōu)秀青年教師培養(yǎng)計(jì)劃項(xiàng)目(YQ2015232)；東莞市社會(huì)科技發(fā)展項(xiàng)目(2013108101045, 2013108101046)。

董崇杰(1982—)，男，山東菏澤人，副教授，碩士，主要研究方向：網(wǎng)絡(luò)軟件開發(fā)、數(shù)據(jù)庫技術(shù)； 陳俞強(qiáng)(1980—)，男，廣東茂名人，教授，博士，主要研究方向：網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、人工智能。

1001- 9081(2017)07- 1861- 05

10.11772/j.issn.1001- 9081.2017.07.1861