鞠桂玲， 羅俊芝， 要俊杰， 顧 娟, 劉興華

(1. 裝甲兵工程學(xué)院基礎(chǔ)部， 北京 100072； 2. 中部戰(zhàn)區(qū)，北京 100144)

基于反推法的非完整系統(tǒng)反饋控制問題研究

鞠桂玲1， 羅俊芝1， 要俊杰1， 顧 娟1, 劉興華2

(1. 裝甲兵工程學(xué)院基礎(chǔ)部， 北京100072；2. 中部戰(zhàn)區(qū)，北京100144)

針對一類具有不確定項(xiàng)非完整系統(tǒng)的反饋控制問題，結(jié)合滑模變結(jié)構(gòu)控制和反推法，研究了其反饋控制器的設(shè)計(jì)問題。首先采用狀態(tài)-狀態(tài)轉(zhuǎn)換技術(shù)對系統(tǒng)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使系統(tǒng)滿足三角結(jié)構(gòu)，然后運(yùn)用反推法設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的反饋控制器，最后通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的反饋控制器的有效性。

狀態(tài)-狀態(tài)轉(zhuǎn)換； 滑模變結(jié)構(gòu)控制； 反推法； 不確定項(xiàng)

現(xiàn)實(shí)中一些力學(xué)(機(jī)械)系統(tǒng)都可歸結(jié)為非完整系統(tǒng)，如機(jī)器人、車載倒立擺、水下船舶及飛機(jī)起落架等一些帶輪子的力學(xué)系統(tǒng)等。近年來，這一系統(tǒng)的研究得到了國內(nèi)外研究者的廣泛關(guān)注[1-9]，如：JIANG等[7]利用滑模變結(jié)構(gòu)控制方法研究了一類非完整系統(tǒng)；王剛等[8]利用反推法研究了一類具有不確定項(xiàng)的非完整系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定問題；MURRAY 等[9]研究了幾類力學(xué)系統(tǒng)的反饋控制問題，但研究的系統(tǒng)較為理想化，未考慮實(shí)際力學(xué)系統(tǒng)中的不確定性因素(如系統(tǒng)中存在的未知結(jié)構(gòu)參數(shù)、外界存在的干擾以及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中存在的不確定性等)。因此，筆者以文獻(xiàn)[9]的模型為基礎(chǔ)，綜合考慮系統(tǒng)中存在的不確定性因素，并運(yùn)用文獻(xiàn)[7-8]中的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法與反推法，對一類具有不確定項(xiàng)的非完整系統(tǒng)的反饋控制問題進(jìn)行研究。

1 問題提出

考慮如下具有不確定項(xiàng)的非完整系統(tǒng)

(1)

假設(shè)1：對于任意的1≤i≤n-1，存在已知的非負(fù)函數(shù)ψi(t,x0,x1,…,xi,u0)，使得

(2)

成立。其中c0為正常數(shù)。

假設(shè)1表明:原點(diǎn)為系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)。實(shí)際系統(tǒng)中很多的不確定因素滿足該假設(shè)[4,7]。

2 反饋控制器設(shè)計(jì)

控制器設(shè)計(jì)過程中用到如下2個(gè)引理：

引理1[3]: 對于向量a,b，存在常數(shù)c，使得不等式

成立。

引理2[2]:對于任意的連續(xù)函數(shù)ψ(x1,x2,…,xn)，存在連續(xù)函數(shù)ψi(x1,x2,…,xn)(1≤i≤n)，使得等式

ψ(x1,x2,…,xn)=ψ(0,0,…,0)+

成立。

2.1反饋控制器u0的設(shè)計(jì)

為使系統(tǒng)(1)滿足三角結(jié)構(gòu)，對于(x0,v0)-子系統(tǒng)，采用滑模變結(jié)構(gòu)控制方法。

取滑模面

S=v0+k0x0,k0>0。

(3)

S的導(dǎo)數(shù)滿足

選取反饋控制器

(4)

根據(jù)式(2)、(4)，可得

(5)

由式(5)可知：在式(4)的反饋控制器作用下，經(jīng)過有限時(shí)間t，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)可到達(dá)滑模面S=0，且沿該滑模面到達(dá)原點(diǎn)，此時(shí)v0=-k0x0，且在該滑模面上有x0(t)≠0。

2.2反饋控制器u的設(shè)計(jì)

2.2.1 系統(tǒng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

當(dāng)初值x0(t0)≠0時(shí)，引入坐標(biāo)-坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

(6)

根據(jù)式(5)，式(1)中的x-子系統(tǒng)可轉(zhuǎn)化為

(7)

(8)

2.2.2 反饋控制器u的設(shè)計(jì)步驟

采用反推法對控制器u進(jìn)行設(shè)計(jì)，其步驟如下：

取虛擬控制函數(shù)

(9)

步驟i：假設(shè)在步驟i-1中，存在虛擬控制律αi-1和新變量ξi-1，使得

(10)

成立。式中：kj為待定的正常數(shù)。

ξi+1=yi+1-αi(x0,y1,…,yi)，

(11)

根據(jù)式(8)、(10)，并對Vi求導(dǎo)，可得

k0ξi(ξi+1+αi)+Δi,

(12)

式中：

(13)

根據(jù)式(8)、引理1和引理2，存在光滑非負(fù)函數(shù)ωi(x0,y1,…,yi)，使得不等式

(14)

成立。由式(12)、(14)，可得

k0ξi(ξi+1+αi)+ξi2ωi(·)，

(15)

選取虛擬控制函數(shù)

(16)

則有

(17)

式中：ki為待定的正常數(shù)。

(18)

式中：

Δn-1=ξn-1[-k0ξn-2+φ1(·)-

(19)

由完全平方公式可知：存在光滑非負(fù)函數(shù)ωn-1(x0,y1,…,yn-1)，使得

(20)

成立。選取反饋控制器

u=-kn-1ξn-1-ωn-1(·)ξn-1，

(21)

式中：kn-1為待定的正常數(shù)。

將式(21)代入式(18)，可得

(22)

2.3穩(wěn)定性定理

通過上述的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法和反推法，可以得到如下定理。

定理： 對于假設(shè)1，將設(shè)計(jì)的反饋控制器(4)、(21)應(yīng)用于系統(tǒng)(1)，并通過選取合適的設(shè)計(jì)參數(shù)，可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)是全局漸近穩(wěn)定的。

3 仿真實(shí)例

考慮下列非完整系統(tǒng)

(23)

所研究的一般系統(tǒng)中的不確定項(xiàng)依次取下列函數(shù)φ0(·)=x0,φ00(·)=x02v0,φ1(·)=x02x1,φ2(·)=x2,并取初值x0(0)=1,x1(0)=0,x2(0)=1。

通過上述的反推法可得

(24)

圖1 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)曲線

圖2 閉環(huán)系統(tǒng)的控制輸入曲線

閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)曲線和控制輸入曲線分別如圖1、2所示?？梢钥闯觯洪]環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)曲線和控制輸入曲線均以較快的速度趨向于0。仿真實(shí)例驗(yàn)證了本文結(jié)合滑模變結(jié)構(gòu)控制方法與反推法所設(shè)計(jì)的反饋控制器對這類具有不確定性的非完整系統(tǒng)的有效性。

4 結(jié)論

針對一類非完整系統(tǒng)，在考慮系統(tǒng)具有的不確定因素的基礎(chǔ)上，綜合運(yùn)用滑模變結(jié)構(gòu)控制和反推法，設(shè)計(jì)了其反饋控制器，該控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)是全局漸近穩(wěn)定的，仿真實(shí)例驗(yàn)證了筆者所提方法的有效性。所建模型能更好地反映系統(tǒng)的真實(shí)情況，屬于非完整系統(tǒng)的一個(gè)新的研究方向，但僅對系統(tǒng)中存在的不確定性進(jìn)行了研究，對于系統(tǒng)中存在時(shí)滯的情況，還有待于開展進(jìn)一步研究。

[1] 胡終須，胡躍明，毛宗源.非完整移動(dòng)機(jī)器人的分段反饋穩(wěn)定控制[J]．控制理論與應(yīng)用，2000，17(3)：358-362．

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(責(zé)任編輯: 尚菲菲)

ResearchonFeedbackControlforNonholonomicSystemsBasedonBacksteppingTechnique

JU Gui-ling1， LUO Jun-zhi1， YAO Jun-jie1， GU Juan1，LU Xing-hua2

(1. Department of Fundamental Courses, Academy of Armored Force Engineering, Beijing100072, China;2. Central Theater Command of PLA, Beijing100144, China)

This paper deals with the feedback control for the nonholonomic systems with uncertainties. In order to make the systems satisfy a triangularity condition, the state-state scaling is used. The sliding mode variable structure control and backstepping approach are used to design the feedback controller. The simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed controller.

state-state transition; sliding variable structure control; backstepping; uncertainties

1672-1497(2017)04-0121-04

2017-03-13

鞠桂玲(1981-)，女，講師，碩士。

O231.2

：ADOI：10.3969/j.issn.1672-1497.2017.04.023