王樂洋，許光煜，溫貴森

1. 東華理工大學測繪工程學院，江西 南昌 330013； 2. 流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測國家測繪地理信息局重點實驗室，江西 南昌 330013； 3. 江西省數字國土重點實驗室，江西 南昌 330013； 4. 武漢大學測繪學院，湖北 武漢 430079

一種相關觀測的Partial EIV模型求解方法

王樂洋1,2,3，許光煜1,4，溫貴森1,2

1. 東華理工大學測繪工程學院，江西 南昌 330013； 2. 流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測國家測繪地理信息局重點實驗室，江西 南昌 330013； 3. 江西省數字國土重點實驗室，江西 南昌 330013； 4. 武漢大學測繪學院，湖北 武漢 430079

Partial errors-in-variables(Partial-EIV)模型作為EIV模型的擴展形式，其構造方式更有規(guī)律，解算方法更為簡便，能有效應用于實際情況。針對已有Partial EIV模型方法未考慮觀測向量和系數矩陣存在相關性這一情況，通過提取觀測向量和系數矩陣組成的增廣矩陣中非重復出現的隨機元素，構建更具一般適用性的Partial EIV模型，在該模型的基礎上，將特殊假定條件擴展到不限定觀測數據相關性的一般情況，詳細推導了觀測向量和系數矩陣元素相關且不等精度情況下的加權總體最小二乘方法，通過算例試驗，并與目前已有的解決EIV模型相關觀測情況下的方法進行了比較分析，研究表明本文方法可以提高計算效率，更具一般性，特別是對于觀測向量和系數矩陣中存在常數元素和重復元素的情況。

總體最小二乘；相關觀測；部分變量誤差模型；自回歸模型

在測量、信號處理和控制等學科中，為了求得某些未知參數，常常需要進行一系列的觀測。由于人為觀測存在許多不確定的因素，觀測得到的數據通常只是未知量的某些函數，且得到的觀測值夾雜著隨機誤差，如何利用含有誤差的觀測值求得未知參數估值是測量平差需要解決的問題。經典的Gauss-Markov模型中僅考慮了觀測向量y的隨機誤差，忽略或假定系數矩陣A不受隨機誤差的影響，采用最小二乘方法(least squares，LS)便可求得模型參數解。變量誤差模型(errors-in-variables，EIV)中既考慮了觀測向量y的隨機誤差，同時考慮到系數矩陣A也可能受到隨機誤差的影響，采用總體最小二乘方法(total least squares，TLS)，便可求得模型參數解[1-2]。但在大地測量和工程測量的實際應用中[3]，許多情況下系數矩陣只有部分含有隨機誤差，這類問題宜采用Partial EIV模型[4]進行未知參數的求解。

Partial EIV模型由文獻[4]提出，該模型相對于EIV模型更適合于解決實際問題。目前，針對Partial EIV模型的研究成果相當有限，文獻[4]導出了Partial EIV模型的加權總體最小二乘方法(weighted total least squares，WTLS)，但該方法收斂速度較慢，所需的迭代次數過大；文獻[5]基于Partial EIV模型導出了適用于海量數據處理問題的WTLS方法；文獻[6]利用Partial EIV模型求解附有不等式約束的EIV模型問題。文獻[7]在Partial EIV模型的基礎上進行了方差分量估計問題的研究。但在以上研究中，均對隨機模型進行了特定的假設即假定觀測向量和系數矩陣中的元素不存在相關性[8]。很明顯，以上假設在實際問題中無法得到保證，因此如何能將Partial EIV模型的數據處理方法更加有效地應用于實際問題中，而不需要受到特殊假設的限制，也是本文主要研究的問題。本文將特殊假定條件擴展到不限定觀測數據相關性的一般情況，并以Partial EIV模型為基礎，詳細推導了觀測向量和系數矩陣元素相關且不等精度情況下的加權總體最小二乘方法；通過算例試驗驗證本文算法的可行性，并與目前已有的解決EIV模型相關觀測情況下的方法[9-13]進行了比較。

1 相關觀測情形下的Partial EIV模型

不同的平差問題，函數模型中系數矩陣的結構也不同，EIV模型中系數矩陣的結構主要分為3類：①由常數元素列和隨機元素列組成，如直線擬合模型等；②由隨機元素零散分布組成，且隨機元素重復出現，如自回歸模型等；③由常數元素和隨機元素零散分布組成，且隨機元素重復出現，如坐標轉換模型、地殼應變參數反演模型[14]等。對于這3種情況，平差過程中必需保證常數元素不進行改正，重復出現的隨機元素改正數相同。

文獻[4]提出了Partial EIV模型，即式(1)，將上述情況都考慮在內，是一種概括性模型。但文獻[4]中假定觀測向量與系數矩陣中的觀測數據不相關，下面探討觀測數據相關性情況下的Partial EIV模型。在實際測量數據處理中，系數矩陣的元素并非全都是隨機的，如線性回歸模型和坐標轉換模型，部分是由0或者1等常數組成，此時的平差函數模型即為Partial EIV模型[4]，即

(1)

(2)

(3)

假設觀測值與系數矩陣中隨機元素是相關的，即

(4)

式中，cov表示協(xié)方差。

2 相關觀測的Partial EIV模型求解方法

(5)

當觀測向量y和系數矩陣隨機元素a中包含有相同的觀測值時(例如自回歸模型)，平差準則式(5)中的矩陣Q奇異，此時無法得到它的逆矩陣，進而無法利用平差準則式(5)進行未知參數的求解。此時需要對原有的Partial EIV模型進行一些調整，并根據擴展的模型重新構造目標函數進行參數求解。調整方式如下

將式(1)進行改寫，得到函數模型

(6)

以觀測數據隨機誤差的平方和最小為平差準則

(7)

根據式(7)構造拉格朗日條件極值的目標函數

Φ=eTWe+2λT[y-(βT?In)(h+Ba)+C2e]

(8)

對目標函數式(8)求偏導并令其等于零得

(9)

(10)

(11)

由式(9)可得

(12)

將式(12)代入式(11)得

(13)

將式(13)代入式(10)，得

(14)

(15)

迭代過程如下：

(1) 給定已知或者觀測數據a、y、Py、Qe；

(2) 根據函數模型中系數矩陣結構確定矩陣B和向量h,以及構造轉換矩陣C1；

(4) 初始化C2=[In-(βT?In)B]C1；

3 相關觀測的Partial EIV模型算法精度評定

3.1 單位權方差估值公式

根據文獻[8]，相關觀測的Partial EIV模型算法的單位權方差估值公式為

(16)

式中，r為自由度，其數值大小與觀測值個數和待求參數個數有關，在相關觀測的Partial EIV模型中，觀測值個數為n+t；待求參數個數為t+m。

3.2 參數協(xié)因數陣

(17)

其他相關量的協(xié)因數陣可以通過協(xié)因數傳播律求得。

4 算例和分析

4.1 算例1直線擬合

引用文獻[17]中的試驗數據，坐標觀測值(xi,yi)及其相應的權Wxi、Wyi見表1。為了模擬系數矩陣A和觀測向量y相關的情況，利用表2中的相關系數[13]給觀測值加入相關性。分別采用最小二乘方法(LS)、不考慮相關性的總體最小二乘(TLS)[16]、本文方法和文獻[12]的方法(記Fang方法)、文獻[13]的方法(記Snow方法)進行參數求解，圖1給出了Fang方法和Snow方法的流程圖，圖2給出了本文方法的流程圖。參數計算結果見表3。表1給出了利用本文方法計算得到的觀測向量和系數矩陣隨機元素的殘差值。本文將迭代的收斂閾值均設為10-10。

注：*QAA表示系數矩陣A的協(xié)因數陣；QyA表示觀測向量y關于系數矩陣A的協(xié)因數陣；Qll表示觀測向量和系數矩陣組成的增廣矩陣[A,y]的協(xié)因數陣。圖1 Fang方法和Snow方法流程[12-13]Fig.1 Fang’s method and Snow’s method[12-13]

Tab.1 Coordinate observations and corresponding weights as well as their residuals[17]

點號xiWxiyiWyieaey10.010005.91.0 0.002611-0.54392620.910005.41.8-0.008749-0.45201531.85004.44.0-0.012180.13625642.68004.68.00.015800-0.44397853.32003.520-0.0743580.37596564.4803.7200.156868-0.43537275.2602.870-0.0385480.18698686.1202.870-0.208059-0.14847696.51.82.4100-0.058783-0.000719107.41.01.55000.9828340.007635

表2 坐標觀測值之間的相關系數[13]

Tab.2 Correlation coefficient between coordinate observations[13]

相關系數ρx1y1ρx2y2ρx3y3ρx4y4ρx5y5數值-0.165956 0.440649-0.999771-0.395335-0.706488相關系數ρx6y6ρx7y7ρx8y8ρx9y9ρx10y10數值-0.815323-0.627480-0.308879-0.206465 0.077633

圖2 本文方法的流程圖Fig.2 The method in this paper

LSTLSFang方法Snow方法本文方法^β1-0.61081297-0.48053341-0.45922867-0.45922867-0.45922867^β26.100109325.479910225.357272565.357272565.35727256^σ204.293150941.483294152.090685972.090685972.09068597D^β10.003886390.004987220.005969980.005969980.00596998D^β20.179826420.129058060.156490230.156490230.15649023迭代次數—71097

假設直線方程為

yi=β1xi+β2

(18)

(19)

從表3可以看出，本文方法與Fang方法、Snow方法可以得到相同的參數估值、單位權方差及參數協(xié)方差，不同的是本文方法的迭代次數要少于其他兩種方法；參數估值表達式的不同是影響迭代次數的主要原因。

目前已有的加權總體最小二乘算法中，文獻[8，16，18—19]在迭代中收斂閾值都設置為10-10，文獻[20]收斂閾值設置為10-12，文獻[21]收斂閾值設置為10-18，收斂閾值設置為10-10較為普遍；為了進一步說明本文方法的優(yōu)勢，在算例1中通過設置不同的收斂閾值比較不同方法的迭代次數，得到的結果見表4。

表4 算例1不同收斂閾值下不同算法的迭代次數

Tab.4 The number of iterations of different algorithms under different thresholds of the first example

收斂閾值Fang方法Snow方法本文方法10-787510-887610-998710-10109710-111110810-121210910-13131110

從表4可以看出，收斂閾值的不同對迭代次數存在影響，通過比較可以發(fā)現本文方法的迭代次數在不同閾值下都是最少的。

在該直線擬合算例中，數據的相關性存在于觀測向量和系數矩陣的隨機元素中，從相關系數中可以看出，各系數矩陣中隨機元素xi對觀測向量中元素yi所起作用并非相同。數據之間的相關性主要從協(xié)因數陣中體現出來，若不考慮相關性，則式(18)為對角陣，很明顯若缺少了非對角線元素的約束，則無法體現出數據之間的相互作用關系，最終導致求得的參數結果存在偏差。

4.2 算例2自回歸模型

時間序列法是一種利用按時間順序排列的數據預測未來的方法，它通過對各種動態(tài)數據來建立對應的數學模型，并對所建立的模型進行分析研究，從而了解這些觀測數據的特性和相互聯系，對未來數據的變化趨勢作出合理的分析和預測。自回歸模型的參數估計問題是時間序列求解中的基本問題[22-23]。

p階自回歸過程{Yn}滿足[22]

(20)

將式(19)改寫成矩陣的形式

Y=(A+EA)X-ey

(21)

式中

采用文獻[24]中的觀測數據，該數據為某一建筑物在某個時間段定期進行的36次沉降觀測。建立一個階數為3的自回歸模型，分別采用最小二乘方法(LS)、不考慮相關性的總體最小二乘方法(TLS)[16]、本文方法和Fang方法[12]、Snow方法[13]進行參數求解，參數計算結果見表5。本文將迭代的收斂閾值均設為10-10。在自回歸模型中，數據之間的相關性是由于存在重復元素而產生的，系數矩陣中存在元素重復出現的情況，且觀測向量與系數矩陣中存在相同元素，導致元素之間存在自相關，此時在進行模型解算時需要保證重復元素具有相同的改正數。若不考慮相關性，則會出現同一元素具有不同的改正數，與實際情況不相符，最終導致參數解算結果存在偏差。

從表5可以看出，本文方法與Fang方法、Snow方法計算結果的等價性，不同的是迭代次數，本文方法在一定程度上可以提高計算效率。

同算例1，通過設置不同的收斂閾值來比較不同方法的迭代次數，得到的結果見表6。

從表6可以看出，迭代次數隨著收斂閾值的變小而增多，當收斂閾值取為10-13時，Fang方法與Snow方法迭代次數分別為7462、11 233，而本文方法只需要286次，在不同的收斂閾值下本文方法的迭代次數都是最少的，體現了本文方法可以提高計算效率這一優(yōu)勢。

表5 算例2不同方法的解算結果

表6 算例2不同收斂閾值下不同方法的迭代次數

Tab.6 The number of iterations of different algorithms under different thresholds of the second example

收斂閾值Fang方法Snow方法本文方法10-732772410-836872710-939963010-10431093310-11461223610-12591445810-13746211233286

4.3 算例3模擬直線擬合

在算例1直線擬合中，由式(18)可以看出未考慮觀測量自身與系數矩陣觀測量自身的相關性，其協(xié)因數陣為對角陣，互協(xié)因數陣也為對角陣；因此為了說明本文方法的一般性，考慮觀測量自身的相關性，則式(18)形式變?yōu)?/p>

(22)

從表7可以看出，當考慮觀測量自身的相關性及觀測量與系數矩陣的相關性時，協(xié)因數陣式(22)與式(19)形式相同，使用不同的方法可以得到相同的計算結果，但本文方法的迭代次數均值要少于Fang方法與Snow方法；在構造協(xié)因數陣方面，本文方法只需考慮隨機元素的協(xié)因數陣及它們之間的互協(xié)因數陣，簡單方便，而Fang方法與Snow方法需要獲得增廣矩陣[Ay]的協(xié)因數陣及互協(xié)因數陣，維度較大，比本文更復雜，尤其是考慮了觀測量自身的相關性及觀測量與系數矩陣元素的相關性時，本文方法一定程度上簡化了計算程序。

表7 算例3不同方法得到的參數估值均值與迭代次數均值

Tab.7 The average results of estimated parameters and the number of iterations from different methods of the third example

Fang方法Snow方法本文方法真值^a2.000290772.000290772.000290772^b1.496678241.496678241.496678241.5迭代次數均值4.8084.9523.808—

4.4 算例分析

(1) 從表3、表5和表7中可以看出，本文提出的解決相關觀測的Partial EIV模型方法與已有的解決EIV模型相關觀測情況下的方法在參數解算方面具有相同的效果，無論是在直線擬合或是自回歸模型問題中，求解得到的參數結果一致，計算得到的單位權方差也一致，而且迭代次數要少于已有的算法，一定程度上提高了計算效率，從表4和表6可以看出，設置不同的收斂閾值，本文方法的迭代次數都是最少的，進一步說明了本文方法的優(yōu)勢。相比較其他相關觀測的WTLS方法，本文提供了一種可供選擇的其他方法。主要體現Partial EIV模型的優(yōu)勢，將其用于解決觀測值相關情況下的總體最小二乘問題。

(2) 由于直線擬合模型的系數矩陣是由常數元素列和隨機元素列組成的，系數矩陣中并不存在隨機元素重復出現的情況，因此構造EIV模型或是Partial EIV模型進行參數求解并無太大差異，但算例2自回歸模型中含有重復的隨機元素明顯地體現出了本文方法的優(yōu)勢。

(3) 在自回歸模型算例中，文獻[4，15]中基于Partial EIV模型提出的方法無法使用，這是由于這兩種方法的結構導致的，在自回歸模型中，觀測向量和系數矩陣中存在重復出現的元素，此時得到的觀測向量和系數矩陣的增廣矩陣[Ay]的協(xié)因數陣奇異[25]，因此無法得到該增廣矩陣的權陣，而文獻[4，15]中均需要提供增廣矩陣的權陣。這也是本文針對目前已有Partial EIV模型方法存在的不足之處所進行的改進。

(4) 本文是在Partial EIV模型的基礎上對該模型進行了擴展，在標準的Partial EIV模型中，僅對系數矩陣中的常數元素和隨機元素進行了分離，在本文方法中則是將觀測向量和系數矩陣組成的增廣矩陣中的常數元素和隨機元素進行了分離，依照Partial EIV模型的構建思想，對該模型進行了擴展。從表5中可以看出，本文方法在求解自回歸模型參數時只需迭代33次，而Fang方法需要43次，Snow方法需要109次，這主要是由不同的參數求解表達式引起的。

(5) 在本文方法中，遵循了Partial EIV模型的構造思想，將重復出現的元素進行了提取，因此在方法求解過程中，無論一個元素重復出現多少次，都不影響求解參數的個數，而Fang方法和Snow方法中對增廣矩陣中出現的元素進行了求解，因此在求解參數的個數方面遠多于本文方法所需求解的參數個數，因此這兩種方法的計算量更大。同時，必需注意在平差模型構建過程中元素的重復出現，只是同一個觀測量的重復使用，對其觀測精度并無影響。

(6) 通過本文方法與圖1中Fang方法和Snow方法的迭代表達式的對比，可以發(fā)現本文方法表達形式更為簡便，組成結構更有規(guī)律。由于本文方法是基于擴展的Partial EIV模型推導得到的，因此繼承了Partial EIV模型的優(yōu)勢；從式(19)、式(22)可以看出，本文方法解決了已有Partial EIV方法未考慮相關性的問題。該模型考慮到方法的集成性發(fā)展，根據不同平差問題預先設計固定矩陣B的形式，可以形成一個統(tǒng)一的求解模式，使其具有更為廣闊的實際應用前景。

5 結 論

本文以Partial EIV模型為基礎，推導了適用于相關觀測情況下的方法，進一步完善了Partial EIV模型的理論研究。該方法在結構和理論推導方面更加簡便、易懂，且更適合解決系數矩陣中存在元素重復出現的問題，對總體最小二乘理論的發(fā)展具有一定的理論與實際價值。通過算例表明了本文方法與目前已有的解決EIV模型相關觀測情況下的方法在參數求解結果方面的一致性，相較于EIV模型下的方法，本文方法更具普適性，可以形成統(tǒng)一的求解模式，實際應用前景更為廣闊。本文還比較了不同方法的迭代次數，并對同一問題中不同方法具有不同的迭代次數進行了分析，但未能給出更為全面的解釋，對方法機理的進一步探究能夠加深對方法迭代過程的深入理解，有利于提高方法的效果，對于這一問題以及Partial EIV模型方法的實際應用這方面還需要進一步研究。

[1] GOLUB G H, VAN LOAN C F. An Analysis of the Total Least Squares Problem[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1980, 17(6): 883-893.

[2] 王樂洋, 許才軍. 總體最小二乘研究進展[J]. 武漢大學學報(信息科學版), 2013, 38(7): 850-856, 878. WANG Leyang, XU Caijun. Progress in Total Least Squares[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2013, 38(7): 850-856, 878.

[3] 王樂洋. 基于總體最小二乘的大地測量反演理論及應用研究[J]. 測繪學報, 2012, 41(4): 629. WANG Leyang. Research on Theory and Application of Total Least Squares in Geodetic Inversion[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2012, 41(4): 629.

[4] XU Peiliang, LIU Jingnan, SHI Chuang. Total Least Squares Adjustment in Partial Errors-in-variables Models: Algorithm and Statistical Analysis[J]. Journal of Geodesy, 2012, 86(8): 661-675.

[5] SHI Yun, XU Peiliang, LIU Jingnan, et al. Alternative Formulae for Parameter Estimation in Partial Errors-in-variables Models[J]. Journal of Geodesy, 2015, 89(1): 13-16.

[6] ZENG Wenxian, LIU Jingnan, YAO Yibin. On Partial Errors-in-variables Models with Inequality Constraints of Parameters and Variables[J]. Journal of Geodesy, 2015, 89(2): 111-119.

[7] WANG Leyang, XU Guangyu. Variance Component Estimation for Partial Errors-in-variables Models[J]. Studia Geophysica et Geodaetica, 2016, 60(1): 35-55.

[8] SCHAFFRIN B, WIESER A. On Weighted Total Least Squares Adjustment for Linear Regression[J]. Journal of Geodesy, 2008, 82(7): 415-421.

[9] ZHOU Yongjun, KOU Xinjian, ZHU Jianjun, et al. A Newton Algorithm for Weighted Total Least-squares Solution to a Specific Errors-in-variables Model with Correlated Measurements[J]. Studia Geophysica et Geodaetica, 2014, 58(3): 349-375.

[10] 鄧才華, 周擁軍, 朱建軍, 等. 一類新函數模型及通用加權總體最小二乘平差方法[J]. 中國礦業(yè)大學學報, 2015, 44(5): 952-958. DENG Caihua, ZHOU Yongjun, ZHU Jianjun, et al. General Weighted Total Least Squares Method for A Type of New Functional Model[J]. Journal of China University of Mining & Technology, 2015, 44(5): 952-958.

[11] 王樂洋, 趙英文, 陳曉勇, 等. 多元總體最小二乘問題的牛頓解法[J]. 測繪學報, 2016, 45(4): 411-417. DOI: 10.11947/j.AGCS.2016.20150246. WANG Leyang, ZHAO Yingwen, CHEN Xiaoyong, et al. A Newton Algorithm for Multivariate Total Least Squares Problems[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2016, 45(4): 411-417. DOI: 0.11947/j.AGCS.2016.20150246.

[12] FANG Xing. Weighted Total Least Squares Solutions for Applications in Geodesy[D]. Hannover: Leibniz Universit?t Hannover, 2011.

[13] SNOW K. Topics in Total Least-squares Adjustment within the Errors-in-variables Model: Singular Cofactor Matrices and Prior Information[D]. Columbus, Ohio: the Ohio State University, 2012.

[14] 王樂洋. 地殼應變參數反演的總體最小二乘方法[J]. 大地測量與地球動力學, 2013, 33(3): 106-110. WANG Leyang. Inversion of Crustal Strain Parameters Based on Total Least Squares[J]. Journal of Geodesy and Geodynamics, 2013, 33(3): 106-110.

[15] 曾文憲. 系數矩陣誤差對EIV模型平差結果的影響研究[D]. 武漢: 武漢大學, 2013. ZENG Wenxian. Effect of the Random Design Matrix on Adjustment of an EIV Model and Its Reliability Theory[D]. Wuhan: Wuhan University, 2013.

[16] 王樂洋, 余航, 陳曉勇. Partial EIV模型的解法[J]. 測繪學報, 2016, 45(1): 22-29. DOI: 10.11947/j.AGCS.2016.20140560. WANG Leyang, YU Hang, CHEN Xiaoyong. An Algorithm for Partial EIV Model[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2016, 45(1): 22-29. DOI: 10.11947/j.AGCS.2016.20140560.

[17] NERI F, SAITTA G, CHIOFALO S. An Accurate and Straightforward Approach to Line Regression Analysis of Error-affected Experimental Data[J]. Journal of Physics E: Scientific Instruments, 1989, 22(4): 215-217.

[18] SHEN Yunzhong, LI Bofeng, CHEN Yi. An Iterative Solution of Weighted Total Least-squares Adjustment[J]. Journal of Geodesy, 2011, 85(4): 229-238.

[19] JAZAERI S, AMIRI-SIMKOOEI A R, SHARIFI M A. Iterative Algorithm for Weighted Total Least Squares Adjustment[J]. Survey Review, 2014, 46(334): 19-27.

[20] AMIRI-SIMKOOEI A, JAZAERI S. Weighted Total Least Squares Formulated by Standard Least Squares Theory[J]. Journal of Geodetic Science, 2012, 2(2): 113-124.

[21] FANG Xing. Weighted Total Least Squares: Necessary and Sufficient Conditions, Fixed and Random Parameters[J]. Journal of Geodesy, 2013, 87(8): 733-749.

[22] 魯鐵定. 總體最小二乘平差理論及其在測繪數據處理中的應用[D]. 武漢: 武漢大學, 2010. LU Tieding. Research on the Total Least Squares and Its Applications in Surveying Data Processing[D]. Wuhan: Wuhan University, 2010.

[23] 姚宜斌, 黃書華, 陳家君. 求解自回歸模型參數的整體最小二乘新方法[J]. 武漢大學學報(信息科學版), 2014, 39(12): 1463-1466. YAO Yibin, HUANG Shuhua, CHEN Jiajun. A New Method of TLS to Solving the Autoregressive Model Parameter[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2014, 39(12): 1463-1466.

[24] 王新洲, 陶本藻, 邱衛(wèi)寧, 等. 高等測量平差[M]. 北京: 測繪出版社, 2006. WANG Xinzhou, TAO Benzao, QIU Weining, et al. Higher Surveying Adjustment[M]. Beijing: Surveying and Mapping Press, 2006.

[25] 王樂洋, 于冬冬. 病態(tài)總體最小二乘問題的虛擬觀測解法[J]. 測繪學報, 2014, 43(6): 575-581. DOI: 10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0091. WANG Leyang, YU Dongdong. Virtual Observation Method to Ill-Posed Total Least Squares Problem[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2014, 43(6): 575-581. DOI: 10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0091.

(責任編輯：陳品馨)

A Method for Partial EIV Model with Correlated Observations

WANG Leyang1,2,3,XU Guangyu1,4,WEN Guisen1,2

1. Faculty of Geomatics, East China University of Technology, Nanchang 330013, China; 2. Key Laboratory of Watershed Ecology and Geographical Environment Monitoring, NASG, Nanchang 330013, China; 3. Key Laboratory for Digital Land and Resources of Jiangxi Province, Nanchang 330013, China; 4. School of Geodesy and Geomatics, Wuhan University, Wuhan 430079, China

As an extended form of the errors-in-variables(EIV) model, partial errors-in-variables(Partial EIV) model has more advantages than the previous one, such as regular structure, simple solving method, which make it has a wide range of applications. Considering the situation that the correlation between the observations and elements in coefficient matrix is not taken into account in the existed algorithms derived from Partial EIV model, the non-repetitive random elements in the augmented matrix consisting of observation vector and coefficient matrix are extracted to build a more suitable partial EIV model. Based on this model, the special assumptions are extended to the general case where the observations are correlated, a new weighted total least squares(WTLS)algorithms is derived when the observations and elements in coefficient matrix are heteroscedastic and correlated. Through two examples, the algorithm proposed in this paper and the existed algorithms which consider the correlation of the observation in EIV model are compared and analyzed. Research shows that these algorithms can improve the calculation efficiency and more general, especially for the situation that coefficient matrix consists of constant elements and repeated elements.

total least squares; correlated observations; partial errors-in-variables; autoregression model

The National Natural Science Foundation of China (Nos.41664001; 41204003); Support Program for Outstanding Youth Talents in Jiangxi Province (No.20162BCB23050); National Key Research and Development Program (No.2016YFB0501405); Science and Technology Project of the Education Department of Jiangxi Province (No.GJJ150595)

WANG Leyang (1983—), male, PhD, associate professor, majors in geodetic inversion and geodetic data processing.

王樂洋，許光煜，溫貴森.一種相關觀測的Partial EIV模型求解方法[J].測繪學報，2017,46(8)：978-987.

10.11947/j.AGCS.2017.20160430. WANG Leyang,XU Guangyu,WEN Guisen.A Method for Partial EIV Model with Correlated Observations[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(8):978-987. DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20160430.

P207

A

1001-1595(2017)08-0978-10

國家自然科學基金(41664001; 41204003)；江西省杰出青年人才資助計劃項目(20162BCB23050)；國家重點研發(fā)計劃(2016YFB0501405)；江西省教育廳科技項目(GJJ150595)

2016-09-06

王樂洋(1983—)，男，博士，副教授，主要研究方向為大地測量反演及大地測量數據處理。

E-mail： wleyang@163.com

修回日期： 2017-06-02