禚鵬

求線段長度的題目很多，方法也很多，比如利用全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、利用相似三角形的性質(zhì)等。本文只討論如何應(yīng)用銳角三角函數(shù)來求線段的長度，下面舉例說明。

例1：

（1）如圖，為測樓房BC的高度，在距樓房30米的A處測得樓頂?shù)难鼋菫?，則樓高BC為 米？

（2）在△ABC中，∠C=90゜，AB=15，sinA=，則BC=

（3）在△ABC中，∠C=90゜，AC=15，cosA=，則AB=

以上3個(gè)小題的共同特點(diǎn)是，在直角三角形中，已知一邊和一銳角的某個(gè)三角函數(shù)值，求另外未知的邊長。這是解決更復(fù)雜求長度問題的基礎(chǔ)。

例2：在△ABC中，AB=15，AC=，sinB=，求BC的長。

解析：過A做AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，例2圖由AD=ABsinB 得AD，再由勾股定理得BD=，在Rt△ADC中，由CD=得到CD的長，再據(jù)BC=BD+CD即可求得CD的長度。

注：本例所給圖形并非是一個(gè)直角三角形，通過做垂線的方法，構(gòu)造直角三角形，然后即可利用銳角三角函數(shù)求解。此即“化斜為直”。

例3：根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù)，求避雷針CD的長。

解析：在Rt△ABC中，BC=ABtan30゜，在Rt△ABD中，BD=ABtan45゜，CD=BD-BC

注：本例是在兩個(gè)直角三角形中，分別已知一邊一角，求得另一條邊長。

例4：如圖，在高樓前D點(diǎn)測得樓頂?shù)难鼋菫?0゜，向高樓前進(jìn)60米到C點(diǎn)，又測得仰角為45゜，求高樓AB的高度。

解析：∵DC=60，DC=DB-CB，又∵DB=CB=∴由方程

60=-可解得AB

注：本例雖然也有兩個(gè)直角三角形，但是在其中任何一個(gè)直角三角形中，都不能直接解出邊長，需要設(shè)未知數(shù)，用“方程思想”求解。

例5：某綠地的形狀如圖所示，其中∠A=60゜，AB⊥BC，CD⊥AD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的長度。

解析：本例做輔助線的方法有多種，圖示如下：

雖然輔助線的做法不同，但是都會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)直角三角形，需要分別解兩個(gè)直角三角形可得。其中若如圖1所示做輔助線，還需列方程求解，在Rt△BCE中，∵∠E=30゜，BE=BC，CE=2BC，∴在Rt△ADE中，由=cos30゜得，解此方程即可得BC，再由AD=AE得AD。

由以上幾例的解析可以看出，利用銳角三角函數(shù)求線段的長，關(guān)鍵是找到或構(gòu)造直角三角形，而且在這個(gè)直角三角形中，任何一條邊的長可以由另一條邊的長和其中一個(gè)銳角的某一個(gè)三角函數(shù)值表示。從而直接或列方程可得所求線段的長。endprint