趙博,包玉娥

(內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 通遼 028043)

關(guān)于模糊數(shù)序列收斂性問(wèn)題的研究

趙博,包玉娥

(內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 通遼 028043)

討論了模糊數(shù)序列在EW-型積分度量下的收斂性問(wèn)題.首先給出了模糊數(shù)序列關(guān)于EW-型積分度量、水平EW-型度量以及水平EW-型測(cè)度收斂的概念;其次,討論了模糊數(shù)序列關(guān)于EW-型積分度量、下方圖度量以及水平度量收斂之間的關(guān)系,證明了在一定條件下模糊數(shù)序列關(guān)于EW-型積分度量、下方圖度量以及水平度量收斂的等價(jià)性.

模糊數(shù)序列;下方圖度量;EW-型積分度量;收斂性

1 引言

模糊數(shù)是實(shí)數(shù)域上的一類(lèi)特殊的模糊集,在模糊分析學(xué)及其應(yīng)用研究中起著非常重要的作用.在實(shí)際應(yīng)用中,經(jīng)常用模糊數(shù)來(lái)表示屬性決策領(lǐng)域中的許多決策信息[12].根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要,人們?yōu)榱烁玫难芯磕：治黾捌鋺?yīng)用問(wèn)題,在模糊數(shù)空間上定義了各種各樣的度量[3].從此,人們開(kāi)始討論了模糊數(shù)空間的分析性質(zhì),給出了模糊數(shù)序列在各種度量之下的收斂性概念,為模糊分析及其應(yīng)用問(wèn)題的研究打下了良好的基礎(chǔ)[47].

區(qū)間數(shù)和模糊數(shù)的應(yīng)用實(shí)際上均為屬性值為實(shí)數(shù)的信息系統(tǒng)在維度上的化簡(jiǎn),并且模糊數(shù)又可以用一族區(qū)間數(shù)來(lái)刻畫(huà).文獻(xiàn)[910]中,建立了區(qū)間數(shù)空間上的EW-型積分度量及EW-型貼近度等概念,得到了一些有意義的結(jié)論.本文討論模糊數(shù)序列在EW-型積分度量之下的收斂性問(wèn)題.

2 基本概念

設(shè)R為實(shí)數(shù)集.如果模糊集u：R→[0,1]是正規(guī)的,凸的上半連續(xù)的,且支集是緊集,則稱(chēng)u為模糊數(shù).模糊數(shù)全體構(gòu)成的空間稱(chēng)為模糊數(shù)空間,記為F0.

對(duì)于u∈F0,稱(chēng)

為模糊數(shù)u的r-截集或r-水平集.

對(duì)任意的r∈[0,1],模糊數(shù)u的r-截集[u]r是實(shí)數(shù)集R上的一個(gè)非空有界閉區(qū)間.記為

在F0上的序關(guān)系定義為：

對(duì)于u,v∈F0及k∈R,模糊數(shù)空間上的加法和數(shù)乘運(yùn)算定義為：

定義 2.1設(shè)(X,dH)是一個(gè)度量空間,A,B是X中的兩個(gè)非空緊集,則稱(chēng)

為A和B的Hausdor ff度量,其中

定義 2.2[3]設(shè)u,v∈F0,則稱(chēng)

為模糊數(shù)空間F0上的下方圖度量.其中

DH為定義R2在上的緊集族的Hausdor ff度量.

定義 2.3[3]設(shè) uk,u ∈ F0(k=1,2,...),如果

則稱(chēng)模糊數(shù)序列{uk}依下方圖度量收斂于模糊數(shù)u,記為

定義 2.4[6]設(shè) uk,u∈F0(k=1,2,...),如果對(duì)于任意的 r∈[0,1],有

則稱(chēng)模糊數(shù)序列{uk}依水平Hausdor ff度量收斂于模糊數(shù)u,記作

定義 2.5[6]設(shè) uk,u ∈ F0(k=1,2,...),如果

關(guān)于r在[0,1]上幾乎處處成立,則稱(chēng)模糊數(shù)序列{uk}依水平Hausdor ff度量幾乎處處收斂于模糊數(shù)u.

引理 2.1[6]若 uk,u∈F0(k=1,2,...),則以下結(jié)論等價(jià)：

(2)模糊數(shù)序列{uk}依Hausdor ff度量dH水平幾乎處處收斂于模糊數(shù)u;(3)對(duì)所有

其中

分別為區(qū)間數(shù)的期望值與寬度.

定理 2.1[9]設(shè)u,v∈F0,映射

為區(qū)間數(shù)空間[R]上的EW-型度量.

定理2.2[10]設(shè)

則區(qū)間數(shù)序列{an}依EW-型度量收斂于區(qū)間數(shù)a,即

3 EW-型積分度量空間上的收斂性

定義 3.1設(shè) uk,u∈ F0(k=1,2,...),如果

則稱(chēng)模糊數(shù)序列{un}依EW-型度量收斂于模糊數(shù)u,記作

定義 3.2設(shè) uk,u∈F0(k=1,2,...),如果對(duì)于任意的 r∈[0,1],有

則稱(chēng)模糊數(shù)序列{uk}依水平EW-型度量收斂于模糊數(shù)u,記作

定義 3.3設(shè) uk,u∈F0(k=1,2,...),如果對(duì)于任意的 ε＞0和 η＞0,存在 k＞0,使得當(dāng) k≥K 時(shí),有

其中m表示實(shí)直線(xiàn)R上的Lebesgue測(cè)度,則稱(chēng)模糊數(shù)序列{uk}在EW-型度量下依測(cè)度收斂于模糊數(shù)u,記作

定理 3.1若uk,u∈F0(k=1,2,...),那么以下四個(gè)命題等價(jià)：

從而對(duì)任意的k＞0,有

又對(duì)任意r∈[0,1],由 [uk]1?[uk]r?[uk]0及[u]1?[u]r?[u]0,有

又因?yàn)?/p>

所以由引理 2.1,模糊數(shù)序列 {uk}依水平 Hausedor ff度量幾乎處處收斂于u.從而由定義 2.5,在[0,1]中存在零測(cè)度集?,使得

對(duì)任何r∈[0,1]?都成立.即

對(duì)任何r∈[0,1]?都成立.從而有

對(duì)任何 r∈[0,1]?都成立.于是對(duì)r∈[0,1]?,有

所以對(duì) r∈[0,1]?,有

從而對(duì)任意的ε＞0,存在K＞0,使得當(dāng)k＞K 時(shí),有

即對(duì)任意ε＞0,存在K＞0,使得當(dāng)k＞K 時(shí),有

從而

對(duì)任意ε＞0和η＞0,顯然有

由定義 3.3,有

其次利用反證法證明

假設(shè)存在r0∈(0,1),使得 [uk]r0在度量之下不收斂于[u]r0,則存在 ε0＞0和自然數(shù)列{kj}使得

又由

有

從而存在{ukj}的子列使得

關(guān)于r在[0,1]上幾乎處處成立.即存在??[0,1]且m(?)=0滿(mǎn)足

若r0∈?,則由u∈F0可知,對(duì)上述ε0＞0,存在對(duì)任意kji,有

對(duì)上述r1/∈?,存在K′＞0,當(dāng)i≥K′時(shí),有

從而當(dāng) i≥K′時(shí),有

即

(4)?(1)根據(jù)下方圖度量的定義2.2,有

其中

參考文獻(xiàn)

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Study on the convergence problem of fuzzy number sequence

Zhao Bo,Bao Yu-e
(College of Mathematics,Inner Mongolia University for Nationalities,Tongliao 028043,China)

In this paper,we discusses the convergence problem of the fuzzy number sequence on theEW-type integral metric.First we give the concept of the fuzzy number sequence ofEW-type integral metric,LevelEW-type metric and LevelEW-type metric convergence;Second,Discusses the relationship among the fuzzy number sequence on theEW-type integral metric and The fi gure below metric and the convergence of Level metric,and then prove the equivalence among the fuzzy number sequence on theEW-type integral metric and The fi gure below metric and the convergence of Level metric.

the fuzzy number sequence,the fi gure below metric,theEW-type integral metric,convergence

O159.2

A

1008-5513(2017)04-0340-12

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.04.002

2017-07-07.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11461052).

趙博(1987-),碩士,講師,研究方向：不確定性數(shù)學(xué)理論及應(yīng)用.

2010 MSC:03E72