黎虹

(沈陽(yáng)工學(xué)院基礎(chǔ)課部,遼寧 撫順 113122)

基于PI控制器的不確定廣義系統(tǒng)的非脆弱耗散控制

黎虹

(沈陽(yáng)工學(xué)院基礎(chǔ)課部,遼寧 撫順 113122)

主要研究了一類不確定廣義系統(tǒng)的耗散控制問題,基于線性矩陣不等式的處理方法給出了使廣義系統(tǒng)容許且嚴(yán)格耗散的充要條件,并利用線性矩陣不等式的解給出了耗散控制器的設(shè)計(jì)方法,得到了一個(gè)具有非脆弱性的狀態(tài)反饋PI控制器的顯示表達(dá),使得對(duì)所允許的不確定性閉環(huán)廣義系統(tǒng)容許且嚴(yán)格耗散.最后用數(shù)值例子說(shuō)明了所提出方法的正確性和有效性.

廣義系統(tǒng);嚴(yán)格耗散;PI控制器;非脆弱控制

1 引言

近幾年,耗散性的概念逐漸被推廣到廣義系統(tǒng)中,并取得了一些好的研究成果[18].文獻(xiàn)[1-5]利用線性矩陣不等式的方法,在適當(dāng)假設(shè)下,分別給出了線性連續(xù)廣義系統(tǒng)、滯后離散廣義系統(tǒng)容許且嚴(yán)格耗散的充分必要條件,并且分別給出了狀態(tài)反饋、動(dòng)態(tài)輸出反饋及基于觀測(cè)器的嚴(yán)格耗散控制器的存在條件和設(shè)計(jì)方法.文獻(xiàn)[6]研究了廣義離散系統(tǒng)的魯棒脈沖耗散控制問題.文獻(xiàn)[7-8]研究了廣義離散切換系統(tǒng)的耗散控制問題.隨著信息技術(shù)的迅速發(fā)展,很多新型控制器不斷涌現(xiàn),但PID控制器由于其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、魯棒性能好并且易于操作等優(yōu)點(diǎn),仍然是目前使用最廣泛的一種控制器,在各類系統(tǒng)中得到廣泛的應(yīng)用.運(yùn)用耗散性理論,可以充分運(yùn)用反饋控制器的增益和相位信息,使所得結(jié)果具有較小的保守性[9].基于這一理論,文獻(xiàn)[10]考慮了基于PI控制器的正常線性系統(tǒng)的魯棒耗散控制問題.

目前,關(guān)于PID控制器在廣義系統(tǒng)中的耗散控制問題中的運(yùn)用還未見報(bào)道.本文設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋PI控制器,使閉環(huán)廣義系統(tǒng)容許且魯棒嚴(yán)格耗散,最后采用文獻(xiàn)[10]中數(shù)值例子,計(jì)算得到了小增益控制器,具有更小的保守性.

2 問題描述

考慮如下的廣義系統(tǒng)：

其中,x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài),ω(t)∈Rq為外部擾動(dòng)輸入且滿足：

為控制輸入,z(t)∈Rr為輸出,矩陣E∈Rn×n為奇異矩陣,且系統(tǒng)中的其它矩陣為已知的具有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣.

針對(duì)系統(tǒng)(1),選擇如下能量供給函數(shù)：

其中,Q,R為給定的對(duì)稱矩陣且具有適當(dāng)維數(shù),S為給定的具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣,且

定義 2.1[1]對(duì)于能量供給函數(shù)(2),若

成立,則稱系統(tǒng)(1)(u=0)是(Q,R,S)-耗散的.且如果對(duì)于T＞0和足夠小的α＞0,有

成立,則稱系統(tǒng)(1)是嚴(yán)格(Q,R,S)-耗散的.

假設(shè)2.1

引理 2.1[1]對(duì)于給定的矩陣Q,R,S和系統(tǒng)(1)(u=0),以下命題是等價(jià)的：

1.系統(tǒng)(1)容許且嚴(yán)格(Q,R,S)-耗散的;

2.存在矩陣P 可逆,使得

3 基于 PI控制器的嚴(yán)格耗散控制

設(shè)計(jì)如下狀態(tài)反饋的PI控制器：

其中K,K1為待定的參數(shù)矩陣,使閉環(huán)廣義系統(tǒng)

容許且嚴(yán)格(Q,R,S)-耗散,且有

由引理2.1即可得到狀態(tài)反饋PI控制器的存在條件和設(shè)計(jì)方法.

定理 3.1矩陣Q,R,S為給定矩陣且滿足假設(shè)2.1,對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)(9),存在一個(gè)狀態(tài)反饋PI控制器,使其嚴(yán)格(Q,R,S)-耗散的充分必要條件是：存在可逆矩陣Y 和W 使得不等式(10),(11)式成立.

如果矩陣不等式(9),(10)存在一個(gè)可行解Y 和W,則

為一個(gè)狀態(tài)反饋的耗散控制器,PI控制器增益的顯示表達(dá)式由

得到.

證明將增廣系統(tǒng)(9)代入引理1得到

即可得證.

4 基于非脆弱 PI控制器的魯棒嚴(yán)格耗散控制

考慮如下的不確定系統(tǒng)：

其中,參數(shù)不確定矩陣滿足

且有

H1,H2,E1,E2,為已知矩陣.

引理 4.1[11]矩陣Q,R,S為給定且滿足假設(shè)1,對(duì)于系統(tǒng)(12)(u=0),使其嚴(yán)格耗散的充分必要條件為：存在常數(shù)ε＞0和矩陣P可逆,使得矩陣不等式(13),不等式(14)成立

考慮系統(tǒng)(12),設(shè)計(jì)非脆弱PI控制器：

其中

E3為已知矩陣.

將非脆弱PI控制器(15)代入系統(tǒng)(12)可得閉環(huán)廣義系統(tǒng)

運(yùn)用引理4.1,可以得到如下定理4.1.

定理 4.1給定矩陣Q,R,S滿足假設(shè)2.1,對(duì)于閉環(huán)廣義系統(tǒng)(16),存在一個(gè)狀態(tài)反饋的非脆弱PI控制器,使其(Q,R,S)-耗散的充分必要條件是：存在常數(shù)ζ＞0,可逆矩陣Y和W 滿足如下不等式：

如果矩陣不等式(17),(18)存在一個(gè)可行解Y 和W,則

為一個(gè)狀態(tài)反饋的非脆弱PI控制器,且控制器增益的顯示表達(dá)式由

得到.

證明將閉環(huán)系統(tǒng)(16)代入引理4.1,根據(jù)定理4.1和Schur補(bǔ)引理即可得證.

5 數(shù)值算例

例 5.1采用文獻(xiàn)[11]中的算例,考慮廣義系統(tǒng)(1)選取參數(shù)矩陣為：

將已知矩陣代入式(9)求得增廣閉環(huán)系統(tǒng)系數(shù)矩陣,再代入定理1中的矩陣不等式(10),(11),利用MATLAB中的LMI工具箱,求得可行解

此時(shí)的控制器為

例 5.2 在例1的基礎(chǔ)上考慮不確定廣義系統(tǒng)(12),選取不確定性參數(shù)為

代入式 (16)求得增廣閉環(huán)系統(tǒng)系數(shù)矩陣,再代入定理 2中的矩陣不等式 (17),(18),利用MATLAB中的LMI工具箱,求得可行解

此時(shí)的PI非脆弱控制器為：

其中?K,?K1為滿足(14)式約束條件的擾動(dòng).

6 結(jié)論

本文主要研究了不確定廣義系統(tǒng)基于非脆弱PI控制器的嚴(yán)格耗散控制問題.分別給出了不確定廣義系統(tǒng)的PI控制器和非脆弱PI控制器存在的充要條件及相應(yīng)的設(shè)計(jì)方法,在所設(shè)計(jì)的控制器下,閉環(huán)廣義系統(tǒng)容許且嚴(yán)格耗散.值得指出的是,本文給出的系統(tǒng)增廣方式較為靈活巧妙,使得設(shè)計(jì)出的控制器為小增益控制器,更利于節(jié)約成本.

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Non-fragile dissipative control for uncertain singular systems via PI controller

Li Hong

(Basic Course Department,Shenyang Institute of Technology,Fushun 113122,China)

The question of dissipative control is considered for a class of singular systems with uncertainty,the necessary and sufficient condition of admissible and strictly dissipative is given by using linear matrix inequality.A non-fragile state feedback PI controller is designed by using the solution of linear matrix inequality such that the closed-loop system is both admissible and strictly(Q,R,S)dissipative for all the uncertainties.At last,numerical examples show the correctness and e ff ectiveness of the proposed method.

singular systems,strictly dissipative,PI controller,non-fragile control

O23

A

1008-5513(2017)04-0331-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.04.001

2017-05-10.

遼寧省教育廳科學(xué)研究一般項(xiàng)目(L2015381).

黎虹(1981-),碩士,副教授,研究方向：廣義系統(tǒng)的耗散控制.

2010 MSC:94A15