周?chē)?guó)全 祁 寧

(武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430072)

大頂角等腰劈的等傾干涉原理

周?chē)?guó)全 祁 寧

(武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430072)

依據(jù)波動(dòng)光學(xué)關(guān)于光的干涉原理, 分析和介紹了一種能產(chǎn)生等傾干涉現(xiàn)象的大頂角等腰劈干涉裝置，推導(dǎo)并討論了該干涉結(jié)構(gòu)發(fā)生等傾干涉的條件及干涉條紋的分布規(guī)律；同時(shí)指明等腰劈的等傾干涉原理對(duì)于薄膜干涉的相似性或等價(jià)性，并討論了其在光學(xué)領(lǐng)域可能的應(yīng)用領(lǐng)域;強(qiáng)調(diào)了其對(duì)光學(xué)干涉的教學(xué)研究的輔助作用及內(nèi)容擴(kuò)充。

光學(xué)干涉； 等傾干涉；干涉圓環(huán)；等腰劈；光學(xué)諧振腔, 微位移傳感

兩列(或多列)光波相遇而發(fā)生干涉需要滿(mǎn)足三個(gè)條件[1-3]：(1)頻率相同；(2)振動(dòng)方向相同；(3)相位差(或初相位差)恒定。這種能夠發(fā)生干涉現(xiàn)象的兩列(或多列)波稱(chēng)為相干波(coherent waves)。不同的光學(xué)干涉裝置就是用不同的方式滿(mǎn)足以上(尤其是第三個(gè))干涉條件[1-9]。按照參與干涉的光束個(gè)數(shù)分為兩大類(lèi)：雙光束干涉與多光束干涉；按照產(chǎn)生相干光束的方式則分為波前分割與振幅分割式；而按照干涉的光程差函數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)函數(shù)的等值變量來(lái)分類(lèi)，則分為等厚干涉與等傾干涉，例如法布里——伯羅(F-P)干涉儀和邁克爾遜干涉儀。文獻(xiàn)[4]論述了兩種振幅分割式多光束等傾干涉結(jié)構(gòu)――矩形腔與大頂角等腰劈干涉結(jié)構(gòu),并初步驗(yàn)證了其干涉理論；文獻(xiàn)[5-9]論述了若干等厚干涉結(jié)構(gòu)及其干涉理論。通常等傾干涉是指擴(kuò)展光源照射在厚度相等的薄膜上產(chǎn)生的干涉現(xiàn)象，具有不同傾角的入射光各自干涉,形成對(duì)應(yīng)的不同干涉條紋，同一級(jí)條紋對(duì)應(yīng)著同一傾角，不同級(jí)條紋對(duì)應(yīng)著不同的傾角。薄膜上下兩表面對(duì)同一條入射光的反射光線是相互平行的，兩反射光線在無(wú)限遠(yuǎn)處相遇并產(chǎn)生非定域干涉條紋，即定域在無(wú)窮遠(yuǎn)處或觀測(cè)透鏡的焦平面上。

有關(guān)光波在三棱柱腔內(nèi)外橫向傳播的規(guī)律的研究，鮮見(jiàn)于波導(dǎo)型光學(xué)諧振腔的文獻(xiàn)中。本文詳盡深入地分析了文獻(xiàn)[4]已初步論述的大頂角等腰劈等傾干涉結(jié)構(gòu)。研究表明,光波在等腰劈內(nèi)外的橫向傳播將發(fā)生振幅分割式多光束等傾干涉現(xiàn)象。本文和文獻(xiàn)[10]這兩種干涉結(jié)構(gòu)不僅對(duì)于F-P干涉技術(shù)具有等效性、替代性與補(bǔ)充作用，而且還具有若干新的特點(diǎn)和應(yīng)用前景[11-14]。

1 等腰劈的等傾干涉原理

圖1 等腰劈等傾干涉裝置結(jié)構(gòu)圖

Δ=2n2hcosi

(1)

其相應(yīng)的表觀相位差為

(2)

其中h為△ABC在腰AC上的高線長(zhǎng)，λ為入射光在真空中波長(zhǎng)，腔內(nèi)折射角i滿(mǎn)足折射定律n2sini=n1sini0， 由于光程差與入射點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)并恒定，相鄰的兩次反射線之間滿(mǎn)足干涉條件。下面我們將推導(dǎo)反射線光束(或透射線光束)的干涉條紋的亮暗條件，并推導(dǎo)干涉場(chǎng)光強(qiáng)的分布函數(shù)。

(3)

將反射線集合的振幅相加可得

(4)

其中用到了斯托克斯公式r2+tt′=1；r′=-r。r2=r′2=R為反射系數(shù)。尤請(qǐng)注意:由于每束光線在棱鏡的“底邊”BC表面來(lái)回反射兩次，兩次半波損失等效于沒(méi)有位相突變。推導(dǎo)過(guò)程中也不需要重復(fù)(額外)計(jì)入其他反射點(diǎn)可能存在的半波損失及位相突變,它們均已體現(xiàn)在Stokes 關(guān)系式r′=-r的負(fù)號(hào)中——界面兩側(cè)反射時(shí)會(huì)有π的位相差異。另一方面，反射光干涉光強(qiáng)分布公式為

(5)

(6)

(7)

時(shí)，透射光干涉場(chǎng)強(qiáng)式(6)極大；相應(yīng)的反射光干涉場(chǎng)強(qiáng)式(5)極小。當(dāng)折射角i滿(mǎn)足cosδ=-1, 即

(8)

時(shí)，透射光干涉場(chǎng)強(qiáng)式(6)極??；反射光干涉場(chǎng)強(qiáng)式(5)極大。由式(1)、(2)、(5)、(8)可知，顯然這里發(fā)生的是等傾干涉，因?yàn)楦缮鎴?chǎng)的光強(qiáng)分布及光程、相位差公式(1)、(2)、(5)、(8)隨入射角i0而變，同一極大環(huán)紋對(duì)應(yīng)于同一入射角(或折射角)。

圖2 等腰劈等傾干涉實(shí)驗(yàn)條紋

初步的實(shí)驗(yàn)和我們進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)都表明，這種等腰劈干涉裝置能夠?qū)崿F(xiàn)多光束等傾干涉——當(dāng)使用擴(kuò)展光源照明時(shí)，無(wú)論是反射線集合，還是透射線集合，都能借助凸透鏡與觀測(cè)屏觀察到非定域的等傾干涉圓環(huán)。如圖2所示的干涉圖像是等腰直角劈產(chǎn)生的透射光等傾干涉條紋。實(shí)驗(yàn)中使用了波長(zhǎng)為632.8nm的He-Ne激光單色光源，其高斯型激光束經(jīng)擴(kuò)束鏡后形成的發(fā)散光束(而不是擴(kuò)展光源)作為入射光束進(jìn)入干涉裝置。實(shí)驗(yàn)中最多約觀察到8個(gè)較清晰的干涉圓環(huán)。既然等腰劈干涉裝置等效于平行薄膜的等傾干涉，顯然其干涉圓環(huán)形條紋的分布規(guī)律亦與其相同，內(nèi)疏外密，不等間隔分布，中央斑點(diǎn)具有最高干涉級(jí)序；其干涉場(chǎng)強(qiáng)的半值寬度的公式也與之相同。另外可以證明，相鄰兩亮(或暗)紋的半徑之平方差是與干涉序無(wú)關(guān)的常量。如圖3所示，觀測(cè)屏e在透鏡d的后焦面處，設(shè)干涉圓環(huán)的圓心處斑點(diǎn)正好是第m級(jí)干涉極大(對(duì)應(yīng)的折射角為θ0=0)，其干涉序m最大(因其對(duì)應(yīng)的光程差最大)；對(duì)于在A′B處以小角度θk折射的光線，設(shè)它們?cè)谄辽系母缮鎴?chǎng)點(diǎn)P落在第m-k級(jí)干涉極大圓環(huán)上(即第k個(gè)極大圓環(huán)條紋上)，則在如圖所示的直角三角形中，小角θk≈tanθk≈rk/f=Dk/2f；運(yùn)用余弦展開(kāi)的泰勒公式，忽略高階無(wú)窮小項(xiàng)，可得

(9)

(10)

同理對(duì)第m-(k+1)級(jí)干涉圓環(huán)，(第k+1個(gè)圓環(huán))可得，

圖3 干涉條紋分布規(guī)律的推導(dǎo)

聯(lián)立(9-12)諸式，可得如下關(guān)系式

(13)

(14)

其中h是等腰腔一腰之高，f為透鏡焦距。若腔內(nèi)外媒介的折射率分別為n2、n1，則式(13-14)分別變?yōu)?/p>

(15)

(16)

其中式(13)或式(15)為前文所述的條紋分布律，結(jié)論獲證。式(14)、(16)為利用此等傾干涉裝置測(cè)量光波波長(zhǎng)的公式。

2 幾何約束條件及有限入射角范圍對(duì)干涉的影響

(17)

當(dāng)玻璃折射率n2的取值范圍在(1.56,1.62)之間，其臨界反射角θc=arcsin(n1/n2)在(38°,40°)之間，當(dāng)α=90°(對(duì)應(yīng)于最普通最佳等腰直角劈)時(shí)，θ=(180°-α)/2=45°>θc，當(dāng)折射角范圍在i～(00，10)，光線在底邊BC界面發(fā)生全反射，而沒(méi)有折射能量損失。

(18)

(19)

(20)

其中Δ為兩者之相對(duì)誤差，Δ=RN(2cosNδ-RN)；相應(yīng)地，條紋峰值的實(shí)際半值角寬度εN比理論的ε∞值有所增加，εN=ε∞(1+Δε)。我們可給出一組數(shù)據(jù)，使讀者對(duì)此有一粗略的定量概念：腔體長(zhǎng)寬尺寸a=h～1cm；波長(zhǎng)λ～632.8nm；腔內(nèi)光束折射角i的角度范圍i～(00，10),反射回路達(dá)到N～29個(gè),(即有限項(xiàng)數(shù)為30個(gè))；強(qiáng)度峰值相對(duì)偏差Δ～0.16，相應(yīng)地半值角寬度較理論結(jié)果有所增加,而實(shí)際峰值強(qiáng)度較理論結(jié)果有所減弱。

3 應(yīng)用前景

等腰劈的等傾干涉方式不僅可用于測(cè)入射光的未知波長(zhǎng)，即對(duì)于F-P干涉技術(shù)具有等效性、替代性，而且還具有補(bǔ)充作用。以下略述它的一些新的特點(diǎn)與應(yīng)用前景。

3.1 應(yīng)用前景之一——全偏振光學(xué)諧振腔

等腰劈的等傾干涉方式可用于設(shè)計(jì)全偏振光學(xué)諧振腔,用以產(chǎn)生全偏振共振型極大輸出光束。

(21)

圖4 全偏振輸出光學(xué)諧振腔

全偏振共振輸出條件是

(22)

3.2 應(yīng)用前景之二——二維微位移光學(xué)傳感技術(shù)

圖5 二維位移光學(xué)傳感示意圖

4 總結(jié)與前瞻

大頂角等腰劈在入射光以特定角度范圍橫向入射時(shí)，將發(fā)生多光束等傾干涉，在干涉效果上等效于F-P干涉儀——在擴(kuò)展光源照射下，將出現(xiàn)不等間隔的同心圓環(huán)形條紋。其干涉條紋形狀一般說(shuō)來(lái)是圓弧或圓弧在接收屏上的投影。當(dāng)光源、薄膜、接收屏三者成對(duì)稱(chēng)關(guān)系時(shí)，條紋形狀為明暗相間的圓環(huán)。影響干涉效果的諸因素也與薄膜干涉情形基本相同，其干涉條紋細(xì)銳，明暗對(duì)比強(qiáng)烈；干涉條紋的級(jí)數(shù)序列內(nèi)高外低，環(huán)紋密度內(nèi)疏外密。當(dāng)腰上的高線長(zhǎng)h增大時(shí)，干涉環(huán)紋由內(nèi)向外移動(dòng)。等腰劈等傾干涉技術(shù)不僅拓展了光學(xué)干涉的教學(xué)研究的內(nèi)容與范圍，還可能應(yīng)用于全偏振光學(xué)諧振腔與維微位移光學(xué)傳感器的設(shè)計(jì)。

(本文的先發(fā)論文[4]曾經(jīng)趙凱華先生推薦至《光學(xué)學(xué)報(bào)》, 再經(jīng)《光學(xué)學(xué)報(bào)》按協(xié)議遴選推薦至SPIE之《OpticalEngineering》發(fā)表，即文獻(xiàn)[4])

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■

THE EQUAL INCLINATION INTERFERENCE IN AN ISOSCELES TRIANGULAR WEDGE WITH A BIG VERTEX ANGLE

Zhou Guoquan Qi Ning

(School of Physics and Technology, Wuhan University, Wuhan Hubei 430072)

According to the optical wave theory about optical interference, the equal inclination interference in an isosceles triangular wedge with a big vertex angle has been concretely introduced and analyzed in detail; the interference conditions and the distribution laws of interference rings are deduced and discussed，which are in accordance with the observed phenomena in a verification experiment. On the other hand, the application possibilities of this interference principle in different fields of optical technology, especially in the field of optical micro-displacement sensor, are also discussed; and its subsidiarity to the pedagogical practices about optical interference, especially equal inclination interference, is emphasized; the teaching contents about the equal inclination interference are extended

optical interference； equal-inclination interference; interference rings； isosceles triangular wedge; optical resonant cavity; micro-displacement sensor

2017-06-05

高校教指委電動(dòng)力學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào): JZW-16-DD-15)；中央高校教育教學(xué)改革專(zhuān)向項(xiàng)目—武漢大學(xué)“351人才計(jì)劃”教學(xué)崗位項(xiàng)目。

周?chē)?guó)全，男，副教授，研究方向?yàn)殡姶艌?chǎng)與光電子技術(shù)、非線性方程與孤子理論，zgq@whu.edu.cn。

周?chē)?guó)全,祁寧. 大頂角等腰劈的等傾干涉原理[J]. 物理與工程，2017，27(5)：65-70.