陳學(xué)文 姚 雪 張家偉 陳震亞

(重慶科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，重慶 401331)

旋轉(zhuǎn)矢量在光的干涉和衍射中的應(yīng)用

陳學(xué)文 姚 雪 張家偉 陳震亞

(重慶科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，重慶 401331)

旋轉(zhuǎn)矢量在討論兩個(gè)及兩個(gè)以上簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的問題時(shí)，是一種很方便的工具。利用旋轉(zhuǎn)矢量分析計(jì)算光的干涉和衍射光強(qiáng)分布十分簡(jiǎn)潔直觀，而無需涉及復(fù)雜的積分計(jì)算，且得到的結(jié)果與利用菲涅爾衍射積分公式得到的結(jié)果一致。利用旋轉(zhuǎn)矢量討論光的干涉和衍射問題可加深同學(xué)對(duì)振動(dòng)合成、干涉和衍射相關(guān)知識(shí)的整體理解。本文利用旋轉(zhuǎn)矢量具體討論了光的干涉和單縫衍射的條紋分布和光強(qiáng)分布。

旋轉(zhuǎn)矢量；光的干涉；光的衍射；光強(qiáng)分布

光的干涉和光的衍射是工科大學(xué)物理課程中十分重要的組成部分。然而，由于光的干涉和光的衍射涉及到知識(shí)點(diǎn)多且抽象，以及工科大學(xué)物理學(xué)時(shí)的限制，目前大多數(shù)大學(xué)物理課程中關(guān)于單縫夫瑯禾費(fèi)衍射條紋分布，一般采用菲涅爾半波帶法定性討論，對(duì)衍射光強(qiáng)的分布，一般只給出光強(qiáng)分布公式I=I0sin2β/β2；而在討論光柵衍射時(shí)，對(duì)于多縫干涉的討論，也僅僅討論主明條紋產(chǎn)生條件(光柵方程)，并以結(jié)論的形式說明兩條相鄰的主明條紋之間有N-1條暗條紋和N-2條次級(jí)明條紋。所以在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生普遍感到內(nèi)容分散且抽象，公式多且容易混淆，于是很難區(qū)分光的干涉和衍射現(xiàn)象產(chǎn)生明暗條紋的條件和條紋分布特點(diǎn)。因此，若能采用一種較為簡(jiǎn)潔的方法分析計(jì)算多縫干涉和單縫衍射條紋和光強(qiáng)分布，對(duì)于工科大學(xué)生較為深入理解光的多縫干涉、單縫衍射和光柵衍射(多縫干涉和單縫衍射總效應(yīng))大有幫助。針對(duì)如何在大學(xué)物理課堂上講好光的干涉和衍射相關(guān)知識(shí)，學(xué)術(shù)界從不同方面對(duì)此做了研究與探討。文獻(xiàn)[1]探討了啟發(fā)式教學(xué)在物理光學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用；文獻(xiàn)[2]也探討了如何改善波動(dòng)光學(xué)教學(xué)方法；文獻(xiàn)[3]結(jié)合馬文蔚主編的《物理學(xué)》(5版)教材探討了大學(xué)物理中光學(xué)教學(xué)的探究與思考。文獻(xiàn)[4-7]分別從不同方面探討了光的干涉與光的衍射之間的區(qū)別于聯(lián)系。

“旋轉(zhuǎn)矢量”是一種描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)較為直觀的幾何方法。從坐標(biāo)原點(diǎn)O(平衡位置)畫一矢量，使它的模等于諧振動(dòng)的振幅A，并令t=0時(shí)A與x軸的夾角等于諧振動(dòng)的初相位φ0，然后使A以等于角頻率ω的角速度在平面上繞O點(diǎn)作逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣作出的矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量。旋轉(zhuǎn)矢量任一時(shí)刻在x軸上的投影x=Acos(ωt+φ0)就描述了一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。它在討論波(光)的干涉和衍射時(shí)十分方便。利用旋轉(zhuǎn)矢量討論光的干涉和衍射光強(qiáng)條紋分布時(shí)十分方便而無需涉及復(fù)雜的積分計(jì)算，并且得到的結(jié)果與利用菲涅爾衍射積分公式得到的結(jié)果一致?；诖?，本文利用旋轉(zhuǎn)矢量法具體討論光的多縫干涉和夫瑯禾費(fèi)單縫衍射的條紋分布和光強(qiáng)分布，以期以一種較為簡(jiǎn)潔直觀的方法使學(xué)生掌握光的干涉衍射相關(guān)知識(shí)，并加深同學(xué)對(duì)振動(dòng)合成、干涉和衍射相關(guān)知識(shí)的整體理解。

1 利用旋轉(zhuǎn)矢量討論光的多縫干涉

對(duì)于由N個(gè)狹縫構(gòu)成的多縫干涉，其裝置簡(jiǎn)圖如圖1所示。狹縫中的光傳播到P點(diǎn)時(shí)，相鄰兩條狹縫傳播到光屏上P點(diǎn)的光程差為Δ=dsinθ，則相鄰兩束光在P點(diǎn)振動(dòng)的相位差

(1)

圖1 多縫干涉示意圖

相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量合成(疊加)如圖2所示。根據(jù)幾何關(guān)系可得，每一個(gè)分振動(dòng)的振幅為Ai=2r(sinΔφ/2)，N個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量的合振幅為A=2rsin(NΔφ/2)。

圖2 多縫干涉旋轉(zhuǎn)矢量疊加

P點(diǎn)合振動(dòng)的振幅

(2)

其中，A0=NAi。光的強(qiáng)度與振幅的平方成正比，定義光的強(qiáng)度I=A2。則P點(diǎn)光強(qiáng)為

(3)

對(duì)于N=2的特例(此時(shí)為楊氏雙縫干涉)，根據(jù)式(2)可得

(4)

次級(jí)明條紋對(duì)應(yīng)的條件式為

(5)

在Δφ≠2kπ的條件下(根據(jù)上文討論Δφ=2kπ對(duì)應(yīng)著主極大值條件)，可得，

(6)

圖3 N個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量干涉相長(zhǎng)相消的示意圖

圖4根據(jù)多縫干涉光強(qiáng)分布公式(3)給出了3縫、6縫、10縫和20縫干涉光強(qiáng)分布。可以看出，相鄰兩主明條紋之間有N-1條暗條紋，有N-2條次級(jí)明條紋，且次級(jí)明條紋比主明條紋強(qiáng)度小很多，隨著縫數(shù)的增加，次級(jí)明條紋的強(qiáng)度逐漸減小。對(duì)于N很大的多縫干涉，在屏上看到的條紋是很細(xì)很亮的條紋中間有寬闊的暗區(qū)域。

圖4 多縫干涉光強(qiáng)分布(a) N=3; (b) N=6; (c) N=10; (d) N=20

圖5 夫瑯禾費(fèi)單縫衍射示意圖

2 利用旋轉(zhuǎn)矢量法討論光的衍射

關(guān)于夫瑯禾費(fèi)衍射，文獻(xiàn)[8]討論了雙縫、單縫和多縫的干涉和衍射光強(qiáng)分布曲線的計(jì)算；文獻(xiàn)[9]針對(duì)處理菲涅爾-基爾霍夫衍射積分公式進(jìn)行了討論；文獻(xiàn)[10]分析了衍射屏上光波相位分布對(duì)單縫衍射光強(qiáng)的影響；文獻(xiàn)[11]討論了菲涅爾半波帶法、振幅矢量疊加法和積分定量計(jì)算法3種方法；文獻(xiàn)[12]討論了單縫衍射條紋公式及其條紋級(jí)次。利用菲涅爾半波帶法討論夫瑯禾費(fèi)衍射時(shí)，可以較為簡(jiǎn)潔地得到明暗條紋條件，但是不能給出光強(qiáng)分布；菲涅爾-基爾霍夫衍射積分公式超出了工科大學(xué)物理要求。而利用旋轉(zhuǎn)矢量法計(jì)算光的夫瑯禾費(fèi)單縫衍射不僅可以完整給出明暗條紋條件和光強(qiáng)分布，而且可以使學(xué)生較為容易理解。

根據(jù)惠更斯-菲涅爾原理，衍射是無數(shù)列子波疊加的結(jié)果，因此單縫衍射可以看成是無窮多縫(N→∞)干涉問題。圖5給出了縫寬為a的夫瑯禾費(fèi)單縫衍射示意圖：一束光強(qiáng)為I0(振幅為A0)的光在狹縫a處的波振面上分割成N(N→∞)個(gè)相干子光源，每個(gè)子光源的振幅為A0/N，這個(gè)相干子光源在空間相干疊加。

(7)

P點(diǎn)(即屏幕上任意一點(diǎn))合振動(dòng)光波強(qiáng)度表達(dá)式為

(8)

(9)

光強(qiáng)的極值條件可由上式求導(dǎo)等于零得到

(10)

極值條件為： (1)β=0；(2)sinβ=0；(3)βcosβ-sinβ=0。

對(duì)于β=0：根據(jù)關(guān)系式β=πasinθ/λ可得到sinθ=0，則圖4中“相鄰兩縫”傳到P點(diǎn)的相位差Δφ=0。因此，β=0對(duì)應(yīng)著中央極大值的位置及光強(qiáng)，根據(jù)式(9)可得

(11)

在此情況下也可借鑒圖3(a)所示的旋轉(zhuǎn)矢量疊加來計(jì)算此時(shí)P點(diǎn)的合振幅。在此情況下

(12)

(13)

對(duì)于βcosβ-sinβ=0：對(duì)應(yīng)單縫衍射光強(qiáng)次級(jí)極大值的位置，此時(shí)有β=tanβ。解此超越方程可得β1=1.430π，β2=2.461π，β3=1.471π等。

由此可得分列于中央主最大兩邊的其他最大值(稱為次最大)的位置為

(14)

表1給出了夫瑯禾費(fèi)單縫衍射中央主明條紋和次級(jí)明條紋的位置，并與菲涅爾半波帶法給出的結(jié)果做了比較，兩者的差別在于由本方法所獲得結(jié)果與菲涅爾半波帶法相比，次級(jí)極大值的位置稍微向中心偏移，當(dāng)衍射級(jí)數(shù)增大時(shí)，兩者結(jié)果趨于一致。同時(shí),表1也給出了次級(jí)明條紋與中向明條紋的相對(duì)強(qiáng)度。可以看出，各次級(jí)明條紋的強(qiáng)度比中央明條紋小很多，且隨著衍射級(jí)數(shù)的增加，條紋強(qiáng)度迅速降低。圖6根據(jù)式(9)繪出了單縫衍射光強(qiáng)分布曲線。

表1 單縫衍射極大值位置及相對(duì)光強(qiáng)

圖6 單縫衍射光強(qiáng)分布

對(duì)于光柵夫瑯禾費(fèi)衍射，其條紋效果是單縫衍射對(duì)多縫干涉的調(diào)制作用。此時(shí)，要考慮從每一個(gè)狹縫發(fā)出來的光的單縫衍射效應(yīng)。在此情況下，將單個(gè)狹縫的光強(qiáng)I0替換成式(8)中的I，再代入多縫干涉光強(qiáng)分布公式(3)時(shí)，即可得到光柵衍射光強(qiáng)分布：

(15)

圖7 光柵衍射光強(qiáng)分布(N=20,a=b)

圖7以20縫的光柵衍射為例，并假定光柵常數(shù)a+b=2a(依據(jù)式(15)，并取N=20，d=2a)，繪出了光柵衍射光強(qiáng)分布。圖7中虛線表示縫寬為a的單縫衍射，實(shí)線表示光柵衍射。從中可以看出，光柵衍射是單縫衍射和多縫干涉的總效果，多縫干涉受到單縫衍射的調(diào)制作用。

3 結(jié)論

從以上討論可以看出，在討論光的多縫干涉和單縫衍射問題時(shí)，利用旋轉(zhuǎn)矢量法分析計(jì)算光強(qiáng)分布十分簡(jiǎn)潔，對(duì)于工科專業(yè)的學(xué)生而言比較容易理解。因此，針對(duì)工科專業(yè)學(xué)生而言，在講授楊氏雙縫干涉知識(shí)時(shí)，可利用旋轉(zhuǎn)矢量分析楊氏雙縫干涉的條紋和光強(qiáng)分布，再推廣到多縫干涉(N>2)情況；在講授光的衍射(單縫衍射和光柵衍射)相關(guān)知識(shí)時(shí)，可按教材中先講單縫衍射再講光柵衍射的順序進(jìn)行，先用菲涅爾半波帶法對(duì)單縫衍射做半定量討論，再利用旋轉(zhuǎn)矢量法來分析計(jì)算單縫衍射(N→∞的多縫干涉)條紋及光強(qiáng)分布，最后講授光柵衍射，循序漸進(jìn)的講授。一方面可以比較容易地引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出干涉和衍射這兩個(gè)概念的區(qū)別與聯(lián)系：從本質(zhì)上來說，光的干涉和衍射都是光波相干疊加的結(jié)果，這是兩者之間的共性；若不考慮每個(gè)狹縫的衍射調(diào)制效應(yīng)，干涉是有限數(shù)量的光束之間由于光程差的變化而形成疊加效應(yīng)，衍射是光波在傳播中由于波陣面受到限制，光的傳播偏離了原來直線傳播的方向，使無窮多個(gè)次波之間產(chǎn)生了光程差而形成疊加效應(yīng)，這是兩者之間的主要差別；在實(shí)際中，干涉和衍射是同時(shí)存在的，在干涉條紋的計(jì)算過程中，通常是需要考慮縫的寬度不為零而造成的衍射調(diào)制效應(yīng)，這樣才能得到最為準(zhǔn)確的干涉條紋分布，干涉和衍射的計(jì)算都是由惠更斯-菲涅爾原理為基礎(chǔ)的，這是兩者之間的聯(lián)系。另一方面也可使學(xué)生對(duì)振動(dòng)合成和光的干涉、衍射相關(guān)物理知識(shí)形成一脈相承的知識(shí)體系。

[1] 曲芳, 于意仲, 倪曉昌, 等. 淺談啟發(fā)式教學(xué)法在物理光學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 科教文匯：中旬刊. 2015(2):51-52. Qu Fang, Yu Yizhong, Ni Xiaochang, et al. A brief discussion on the application of heuristic teaching method in physical optics classroom teaching[J]. The Science Education Article Collects, 2015(2): 51-52. (in Chinese)

[2] 吐爾遜·買買提. 如何改善波動(dòng)光學(xué)教學(xué)方法探討[J]. 和田師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào).2015(1):47-48. Tuerxun Maimaiti. A probe into improving teaching methods of wave optics[J]. Journal of Hotan Normal College, 2015(1): 47-48. (in Chinese)

[3] 朱家昆，肖海波，郭定和，等. 大學(xué)物理中光學(xué)教學(xué)的探究與思考[J]. 高教學(xué)刊. 2015(18):102-103. Zhu Jiakun, Xiao Haibo, Guo Dinghe, et al. The exploration and thinking on the teaching of optics in college[J]. Physics Journal of Higher Education, 2015(18): 102-103. (in Chinese)

[4] 王莉，魯剛. 光的干涉和衍射探討[J]. 高師理科學(xué)刊. 2009(3):92-95. Wang Li, Lu Gang. Discussed shallowly on light interference and light diffraction[J]. Journal of Science of Teacher’ College and University, 2009(3): 92-95. (in Chinese)

[5] 呂太國(guó). 干涉和衍射的聯(lián)系與區(qū)別[J]. 物理與工程. 2010(1):19-20. Lv Taiguo. Connection and difference between interference and diffraction[J]. Physics and Engineering, 2010(1): 19-20. (in Chinese)

[6] 屈雙惠, 侯維娜, 楊志宏, 等. 光的干涉與衍射的區(qū)別與聯(lián)系[J]. 石家莊學(xué)院學(xué)報(bào). 2010(6): 86-90. Qu Shuanghui, Hou Lina, Yang Zhihong, et al. Difference and relationship between light interferencr and diffraction[J]. Journal of Shijiazhuang University, 2010(6): 86-90. (in Chinese)

[7] 楊植宗，段永法，劉洋，等. 光的干涉與衍射現(xiàn)象的物理本質(zhì)[J]. 高師理科學(xué)刊. 2011(1):57-58. Yang Zhizong, Duan Yongfa, Liu Yang, et al. Discussed shallow on light interference and light diffraction[J]. Journal of Science of Teacher’ College and University, 2011(1): 57-58. (in Chinese)

[8] 沈犁理，鐘壽仙，胥良. 雙縫、單縫和多縫的干涉和衍射光強(qiáng)分布曲線的計(jì)算[J]. 云南師范大學(xué)學(xué)報(bào):教育科學(xué)版. 1999(5):26-28. Shen Lili, Zhong Shouxian, Xu Liang. Calculation of interference and diffraction intensity distribution curves of double slit, single slit and multiple slit [J]. Journal of Yunnan Normal University(Teaching and Research on Chinese As A Foreign Language), 1999(5): 26-28. (in Chinese)

[9] 朱湘柱. 衍射積分公式的詮釋與應(yīng)用[J]. 高師理科學(xué)刊. 2007(3):94-97. Zhu Xiangzhu. An explanation and application for formulas of diffraction theory[J]. Journal of Science of Teachers’ College and University, 2007(3): 94-97.(in Chinese)

[10] 張明霞, 艾小剛. 夫瑯禾費(fèi)單縫衍射光強(qiáng)分析與探討[J]. 湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版， 2009(4): 17-20. Zhang Mingxia, Ai Xiaogang. Analysis and discussion of Fraunhofer slit diffraction intensity[J]. Journal of Xiangtan Normal University(Natural Science Edition), 2009(4): 17-20. (in Chinese)

[11] 姜麗娜. 單縫夫瑯禾費(fèi)單縫衍射光強(qiáng)分布的3種計(jì)算方法[J]. 遼寧科技大學(xué)學(xué)報(bào). 2011(2): 123-128. Jiang Lina. Three calculation methods of light intensity distribution of single-slit Fraunhofer diffraction[J]. Journal of University of Science and Technology Liaoning, 2011(2): 123-128. (in Chinese)

[12] 王小平, 江鍵, 許佳捷. 波動(dòng)光學(xué)條紋公式及其條紋級(jí)次的討論[J]. 實(shí)驗(yàn)科學(xué)與技術(shù). 2015(1): 4-5. Wang Xiaoping, Jiang Jian, Xu Jiajie. Discussion on fringe formulaand fringe order in interference and diffraction[J]. Experiment Science and Technology, 2015(1): 4-5. (in Chinese)

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THE APPLICATION OF ROTATIONAL VECTOR IN INTERFERENCE AND DIFFRACTION OF LIGHT

Chen Xuewen Yao Xue Zhang Jiawei Chen Zhenya

(Department of Math and Physics, Chongqing University of Science and Technology, Chongqing 401331)

The rotational vector is a very convenient tool for discussing the combination of two or more than two harmonic vibrations. It is very simple, intuitive to analyze and calculate the intensity distribution of light interference and diffraction by using rotational vector, without needing to calculate the complex integral calculation, and the results obtained are consistent with the Fresnel diffraction integral formula’s results. At the same time, it is able to help the students to deepen their overall understanding of the harmonic vibration combination, interference and diffraction by using the rotational vector to discuss the interference and diffraction of light. In this paper, we use the rotational vector to discuss the fringe distribution and intensity distribution of light interference and single slit diffraction.

rotational vector; interference of light; diffraction of light; intensity distribution

2016-12-27；

2017-03-13

國(guó)家自然科學(xué)基金(11347024)；重慶市教育委員會(huì)2105年度高等教育教學(xué)改革研究立項(xiàng)項(xiàng)目(153151)；重慶市科委基金(2016jcyjA0336)；重慶市教委基金(KJ1401313)；重慶科技學(xué)院博士教授啟動(dòng)基金(CK2014B21)；重慶科技學(xué)院重點(diǎn)項(xiàng)目培育基金(CK2015128)。

陳學(xué)文，男，副教授，主要從事物理教學(xué)與科研工作，研究方向?yàn)槔碚撐锢?，kat820810@163.com。

陳學(xué)文，姚雪，張家偉，等. 旋轉(zhuǎn)矢量在光的干涉和衍射中的應(yīng)用[J]. 物理與工程，2017，27(5)：56-60.