劉麗麗左繼紅吳軍鄧秋連

一種新型ARX模型在三容水箱液位系統(tǒng)中的應(yīng)用?

劉麗麗1，2左繼紅1，2吳軍1鄧秋連1

（1.中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院長(zhǎng)沙410083）（2.湖南鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院株洲412001）

采用一種新的ARX模型（RBF-ARX模型）對(duì)三容水箱液位系統(tǒng)進(jìn)行建模，闡述了RBF-ARX模型的建模原理、模型結(jié)構(gòu)的確定、模型參數(shù)辨識(shí)及參數(shù)優(yōu)化等問(wèn)題。并分析了該模型的優(yōu)越性能，模型的仿真預(yù)測(cè)輸出結(jié)果，證實(shí)了RBF-ARX模型在非線性系統(tǒng)建模和辨識(shí)中的可靠性和有效性。

ARX模型；三容水箱系統(tǒng)；非線性系統(tǒng)

Class NumberTP273

1引言

三容水箱液位控制系統(tǒng)屬于工業(yè)過(guò)程控制中的一種被控對(duì)象，具有典型滯后性、非線性和強(qiáng)耦合的特性，其控制模式類似于工業(yè)控制中的多種非線性時(shí)變多變量耦合系統(tǒng)。其工作過(guò)程涉及多個(gè)學(xué)科，如控制理論、現(xiàn)代控制技術(shù)、流體力學(xué)等。通過(guò)它用戶除可以掌握控制原理、現(xiàn)代控制技術(shù)、計(jì)算機(jī)技術(shù)等之外，還可以了解生產(chǎn)工藝流程。因此研究該系統(tǒng)的建模及控制算法問(wèn)題，對(duì)實(shí)際工程應(yīng)用有指導(dǎo)和參考意義［1］。

用經(jīng)典控制方法對(duì)三容水箱液位系統(tǒng)控制時(shí)，常因系統(tǒng)的多輸入輸出、非線性和強(qiáng)耦合特性，而使控制變得極為復(fù)雜，以致很難達(dá)到較為理想的控制效果。針對(duì)以上問(wèn)題，提出了專門針對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行建模的新型ARX建模法，采用結(jié)構(gòu)化的離線參數(shù)辨識(shí)方法得到模型的最優(yōu)參數(shù)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該模型的優(yōu)越性，對(duì)控制策略的發(fā)揮奠定基礎(chǔ)。

2三容水箱液位系統(tǒng)介紹

實(shí)驗(yàn)用的三容水箱系統(tǒng)由水箱、電控柜、AD/ DA數(shù)據(jù)采集卡和PC機(jī)組成。三容水箱本體結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1中，水箱本體由蓄水容器、壓力傳感器和動(dòng)力驅(qū)動(dòng)三大部分構(gòu)成，動(dòng)力驅(qū)動(dòng)部分包括水泵、電磁閥以及手動(dòng)調(diào)節(jié)閥。水箱和1#、2#、3#水柱用于儲(chǔ)水，水箱為三個(gè)水柱提供水源，泵1和泵2分別為1#、3#水柱供水，手動(dòng)閥LV1，LV5和1#、2#電磁閥控制回路的水流量。每個(gè)水柱都安裝了防溢管道，保證了液位到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)經(jīng)由它流至水箱。3#、4#電磁閥分別是3#、1#水柱的出水閥，手動(dòng)閥LV2為2#水柱出水閥。3個(gè)水柱間安裝LV3、LV4連接閥，可以調(diào)節(jié)連接閥和出水閥的開度來(lái)控制水柱間的耦合和干擾強(qiáng)度，研究表明它是典型的非線性系統(tǒng)。

圖1 三容水箱液位控制系統(tǒng)

3 RBF-ARX模型結(jié)構(gòu)及參數(shù)辨識(shí)

3.1 RBF-ARX模型結(jié)構(gòu)

RBF-ARX模型采用線性自回歸（Auto-Regres?sive eXogenous，ARX）模型［2］和高斯徑向函數(shù)（Radi?al Basis Function，RBF）基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合［9～10］，常用于可局部線性化的、時(shí)變的多變量非線性系統(tǒng)的建模過(guò)程中，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近非線性系統(tǒng)模型中依存于狀態(tài)的系數(shù)，能較好描述系統(tǒng)的全局非線性特性。

針對(duì)三容水箱系統(tǒng)，有兩個(gè)輸入，分別是u1（1#電磁閥電壓）和u2（2#電磁閥電壓），兩輸出分別是y1（1#水柱水位）和y2（3#水柱水位），其RBF-ARX模型的結(jié)構(gòu)如式（1），如式（1）模型結(jié)構(gòu)采用基本的線性ARX模型，而其模型系數(shù)則由高斯徑向基的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)逼近［11］，并且是時(shí)變的。

其中，?i0為模型系數(shù)，cij，k(i=1，2，…，nj，j=y，u，v; k=0，1，2，…，m)為線性權(quán)系數(shù)，ny，nu為模型階次，h為非線性環(huán)節(jié)數(shù)目，zj，m為RBF網(wǎng)絡(luò)中心，ξ(t)為干擾白噪聲信號(hào)，nx=dim{(w(t-1)}為w(t-1)列向量的維數(shù)，Y(t)=[y1(t)y2(t)]T∈?是1#和3#水柱水位的輸出矩陣，U(t)=[u1(t)u2(t)]T∈?是1#和2#電磁閥電壓輸入量矩陣，λikj(k=1，2，…，m;i=y，u;j=1，2)為比例系數(shù)。

式中，||.||2代表矢量的2-范數(shù)。

3.2參數(shù)辨識(shí)

采用PID算法控制液位在較大范圍內(nèi)波動(dòng)，通過(guò)改變目標(biāo)值使輸入輸出在大范圍內(nèi)波動(dòng)，并疊加白噪聲信號(hào)，使數(shù)據(jù)體現(xiàn)系統(tǒng)全局動(dòng)態(tài)特性，并采集整個(gè)過(guò)程輸入輸出數(shù)據(jù)，用于辨識(shí)和檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

圖2 采集的輸入輸出數(shù)據(jù)用于辨識(shí)模型

RBF-ARX模型的參數(shù)可以采用一種快速收斂的結(jié)構(gòu)化非線性參數(shù)優(yōu)化策略來(lái)離線估計(jì)。它是一種列維布格奈奎爾特方法（Levenberg-Marquardt Method，LMM）［3］和線性最小二乘法（Least Square Method，LSM）［4］相結(jié)合的沒(méi)有限制的結(jié)構(gòu)化非線性參數(shù)優(yōu)化方法（Structured Nonlinear Parameter Opti?mization Method，SNPOM），這種優(yōu)化策略是按照如下步驟執(zhí)行的［5］。

3.2.1參數(shù)分類

將模型（1）的參數(shù)分成線性參數(shù)

和非線性參數(shù)

令

則模型（1）可表示成

3.2.2選取RBF-ARX模型階次

模型階次包括ny、nu和h，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)h一般選1～2。ny、nu的確定常采用AIC信息準(zhǔn)則循環(huán)方法［6］，該方法常用于估算相關(guān)參數(shù)，效果優(yōu)良，其表達(dá)式為

其中，V取誤差標(biāo)準(zhǔn)方差的平方，N為辨識(shí)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度，d為模型總參數(shù)個(gè)數(shù)，模型（1）中線性參數(shù)的個(gè)數(shù)為(h+1)(2ny+2nu+1)，非線性參數(shù)Zki，j，λik，j的個(gè)數(shù)是8h。綜上總參數(shù)d值為

通過(guò)采集的輸入、輸出數(shù)據(jù)（圖2）辨識(shí)模型參數(shù)，選取m=2，由AIC信息準(zhǔn)則計(jì)算ny=4，nu=6。

3.2.3 RBF-ARX模型中心變量X(t-1)的選取

模型中X(t-1)的選則非常重要，其選擇與非線性因素息息相關(guān)，它可以是輸入矩陣、輸出矩陣或則二者接合。三容水箱的非線性因素與輸入電磁閥電壓與輸出水位有關(guān)，故X(t-1)選擇輸入和輸出組合，如下式：

3.2.4模型初始化

確定模型階次后，根據(jù)先驗(yàn)知識(shí)確定θN0，采用最小二乘法得出［7］，即

式中

式中，{yˉ1(i)，yˉ2(i)，Xˉ(i-1)|i=τ+1，τ+2，…，M}是辨識(shí)數(shù)據(jù)集合；τ是模型中的最大時(shí)間延遲，M是辨識(shí)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。[R(θN0)TR(θN0)]-1采用SVD［5］方法以防求逆失敗。

3.2.5優(yōu)化

目標(biāo)函數(shù)定義如下式［8］：

其中，F(xiàn)(θN，θL)表示模型一步向前預(yù)測(cè)輸出Y^與采樣輸出數(shù)據(jù)Yˉ的差。

優(yōu)化問(wèn)題即求

求θkN采用Jacobian矩陣

其中k表示重復(fù)步數(shù)，θkN的遞推如下所示

式中，βk是步長(zhǎng)，dk是尋優(yōu)方向，dk根據(jù)下式求得

尋優(yōu)過(guò)程就是滿足下式

不滿足時(shí)，尋優(yōu)結(jié)束。

4模型預(yù)測(cè)結(jié)果分析

通過(guò)上面辨識(shí)參數(shù)步驟，采用圖2采集的輸入輸出數(shù)據(jù)，辨識(shí)并優(yōu)化RBF-ARX模型參數(shù)，非線性參數(shù)優(yōu)化過(guò)程如圖3所示，由非線性參數(shù)采用最小二乘法可求得模型的線性參數(shù)，繼而得到系統(tǒng)的RBF-ARX模型。

圖3 非線性參數(shù)優(yōu)化過(guò)程

從圖3可看出，模型參數(shù)的優(yōu)化過(guò)程收斂速度較快，第三個(gè)子圖表示輸出向前預(yù)測(cè)誤差，誤差也比較小。

對(duì)辨識(shí)出的RBF-ARX模型進(jìn)行一步預(yù)測(cè)輸出仿真，如圖4所示。顯然，RBF-ARX模型下系統(tǒng)實(shí)際輸出跟蹤期望輸出效果好，誤差波動(dòng)小且成高斯?fàn)罘植?，仿真表明建模理想，精度高，能較好反映系統(tǒng)全局非線性特征。

圖4 RBF-ARX模型預(yù)測(cè)精度

通過(guò)觀察模型一步預(yù)測(cè)誤差相關(guān)性函數(shù)曲線圖，誤差統(tǒng)計(jì)特性類似白噪聲信號(hào)。說(shuō)明RBF-ARX模型能較好描述系統(tǒng)的全局非線性動(dòng)態(tài)特征。

為進(jìn)一步證明模型精度高，局部放大工作區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)實(shí)際輸出和模型預(yù)測(cè)輸出值，觀察誤差情況。圖6和7分別是1#、3#水柱液位模型輸出與實(shí)際輸出誤差圖。顯然，系統(tǒng)波動(dòng)范圍可達(dá)400mm，而系統(tǒng)的實(shí)際輸出與模型輸出誤差在-5mm～5mm之間波動(dòng)。系統(tǒng)的模型輸出能較好擬合系統(tǒng)的實(shí)際輸出，模型有較好的擬合精度，能準(zhǔn)確描述系統(tǒng)的非線性特征。

圖5 模型預(yù)測(cè)誤差的相關(guān)性函數(shù)曲線（虛線：e1(t)，實(shí)線：e2(t)）

圖6 1#水柱液位RBF-ARX模型輸出與實(shí)際輸出對(duì)比

圖7 3#水柱液位RBF-ARX模型輸出與實(shí)際輸出

5結(jié)語(yǔ)

針對(duì)非線性的三容水箱，采取一種RBF-ARX模型對(duì)其進(jìn)行建模。并采用離線的方法辨識(shí)參數(shù)，通過(guò)預(yù)測(cè)輸出仿真結(jié)果分析建模精度，結(jié)果表明建模精度高，模型能較好描述系統(tǒng)非線性特性，證實(shí)了該建模方法的有效性和優(yōu)越性。

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Application of A New ARX Modelin Three-tank Water System

LIU Lili1，2ZUO Jihong1，2WU Jun1DENG Qiulian1
（1.Schoolof Information Science and Technology，Central South University，Changsha 410083）（2.Hunan Railway ProfessionalTechnology College，Zhuzhou 412001）

This paper focuses on the modeling of three-tank water system using RBF-ARX model，states the principium of RBF-ARX model，modelstructure confirmation，modelparameters identification，parameter optimization and so on.The superiori?ty of the model is analyzed，the predictive results of simulation show the reliability and effectiveness of RBF-ARX model for the modeling and identification ofnonlinear system.

ARX model，three-tank water system，nonlinear system

TP273

10.3969/j.issn.1672-9722.2017.08.043

2017年2月8日，

2017年3月25日

2015年度國(guó)家自然科學(xué)基金：抗參數(shù)橫揺的欠驅(qū)動(dòng)船舶航跡跟蹤控制研究（編號(hào)：61403045）；2015年度湖南省教育廳科學(xué)研究資助項(xiàng)目：四旋翼飛行器的建模及控制策略的研究（編號(hào)：15C0903）資助。

劉麗麗，女，碩士研究生，講師，研究方向：復(fù)雜非線性系統(tǒng)建模及控制方法。左繼紅，男，碩士研究生，講師，研究方向：復(fù)雜非線性系統(tǒng)建模及控制方法。吳軍，男，博士，講師，研究方向：復(fù)雜非線性系統(tǒng)建模及控制方法。鄧秋連，女，碩士，高級(jí)工程師，研究方向：復(fù)雜非線性系統(tǒng)建模及控制方法。