施玉飛，張 毅

（1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215011）

時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理

施玉飛1，張 毅2*

（1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215011）

研究時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與守恒量。首先，提出并建立時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)的變分問題；然后，求得時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)的參數(shù)方程；最后，基于Pfaff作用量在無(wú)限小變換下的不變性，給出了時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性的定義，利用時(shí)間重新參數(shù)化方法，求得時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理并舉例說明其應(yīng)用。

時(shí)間尺度；事件空間；Birkhoff系統(tǒng)；對(duì)稱性；守恒量

1988年，Hilger[1]首次提出時(shí)間尺度上的微積分理論，定義在時(shí)間尺度上的微積分將離散的差分方程和連續(xù)的微分方程進(jìn)行了統(tǒng)一和擴(kuò)展。2004年，Bohner[2]首次討論了時(shí)間尺度上的變分問題。1918年，Noether首次研究了Hamilton作用量在無(wú)限小變換下的不變性，即Noether對(duì)稱性[3]。Noether定理揭示了在無(wú)限小變換下變分不變性與守恒量之間的關(guān)系。2007年，Bartosiewicz和Torres[4]首次得到了在時(shí)間尺度上的Noether定理。國(guó)內(nèi)學(xué)者也分別在連續(xù)和離散系統(tǒng)下對(duì)Noether理論進(jìn)行了研究[5-8]。而對(duì)時(shí)間尺度上的Noethe理論研究才剛剛起步，如蔡平平、傅景禮和郭永新首次給出了在時(shí)間尺度上非保守非完整系統(tǒng)的Noether理論[9]，張毅得到了在Hamilton系統(tǒng)中Noether對(duì)稱性與守恒量[10]，宋傳靜和張毅首次研究了在 Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與守恒量[11]，祖啟航和朱建青探討了在非完整系統(tǒng)上的Noether理論[12-13]。

事件空間是指將時(shí)間也作為一個(gè)變量，把原來(lái)n維位形空間擴(kuò)展到n+1維空間，這樣時(shí)間變量與坐標(biāo)變量在系統(tǒng)中處于同一地位。學(xué)者們分別在離散和連續(xù)系統(tǒng)下，研究了事件空間中的對(duì)稱性問題[6，14-18]。為了更好的探究Birkhoff系統(tǒng)的一般物理實(shí)質(zhì)，筆者進(jìn)一步研究時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)的Noether理論，即將離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)一起來(lái)，并且在時(shí)間與坐標(biāo)變量處于同一地位下，即在時(shí)間尺度上事件空間中研究Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與守恒量。首先，求得時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)的參數(shù)方程；然后，給出時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性的定義，并且利用時(shí)間重新參數(shù)化方法，求得時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理。

1 時(shí)間尺度上的微積分

該節(jié)將簡(jiǎn)單介紹文中涉及到的時(shí)間尺度上的微積分。詳細(xì)內(nèi)容可參見文獻(xiàn)[19]。

設(shè) T是一個(gè)時(shí)間尺度，?t∈T，向前跳躍算子 σ：T→T，σ（t）=inf{s|s＞t，s∈T}，當(dāng) supT＜+∞ 時(shí)，σ(supT)=supT；向后跳躍算子 ρ：T→T，ρ（t）=sup{s|s＜t，s∈T}，當(dāng) infT＞-∞ 時(shí)，σ（infT）=infT。 步差函數(shù) μ：T→[0，+∞），μ（t）=σ（t）-t。

若 t＜σ（t），則稱 t右離散；若 t=σ（t），則稱 t右稠密。 若 ρ（t）＜t，則稱 t左離散；若 ρ（t）=t，則稱 t左稠密。

定義Tk為

函數(shù) f：T→R，則定義 fσ：T→R，fσ（t）=f（σ（t））或者寫成 fσ=f?σ。

設(shè) t∈Tk，函數(shù) f：T→R，若對(duì)于任意 ε＞0，存在 δ＞0，使得對(duì)于任意的 t，s∈U，這里的 U=（t-δ，t+δ），有

則稱 fΔ（t）為 Δ-導(dǎo)數(shù)，這里 fΔ（t）=Δf（t）/Δt。

如果函數(shù)f：T→R在T的右稠密點(diǎn)處連續(xù)，并且在T的左稠密點(diǎn)處左極限存在，則稱函數(shù)f在T上是rd-連續(xù)。記為Crd。若函數(shù)f：T→R上Δ-可微，且其Δ-導(dǎo)數(shù)是右連續(xù)的，則記為；若函數(shù)f：T→R二階 Δ-可微，并且二階Δ-導(dǎo)數(shù)是右連續(xù)的，則記為

如果函數(shù) f：T→R 是右稠密的，對(duì)任意的 t∈Tk，若存在 F，有 FΔ（t）=f（t），定義不定積分為C其中C為任意常數(shù)，則定積分為：對(duì)任意的a，b∈T，有

函數(shù) f：[a，b]T→R 上連續(xù)且有 Δ-導(dǎo)數(shù)，若 fΔ（t）＞0，則 f（t）在時(shí)間尺度[a，b]T單調(diào)遞增[20]。

文中將用到的幾個(gè)重要公式

時(shí)間尺度上 Dubois-Reymond 引理[21]：令 g∈Crd，g：[a，b]→Rn，如果對(duì)任意的，且 η（a）=η（b）=0，都有，則 g（t）=C，其中常數(shù) C∈Rn。

2 時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)的參數(shù)方程

研究事件空間中Birkhoff系統(tǒng)，其Birkhoff變量為aλ（λ=1，…，2n）。建立（2n+1）維事件空間，其空間中點(diǎn)的坐標(biāo)為 aλ（λ=1，…，2n）和 t。

記

則變量 xα（α=1，…，2n+1）都可以作為某參數(shù) τ的已知函數(shù)。 令 xα=xα（τ）是類曲線，使得當(dāng)

不同時(shí)為零時(shí)，有

假設(shè)系統(tǒng)在位形空間中的 Birkhoff函數(shù)為 B（t，aλ），Birkhoff函數(shù)組為 Rγ=Rγ（t，aλ）（γ=1，…，2n），則事件空間中的 Birkhoff函數(shù)組為 Bv（xα）（v=1，…，2n+1），其中

事件空間中Pfaff作用量為[16]

則在時(shí)間尺度上事件空間中，式（12）的被積函數(shù)可定義為

則時(shí)間尺度上事件空間中系統(tǒng)的Pfaff作用量可表為

則時(shí)間尺度上事件空間中的Pfaff-Birkhoff原理可表為

且滿足交換關(guān)系

和端點(diǎn)條件

現(xiàn)在將式（15）進(jìn)行變換，有

由時(shí)間尺度上Dubois-Reymond引理，得到

對(duì)式（19）求 Δ－導(dǎo)數(shù)，得

式（20）可稱為時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)的參數(shù)方程。

3 時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理

接下來(lái)建立時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理。定理的證明分為兩步：第一步是在參數(shù)τ不變的無(wú)限小變換下給出證明；第二步利用時(shí)間重新參數(shù)化方法證明在參數(shù)τ變化的無(wú)限小變換下的Noether定理。

首先，在參數(shù)τ不變時(shí)，引入無(wú)限小變換群

定義 1 如果 Pfaff作用量（14）在無(wú)限小變換（21）作用下，對(duì)于任意的子區(qū)間[τa，τb]?[a，b]，其中 τa，τb∈T，滿足

則稱這種不變性為時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)在參數(shù)τ不變的無(wú)限小變換（21）下的Noether對(duì)稱性。

定理1 如果Pfaff作用量（14）在無(wú)限小變換（21）作用下保持不變，則對(duì)于一切τ∈[a，b]成立

證明 因?yàn)?Pfaff作用量（14）在無(wú)限小變換（21）作用下保持不變，則式（22）對(duì)于任意的子區(qū)間[τa，τb]?[a，b]都保持不變，所以式（22）等價(jià)于

將無(wú)限小變換（21）代入（24），得

在式（25）兩邊對(duì) ε 求導(dǎo)，并令 ε＝0，得式（23）。

式（23）可稱為時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)在參數(shù)τ不變的無(wú)限小變換（21）下的Noether等式。

定理2 在時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)中，如果Pfaff作用量（14）在無(wú)限小變換（21）變換下保持不變，則系統(tǒng)的守恒量為

證明 應(yīng)用式（20）和式（23）

因此，證得式（26）。

其次，在參數(shù)τ變化時(shí)，引進(jìn)無(wú)限小變換群

設(shè)映射β

定義 2 如果 Pfaff作用量（14）在無(wú)限小變換（28）作用下，對(duì)于任意的子區(qū)間[τa，τb]?[a，b]，其中 τa，τb∈T，滿足

則稱這種不變性為時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)在無(wú)限小變換（28）下的Noether對(duì)稱性。

定理3 如果Pfaff作用量（14）在無(wú)限小變換（28）下保持不變，則對(duì)于一切τ∈[a，b]有

成立。式（32）可稱為時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)的Noether等式。

證明 由式（31）

因?yàn)閰^(qū)間[τa，τb]是[a，b]的任意子區(qū)間，上式等價(jià)于

在式（34）兩邊對(duì) ε 求導(dǎo)，并令 ε=0，

因此，式（32）可稱為時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)的Noether等式。

定理4 在時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)中，如果Pfaff作用量（14）在無(wú)限小變換（28）下保持不變，則系統(tǒng)的守恒量為

證明 令

當(dāng) s（τ）＝τ時(shí)，有

由定義 2，當(dāng) s（τ）＝τ時(shí)，有

當(dāng) s（τ）＝τ時(shí)，有

是一個(gè)守恒量。其中

和

將式（43）和（44）代入（42），即可得到定理 4。

當(dāng) T=R時(shí)，則 σ（τ）＝τ，μ（τ）=0，則守恒量（36）轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的事件空間中 Birkhoff系統(tǒng)的 Noether守恒量[16]

當(dāng) T=hZ 時(shí)，h＞0，則 σ（τ）=τ+h， μ（τ）=h，則守恒量（36）轉(zhuǎn)化為離散的事件空間中 Birkhoff系統(tǒng)的Noether守恒量

當(dāng)τ=t時(shí)，則參數(shù)方程（20）的后面2n個(gè)方程

為時(shí)間尺度上的Birkhoff方程，守恒量（36）轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的時(shí)間尺度上Birkhoff系統(tǒng)的Noether守恒量[11]

當(dāng)T=R且τ=t，則時(shí)間尺度上的Birkhoff系統(tǒng)方程（47）轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的位形空間中的Birkhoff方程

守恒量（36）轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的Birkhoff系統(tǒng)的Noether守恒量

4 算例

第一步，求出向前跳躍算子 σ（τ）和步差函數(shù) μ（τ），

第二步，由式（11），求得時(shí)間尺度上事件空間中的Birkhoff函數(shù)組

第三步，研究系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性，由式（33）得出Noether等式為

式（54）有一組解為

式（55）相應(yīng)于系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性。將式（55）代入式（36），得相應(yīng)守恒量為

式（56）就是由Noether對(duì)稱性（54）導(dǎo)致的守恒量。

5 結(jié)語(yǔ)

時(shí)間尺度上事件空間中動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性與守恒量研究具有重要理論和實(shí)際意義。但由于現(xiàn)實(shí)問題的復(fù)雜性，時(shí)間尺度上事件空間中動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性研究才剛剛開始。文章研究了時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理。主要工作有：提出并建立了時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)的變分問題；得到了時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)的參數(shù)方程；研究了時(shí)間尺度上事件空間中Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與守恒量，并結(jié)合一個(gè)算例說明其應(yīng)用。文中方法和結(jié)果可進(jìn)一步拓展到非保守問題以及非完整力學(xué)系統(tǒng)等。

[1]AULBACH B，HILHER S.A unified approach to continuous and discrete dynamics[J].Qualitative Theory of Differential Equations，1988，53：37-56.

[2]BOHNER M.Calculus of variations on time scales[J].Dynamic Systems&Applications，2004，13（12）：339-349.

[3]NOETHER A E.Invariante Variationsprobleme[J].Gott Nachr，1918，KI，II：235-257.

[4]BARTOSIEWICZ Z，TORRES D F M.Noether’s theorem on time scales[J].Journal of Mathematical Analysis&Applications，2007，342（2）：1220-1226.

[5]李子平.約束系統(tǒng)的變換性質(zhì)[J].物理學(xué)報(bào)，1981，30（12）：1659-1671.

[6]梅鳳翔.李群李代數(shù)對(duì)約束力學(xué)系統(tǒng)的應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，1999.

[7]金世欣，張毅.相空間中含時(shí)滯的非保守力學(xué)系統(tǒng)的Noether定理[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，53（4）：56-61.

[8]徐瑞麗，方建會(huì)，張斌.離散差分序列變質(zhì)量Hamilton系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與Noether守恒量[J].物理學(xué)報(bào)，2013，62（15）：241-247.

[9]CAI P P，F(xiàn)U J L，GUO Y X.Noether symmetries of the nonconservative and nonholonomic systems on time scales[J].Science China Physics，Mechanics&Astronomy，2013，56（5）：1017-1028.

[10]張毅.時(shí)間尺度上 Hamilton 系統(tǒng)的 Noether理論[J].力學(xué)季刊，2016，37（2）：214-224.

[11]SONG C J，ZHANG Y.Noether theorem for Birkhoffian systems on time scales[J].Journal of Mathematical Physics，2015，56（10）：102701.

[12]ZU Q H，ZHU J Q.Noether theorem for nonholonomic nonconservative mechanical systems in phase space on time scales[J].Journal of Mathematical Physics，2016，57（8）：082701.

[13]祖啟航，朱建青.時(shí)間尺度上Nabla變分問題的非完整力學(xué)系統(tǒng)的Noether理論[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，56（1）：58-65.

[14]SYNGE J L.Classical Dynamics[M].Berlin：Springer，1960.

[15]張毅.事件空間中Birkhoff系統(tǒng)的參數(shù)方程及其第一積分[J].物理學(xué)報(bào)，2008，57（5）：2649-2653.

[16]張毅.事件空間中 Birkhoff系統(tǒng)的 Noether理論[J].物理學(xué)報(bào)，2008，57（5）：2643-2648.

[17]張偉偉，方建會(huì)，張斌.事件空間離散完整系統(tǒng)的Noether理論[J].動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2012（2）：117-120.

[18]張曄，張毅，陳向煒.事件空間中Birkhoff系統(tǒng)的Mei對(duì)稱性與守恒量[J].云南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016，38（3）：406-411.

[19]BOHENER M，PETERSON A.Dynamic Equations on Time Scales：An Introduction with Applications[M].Boston：Birkh?user，2001.

[20]GUSEINOV G S，KAYMAKCALAN B.On a disconjugacy criterion for second order dynamic equations on time scales[J].Journal of Computational&Applied Mathematics，2002，141：187-196.

[21]BOHNER M，PETERSON A.Advances in Dynamic Equations on Time Scales[M].Boston：Birkh?user，2003.

Noether theorem for Birkhoffian system on time scales in event space

SHI Yufei1，ZHANG Yi2*
（1.School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China；2.School of Civil Engineering，SUST，Suzhou 215011，China）

In this paper,we studied the Noether symmetry and the conserved quantity for a Birkhoffian system on time scales in event space.First,the variational problem for a Birkhoffian system on time scales in event space was proposed and established.Then,Birkhoffian equations on time scales in event space were obtained.Last,based upon the invariance of the Pfaff action on time scales under the infinitesimal transformations of a group,the definition of the Noether symmetry for a Birkhoffian system on time scales in event space was given.Using the technique of time-re-parameterization,we obtained the Noether theorem for Birkhoffian system on time scales in event space and illustrated the application of the theorem.

time scale；event space；Birkhoffian system；symmetry；conserved quantity

O316 MR（2010）Subject Classification：70H99

A

2096-3289（2017）03-0001-07

責(zé)任編輯：謝金春

2017-02-25

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11272227；11572212）；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目（KYZZ 15_0349）；蘇州科技大學(xué)研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目（SKCX15_063）

施玉飛（1989-），男，江蘇鹽城人，碩士研究生，研究方向：力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法。

*通信作者：張 毅（1964-），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail：zhy@mail.usts.edu.cn。