王海紅, 宗豐德

(浙江師范大學(xué) 非線性物理研究所,浙江 金華 321004)

復(fù)合勢(shì)下三維旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚暗孤子及其自旋紋理*

王海紅, 宗豐德

(浙江師范大學(xué) 非線性物理研究所,浙江 金華 321004)

為了充分揭示復(fù)合勢(shì)下三維旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚暗孤子的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)及自旋紋理結(jié)構(gòu)，運(yùn)用能量泛函方法和直接數(shù)值仿真耦合Gross-Pitaevskii方程組,在三維拋物勢(shì)和二維高斯勢(shì)組成的復(fù)合勢(shì)下構(gòu)造了多種帶有不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因子穩(wěn)定的自旋為1的三維鐵磁態(tài)旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚暗孤子,并分析了它們的動(dòng)力學(xué)特性.選擇其中一種暗孤子作為例子,分析了其在關(guān)鍵參量空間中的穩(wěn)定性,得到了穩(wěn)定性區(qū)域.然后通過(guò)計(jì)算暗孤子的自旋密度矢量,得到了指向自旋消失圓的三維環(huán)形自旋紋理結(jié)構(gòu)和自旋密度矢量大小隨空間變化的分布.這為更好地理解玻色-愛(ài)因斯坦凝聚的磁性性質(zhì)提供了幫助,也為實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)三維旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚暗孤子提供了理論依據(jù).

旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚；耦合Gross-Pitaevskii方程組；暗孤子；自旋紋理

0 引 言

作為物質(zhì)波孤子的一種,暗孤子一直以來(lái)都備受研究者的親睞,尤其在玻色-愛(ài)因斯坦凝聚的研究中,理論和實(shí)驗(yàn)都有了很大的進(jìn)展,得到了產(chǎn)生暗孤子的多種方法,如相位植入法[1]、密度調(diào)制法[2]及超音速流法[3]等,同時(shí)對(duì)多種結(jié)構(gòu)的暗孤子及其動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了深入的研究[4-7].隨著光阱技術(shù)的發(fā)展,對(duì)玻色-愛(ài)因斯坦凝聚的研究達(dá)到了一個(gè)新的高度,在全光阱下,原子的自旋自由度得到了保護(hù),形成了旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚[8],這為研究凝聚體中的暗孤子增添了更多的可能性.Song 等[9]通過(guò)數(shù)值模擬相位植入的方法,在F=1的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚中研究了二維環(huán)形暗孤子結(jié)構(gòu).Nistazakis等[10]研究了自旋為1的一維旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚中的暗-暗-亮和亮-亮-暗復(fù)合矢量孤子的產(chǎn)生,并在平均場(chǎng)理論下,分析了復(fù)合孤子的動(dòng)力學(xué)特征.接著,Xiong等[11]在局域磁場(chǎng)下,通過(guò)求解耦合的Gross-Pitaevskii(GP)方程組,探討了旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚中矢量孤子的構(gòu)建,并數(shù)值驗(yàn)證了其穩(wěn)定性.同時(shí),對(duì)于旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚,原子自旋所表現(xiàn)出的性質(zhì),譬如自旋紋理,也吸引了許多學(xué)者的注意.Mueller[12]研究了緩慢旋轉(zhuǎn)下自旋為1的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚中斯格明子紋理的2種類型；Pogosov等[13]探討了二維拋物勢(shì)下自旋為2的渦旋結(jié)構(gòu)及其對(duì)應(yīng)的自旋紋理.最近,Kunimi[14]在準(zhǔn)一維旋轉(zhuǎn)環(huán)勢(shì)阱下,研究了自旋為1的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體中自旋紋理的亞穩(wěn)定性.旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚暗孤子及由自旋相互作用產(chǎn)生的自旋紋理、自旋疇等一系列拓?fù)洮F(xiàn)象的研究對(duì)實(shí)現(xiàn)量子信息的儲(chǔ)存和處理起到一定的推進(jìn)作用,也為更好地理解玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體的磁性提供了幫助.然而,由外勢(shì)構(gòu)造的旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚三維暗-暗-暗矢量孤子及其暗孤子的自旋紋理還鮮有報(bào)道.

因此,本文研究由三維復(fù)合勢(shì)構(gòu)造的旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚暗孤子及其自旋紋理.首先,運(yùn)用能量泛函的方法[15],得到多種帶有不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因子組合的暗孤子;接著,通過(guò)直接數(shù)值仿真耦合的GP方程組,分析這些暗孤子的動(dòng)力學(xué)特征,并對(duì)其中一種暗孤子進(jìn)行大量數(shù)值計(jì)算,得到其在關(guān)鍵參量中的穩(wěn)定性區(qū)域.最后,通過(guò)計(jì)算暗孤子的自旋密度矢量,得到了指向自旋消失圓的三維環(huán)形自旋紋理結(jié)構(gòu),并通過(guò)計(jì)算自旋密度矢量大小隨空間變化的分布,更清楚地顯示了自旋紋理的分布.

1 理論模型和能量泛函

在平均場(chǎng)近似下,三維旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性可以由下面的耦合GP方程組描述[9,16]：

(1)

(2)

(3)

式(3)中：ω⊥,ωz,P0及a分別表示拋物勢(shì)的徑向振動(dòng)角頻率、z軸方向的振動(dòng)角頻率、高斯勢(shì)的強(qiáng)度及脈沖寬度.下文的研究表明,高斯勢(shì)的強(qiáng)度P0和其脈沖寬度a對(duì)旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚暗孤子的穩(wěn)定性具有十分重要的影響.

旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚波函數(shù)對(duì)應(yīng)的靜態(tài)解Φm(r)可以通過(guò)將

(4)

代入方程組(1)～(2)中得到.此時(shí),系統(tǒng)的能量泛函為

(5)

(6)

(7)

(8)

為了得到無(wú)量綱化耦合GP方程組(6)與(7)的靜態(tài)解,考慮到復(fù)合外勢(shì)的柱對(duì)稱性分布,筆者提出如下形式的靜態(tài)旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚暗孤子試探波函數(shù)：

(9)

(10)

本文取ξ1=1,ξ0=0,ξ-1=-1；θ1=1,θ0=0,θ-1=-1.

2 旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚暗孤子的動(dòng)力學(xué)分析

圖1 三維旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚暗孤子等值面圖

接著,將所得的旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚暗孤子最優(yōu)化靜態(tài)解形式作為對(duì)耦合GP方程組進(jìn)行數(shù)值仿真時(shí)的初態(tài),運(yùn)用Crank-Nicholson算法[23]數(shù)值仿真方程組(6)～(7),分析暗孤子的動(dòng)力學(xué)演化特性.考慮到計(jì)算機(jī)集群計(jì)算容量的限制,時(shí)間和空間步長(zhǎng)分別取0.001和0.045,網(wǎng)格大小為256×256×256,即三維空間范圍為-5.76≤x,y,z≤5.76.圖2和圖3分別給出了(3,2,1)暗孤子和(4,3,2)暗孤子在x=0平面從t=0到t=100的穩(wěn)定演化圖及初態(tài)、末態(tài)和將初態(tài)加10%微擾演化的末態(tài)的一維振幅圖,從圖中可以看出,所得到的暗孤子是穩(wěn)定的．

圖2 (3，2，1)暗孤子在x=0平面從t=0到t=100的穩(wěn)定演化圖及旋量暗孤子的 一維振幅圖(實(shí)線為初態(tài),點(diǎn)線為末態(tài),虛線為加10%微擾后得到的末態(tài))

圖3 (4，3，2)暗孤子在x=0平面從t=0到t=100的穩(wěn)定演化圖及旋量暗孤子的 一維振幅圖(實(shí)線為初態(tài),點(diǎn)線為末態(tài),虛線為加10%微擾后得到的末態(tài))

隨后,筆者選取旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚(4,3,2)暗孤子,對(duì)其進(jìn)行大量的數(shù)值計(jì)算,得到對(duì)應(yīng)的暗孤子在重要參量(p0,b)空間的穩(wěn)定區(qū)域,其曲線是臨界曲線,如圖4所示.臨界曲線上方為穩(wěn)定區(qū)域,下方為不穩(wěn)定區(qū)域.由此可以得出,復(fù)合外勢(shì)中的高斯勢(shì)的較小強(qiáng)度和較大脈沖寬度更有利于所選的旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚暗孤子的穩(wěn)定性,這為旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚暗孤子的實(shí)驗(yàn)提供了思路,希望此實(shí)驗(yàn)盡快實(shí)現(xiàn)．需要指出的是,對(duì)于不同組拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因子構(gòu)成的暗孤子,存在不同的穩(wěn)定區(qū)域.

圖4 三維旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚暗孤子在參量(p0,b)上的穩(wěn)定區(qū)域圖

3 旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚暗孤子的自旋紋理

(11)

(12)

圖5描述了帶有(3,2,1)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因子的旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚暗孤子的自旋紋理.從圖5(a)可看出,在平面z=0兩側(cè)自旋方向相反,即在平面z=0上方,自旋方向向下；而在平面z=0下方,自旋方向向上.圖5(b)顯示了在z=0平面上指向自旋消失圓的自旋紋理.結(jié)合圖5(a),(b)可知,旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚暗孤子的自旋紋理結(jié)構(gòu)為指向自旋消失圓的三維環(huán)形結(jié)構(gòu).為更清楚地顯現(xiàn)出自旋紋理強(qiáng)度的空間分布,筆者計(jì)算了自旋密度矢量大小隨空間的變化情況,圖5(c),(d)分別為自旋密度矢量大小隨空間變化的強(qiáng)度在y=0,z=0的切片圖.類似地,圖6給出了帶有(4,3,2)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因子的旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚暗孤子的自旋紋理,相比于圖5,三維環(huán)形自旋紋理結(jié)構(gòu)的內(nèi)部較大,這與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因子的大小相關(guān),即不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因子組合所對(duì)應(yīng)的暗孤子的自旋紋理結(jié)構(gòu)相似.隨著拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因子的增大,環(huán)形內(nèi)部也相應(yīng)變大.

(c),(d)分別為自旋密度矢量大小隨空間變化分布的切片圖(參數(shù)同圖2)

圖5 (3，2，1)旋量暗孤子的自旋紋理的切片圖

(c),(d)分別為自旋密度矢量大小隨空間變化分布的切片圖(參數(shù)同圖2)

圖6 (4,3,2)旋量暗孤子的自旋紋理的切片圖

4 結(jié) 語(yǔ)

在自旋為1的鐵磁態(tài)旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚中,通過(guò)由三維拋物勢(shì)和沿徑向的二維高斯勢(shì)組成的復(fù)合外勢(shì)構(gòu)造了帶有不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因子組的三維暗孤子,并分析了其動(dòng)力學(xué)特性及其在重要參量(p0,b)空間的穩(wěn)定性,得到了穩(wěn)定的旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚暗孤子.同時(shí),通過(guò)計(jì)算旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚暗孤子的自旋密度矢量,得到了指向自旋消失圓的三維環(huán)形自旋紋理和自旋紋理強(qiáng)度隨空間變化的分布,這就更清晰地反映了旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚暗孤子自旋紋理的分布結(jié)構(gòu).這將為更好地理解玻色-愛(ài)因斯坦凝聚的磁性性質(zhì)提供幫助,也為實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)三維旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚暗孤子提供一定的理論指導(dǎo).

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Three-dimensional spinor Bose-Einstein condensate dark-solitons and its spin texture under a complex potential

WANG Haihong, ZONG Fengde

(InstituteofNonlinearPhysics,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

In order to fully reveal the dynamic properties and the spin texture distribution of three-dimensional spinor Bose-Einstein condensate dark-solitons under a complex potential, it was constructed a stable spin-1 ferromagnetic three-dimensional spinor Bose-Einstein condensate dark-solitons with the different topological structure factors confined a complex potential including a three-dimensional harmonic trap and a two-dimensional Gaussian trap, via employing the energy functional method and direct numerical simulation of the coupled Gross-Pitaevskii equations, their dynamics were analyzed. In addition, it was obtained the stability region of the one of these in important parameter space. Furthermore, it was also obtained the cricoid spin texture structure pointing to the circle of spin vanishing by calculating the spin density vector of the dark-solitons. With the purpose of more clearly described the spin texture distribution, it was calculated the variational intensity of spin density vector size along with the space. These results could help people better understand the magnetism of the spinor Bose-Einstein condensate and provide the theory for the relational experimental research.

spinor Bose-Einstein condensate; coupled Gross-Pitaevskii equations; dark soliton; spin texture

10.16218/j.issn.1001-5051.2017.03.006

?2017-02-28；

2017-03-31

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11072219)；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(Y1080959)

王海紅(1991-),女,山西晉中人,碩士研究生.研究方向：玻色-愛(ài)因斯坦凝聚.

宗豐德.E-mail: fdzong@zjnu.cn>

O415

A

1001-5051(2017)03-0281-08