王元恒, 郭慧芳

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

廣義擬變分包含解與漸近非擴(kuò)張映射不動(dòng)點(diǎn)的公共迭代算法逼近*

王元恒, 郭慧芳

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

在Banach空間中建立了一種新的關(guān)于求廣義擬變分包含解與漸近非擴(kuò)張映射不動(dòng)點(diǎn)的公共元素的迭代逼近算法，且在一定條件下證明了該迭代序列的強(qiáng)收斂性.結(jié)果改進(jìn)和推廣了現(xiàn)有的一些相關(guān)結(jié)果.

廣義擬變分包含;漸近非擴(kuò)張映射;迭代算法;強(qiáng)收斂;Banach空間

0 引 言

設(shè)E是實(shí)Banach空間,E*是E的對(duì)偶空間,C是E的非空閉凸子集.假設(shè)A:C→E是單值非線性映射,B:C→2E是多值映射.廣義擬變分包含問(wèn)題就是:找v∈C,使得

(1)

其解集記為 (A+B)-1(0).

變分包含是變分不等式的重要推廣形式之一,許多變分不等式都是它的特殊情形.例如:

1)若B=?φ:E→2E,其中?φ是φ的次微分,則廣義擬變分包含問(wèn)題(1)等價(jià)于:尋找v∈E,使得

其中,j∈J為空間E上的正規(guī)對(duì)偶映射.稱此問(wèn)題為混合型擬變分不等式問(wèn)題.

2)若設(shè)1)中的E=E*=Rn為n維歐氏空間,φ=δC:E→[0,∞)是C的指標(biāo)函數(shù),即

則擬變分包含問(wèn)題(1)等價(jià)于：尋找u∈C,使得

此問(wèn)題就是經(jīng)典的Hartman-Stampacchia變分不等式問(wèn)題[1].自20世紀(jì)60年代該問(wèn)題提出以來(lái),由于它描述了具有廣泛應(yīng)用的有界邊值問(wèn)題的理論,立即引起了人們的極大興趣和關(guān)注,經(jīng)過(guò)眾多學(xué)者[1-9]的工作,形成了“變分不等式理論”這一強(qiáng)有力的非線性分析工具,現(xiàn)在被廣泛應(yīng)用在偏微分方程、最優(yōu)化理論、不動(dòng)點(diǎn)理論、非線性規(guī)劃、經(jīng)濟(jì)均衡理論、控制論、電路分析、力學(xué)、物理學(xué)、工程數(shù)學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域中.

同時(shí),許多學(xué)者把變分不等式(包含)和不動(dòng)點(diǎn)理論、均衡問(wèn)題相結(jié)合,從空間、內(nèi)容、形式、映射和迭代算法等各個(gè)方面作了混合推廣和應(yīng)用,得到了大量成果[2-8]. 特別是文獻(xiàn)[9],首先提出和研究了實(shí)Hilbert空間中的變分包含問(wèn)題.之后,又有一些學(xué)者改進(jìn)和推廣了變分包含的內(nèi)容與應(yīng)用，得到了許多結(jié)果.例如,文獻(xiàn)[10]研究了有限族的變分包含問(wèn)題;文獻(xiàn)[11]介紹了用迭代算法解決Banach空間中一類新的廣義的非線性擬變分包含問(wèn)題;文獻(xiàn)[12]給出了變分包含解和非擴(kuò)張映像不動(dòng)點(diǎn)的公共算法;文獻(xiàn)[13]介紹了Hilbert空間中擬變分包含和公共不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的一些結(jié)論和應(yīng)用;文獻(xiàn)[14]研究了有限族變分包含解與λ-強(qiáng)偽壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)的逼近問(wèn)題;文獻(xiàn)[15]研究了變分包含解和偽壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)的新的迭代算法,構(gòu)建了如下的迭代過(guò)程:

(2)

式(2)中:λ,v,t為常數(shù);{αn},{βn}為數(shù)列;T,F,f為映射.并在一定條件下證明了序列{xn}強(qiáng)收斂于u=PF(I-F+f)u,其中F=Fix(T)∩(A+B)-1(0).

受上述結(jié)果啟發(fā),筆者在Banach空間中構(gòu)建了廣義擬變分包含解與漸近非擴(kuò)張映射不動(dòng)點(diǎn)的新的迭代逼近算法,把非擴(kuò)張映射推廣為漸近非擴(kuò)張映射,把式(2)中的常數(shù)v推廣為數(shù)列{vn},利用正規(guī)對(duì)偶映射J把Hilbert空間推廣到Banach空間;并在關(guān)于迭代系數(shù)的一定條件下，證明了這些迭代逼近算法的強(qiáng)收斂性.本文結(jié)果在一定程度上改進(jìn)和推廣了現(xiàn)有的一些相關(guān)結(jié)果[3-6,10-15].

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)E是一個(gè)實(shí)Banach空間,E*是E的對(duì)偶空間,J:E→2E*是如下定義的正規(guī)對(duì)偶映像:

由Hahn-Banach延拓定理知,?x∈E,J(x)≠?.當(dāng)E是一個(gè)Hilbert空間時(shí),J(x)=I(x)為恒等映射.

定義1 設(shè)C是實(shí)Banach空間E的非空有界閉凸子集,T:C→C是一映像,Fix(T)表示T在D的不動(dòng)點(diǎn)集.

2)對(duì)任意的x,y∈C,若存在j(x-y)∈J(x-y),使得〈Tx-Ty,j(x-y)〉≥k‖x-y‖2,則稱映像T為k-強(qiáng)增生的.

3)對(duì)任意的x,y∈C,若存在j(x-y)∈J(x-y),使得〈Tx-Ty,j(x-y)〉≥η‖Tx-Ty‖2,則稱映像T為η-逆強(qiáng)增生的.

4)映像M:C→2E是多值的,對(duì)任意的x,y∈C,若存在j(x-y)∈J(x-y),使得〈Mx-My,j(x-y)〉≥0,則稱M為增生映射,而稱映射Jρ,M:E→E,Jρ,M(u)=(I+ρM)-1(u),?u∈E為關(guān)于M的預(yù)解算子,其中ρ是任意的正數(shù),I是恒等映射.

為了證明本文的主要結(jié)果，還需要下列重要引理.

引理1[19]對(duì)任意的ρ>0,若M是增生映射,則定義1中的Jρ,M是單值和非擴(kuò)張的.

引理2[20]在實(shí)Banach空間中,Br={z∈E:‖z‖≤r},r>0,存在一個(gè)嚴(yán)格增的連續(xù)凸函數(shù)g:[0,2r]→R,g(0)=0,使得?t∈[0,1],有

引理3[21]設(shè){rn}不是無(wú)限遞減的實(shí)序列,即對(duì)任意的k≥0,{rn}至少存在一個(gè)子序列{rnk},使得rnk≤rnk+1.于是,對(duì)每個(gè)n≥N,定義整數(shù)序列{τ(n)}為τ(n)=max{i≤n:rni

引理5[23]令E是一致凸且2-一致光滑的Banach空間,C是E的非空閉凸子集,QC:E→C是太陽(yáng)非擴(kuò)張保核映射,A:C→E是α-逆強(qiáng)增生算子.那么u∈C是變分不等式〈Au,j(v-u)〉≥0,?v∈C的解,當(dāng)且僅當(dāng)u滿足u=QC(u-λAu).

2 算 法

本節(jié)建立2個(gè)新的迭代算法,以此逼近計(jì)算廣義擬變分包含解和漸近非擴(kuò)張映射不動(dòng)點(diǎn)的公共元素.

算法1 設(shè)E是一致凸且2-一致光滑的自反的Banach空間,C是E的非空有界閉凸子集,T:C→C是具有漸近系數(shù){kn}的漸近非擴(kuò)張映射.假定A:C→E是α-逆強(qiáng)增生映射,B是E上的增生映射,B的定義域包含在C內(nèi),且F:=Fix(T)∩(A+B)-10 ≠?.令Jλ,B=(I+λB)-1是B的關(guān)于λ>0的預(yù)解式,f是ρ-壓縮映射.對(duì)x0∈C,?n∈N,定義序列{xn}為

(3)

式(3)中:{αn},{vn},{βn}?(0,1),{kn}?[1,∞)是 4個(gè)序列;τn=vn+(1-vn)kn且滿足

算法2 設(shè)E是一致凸且2-一致光滑的自反Banach空間,C是E的非空閉凸子集.假定T:C→C是非擴(kuò)張映射,A:C→E是α-逆強(qiáng)增生映射,B是E上的增生映射,B的定義域包含于C內(nèi),且F:=Fix(T)∩(A+B)-1(0)≠?.令Jλ,B=(I+λB)-1是B的關(guān)于λ>0的預(yù)解式,f是ρ-壓縮的,v∈(0,1).對(duì)x0∈C,?n∈N,定義{xn}為

(4)

式(4)中,{αn},{βn}?[0,1]是2個(gè)序列,且滿足:

3 主要結(jié)果

證明 取x*∈Fix(T)∩(A+B)-1(0),則x*=Tnx*=Jλ,B(I-λA)x*,從而可以得到

‖zn-x*‖2=‖Jλ,B(I-λA)x*-Jλ,B(I-λA)xn‖2≤‖xn-x*-λ(Axn-Ax*)‖2=

‖xn-x*‖2-2λ〈Axn-Ax*,j(xn-x*)〉+λ2‖Axn-Ax*‖2≤

‖xn-x*‖2-2λα‖Axn-Ax*‖2+λ2‖Axn-Ax*‖2=

‖xn-x*‖2-λ(2α-λ)‖Axn-Ax*‖2≤‖xn-x*‖2,

即

(5)

同樣可得

(6)

式(6)中,τn=vn+(1-vn)kn=1+(1-vn)(kn-1).因?yàn)閗n→1 (n→∞),{vn}?(0,1),所以可以得到τn→1 (n→∞).由式(6)可得

(7)

令un=βnf(xn)+(1-βn)yn,n≥0.因?yàn)閒是ρ-壓縮的,所以

‖un-x*‖=‖βnf(xn)+(1-βn)yn-x*‖=‖βn(f(xn)-x*)+(1-βn)(yn-x*)‖≤

βn(‖f(xn)-f(x*)‖+‖f(x*)-x*‖)+(1-βn)τn‖xn-x*‖≤

βnρ‖xn-x*‖+βn‖f(x*)-x*‖+(1-βn)τn‖xn-x*‖=

(βnρ+(1-βn)τn)‖xn-x*‖+βn‖f(x*)-x*‖.

(8)

由式(3)和式(8)得

‖xn+1-x*‖=‖αn(xn-x*)+(1-αn)(un-x*)‖≤αn‖xn-x*‖+(1-αn)‖un-x*‖≤

αn‖xn-x*‖+(1-αn)[(βnρ+(1-βn)τn)‖xn-x*‖+βn‖f(x*)-x*‖]=

[1-(1-αn)(1-βnρ-(1-βn)τn)]‖xn-x*‖+(1-αn)βn‖f(x*)-x*‖.

(9)

由{xn}的定義知

xn+1-xn=αnxn+(1-αn)(βnf(xn)+(1-βn)yn)-xn=(1-αn)[βnf(xn)-βnyn+yn-xn].

(10)

因此,

〈xn+1-xn,j(xn-x*)〉=(1-αn)〈[βnf(xn)-βnyn+yn-xn],j(xn-x*)〉=

(1-αn)βn〈f(xn),j(xn-x*)〉-(1-αn)βn〈yn,j(xn-x*)〉+(1-αn)〈yn-xn,j(xn-x*)〉.

(11)

因‖xn+1-x*‖2=‖(xn+1-xn)+(xn-x*)‖2=‖xn+1-xn‖2+‖xn-x*‖2+2〈xn+1-xn,j(xn-x*)〉,故

同理可得

由式(11)、式(5)和式(7)得

‖xn+1-x*‖2-‖xn+1-xn‖2-‖xn-x*‖2=

2(1-αn)βn〈f(xn),j(xn-x*)〉-2(1-αn)βn〈yn,j(xn-x*)〉+

(1-αn)[‖yn-x*‖2-‖yn-xn‖2-‖xn-x*‖2]≤

因此,

2(1-αn)βn〈f(xn),j(xn-x*)〉-2(1-αn)βn〈yn,j(xn-x*)〉-(1-αn)‖yn-xn‖2.

(12)

由式(10)可得

(13)

結(jié)合式(12)和式(13),有

2(1-αn)βn〈f(xn),j(xn-x*)〉-2(1-αn)βn〈yn,j(xn-x*)〉-

2βn‖f(xn)-yn‖‖yn-xn‖]=

(14)

因此,

(15)

由式(15)可得

(1-αn)αn‖yn-xn‖2≤

(16)

現(xiàn)在分成2種情況進(jìn)行證明.

(17)

結(jié)合式(13)即可推出

(18)

注意到

(19)

所以

因〈(I-f)(x-y),j(x-y)〉=〈x-y,j(x-y)〉-〈f(x)-f(y),j(x-y)〉≥‖x-y‖2-ρ‖x-y‖2=(1-ρ)‖x-y‖2,故I-f是(1-ρ)-強(qiáng)增生算子.于是,由引理5知,變分不等式〈(I-f)y,j(x-y)〉≥0,?x∈F有解x*的充要條件是x*=QFf(x*).

接下來(lái)證明

現(xiàn)定義一個(gè)映射W:E→E,對(duì)每個(gè)y∈E,W(y)=vy+(1-v)Tn(y).易知W是非擴(kuò)張映射且Fix(T)=Fix(W),序列 {W(un)}收斂于E中的不動(dòng)點(diǎn),于是

(20)

定義映射Z:z→tf(x*)+(1-t)W(z),t∈(0,1),則Z是壓縮映射.令zt是映射Z的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),即zt=tf(x*)+(1-t)W(zt),于是

‖zt-un‖=‖tf(x*)+(1-t)W(zt)-un‖=‖t(f(x*)-un)+(1-t)(W(zt)-un)‖.

對(duì)?t∈(0,1),有

‖zt-un‖2=t〈f(x*)-un,j(zt-un)〉+(1-t)〈W(zt)-un,j(zt-un)〉=

t〈f(x*)-zt,j(zt-un)〉+t〈zt-un,j(zt-un)〉+(1-t)〈W(zt)-W(un),j(zt-un)〉+

(1-t)〈W(un)-un,j(zt-un)〉≤

t〈f(x*)-zt,j(zt-un)〉+t‖zt-un‖2+(1-t)‖zt-un‖2+(1-t)‖W(un)-un‖‖zt-un‖=

t〈f(x*)-zt,j(zt-un)〉+‖zt-un‖2+(1-t)‖W(un)-un‖‖zt-un‖≤

t〈f(x*)-zt,j(zt-un)〉+‖zt-un‖2+‖W(un)-un‖‖zt-un‖.

(21)

|〈f(x*)-x*,j(un-x*)〉-〈zt-f(x*),j(zt-un)〉|≤

|〈f(x*)-x*,j(un-x*)〉-〈f(x*)-x*,j(un-zt)〉|+

|〈f(x*)-x*,j(un-zt)〉-〈zt-f(x*),j(zt-un)〉|=

|〈f(x*)-x*,j(un-x*)-j(un-zt)〉|+|〈x*-zt,j(zt-un)〉|≤

‖f(x*)-x*‖‖j(un-x*)-j(un-zt)‖+‖x*-zt‖‖zt-un‖.

(22)

令t→0,式(22)右端趨于0.因此,?ε>0,?δ>0,使得對(duì)?t∈(0,δ),下面的不等式成立:

因此,

結(jié)合式(21),有

(23)

注意到

得

‖un-x*‖2=〈βn(f(xn)-x*)+(1-βn)(yn-x*),j(un-x*)〉=

βn〈f(xn)-f(x*),j(un-x*)〉+βn〈f(x*)-x*,j(un-x*)〉+(1-βn)〈yn-x*,j(un-x*)〉≤

βn〈f(x*)-x*,j(un-x*)〉.

因此,

應(yīng)用引理2有

‖xn+1-x*‖2=‖αn(xn-x*)+(1-αn)(un-x*)‖2≤

αn‖xn-x*‖2+(1-αn)‖un-x*‖2=

(24)

于是,相應(yīng)于引理4,可以分別令

(25)

因?yàn)棣觧=vn+(1-vn)kn,所以

(26)

故an→0,即xn→x*(n→∞).

2)假設(shè)存在一個(gè)整數(shù)n0,使得‖xn0-x*‖≤‖xn0+1-x*‖.令ψn={‖xn-x*‖},可以推出ψn0≤ψn0+1.定義整數(shù)序列{π(n)}為

顯然,π(n)是個(gè)非減序列,且滿足

由式(16)可得

(1-απ(n))απ(n)‖yπ(n)-xπ(n)‖2≤

因此,

(27)

因?yàn)棣爪?n)≤ψπ(n)+1,所以由式(27)取上極限得

于是必有

(28)

應(yīng)用引理3得0≤ψn≤max{ψπ(n),ψπ(n)+1},再結(jié)合式(28)可得ψn→0,即xn→x*.定理1證畢.

證明 在定理1及其證明過(guò)程中,對(duì)?n∈N,取kn=1,vn=v,完全類同于定理1中的方法(可以省略許多過(guò)程和技巧),可以證明得到此結(jié)論.

注2 1)定理2實(shí)際上給出了完全不同于文獻(xiàn)[15]的另一種證明方法,其結(jié)果也由Hilbert空間推廣到Banach空間;2)定理1給出了Banach空間中對(duì)于具有系數(shù){kn}(kn→1)的漸近非擴(kuò)張映射T的不動(dòng)點(diǎn)與廣義變分包含0∈Av+Bv解的公共元素,分別取映射T,A,B為特殊映射時(shí)即為原來(lái)一些已知結(jié)果.例如:映射T可以分別取漸近非擴(kuò)張映射、非擴(kuò)張映射、恒等映射;映射A可以分別取逆強(qiáng)增生映射、0映射、恒等映射;映射B可以分別取增生映射、0映射、某個(gè)泛函φ的次微分?φ、某個(gè)凸集C的指標(biāo)函數(shù)次微分;空間可以分別取Banach空間、Hilbert空間和Euclid空間等.可以得到幾十種不同的關(guān)于變分包含、變分不等式解與映射零點(diǎn)、不動(dòng)點(diǎn)的結(jié)果.因此,本文結(jié)果在一定情況下推廣和改進(jìn)了許多已有的結(jié)果[3-6,10-15].

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(責(zé)任編輯 陶立方)

A new iterative algorithm for the common elements of solutions of generalized quasi-variational inclusions and fixed points of asymptotical nonexpansive mappings

WANG Yuanheng, GUO Huifang

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

A new iterative algorithm was established to approximate the common elements of solutions of generalized quasi-variational inclusions and fixed points of asymptotical nonexpansive mappings. Under certain conditions, some strong convergence theorems were obtained for the iterative sequence in Banach spaces. The results extended and improved some corresponding results reported by other authors.

generalized quasi-variational inclusion; asymptotical nonexpansive mapping; iterative algorithm; strong convergence; Banach space

10.16218/j.issn.1001-5051.2017.03.002

?2016-12-09；

2017-01-05

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11671365)；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(LY14A010011)

王元恒(1961-),男，河南南陽(yáng)人，教授.研究方向：非線性泛函分析.>

O177.91

A

1001-5051(2017)03-0249-09