張庚楠，楊志宏，李其勝，于奎剛，黃賀福，李 娜

(山東大學 機械工程學院 高效潔凈機械制造教育部重點實驗室，濟南 250061)

基于凸包域的三維公差分析模型研究*

張庚楠，楊志宏，李其勝，于奎剛，黃賀福，李 娜

(山東大學 機械工程學院 高效潔凈機械制造教育部重點實驗室，濟南 250061)

為了更好地解決復雜裝配體的公差分析問題，文章提出了基于凸包域的三維公差表達和公差分析方法。以凸包理論為基礎，建立了尺寸公差和形位公差域模型；對公差域內(nèi)的變動特征進行PDF的建模，構建偏差累積方程；根據(jù)公差域模型和PDF對蒙特卡羅仿真方法進行修正；運用修正的蒙特卡羅方法和HDMR對偏差累積方程進行敏感度和貢獻因子分析。與傳統(tǒng)的基于點的建模方法相比，基于凸包的建模方法能真實的體現(xiàn)幾何特征的變動與公差標準的契合關系。最后通過實例驗證了該方法的可行性和精確性。

凸包域；公差分析；公差建模；蒙特卡羅仿真

0 引言

隨著技術和生產(chǎn)方式的發(fā)展，機械產(chǎn)品的復雜程度不斷提高，對產(chǎn)品精度質(zhì)量以及設計周期的要求也不斷提高。產(chǎn)品的公差分析變得尤為重要。國內(nèi)外學者在公差分析方法的研究上投入了大量的精力[1]。公差分析也由開始的一維、二維逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)槿S復雜產(chǎn)品的裝配，同時，公差分析的精度也不斷提高。

在過去的幾十年中，在基于運動學和小位移旋量的基礎上，矩陣、旋量、雅克比矩陣、雅克比矩陣旋量、基于基準流的方法、T-Map、D-Domain模型等相繼在解決公差分析問題中得到了運用[2]。矩陣法通過齊次變換矩陣建立尺寸鏈中功能要求極值點與相關的特征公差變動極值點之間的關系[3]。矢量環(huán)法以連接副上的點表示特征的公差變動，利用坐標變換矩陣求解出變動公差特征與功能要求之間的關系[4]。旋量法以向量為基礎建立各個變動特征的相互作用，最終求解出個各個旋量與功能要求之間的關系[5]。雅克比矩陣旋量法避開了上述基于點的建模方式，通過模態(tài)區(qū)間的方式構建變動特征與功能要求之間的關系[6]。T-Map通過幾何的閔科夫斯基加法構建各個凸包之間的關系，以坐標變換最終求解出功能要求的凸包[7]。D-Domain將小位移旋量與凸包理論結合構建變動特征的公差域，最終求解出功能要求的D-Domain模型。

但是，目前的公差分析技術仍然存在如下問題：

(1)偏差累積方程建模多是局限于公差極值條件下的建模；

(2)基于點的公差建模方法與公差標準不統(tǒng)一；

(3)公差表達建模不能考慮基準優(yōu)先順序；

(4)偏差累積建模不能考慮基準的優(yōu)先順序；

(5)復合公差域的建模無法考慮包容要求的影響。

1 基于凸包的公差域建模方法

本章在T-Map和D-Domain的基礎上，提出了一個新的公差模型，該模型利用凸包理論，對公差域進行建模，利用機器人運動學原理和修正的蒙特卡羅算法進行公差分析。

1.1 基于凸包的公差表示模型

運用新的公差域建模方法，把變動特征通過坐標變換映射到重心坐標下的點空間模型，通過改變特征變動的旋轉(zhuǎn)分量，得到基于凸包域和運動空間的新模型。根據(jù)TTRS(拓撲和技術相關表面)和MGDE(最小幾何基準要素)理論，下文中分別以平面、孔和輪廓度為例，對復合公差下的變動特征進行建模。

1.1.1 平面的公差建模

如圖1所示，在矩形塊上加工一個通孔，零件上各個特征所對應的公差要求已分別進行了定義。在給出的公差要求中每個公差都限制了相應特征的變動要求，對零件上表面各個公差要求進行分析，根據(jù)T-Map模型對平面特征變動的表達，利用新的方法對該特征進行建模。

圖1 零件的GD&T圖紙

當特征受到多個公差限制時，各個公差對變動特征的約束相互影響。因此，零件的上表面在尺寸公差約束的下的特征變動，將受到形狀公差和定向公差進一步的約束，尺寸公差下的模型也將在這些形狀或定向公差的作用下發(fā)生改變。

當零件的上表面只受尺寸公差和平行面度公差控制時，特征的公差域模型如圖2所示。

圖2 平面在尺寸公差和平面度公差下的模型

在模型中，三個坐標軸分別描述了平面特征變動時三個自由度的變量，各變量的坐標值根據(jù)相應的坐標變換得到。在描述旋轉(zhuǎn)變量的坐標軸(σx、σy)中，坐標值通過變換不再是角度量，而是一個與平移變量一樣具有長度單位的變量。為了利用D-Domain模型的優(yōu)點，在不改變約束方程的條件下，經(jīng)變換得到的坐標軸σx和σy用來描述旋轉(zhuǎn)變量。根據(jù)T-Map的建模理論可以得到各變量間的約束方程，如式(1)所示：

(1)

通過映射方程，將平面特征的變動一一映射到三維點空間，就可以得到模型中每個點的坐標值，從而得到平面受尺寸公差和平面度公差限制時的公差模型。

當零件的上表面受到尺寸公差和平行度公差tA的控制時，平面的公差域模型如圖3所示。

圖3 平面在尺寸公差和平行度公差下的模型

同樣，當平面受到尺寸公差和垂直度公差tC的控制時，平面的公差域模型將變?yōu)槿鐖D4所示。

圖4 平面在尺寸公差和垂直度公差下的模型

1.1.2 孔特征的公差建模

在矩形零件中加工通孔，特征孔的變動受到位置度的約束(圖1)。根據(jù)公差標準，當一個孔受到公差控制時，它的變動區(qū)域是一個圓柱，其中幾個具有代表意義的軸線位置可以對這個變動域進行表達，如圖5所示。

圖5 孔的變動域

在變動區(qū)域中，σ1、σ2、σ3、σ4和σ5是定義軸線變動位置的5條基本直線，σ6、σ7、σ8、σ9是與之對稱的軸線位置。當孔受到位置度公差控制時，利用與平面建模同樣的方法對孔的變動進行描述，得到孔的模型如圖6所示。

圖6 孔在位置度公差下的模型

1.1.3 線輪廓的公差建模

當零件的側(cè)面受到圖1所示的線輪廓度公差的控制時，特征的變動域如圖7所示。σ1和σ2表達輪廓度變動最大的區(qū)域，σ12是名義輪廓，σ3、σ6分別是σ12在公差域內(nèi)向右、向左偏移t/2的輪廓，σ4、σ7分別是σ12在公差域內(nèi)向上、向上平移t/2的輪廓，σ5、σ8則分別是σ12在公差域內(nèi)正向、負向旋轉(zhuǎn)最大角度的輪廓。因此，輪廓度的變動可以分別用左右平移(Tx)、上下平移(Ty)和旋轉(zhuǎn)(θ)來表達，同樣的方法可以得出線輪廓的公差模型，如圖8所示。

圖7 線輪廓的變動域

圖8 線輪廓的公差模型

2 公差域內(nèi)變動特征的PDF

不同公差控制下的特征，在公差域內(nèi)的變動不同。Whitney提出了孔銷裝配和塊槽裝配的變動規(guī)律，以及特征在受到不同公差控制時，裝配體封閉環(huán)的變動曲線。根據(jù)設計和制造的經(jīng)驗以及基于凸包的公差變動域建模方法，可以得出特征在公差域范圍內(nèi)的變動規(guī)律[19]。在公差域內(nèi)，特征變動規(guī)律PDF的求解過程可分為以下幾步：

(1)將基于凸包的特征變動模型向二維空間投影，在二維空間中的每個坐標軸代表特征變動的每個小位移旋量；

(2)利用修正的蒙特卡羅方法隨機得到公差范圍內(nèi)的一個公差值；

(3)根據(jù)二維空間內(nèi)的投影結果和得到的隨機的公差值求出線性方程、重心坐標方程和體積方程；

(4)求出在不同公差控制下特征變動的PDF。

根據(jù)PDF的求解過程可以把總結為如圖9所示的流程圖的形式。

圖9 PDF的建模流程

2.1 平面特征的PDF建模

當平面只受尺寸公差控制時，把特征變動的凸包模型投影到二維空間上，如圖10所示。特征在公差域內(nèi)變動的PDF如式(2)所示。當平面進一步受到定向公差控制時，投影結果如圖11所示，特征變動的PDF如式(3)所示。

圖10 尺寸公差下的模型

(2)

圖11 尺寸公差和定向公差下的模型

(3)

2.2 孔特征的PDF建模

根據(jù)同樣的方法，產(chǎn)生的二維投影面如圖12和圖13所示，由此可以分別得到孔特征在只受定位公差以及同時受到定位和定向公差控制時的PDF，如式(4)和式(5)所示。

圖12 定位公差下的模型

(4)

圖13 定位公差和定向公差下的模型

(5)

2.3 線輪廓的PDF建模

在線輪廓度約束下的凸包模型向二維空間投影，產(chǎn)生的平面如圖14所示，由同樣的方法可以得到線輪廓控制下的PDF，如式(6)所示。

圖14 線輪廓公差

(6)

δ=a/b,a、b分別輪廓的長和寬。

3 偏差累積方程建模

基于凸包理論，本文建立了新的偏差累積模型的求解方法，求解步驟如下：

(1)基于節(jié)點基準鏈的方法求出裝配體上影響封閉環(huán)的關鍵尺寸鏈，在尺寸鏈中的每個特征上設定一個坐標系，用來確定特征的位置；

(2)確定尺寸鏈中每個特征的位置后，在各自坐標系下構建基于凸包理論的公差域模型，并求出每個變動特征的PDF；

(3)根據(jù)修正的蒙特卡羅方法(如圖15)隨機產(chǎn)生尺寸鏈中每個公差的隨機值；

(4)根據(jù)修正的蒙特卡羅方法，求解尺寸鏈中的變換矩陣，如式(7)、式(8)所示，根據(jù)基于凸包理論的公差建模方法，最終得到尺寸鏈的偏差方程，如式(9)所示。

(7)

(8)

TFR-i=TFR-1·DT1-1′·F1·T1′-2·DT2-2′·
F2…T(i-1)′-i·DTi-i′·Fi

(9)

在式(7)～式(9)中，F(xiàn)R代表封閉環(huán)，T(i-1)′-i代表從第i-1個特征到第i個特征的坐標變換矩陣，DTi-i′是特征公差的小位移旋量矩陣，F(xiàn)i是變動特征的PDF，α、β、γ分別是從第i-1個特征到第i個特征繞x、y、z軸的旋轉(zhuǎn)角度，U、V、W則分別是從第i-1個特征到第i個特征繞x、y、z軸平移的距離，φx、φy、φz是每個特征公差小位移旋量旋轉(zhuǎn)的分量，p是變動特征公差的平移分量，式(9)可以從式(7)、式(8)求出。

圖15 基于LHS和凸包理論的修正蒙特卡羅法

4 敏感度分析

傳統(tǒng)的敏感度分析方法以蒙特卡羅仿真為基礎，是基于點-點的參數(shù)輸入方法。本文利用凸包理論對這一方法進行改進，將參數(shù)的輸入由一個單純的取點過程拓展到一個取凸包域的過程。把PDF、凸包理論和修正的蒙特卡羅方法結合起來，對偏差函數(shù)進行敏感度分析，這個方法的理論基礎是HDMR[22]。偏差函數(shù)如式(10)所示：

y=f(t1,t2…ti,…tn)

(10)

(11)

5 實例分析

利用MATLABA12.0的仿真優(yōu)化模塊和數(shù)值計算模塊對該實例應用本文提出的方法進行仿真計算。Matlab是一個功能強大的數(shù)值分析和仿真優(yōu)化軟件，利用Matlab編碼簡單、內(nèi)涵各種數(shù)學公式的特點進行修正的蒙特卡羅程序的編寫。對該實例進行計算的流程圖如圖16所示：

圖16 驗證流程

5.1 汽車前大燈子裝配體

如圖17所示，汽車前車燈子裝配體由前大燈 Headlamp(GD&T圖紙見圖19)、轉(zhuǎn)向燈 Turnlamp(GD&T圖紙見圖20)和安裝支架 Bracket (GD&T圖紙見圖21)三個零件組成，前大燈與轉(zhuǎn)向燈均安裝在安裝支架上。裝配體的功能要求見圖18，前大燈的端面HL_Trimedge與轉(zhuǎn)向燈端面TL_Trimedge間的間隙為關鍵尺寸，功能尺寸要求為6.5±1.5mm。前大燈Headlamp中三個銷的臺階面Headlp_X1、Headlp_X2、Headlp_X3 分別與安裝支架 bracket 上的三個特征面Bracket_Headlp_X1、Bracket_Headlp_X2、Bracket_Headlp_X3 接觸，兩個銷軸通過面 Headlp_YZ、Headlp_Z分別與安裝支架上的孔 Bracket_Headlp_YZ、槽Bracket_Headlp_Z 裝配在一起。轉(zhuǎn)向燈turnlamp中三個銷的臺階面 Turnlp_X1、Turnlp_X2、Turnlp_X3分別與安 裝支架bracket 上的三個特征面Bracket_Turnlp_X1、Bracket_Turnlp_X2、Bracket_Turnlp_X3 裝配在一起，銷軸Turnlp_YZ 、 Turnlp_Y分別與安裝支架上的孔Bracket_Turnlp_YZ、Bracket_Turnlp_Y進行裝配。該裝配體的偏差累積路徑如圖22所示。

圖17 前車燈裝配體

圖18 車燈功能要求

圖19 Headlamp的 GD&T圖

圖20 Turnlamp 的GD&T圖

圖21 Bracket 的GD&T圖

圖22 基于節(jié)點基準鏈的偏差路線圖

5.2 模型數(shù)模

在本文中，模型的輸入變量如表1所示。

表1 模型輸入變量

分別對尺寸鏈中的關鍵特征進行建模，如圖23～圖26所示。

圖23 HL的模型

圖24 B_Headlp_YZ的模型

圖25 B_ Turnlp_YZ的模型

圖26 TL的模型

對尺寸鏈中各變動特征的PDF進行建模，得到HL和TL的PDF函數(shù)如下式：

(12)

則B_Headlp_YZ和B_ Turnlp_YZ的PDF函數(shù)為：

(13)

偏差累積方程如式(14)所示：

TG_Ct-TL=TG_Ct-HL·DTHL·THL-Hp_YZ·DTB_Headlp_YZ·THp_YZ-Tp_YZ·

DTB_Turnlp_YZ·TTp_YZ-TL·DTTL·ITG_Ct-HL·THL-TL=TG_Ct-TL

THp_YZ-Tp_YZ·DTB_Turnlp_YZ·TTp_YZ-TL·DTTL·I

(14)

尺寸鏈上變動特征的PDF累積函數(shù)如式(15)所示：

(15)

變動特征的小位移旋量的約束方程如式(16)所示：

-1≤vi≤1(i=0,3)-0.565≤γ0≤0.565
Vi2+wi2≤0.25(i=1,2)

(16)

對模型的中間矩陣進行總結，得到表2。

表2 方程的變換矩陣

Contribution式中，SI指的是正弦sin，CS指的是余弦cos。

通過修正的蒙特卡羅方法進行仿真，得到了置信水平為99.73%時FR(功能要求)的取值，為[5.2401, 8.4475]，F(xiàn)R分布及其取值的PDF函數(shù)曲線如圖27所示。

圖27 FR的分布

尺寸鏈的敏感度分布如圖28所示。

圖28 敏感度分析結果

通過對幾種不同方法的計算和比較，結果如表3所示。

表3 不同方法結果對比

6 結論

本文結合蒙特卡羅仿真、T-Map建模和基于HDMR的敏感度分析方法，提出了一種基于凸包的公差域模型，并得出了以修正的蒙特卡羅仿真為基礎的公差分析方法。與傳統(tǒng)的3D公差分析理論相比，根據(jù)實例分析流程可知，該模型只需要輸入節(jié)點信息、節(jié)點類型、公差類型、以及基準之間的關系，就可以直接得到封閉環(huán)的分析結果，實現(xiàn)了對基于凸包理論的公差模型進行蒙特卡羅仿真分析，并通過將得出的結果與運用閩科夫斯基求和方法得到的結果進行對比，進一步證明了方法的合理性。在對復合公差的建模問題上，基準順序的考慮還不完整，對公差域變動特征PDF的建模也還需要在下一步進一步改善。

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(編輯 李秀敏)

A New Method of Tolerance Analysis Model Based on Convex Hull for 3D Assembly

ZHANG Geng-nan,YANG Zhi-hong, LI Qi-sheng ,YU Kui-gang,HUANG He-fu,LI Na

(Key Laboratory of High Efficiency and Clean Mechanical Manufacture, Ministry of Education, School of Mechanical Engieering, Shandong University, Jinan 250061, China)

We propose a methodology in this study for the analysis and optimization of assembly tolerances. A tolerance zone model is developed based on convex hull, which is the basis of the tolerance-map (T-map) and deviation-domain (D-domain). Instead of point-based model for tolerance analysis, the model is conducted for domain reflecting true 3D tolerance zones and geometric variations, which is in accordance with the ASME and ISO standards. In a control frame, the probability density function (PDF) of a variant feature in the tolerance zone combined with the Monte Carlo method for tolerance analysis, a new approach to assembly tolerance analysis is carried out. A 3D case has been performed to demonstrate the new tolerance zone model and the new approach to tolerance analysis.

convex hull; tolerance analysis; tolerance modeling; Monte-Carlo method

1001-2265(2017)08-0014-07

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.08.004

2016-09-22；

2016-12-07

國家自然科學基金(51375277)

張庚楠(1990—)，女，山東菏澤人，山東大學碩士研究生，研究方向為公差建模，(E-mail)qisheng6@163.com;通訊作者：楊志宏(1970—)，女，回族，山東菏澤人，山東大學教授，研究方向為精益管理，(E-mail)yangzhihong@sdu.edu.cn。

TH161;TG506

A