張笑玲，謝紅梅

（石河子大學(xué)理學(xué)院，新疆 石河子，832003）

污染環(huán)境下一類隨機(jī)三種群捕食系統(tǒng)閾值的分析

張笑玲，謝紅梅

（石河子大學(xué)理學(xué)院，新疆 石河子，832003）

閾值普遍存在于自然生態(tài)系統(tǒng)中，閾值的研究對(duì)自然資源保護(hù)和生態(tài)系統(tǒng)可持續(xù)管理具有重要的理論和實(shí)踐意義。本文研究污染環(huán)境下兩食餌一捕食者隨機(jī)三種群捕食模型，運(yùn)用伊藤微分法則、積分定理、積分中值定理、隨機(jī)比較定理以及線性代數(shù)的相關(guān)理論，獲得了各種群趨于局部滅絕、隨機(jī)非平均持久及隨機(jī)弱平均持久的充分條件，隨之得到在一定條件下種群的隨機(jī)弱平均持久與趨于滅絕之間的閾值分別為

環(huán)境污染；三種群；隨機(jī)捕食模型；閾值

科技的發(fā)展加速了工業(yè)化的進(jìn)程，使人們得到了許多便利，但隨之而來(lái)的環(huán)境污染問(wèn)題卻日益嚴(yán)重，這使得研究和控制環(huán)境污染，保持生態(tài)平衡迫在眉睫。因此，研究生態(tài)系統(tǒng)本身能抵御外界干擾，恢復(fù)平衡狀態(tài)的臨界限度，即種群生存閾值，進(jìn)而探究在某一環(huán)境區(qū)域內(nèi)對(duì)人類活動(dòng)所造成影響的最大容納量，以保證以該地區(qū)為生境的種群能持續(xù)生存，就顯得尤為重要。利用數(shù)學(xué)模型研究毒素對(duì)生物種群生存的影響，始于20世紀(jì)80年代Hallam等[1-3]首次提出毒素對(duì)各種生態(tài)系統(tǒng)影響的確定性模型，從此對(duì)污染環(huán)境下確定性模型的研究越來(lái)越多[4-7]，這些對(duì)確定性模型的研究是重要并且有用的，它讓我們更加深刻地認(rèn)識(shí)了毒素對(duì)種群的影響機(jī)制。然而，生存于自然界中的各種群必將受到隨機(jī)因素的影響，因此，確定性模型中假定系統(tǒng)的參數(shù)不受隨機(jī)因素的干擾，就存在很大的局限性。例如，采用確定性模型來(lái)研究種群在污染環(huán)境下的生存問(wèn)題時(shí)，就存在一個(gè)嚴(yán)重的缺陷——在污染比較嚴(yán)重的情況下種群將趨于滅絕。而在這個(gè)過(guò)程中，種群的個(gè)體數(shù)目會(huì)越來(lái)越小，隨機(jī)因素的影響就會(huì)變大，模型的合理性隨之降低，這就使確定性模型所得結(jié)果的可靠性減弱，得到的閾值偏離客觀實(shí)際情況很大的可能性也會(huì)明顯增大。

近年來(lái)，對(duì)隨機(jī)模型的研究逐漸增多[8-19]，且主要針對(duì)單種群或兩種群，但對(duì)污染環(huán)境下隨機(jī)三種群模型的研究較少[13，17-19]。眾所周知，孤立存在的種群只存在于科學(xué)家的實(shí)驗(yàn)室里，而現(xiàn)實(shí)世界中的種群必然與周圍的生物息息相關(guān)。所以，只研究單種群或兩種群并不足以說(shuō)明問(wèn)題，而增加所研究種群的數(shù)目，會(huì)相當(dāng)?shù)卦黾幽Ｐ偷难芯侩y度，因此，本文將研究污染環(huán)境下兩食餌一捕食者隨機(jī)三種群捕食模型，并試圖探究其中的規(guī)律，為以后研究一般的多種群生態(tài)模型奠定一定基礎(chǔ)。

1 模型

馬知恩等[4]研究的確定性兩食餌一捕食者三種群捕食模型為

其中，xi(t)表示t時(shí)刻種群i的數(shù)量，γi0表示在不存在毒素時(shí)種群i的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，γi1表示種群i的增長(zhǎng)對(duì)毒素的反應(yīng)強(qiáng)度，αij表示種群i的種內(nèi)制約因子，αij=(i≠j)表示種群i與種群j的種間競(jìng)爭(zhēng)系數(shù)，i,j=1，2，3，γ30、α31、α32為負(fù)常數(shù)，其余γi0、γi1、αij，i=1,2，j=1,2,3均為正常數(shù)；C0(t)表示t時(shí)刻種群體內(nèi)毒素的濃度，CE(t)表示t時(shí)刻時(shí)環(huán)境毒素濃度，α1表示每單位質(zhì)量的生物體通過(guò)環(huán)境對(duì)毒物的吸收率，d1表示每單位質(zhì)量的生物體通過(guò)食物對(duì)毒素的吸收率，θ表示資源中的毒物濃度，β表示每單位質(zhì)量的生物體對(duì)食物的攝取率，l1和l2分別表示生物機(jī)體對(duì)毒素的分解率和排泄率，h表示環(huán)境對(duì)毒素的清理能力，u(t)表示時(shí)刻t時(shí)對(duì)環(huán)境中毒素的排放率，α1，d1(≤α1)，θ，β，l1及l(fā)2均為正常數(shù)，并設(shè) 0≤U1≤u(t)≤U2＜∞。

本文假定模型（M）中參數(shù)γi0受環(huán)境噪聲的影響，令γi0→γi0+αidBI(t)，i=1,2,3，其中，B1(t)，B2(t)和B3(t)是獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)，αi代表噪聲強(qiáng)度，i=1,2,3，則由3種群所構(gòu)成的污染環(huán)境下的隨機(jī)捕食模型可表示為

其初始條件為:xi(0)＞0，i=1,2,3，C0(0)=0，CE(0)=0。

為方便起見(jiàn)，引入以下記號(hào)

為了進(jìn)行研究，引入以下廣泛使用的隨機(jī)持久性和趨于局部滅絕的概念。

定義1[18]：

(1)物種x(t)稱為趨于局部滅絕的，如果

(2)物種x(t)稱為隨機(jī)非平均持久的，如果〈x〉*=0 a.s.；

(3)物種x(t)稱為隨機(jī)弱平均持久的，如果〈x〉*＞0 a.s.。

為便于討論，做以下基本假設(shè)：

假設(shè)條件（2）表示x1(t)種群的抗毒能力相對(duì)較強(qiáng)，種群x2(t)較弱。對(duì)于假設(shè)條件（1），在下面的注 1（1）中做出了合理解釋。

假定系統(tǒng)（1）在無(wú)毒素入侵時(shí)有正平衡點(diǎn)，即A＞0，Ai＞0，i=1,2,3；系統(tǒng)僅有兩種群存在時(shí)，系統(tǒng)在無(wú)毒素入侵時(shí)也有正平衡點(diǎn)，即A33＞0，其中A33為A中元素α33的代數(shù)余子式。

2 生存閾值的分析

3 討論

馬知恩等[4]對(duì)污染環(huán)境下三種群確定性捕食系統(tǒng)的生存閾值進(jìn)行了研究，本文將其結(jié)論推廣到了隨機(jī)模型的情況，并且對(duì)隨機(jī)非平均持久進(jìn)行了研究，這是其未考慮的。另外，將本文所得結(jié)論與馬知恩等所得結(jié)論進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，各種群的生存閾值均有所降低，從而可以得到隨機(jī)干擾不利于種群的生存。

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The threshold analysis for stochastic three species predator-prey model in a polluted environment

ZHANG Xiaoling，XIE Hongmei
(College of Science,Shihezi University,Shihezi,Xinjiang 832003,China)

Threshold is generally exists in the natural ecosystem,so the study of threshold value has an important theoretical and practical significance for thenatural resources protection and ecological system of sustainable management.In this paper,we study two-predator one-prey model of stochastic three species in a polluted environment.By using Ito formula,integration theorem,mean value theorem of integrals,stochastic comparison theorem and the related theory of linear algebra,sufficient conditions for extinction,nonpersistent in the mean a.s.and weak persistence in the mean a.s.are obtained.Then,we obtained that,in some certain conditions,〈C〉respectively,the threshold between the stochastic0*weak persistence in the mean and extinction ofx1(t),x2(t)andx3(t).

polluted environment;three species;stochastic prey-predator model;threshold

O175

A

10.13880/j.cnki.65-1174/n.2017.04.022

1007-7383(2017)04-0522-07

2016-06-27

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11161040）

張笑玲（1989-），女，碩士研究生，專業(yè)方向?yàn)樯锓N群模型。

*通信作者：謝紅梅（1967-），女，教授，從事代數(shù)學(xué)、應(yīng)用概率論的研究，e-mail：xhm_tea@shzu.edu.cn。