吳澤波+陳璐暢

摘 要： 用熱水通過一個水龍頭來注滿一個浴缸，但是浴缸不是一個帶有二次加熱系統(tǒng)和循環(huán)噴流的溫泉式浴缸，而是一個簡單的水容器，不能保溫。過一會兒，洗澡水就會明顯地變涼，所以洗澡的人需要不停地將熱水從水龍頭注入，以加熱洗浴水。當浴缸里的水達到容量極限，多余的水通過溢流口泄流，保持浴缸中的水的體積不變。本文考慮了時間和空間與水溫的關系，通過三維熱傳導模型以及冷熱水混合模型運用Matlab建立了一個單一熱源對浴缸中水的溫度影響的模型。

關鍵詞： 浴缸；三維熱傳導模型；Matlab；冷熱水混合模型

一、三維熱傳導模型

根據(jù)傅里葉定律，取物體內(nèi)任一小體積元 ，則在dt時間內(nèi)沿x方向流入小立方體的熱量為

同理可得在y與z放量流入小立方體的熱量。

再根據(jù)能量守恒定律得熱平衡方程，對于各向同性的均勻物體，k為常量，得

，其中 ，所以上式就是三維熱傳導方程。

上式中將 代入可得 ，△為拉普拉斯算子。

其中ρ為物體的密度，c為物體的比熱容，λ為物體中的熱導率。

由于浴缸中的水擁有熱源，所以假設浴缸中左右端的水溫度不一樣，符合三維熱傳導模型條件，根據(jù)文獻資料以及調(diào)查，人在浴缸中最舒適的水溫為38°，而浴缸不具備保溫功能，因此，浴缸中的水的熱量會因為與浴缸壁以及空氣的接觸而流失，為了保持這一溫度，須從浴缸的一端放進溫度高于38°的水，在此假設進水的溫度為43°。

由熱傳導定律可知，水龍頭加進去的熱水會與浴缸中的水混合，熱量會迅速擴散到浴缸中的其他的水，使其溫度上升，假如加入的水的熱量剛好等于喪失的水的熱量，那么浴缸中的水的溫度就會保持不變。

在浴缸中假設沒有其他物體，水的流速非常小可以忽略，因此可以看成是靜止的水，因此模型 正好符合浴缸中溫度的熱傳導。

為解出這條式子，我們運用了matlab中的pdetools工具箱對式子進行擬合，便可較為簡便地畫出式子的解在規(guī)定區(qū)域中的分布，雖然求出來的解的分布不是確切的分布，但是通過pdetools求出來的解的分布可以近似等于式子的解，因為pdetools的擬合程度比較高。

由于pdetools只能夠畫出二維的傳導模型，于是我們對模型進行了簡化，考慮水進入浴缸中有流速，故可以假設水進入浴缸時，熱量先沿豎直方向傳導，由于水流的作用，豎直方向的熱量瞬間傳導完成，故不考慮熱量在豎直方向上的傳導。因此可以將熱量的傳導簡化為二維的傳導，即沿著軸方向進行傳導，如圖1。

圖1 熱量二維傳導圖

為了方便計算，我們將浴缸擬合為一個長方體，上網(wǎng)查找相關資料得到浴缸的平均長為1.54m，寬為0.64m，水深根據(jù)溢水口的高度為0.46m。由此可將浴缸擬合成一個長方體，在計算時代入數(shù)據(jù)比較方便。

根據(jù)matlab中的pdetools中的模型可知，其中的拋物線模型為

根據(jù)熱傳導方程的形式可知，熱傳導方程與pdetools中的拋物線方程非常類似，因此，可以將熱傳導方程與pdetools中的拋物線方程進行擬合。

通過方程中系數(shù)的對比可知，拋物線方程中的d=ρc，c=λ，a=0，f=0。以上的系數(shù)可作為方程擬合時的系數(shù)，因此可以直接用拋物線方程進行擬合。接下來需要確定熱傳導的邊界條件。

由于浴缸的水龍頭的位置一般為浴缸的長的一端，因此浴缸的一端可作為邊界條件之一，擬合時需要確定是Neumann邊界條件還是Dirichlet邊界條件，查閱相關文獻可知，浴缸有外熱源的一端得邊界條件為Neumann邊界條件，其他邊界無外熱源的邊界條件為Dirichlet邊界條件，pdetools中Neumann邊界條件需要確定q與g的大小，Dirichlet邊界條件需要確定h和r的大小。

通過曲線的擬合可知Neumann邊界條件q=h，其中h為水與外界的對流換熱系數(shù)，邊界條件g=hThot，其中Thot為水龍頭流出熱水的溫度。Dirichlet邊界條件h=0，r=0。[2]

因此獲得邊界條件以及拋物線的系數(shù)之后就可以進行曲線的擬合。我們設置浴缸的平均水溫為38°，進水的溫度為42°，查閱資料可知水的對流換熱系數(shù)h=4800W/（m2·℃）。所以代入邊界條件可知q=4800，g=201600，將曲線擬合后生成如圖所示的溫度分布圖。溫度分布如圖2所示。

二、熱冷水混合數(shù)學模型

熱冷水混合是本洗浴溫度保持系統(tǒng)中的基本物理過程，在此對其進行數(shù)學建模。以便后續(xù)應用。根據(jù)能量守恒原理，即冷水升高所需的能量與熱水降低所消耗的能量相等，冷熱水混合后的溫度變化情況科表示為：

而 ，因此可得

考慮到浴缸中的水的散熱（Qs）以及為使混合后的溫度等于初始的溫度，即Tmax=Tcold，上式的模型可變?yōu)?/p>

其中散熱量可分為幾個方面，在這個模型中先假設浴缸中沒有其他的物體，即浴缸中沒有其他的熱源或者是吸熱源，所以浴缸中水的散熱可分為兩個方面。第一就是浴缸中的水與浴缸壁之間的導熱；二就是浴缸中的水與空氣中的導熱。

浴缸中水與空氣表面接觸而喪失的熱量為

其中t為時間，時間越長，水喪失的熱量就會越多。

浴缸中的水與浴缸壁的導熱可以分為五個面，即四個側面以及一個底面。通過查閱資料可以得到一般浴缸壁的熱導率λr，浴缸壁的厚度為δ，由平壁導熱模型可知，平壁的導熱還與浴缸壁兩側的溫度有關，即兩側溫差越大，水喪失的熱量也就會越快，所以用過平壁導熱模型可以求得水與浴缸壁五個面的導熱為

三、水流速度與水溫的關系

通過模型一可知，浴缸可以近似看成長方體，通過長方體的長寬高可以算出水與浴缸壁各個面接觸的面積，通過面積可以算出水喪失的熱量，問題為了解決的是最優(yōu)的進水速度，因此將冷熱水混合模型轉換為

代入數(shù)據(jù)計算可得

將函數(shù)代入matlab中可以得到qin與Thot的關系如下圖。

由曲線圖的關系可知，當Thot越高時，進水量可以減少，而我們的目的就是為了讓進水量越少越好，但是考慮到人有最高承受的溫度，查閱相關資料可知一般人的最高承受溫度為42°，將人最高承受溫度Thot=42°代入可得最小的進水流量為43.407cm3/s，所以，為了保持水的溫度而不浪費水時所加的水的溫度為Thot=42°，水的流量為43.407cm3/s。

四、模型推廣

本模型的建立用于研究三維的熱傳導中溫度的空間和時間的分布，該模型在工業(yè)上也存在應用，例如在鋼鐵固體在冷卻過程中應用溫度變化規(guī)律，解得最優(yōu)熱量利用情況，同時如今服務業(yè)的發(fā)展，例如溫泉的恒溫控制對于旅游業(yè)成本的節(jié)省方面，熱傳導方程類似于擴散方程，在一定條件下可以求解空氣中煙霧的擴散濃度的分布，對有毒氣體進行監(jiān)測與控制。在日常生活的方面，例如家里的魚缸可以利用熱傳導規(guī)律對魚缸進行保溫策略?！?/p>

參考文獻

[1]劉連壽，王正清，李高翔.數(shù)學物理方法（第三版）[M].北京市：高等教育出版社，2009：133.

[2]李燦，高彥棟，黃素逸.熱傳導問題的MATLAB數(shù)值計算[J].華中科技大學學報.2002，30（9）：91-93.

[3]李春鳳.數(shù)學建模在傳熱學中的應用[D].河北?。汉颖睅煼洞髮W，2005.

[4]秦允豪.熱學（第三版）[M].北京市：高等教育出版社，2011：168.endprint