張民悅, 連愛玲

(蘭州理工大學理學院, 蘭州 730050)

修理設備可修且部件修復非新的溫貯備可修系統(tǒng)

張民悅, 連愛玲

(蘭州理工大學理學院, 蘭州 730050)

分析了溫貯備可修系統(tǒng)的又一個新模型，引入了修理設備可修這一概念，即修理設備工作期間發(fā)生故障時，先對其進行修理，當修理設備修復后，繼續(xù)投入使用中。同時考慮修理工多重休假的情形，進一步對兩部件組成的修復非新的溫貯備可修系統(tǒng)研究。假定部件1的工作時間、貯備時間，部件2的工作時間、貯備時間及修理設備的壽命均服從指數(shù)分布，部件2 的修理時間、修理工休假時間及修理設備的修理時間均服從一般連續(xù)型分布，利用補充變量法將其擴充為廣義Markov過程，建立各狀態(tài)概率的微分方程，并應用Laplace變換及其反演，得到系統(tǒng)主要可靠性指標。

修理設備可修;修復非新;補充變量法;廣義Markov過程;Laplace變換

引 言

在可靠性理論中，可修系統(tǒng)是最基本的模型之一[1-2]，許多學者對含有溫貯備可修系統(tǒng)的可靠性[3-4]作了較深的研究，此類模型從實際出發(fā)，考慮了部件在貯備過程中也會發(fā)生失效的情況。文獻[5]研究了開關(guān)不完全可靠和修理工多重休假的溫貯備系統(tǒng)。文獻[6]研究的是具有優(yōu)先權(quán)的溫貯備系統(tǒng)。文獻[7-12]都研究了修理設備可更換的系統(tǒng)，當修理設備發(fā)生故障，則立即被更換如新。文獻[7]研究了三部件串-并聯(lián)系統(tǒng)在修理設備可更換的情況，得到系統(tǒng)的一些重要可靠性指標；文獻[8-9]研究的是兩個同型部件并且每個部件有兩類故障狀態(tài)組成的并聯(lián)系統(tǒng)；文獻[10]將“修理工多重休假”和“修理設備發(fā)生失效可更換”同時引入到k/n(G)表決系統(tǒng)中，利用Markov過程理論得到系統(tǒng)處于各狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)概率遞推式。文獻[11-12]研究了系統(tǒng)在修理工多重延誤休假和修理設備可更換的可靠性分析。在實際工程中，修理設備發(fā)生故障立即被更換，無疑在經(jīng)費上會帶來重大的負擔，通常修理設備故障后重新修理后被繼續(xù)使用，并且系統(tǒng)中部件發(fā)生故障后并非修復如新，文獻[13-15]研究的是部件修復非新的溫貯備系統(tǒng)。文獻[16]在開關(guān)不可靠下，對三不同部件組成的溫貯備系統(tǒng)作了研究；文獻[17]綜合考慮了開關(guān)不完全可靠，修理工多重休假和部件修復非新的因素，對兩不同部件的溫貯備系統(tǒng)研究；文獻[18]針對具有三種失效狀態(tài)且修理延遲的單部件組成的可修系統(tǒng)。

本文在以上文獻的基礎上，討論了修理設備可修且部件修復非新的溫貯備系統(tǒng)，應用補充變量法和廣義Markov過程法得到系統(tǒng)的主要可靠性指標，該類模型更符合實際工程，為其系統(tǒng)可靠性的研究提供有效的理論依據(jù)。

1 模型假定

根據(jù)已有文獻對系統(tǒng)模型如下假定：

(1) 系統(tǒng)由兩個不同型部件、一個修理工和一臺修理設備組成。初始時刻，系統(tǒng)良好，部件1工作，部件2溫貯備，修理工進行休假。

(2) 部件1具有優(yōu)先權(quán)，即若兩部件均正常，則部件1工作，部件2貯備；若兩部件均待修，在修理工休假結(jié)束后，優(yōu)先修理部件1；若有故障部件被修理時，則后故障部件等待修理。

(3) 修理工采用多重休假的策略。部件在正常工作期間，修理設備既不失效也不劣化。當修理設備失效時，正在接受修理的部件需等待修理，修理設備修好后繼續(xù)工作，部件已被修理的時間依然有限，當部件被修復后，修理設備自行關(guān)閉。

(4) 定義系統(tǒng)的第n次循環(huán)是從部件第n-1次修理完成到第n次修理完成之間的時間間隔，n=1,2,3,…。

設部件2的工作時間、修理時間和貯備時間分別記為F2、G2、W，其分布分別為：

W(t)=1-exp(-βt),β>0

修理工每次休假時間H分布函數(shù)為：

修理設備的壽命及其修理時間分別記為U、V，分布函數(shù)分別記為：

U(t)=1-exp(-εt),ε>0

(6) 隨機變量之間均相互獨立。

2 系統(tǒng)的狀態(tài)方程及其求解

令Nn(t)表示系統(tǒng)在時刻t時所處的狀態(tài)，則系統(tǒng)可能的狀態(tài)如下：

0=(a,b,c),1=(a,c,e),2=(a,i),3=(a,k)

4=(g,d,c),5=(h,g),6=(g,j),7=(d,e,c)

8=(d,f,c)，9=(h,e),10=(h,f)，11=(j,e)

12=(j,f),13=(d,i),14=(d,k)其中：a表示部件1工作，b表示部件2貯備，c表示修理工休假，d表示部件1工作故障待修，e表示部件2貯備故障待修，f表示部件2工作故障待修，g表示部件2工作，h表示部件1修理，i表示部件2修理，j表示部件1修理未完成修理設備故障，k表示表示部件2修理未完成修理設備故障。顯然，系統(tǒng)的狀態(tài)空間為：

E={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}

系統(tǒng)的工作狀態(tài)為F={0,1,2,3,4,5,6}，系統(tǒng)的故障狀態(tài)為W={7,8,9,10,11,12,13,14}，此模型過程不是Markov過程。引入補充變量：X(n)(t)表示在時刻t時系統(tǒng)在第n次循環(huán)中修理工已用去的休假時間；Y(n)(t)表示在時刻t時系統(tǒng)在第n次循環(huán)中正在被修理的部件已用去的修理時間；Z(n)(t)表示在時刻t時系統(tǒng)在第n次循環(huán)中修理設備已用去的修理時間；則{N(n)(t),X(n)(t),Y(n)(t),Z(n)(t)}構(gòu)成一個廣義Markov過程，系統(tǒng)在時刻t(t≥0)的狀態(tài)概率定義為：

Pi(t,x)dx=P{N(n)(t)=i,x≤X(n)(t)

Pj(t,y)dy=P{N(n)(t)=j,y≤Y(n)(t)

Pk(t,y,z)dz=P{N(n)(t)=k,Y(n)(t)=y,z≤Z(n)(t)

為了計算的方便，引入以下變換：

拉普拉斯變換：

拉普拉斯-司梯階變換：

由偏微分方程理論可得如下系統(tǒng)各狀態(tài)概率微分方程組：

初始條件：P0(0,0)=1,其余為0，邊界條件如下：

P3(t,y,0)=εP2(t,y)

P6(t,y,0)=εP5(t,y)

P11(t,y,0)=εP9(t,y)

P12(t,y,0)=εP10(t,y)

P14(t,y,0)=εP13(t,y)

Pi(t,0)=0,i=1,4,7,8,13

對上述各式作Laplace變換并求解可得：

其中

[v*(s)-v*(s+θ)+θ]

k1=s+an-1λ

k2=s+an-1λ+β

k3=an-1λ+β-θ

k4=s+an-1λ+ε+εv*(s+an-1λ)

k5=s+bn-1μ+θ+ε+εv*(s+θ)

k6=an-1λ+β

3 系統(tǒng)的可靠性分析

3.1 系統(tǒng)的可用度

定理1 系統(tǒng)的瞬時可用度為A(t)，其Laplace變換為：

A*(s) =P*0(s,0)Λ0

(1)

穩(wěn)態(tài)可用度A為：

(2)

其中

證明 由系統(tǒng)瞬時可用度的定義得：

3.2 系統(tǒng)的故障頻度

定理2 系統(tǒng)的瞬時故障頻度為W(t)，其Laplace變換為：

(3)

穩(wěn)態(tài)故障頻度為：

(4)

其中

證明 由文獻[15]有：

對其作Laplace變換，并將各狀態(tài)方程的解代入式(3)，再由Tauber定理：

并應用洛必達法則，得式(4)。

3.3 系統(tǒng)的可靠度

定理3 系統(tǒng)可靠度R(t)的Laplace變換為：

(5)

其中：

證明 要求系統(tǒng)的可靠度R(t)，只需在以上基本模型中令故障狀態(tài)W={7,8,9,10,11,12,13,14}，為吸收狀態(tài)，則系統(tǒng)構(gòu)成一個新的廣義Markov過程：

(6)

邊界條件為：

Q3(t,y,0)=εQ2(t,y)

Q6(t,y,0)=εQ5(t,y)

Qi(t,0)=0,i=1,4

初始條件：Q0(0,0)=1，其余為0。同可用度的分析一樣，可得：

將上述各式帶入式(6)可得結(jié)論。

3.4 系統(tǒng)首次故障前的平均時間

系統(tǒng)首次故障前的平均時間為：

(7)

其中：

4 結(jié)束語

本文研究了由兩個不同型部件、一個修理工組成的修理設備可修的溫貯備系統(tǒng)，考慮了在修理工多重休假和部件1不能修復如新的條件下，利用補充變量法拉普拉斯變換及反演等方法得到了系統(tǒng)的主要可靠性指標。本文研究結(jié)果是在已有文獻研究結(jié)果上的進一步延伸，具有一定的理論價值，為工程實踐和實際生產(chǎn)提供了有力的依據(jù)。

[1] 曹晉華,程侃.可靠性數(shù)學引論[M].2版.北京:高等教育出版社,2006.

[2] 程侃.壽命分布類與可靠性數(shù)學引論[M].北京:科學出版社,1999.

[3] 汪軍芳,張民悅.兩個相依部件并聯(lián)系統(tǒng)和有冷貯備部件串聯(lián)系統(tǒng)的模糊可靠性[J].四川理工學院學報:自然科學版,2015,28(1):80-82.

[4] 梁麗丹.n個同型部件和k個修理設備的并聯(lián)可修系統(tǒng)的可靠度探究[J].四川理工學院學報:自然科學版,2016,29(4):88-93.

[5] 張民悅,鄔一凡.具有多重休假開關(guān)連續(xù)型溫貯備可修系統(tǒng)的可靠性分析[J].蘭州理工大學學報,2015,41(5):152-156.

[6] YUAN L,MENG X Y.Reliability analysis of a warm standby repairable system with priority in use[J].Applied Mathematical Modelling,2011,35(9):4295-4303.

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[8] 姜穎,唐應輝.部件有兩類故障狀態(tài)且修理設備可更換的并聯(lián)可修系統(tǒng)分析[J].應用數(shù)學,2014,27(3):535-545.

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[17] 張民悅,連愛玲.開關(guān)壽命連續(xù)型且部件修復非新的溫貯備可修系統(tǒng)[J].四川理工學院學報:自然科學版,2017,30(2):90-97.

[18] 張民悅,黃鵬遠.延遲修理的三失效狀態(tài)可修系統(tǒng)的最優(yōu)更換模型[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學,2016,36(1):134-144.

Facility-repaired and Non-new Workpiece-composed Repairable Warm Standby System

ZHANGMinyue,LIANAiling

(School of Science, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

A new model of warm fund maintenance system is analyzed, and the concept of repairable repair equipment is introduced, which means repair equipment can repair itself during working and continue to put into using. At the same time, considering the situation of repairman with multiple vacations, the two part of the new non warm standby repairable system is studied. It is assumed that the working time, standby time of part 1, and the working time, standby time and repair equipment life of part 2 obey the exponential distribution; the repair time, the repairman vacation time and repair equipment repair time of part 2 obey the general distribution. By using the supplementary variable method, which is extended to generalized Markov process, differential equations for the state probabilities is established, and the main system reliability index is obtained by the application of Laplasse transform and its inversion.

repairable facility; non-new and repairable; supplementary variable approach; Markov Modal in broad sense; Laplace Transform

2017-06-05

甘肅省自然科學基金(3ZS042-B25-016);甘肅省科技計劃資助(1508RJZA101)

張民悅(1958-),男,河南南樂人,教授,主要從事可靠性數(shù)學理論及其應用方面的研究,(E-mail)zhangminyue@lut.cn; 連愛玲(1990-),女,甘肅白銀人,碩士生,主要從事可靠性數(shù)學理論及其應用方面的研究,(E-mail)1558201667@qq.com

1673-1549(2017)04-0074-07

10.11863/j.suse.2017.04.14

O213.2

A