李大奇， 曾義金， 劉四海， 康毅力

(1.中國石化石油工程技術研究院,北京 100101；2.頁巖油氣富集機理與有效開發(fā)國家重點實驗室，北京 100101；3.油氣藏地質及開發(fā)工程國家重點實驗室(西南石油大學)，四川成都 610500)

?鉆井完井?

基于分形理論的粗糙裂縫鉆井液漏失模型研究

李大奇1,2， 曾義金1,2， 劉四海1,2， 康毅力3

(1.中國石化石油工程技術研究院,北京 100101；2.頁巖油氣富集機理與有效開發(fā)國家重點實驗室，北京 100101；3.油氣藏地質及開發(fā)工程國家重點實驗室(西南石油大學)，四川成都 610500)

當前的漏失模型均未充分考慮裂縫粗糙度對鉆井液漏失的影響，對粗糙裂縫的漏失規(guī)律認識不清，反演得到的裂縫寬度誤差大。為此，基于分形理論建立了二維粗糙裂縫模型，采用赫-巴模式描述了鉆井液的非牛頓流變特性，采用指數方程描述了裂縫的非線性變形特征，建立了鉆井液漏失模型，并采用中心差分方法對方程進行了數值求解，分析了網格尺寸、分形維數及標準差對鉆井液漏失速率及累計漏失量的影響。研究結果表明，模擬網格尺寸足夠大時，數值模擬結果的可靠度較高；隨著標準差增大，微凸體數量增加、起伏程度提高，漏失速率及累計漏失量顯著減?。环中尉S數對漏失的影響與裂縫面是否接觸緊密相關，沒有接觸時影響較小，接觸后隨著接觸面積增大影響增大。研究表明，建立的漏失模型可為認識漏失機理和反演裂縫寬度提供理論參考。

裂縫性地層；粗糙度；分形維數；赫-巴流體；漏失速率

井漏是油氣鉆井中最常見的井下復雜情況之一[1]，嚴重威脅著鉆井安全和效率[2-4]。當前，通常的做法是根據裂縫寬度確定防漏堵漏液配方及施工工藝[5-6]。一般采用以下2種方法估算井下裂縫寬度：一是根據漏失速率依據經驗判斷裂縫寬度；二是根據漏失速率曲線反演裂縫寬度[7]。第一種方法簡單，但可靠性差，往往需要多次調整配方才能達到理想的防漏堵漏效果；第二種方法較為科學，但是其應用效果與漏失模型緊密相關。

20世紀90年代中期，O.Lietard和F.Sanfillippo等人[8-9]分別建立了賓漢流體和牛頓流體漏失模型。其后，國內外學者對漏失模型不斷完善，形成了考慮裂縫變形、壁面濾失和非牛頓流體的一維線性與二維平面裂縫漏失模型[10-11]，但是上述研究均未考慮裂縫粗糙度的影響。由于天然裂縫表面是粗糙的，為了深入研究粗糙度的影響，A.Lavrov和M.Ozdemirtas等人[12-13]假設鉆井液是牛頓流體，進行了數值模擬和室內試驗。但鉆井液并非牛頓流體，采用牛頓流體研究得出的規(guī)律有待驗證。賈利春等人[14]在模型中引入裂縫迂曲度表征裂縫面粗糙度的影響，但裂縫迂曲度與粗糙度不同，不能完全反映粗糙度的影響。針對上述問題，筆者基于分形理論構建了粗糙裂縫，利用赫-巴模式描述鉆井液的非牛頓流體特性，并考慮裂縫非線性變形對漏失的影響，采用中點差分方法對漏失模型進行數值求解，研究了裂縫粗糙度對鉆井液漏失的影響。

1 粗糙裂縫的表征

大量研究表明，天然裂縫面是粗糙的，具有很好的自相似性，可采用分形理論進行研究。分形理論中常采用分形維數D和Hurst指數H表征裂縫表面的粗糙度，通常H=3-D[15]。光滑裂縫面是2維，極端粗糙裂縫面接近3維，實際裂縫面為2～3維。計算機生成粗糙裂縫面的方法有多種，如中點位移法、逐次隨機累加法、隨機布朗函數法、調整法和樣條函數法[16]，其中，中點位移法和逐次隨機累加法較為常用[17]。中點位移法的基本原理為(如圖1所示)：1)生成矩形4個角點的縫寬值，一般取均值為0、方差為σ2的高斯隨機變量；2)生成中心點的縫寬值，取4個角點寬度的平均值加上一個均值為0、方差為σ2的高斯隨機變量；3)生成4個邊中心點的縫寬值，取各邊端點與中心點縫寬的平均值加上一個均值為0、方差為σ2的高斯隨機變量；4)重復步驟2)和3)，使網格數增加，一般遞歸4次就可以得到具有分形特征的粗糙裂縫面。

生成粗糙裂縫面后，再采用M.Ozdemirtas等人[13]的研究方法，選擇一個基準面，通過調整粗糙裂縫面與基準面的位置(預設縫寬)來表征粗糙裂縫的縫寬分布。裂縫寬度可表示為：

圖1 用中點位移法生成的二維粗糙裂縫面Fig.1 Two dimensional rough fracture surfaces generated through the midpoint displacement method

(1)

式中：w為裂縫寬度，mm；f為裂縫面生成算法；s為網格尺寸；σ為標準差，mm；a為種子數；wm為預設縫寬，mm。

網格尺寸反映了網格數的多少，網格尺寸越小，網格數也越多；標準差反映了隨機生成裂縫的寬度偏離平均值的程度，標準差越大，數據離散程度越高。由于計算機生成的隨機數是通過一定數學方法得到的偽隨機數，種子數是這個序列偽隨機數的第一個數，種子數不同，生成的偽隨機數序列不同。因此，網格尺寸、標準差、分形維數和種子數均影響生成裂縫的粗糙程度。種子數可以取任意值，相同分形維數、不同種子數所產生裂縫的形態(tài)不同，漏失速率及漏失量也不同，不存在規(guī)律性，故筆者未對種子數的影響進行數值模擬。

2 鉆井液漏失模型

2.1 基本假設

假設為水平井眼，地層中存在一條矩形粗糙裂縫，井眼中軸線恰好通過裂縫面，把1條裂縫分為2個大小不同的矩形裂縫，如圖2所示。為便于研究，取其中1個矩形裂縫進行鉆井液漏失行為分析(圖2中，L為裂縫長度，mm；H為裂縫高度，mm；α為裂縫傾角，(°))。

選取赫-巴模式描述鉆井液的流變性[18]，其為三參數模式，可以簡化為現場常用的賓漢和冪律流變模式，且比賓漢模式和冪律模式能更好地描述鉆井液的流變行為。該模式可以表示為：

τ=τy+Kγn

(2)

式中：τ為剪切應力，Pa；τy為動切力，Pa；n為流性指數；K為稠度系數，Pa·sn；γ為剪切速率，s-1。

圖2 平面裂縫漏失示意Fig.2 Schematic diagram for losses of drilling fluid through plane fractures

裂縫存在應力敏感性，鉆井液發(fā)生漏失，縫內壓力升高，造成裂縫寬度增大，裂縫寬度增大進一步促使鉆井液漏失，建立模型時需要考慮這個耦合過程。目前，常用線性變形和指數變形方程描述裂縫應力敏感性。為了更真實地描述裂縫寬度的變化行為，筆者采用了指數變形方程，即：

式中：w0為裂縫法向應力為0時的裂縫寬度，mm；pf為流體壓力，MPa；σn為裂縫面法向應力，MPa；β為經驗系數，通過試驗獲取。

2.2 控制方程

1) 連續(xù)性方程。根據質量守恒原理，連續(xù)性方程為：

(4)

2) 動量方程。對于赫-巴模式鉆井液，其在裂縫內的流速為：

3) 漏失控制方程。將式(3)、式(5)和式(6)代入式(4)，可得鉆井液漏失控制方程：

(7)

式(7)中，裂縫寬度w可根據分形理論由式(1)求得。進一步講，w是粗糙裂縫在x，y平面上的裂縫寬度分布函數，表征了裂縫的粗糙程度。

2.3 初始及邊界條件

根據實際情況，裂縫內的初始壓力均為地層壓力。假設與井眼相交裂縫的邊界條件為：

(8)

式中：p0為地層壓力，MPa；pw為井筒壓力，MPa；tε

為壓力逐步升高的時間，s。

其他邊界條件為：

(9)

2.4 模型求解

使用中心差分法對鉆井液漏失控制方程進行離散，可得：

(10)

3 粗糙度對漏失影響的分析

利用粗糙裂縫漏失模型模擬赫-巴模式鉆井液的漏失規(guī)律，模型中的數據取值見表1。通過改變模型的網格尺寸、標準差和分形維數，研究裂縫粗糙度對漏失的影響。

表1 鉆井液漏失模型參數取值Table 1 Parameters of the model for drilling fluid loss

3.1 網格尺寸

模擬光滑裂縫和網格尺寸為16×16、32×32和64×64的粗糙裂縫的形態(tài)和鉆井液漏失規(guī)律，并統(tǒng)計不同網格尺寸的裂縫寬度，結果見圖3、圖4和表2。由圖3、圖4和表2可看出，網格尺寸對裂縫形態(tài)無影響，但影響裂縫寬度；網格尺寸變小(網格數增加)，裂縫平均寬度變大，標準差變小，漏失速率及累計漏失量變大；網格數大于32×32時，粗糙裂縫的平均寬度與光滑裂縫的縫寬相比誤差小于0.86%，峰值漏失速率與更小網格尺寸的漏失速率相比誤差小于3.5%，10 s時的漏失量與更小網格尺寸的漏失量相比誤差小于3.7%。因此，選擇32×32的網格尺寸進行數值模擬能夠滿足要求。

3.2 標準差

標準差增大，裂縫起伏程度增加，部分裂縫面與基準面開始接觸。假設接觸處的最小裂縫寬度為0.001 mm，通過改變標準差預設值的大小，可得到粗糙裂縫(不同標準差的裂縫寬度分布見表3)。模擬表明，當真實標準差大于0.5 mm時，裂縫面已與基準面開始接觸。

圖3 不同網格尺寸下的粗糙裂縫Fig.3 Rough fracture in different mesh sizes

網格尺寸平均縫寬/mm最小縫寬/mm最大縫寬/mm標準差/mm裂縫體積/m3光滑裂縫11101016×16098840763312822007529883632×32099140770112452007099913664×640992207562123300068499220

圖4 不同網格尺寸下的鉆井液漏失規(guī)律Fig.4 Patterns of drilling fluid losses in different mesh sizes

編號標準差/mm平均縫寬/mm預設實際預設實際接觸率，%最小縫寬/mm最大縫寬/mm裂縫體積/m3Std010100000708100871000000778812539100000Std030300002126102601000000336317616100000Std0707000048781056910000190001027735100005Std1010000067191066810000560001035191100009

不同標準差下的漏失規(guī)律如圖5所示。從圖5可以看出，隨著標準差增大，漏失速率和漏失量均明顯變小。結合模擬計算得到的流體流線分布圖分析可知，這是因為隨著標準差增大，裂縫面部分接觸，鉆井液的流動路線變得越來越復雜，尤其當裂縫面接觸后，流動路線的彎曲程度顯著增加，導致漏失速率和漏失量顯著減小。

圖5 不同標準差下的漏失規(guī)律Fig.5 Patterns of drilling fluid losses with different standard deviations

3.3 分形維數

對光滑裂縫和分形維數為2.2、2.5和2.7的裂縫進行模擬，并對裂縫寬度數據進行統(tǒng)計，結果見表4。由表4可看出，隨著分形維數增大，裂縫平均寬度和裂縫的標準差增大。

標準差分別為0.1和0.7 mm時不同分形維數下的赫-巴流體漏失規(guī)律如圖6和圖7所示。

表4 不同分形維數下的裂縫寬度分布

Table 4 Distribution of fracture widths with different fractal dimensions

分形維數平均縫寬/mm最小縫寬/mm最大縫寬/mm標準差/mm裂縫體積/m3光滑裂縫111010220981908180117920488498191250991307701124520708899136270999607224131290100199958

圖6 標準差為0.1 mm時不同分形維數下的赫-巴流體漏失規(guī)律Fig.6 Patterns of Herschel-Bulkley fluid losses in different fractal dimensions with standard deviation of 0.1 mm

從圖6和圖7可以看出：分形維數對漏失有影響，隨著分形維數增加，雖然裂縫平均寬度增大，但漏失速率及累計漏失量仍呈減小趨勢。由表3可知，圖6反映的是裂縫面與基準面未接觸的情形，而圖7為裂縫面與基準面有接觸的情形。由圖6和圖7可以看出：裂縫面與基準面未接觸時，裂縫分形維數對漏失影響不大；裂縫面與基準面接觸后，裂縫分形維數對漏失的影響十分顯著。

圖7 標準差為0.7 mm時不同分形維數下的赫-巴流體漏失規(guī)律Fig.7 Patterns of Herschel-Bulkley fluid losses in different fractal dimensions with standard deviation of 0.7 mm

3.4 參數敏感性分析

因為早期的漏失速率和漏失量對堵漏措施的選擇更為重要，故分析標準差和分形維數對鉆井液峰值漏失速率(1 s)和漏失量(10 s)的影響程度，結果見圖8。

圖8 參數敏感性分析結果Fig.8 Parameter sensitivity analysis

圖8表明：隨著標準差增大，漏失速率和漏失量近似呈線性減少；隨著分形維數增加，漏失速率和漏失量亦近似呈線性減??；標準差越大，分形維數的影響也越大。

3.5 應用探討

以上研究表明，裂縫平均寬度相同、但標準差和分形維數不同時，相同時刻的漏失速率和漏失量明顯不同。因此，漏失速率、漏失量相同時，裂縫平均寬度可以相差較大。例如，平均縫寬為1.0 mm、分形維數為2.7、標準差為0.7 mm的裂縫，峰值漏失速率為0.26 m2/s，而平均縫寬為0.6 mm的光滑裂縫，峰值漏失速率亦為0.26 m2/s，兩者的漏失規(guī)律如圖9所示。

圖9 不同裂縫的漏失規(guī)律Fig.9 Patterns of fluid losses in different fractures

由圖9可知，兩者在漏失早期的漏失曲線基本重合。現場應用時，如果僅利用早期漏失速率會導致裂縫寬度預測出現誤差。這也說明，具有相同漏失速率及漏失特征的井漏，裂縫平均寬度可能差異較大。如果漏失速率數據有限，現場進行防漏堵漏作業(yè)時，應根據裂縫的粗糙度，對預測的裂縫寬度進行適度校正，從而采取合理的防漏堵漏方案。

4 結論與建議

1) 利用分形理論構建粗糙裂縫，采用赫-巴流變模式和指數變形方程描述鉆井液的流變特性和裂縫的變形特征，根據質量、動量守恒原理，建立了粗糙裂縫鉆井液漏失模型，為研究漏失規(guī)律及更準確地反演裂縫寬度等提供了理論依據。

2) 裂縫網格尺寸對漏失模擬結果有影響。網格尺寸越小，裂縫漏失速率和漏失量越大。選擇32×32的網格尺寸，誤差能夠滿足漏失模擬的需求。

3) 標準差和分形維數都表征裂縫的粗糙程度。隨標準差和分形維數增大，裂縫面由未接觸向部分接觸發(fā)展。

4) 標準差和分形維數對漏失均有影響。隨著標準差和分形維數增加，鉆井液漏失速率及漏失量均近似呈線性減??；但裂縫面沒有接觸時，分形維數的影響程度比較小。

[1] 徐同臺，劉玉杰，申威，等.鉆井工程防漏堵漏技術[M].北京：石油工業(yè)出版社，1997：1-4. XU Tongtai,LIU Yujie,SHEN Wei,et al.Technology of lost circulation prevention and control during drilling engineering[M].Beijing:Petroleum Industry Press,1997:1-4.

[2] 劉金華，劉四海，龍大清，等.明1井交聯(lián)成膜與化學固結承壓堵漏技術[J].石油鉆探技術，2017，45(2)：54-60. LIU Jinhua,LIU Sihai,LONG Daqing,et al.Strengthening plugging operations by combining cross-linked film and chemical consolidation in Well Ming-1[J].Petroleum Drilling Techniques,2017,45(2):54-60.

[3] 金軍斌.塔里木盆地順北區(qū)塊超深井火成巖鉆井液技術[J].石油鉆探技術，2016，44(6)：17-23. JIN Junbin.Drilling fluid technology for igneous rocks in ultra-deep wells in the Shunbei Area,Tarim Basin[J].Petroleum Drilling Techniques,2016,44(6):17-23.

[4] 楊力.彭水區(qū)塊頁巖氣水平井防漏堵漏技術探討[J].石油鉆探技術，2013，41(5)：16-20. YANG Li.Leak prevention and plugging techniques for shale gas horizontal wells in Pengshui Block[J].Petroleum Drilling Techniques,2013,41(5):16-20.

[5] 王業(yè)眾，康毅力，游利軍，等.裂縫性儲層漏失機理及控制技術研究進展[J].鉆井液與完井液，2007，24(4)：74-77. WANG Yezhong,KANG Yili,YOU Lijun,et al.Progresses in mechanism study and control:mud losses to fractured reservoirs[J].Drilling Fluid & Completion Fluid,2007,24(4):74-77.

[6] 韓子軒，林永學，柴龍，等.裂縫性氣藏封縫堵氣技術研究[J].鉆井液與完井液，2017，34(1)：16-22. HAN Zixuan,LIN Yongxue,CHAI Long,et al.Plugging micro-fractures to prevent gas-cut in fractured gas reservoir drilling[J].Drilling Fluid & Completion Fluid,2017,34(1):16-22.

[7] 李大奇，劉四海，林永學，等.裂縫網絡地層鉆井液漏失模擬[J].鉆井液與完井液，2017，34(2)：45-50. LI Daqi,LIU Sihai,LIN Yongxue,et al.Simulation of mud loss in formations with fracture network[J].Drilling Fluid & Completion Fluid,2017,34(2):45-50.

[8] LIETARD O,UNWIN T,GUILLOT D,et al.Fracture width LWD and drilling mud/LCM selection guidelines in naturally fractured reservoirs[R].SPE 36832,1996.

[9] SANFILLIPPO F，BRIGNOLI M，SANTARELLI F J，et al.Characterization of conductive fractures while drilling[R].SPE 38177，1997.

[10] 李大奇，康毅力，劉修善，等.裂縫性地層鉆井液漏失動力學模型研究進展[J].石油鉆探技術，2013，41(4)：42-47. LI Daqi,KANG Yili,LIU Xiushan,et al.Progress in drilling fluid loss dynamics model for fractured formations[J].Petroleum Drilling Techniques,2013,41(4):42-47.

[11] 李松，康毅力，李大奇，等.裂縫性地層H-B流型鉆井液漏失流動模型及實驗模擬[J].石油鉆采工藝，2015，37(6)：57-62. LI Song,KANG Yili,LI Daqi,et al.Flow model and experimental simulation for leak-off of H-B flow-pattern drilling fluid in fractured formation[J].Oil Drilling & Production Technology,2015,37(6):57-62.

[12] LAVROV A.Newtonian fluid flow from an arbitrarily-oriented fracture into a single sink[J].Acta Mechanica,2006,186(1/2/3/4):55-74.

[13] OZDEMIRTAS M,BABADAGLI T,KURU E.Experimental and numerical investigations of borehole ballooning in rough fractures[J].SPE Drilling & Completion,2009,24(2):256-265.

[14] 賈利春，陳勉，侯冰，等.裂縫性地層鉆井液漏失模型及漏失規(guī)律[J].石油勘探與開發(fā)，2014， 41(1)：95-101. JIA Lichun,CHEN Mian,HOU Bing,et al.Drilling fluid loss model and loss dynamic behavior in fractured formations[J].Petroleum Exploration and Development,2014,41(1):95-101.

[15] BROWN S R.Fluid flow through rock joints:the effect of surface roughness[J].Journal of Geophysical Research,1987,92(B2):1337-1348.

[16] 周志芳，王錦國.裂隙介質水動力學[M].北京：中國水利水電出版社，2004：101-102. ZHOU Zhifang,WANG Jinguo.Fissure medium hydrodynamics[M].Beijing:China Water & Power Press,2004:101-102.

[17] PEITGEN H,SAUPE D.The science of fractal images[M].New York:Springer-Verlag,1988:71-133.

[18] 鄢捷年.鉆井液工藝學[M].東營：石油大學出版社，2001：77-78. YAN Jienian.Drilling fluid technology[M].Dongying:Petroleum University Press,2001:77-78.

[編輯 令文學]

Drilling Fluid Loss Model in Rough Fractures Based on Fractal Theory

LI Daqi1,2,ZENG Yijin1,2,LIU Sihai1,2,KANG Yili3

(1.SinopecResearchInstituteofPetroleumEngineering,Beijing,100101,China; 2.StateKeyLaboratoryofShaleOilandGasEnrichmentMechanismsandEffectiveDevelopment,Beijing,100101,China; 3.StateKeyLaboratoryofOilandGasReservoirGeologyandExploitation,SouthwestPetroleumUniversity,Chengdu,Sichuan,610500,China)

Conventional lost-circulation models failed to consider impacts of fracture roughness on losses of drilling fluids.Consequently,patterns of lost circulation in rough fractures were not fully understood,whereas fracture widths derived through inversion were usually characterized by huge errors.In the concerned study,a two-dimensional model for rough fractures was established based on fractal theory.With non-Newtonian rheological behaviors of the drilling fluid were highlighted by using the Herschel-Buckley mode,and with non-linear deformation features highlighted by index equations,a model for losses of drilling fluid could be established.Midpoint displacement method was used to derive numerical solution of the equation to determine the impacts of mesh sizes,number of fractal dimensions and standard deviation on drilling fluid loss rates and cumulative loss.Research results showed when sizes of mesh grids were large enough,numerical simulation might generate results with higher reliability.Loss rates and the cumulative loss might decrease significantly with increases in the standard deviation.The effect of the number of fractal dimensions on fluid loss behavior was related to contact of the two fracture surfaces.Minor effects on the loss could be observed when the contact rate was zero,and the impacts might be enhanced with increases in contact areas.Research results showed the newly established lost-circulation model might provide theoretical references for identification of lost circulation mechanisms and to determine the widths of fractures through inversion.

fractured formation; roughness; fractal dimension; Herschel-Buckley fluid; fluid loss rate

2017-02-23；改回日期：2017-06-21。

李大奇(1982—)，男，山東德州人，2006年畢業(yè)于西南石油大學石油工程專業(yè)，2012年獲西南石油大學油氣井工程專業(yè)博士學位，副研究員，主要從事防漏堵漏和井壁穩(wěn)定方面的研究工作。E-mail:ldqcwct@163.com。

國家科技重大專項“海相碳酸鹽巖超深油氣井關鍵工程技術”(編號:2017ZX05005-005)、國家自然科學基金項目“頁巖油氣高效開發(fā)基礎理論研究”(編號:51490650)聯(lián)合資助。

10.11911/syztjs.201704008

TE254

A

1001-0890(2017)04-0046-07