李大奇， 曾義金， 劉四海， 康毅力

(1.中國石化石油工程技術(shù)研究院,北京 100101；2.頁巖油氣富集機(jī)理與有效開發(fā)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100101；3.油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(西南石油大學(xué))，四川成都 610500)

?鉆井完井?

基于分形理論的粗糙裂縫鉆井液漏失模型研究

李大奇1,2， 曾義金1,2， 劉四海1,2， 康毅力3

(1.中國石化石油工程技術(shù)研究院,北京 100101；2.頁巖油氣富集機(jī)理與有效開發(fā)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100101；3.油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(西南石油大學(xué))，四川成都 610500)

當(dāng)前的漏失模型均未充分考慮裂縫粗糙度對鉆井液漏失的影響，對粗糙裂縫的漏失規(guī)律認(rèn)識不清，反演得到的裂縫寬度誤差大。為此，基于分形理論建立了二維粗糙裂縫模型，采用赫-巴模式描述了鉆井液的非牛頓流變特性，采用指數(shù)方程描述了裂縫的非線性變形特征，建立了鉆井液漏失模型，并采用中心差分方法對方程進(jìn)行了數(shù)值求解，分析了網(wǎng)格尺寸、分形維數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差對鉆井液漏失速率及累計(jì)漏失量的影響。研究結(jié)果表明，模擬網(wǎng)格尺寸足夠大時，數(shù)值模擬結(jié)果的可靠度較高；隨著標(biāo)準(zhǔn)差增大，微凸體數(shù)量增加、起伏程度提高，漏失速率及累計(jì)漏失量顯著減小；分形維數(shù)對漏失的影響與裂縫面是否接觸緊密相關(guān)，沒有接觸時影響較小，接觸后隨著接觸面積增大影響增大。研究表明，建立的漏失模型可為認(rèn)識漏失機(jī)理和反演裂縫寬度提供理論參考。

裂縫性地層；粗糙度；分形維數(shù)；赫-巴流體；漏失速率

井漏是油氣鉆井中最常見的井下復(fù)雜情況之一[1]，嚴(yán)重威脅著鉆井安全和效率[2-4]。當(dāng)前，通常的做法是根據(jù)裂縫寬度確定防漏堵漏液配方及施工工藝[5-6]。一般采用以下2種方法估算井下裂縫寬度：一是根據(jù)漏失速率依據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷裂縫寬度；二是根據(jù)漏失速率曲線反演裂縫寬度[7]。第一種方法簡單，但可靠性差，往往需要多次調(diào)整配方才能達(dá)到理想的防漏堵漏效果；第二種方法較為科學(xué)，但是其應(yīng)用效果與漏失模型緊密相關(guān)。

20世紀(jì)90年代中期，O.Lietard和F.Sanfillippo等人[8-9]分別建立了賓漢流體和牛頓流體漏失模型。其后，國內(nèi)外學(xué)者對漏失模型不斷完善，形成了考慮裂縫變形、壁面濾失和非牛頓流體的一維線性與二維平面裂縫漏失模型[10-11]，但是上述研究均未考慮裂縫粗糙度的影響。由于天然裂縫表面是粗糙的，為了深入研究粗糙度的影響，A.Lavrov和M.Ozdemirtas等人[12-13]假設(shè)鉆井液是牛頓流體，進(jìn)行了數(shù)值模擬和室內(nèi)試驗(yàn)。但鉆井液并非牛頓流體，采用牛頓流體研究得出的規(guī)律有待驗(yàn)證。賈利春等人[14]在模型中引入裂縫迂曲度表征裂縫面粗糙度的影響，但裂縫迂曲度與粗糙度不同，不能完全反映粗糙度的影響。針對上述問題，筆者基于分形理論構(gòu)建了粗糙裂縫，利用赫-巴模式描述鉆井液的非牛頓流體特性，并考慮裂縫非線性變形對漏失的影響，采用中點(diǎn)差分方法對漏失模型進(jìn)行數(shù)值求解，研究了裂縫粗糙度對鉆井液漏失的影響。

1 粗糙裂縫的表征

大量研究表明，天然裂縫面是粗糙的，具有很好的自相似性，可采用分形理論進(jìn)行研究。分形理論中常采用分形維數(shù)D和Hurst指數(shù)H表征裂縫表面的粗糙度，通常H=3-D[15]。光滑裂縫面是2維，極端粗糙裂縫面接近3維，實(shí)際裂縫面為2～3維。計(jì)算機(jī)生成粗糙裂縫面的方法有多種，如中點(diǎn)位移法、逐次隨機(jī)累加法、隨機(jī)布朗函數(shù)法、調(diào)整法和樣條函數(shù)法[16]，其中，中點(diǎn)位移法和逐次隨機(jī)累加法較為常用[17]。中點(diǎn)位移法的基本原理為(如圖1所示)：1)生成矩形4個角點(diǎn)的縫寬值，一般取均值為0、方差為σ2的高斯隨機(jī)變量；2)生成中心點(diǎn)的縫寬值，取4個角點(diǎn)寬度的平均值加上一個均值為0、方差為σ2的高斯隨機(jī)變量；3)生成4個邊中心點(diǎn)的縫寬值，取各邊端點(diǎn)與中心點(diǎn)縫寬的平均值加上一個均值為0、方差為σ2的高斯隨機(jī)變量；4)重復(fù)步驟2)和3)，使網(wǎng)格數(shù)增加，一般遞歸4次就可以得到具有分形特征的粗糙裂縫面。

生成粗糙裂縫面后，再采用M.Ozdemirtas等人[13]的研究方法，選擇一個基準(zhǔn)面，通過調(diào)整粗糙裂縫面與基準(zhǔn)面的位置(預(yù)設(shè)縫寬)來表征粗糙裂縫的縫寬分布。裂縫寬度可表示為：

圖1 用中點(diǎn)位移法生成的二維粗糙裂縫面Fig.1 Two dimensional rough fracture surfaces generated through the midpoint displacement method

(1)

式中：w為裂縫寬度，mm；f為裂縫面生成算法；s為網(wǎng)格尺寸；σ為標(biāo)準(zhǔn)差，mm；a為種子數(shù)；wm為預(yù)設(shè)縫寬，mm。

網(wǎng)格尺寸反映了網(wǎng)格數(shù)的多少，網(wǎng)格尺寸越小，網(wǎng)格數(shù)也越多；標(biāo)準(zhǔn)差反映了隨機(jī)生成裂縫的寬度偏離平均值的程度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)離散程度越高。由于計(jì)算機(jī)生成的隨機(jī)數(shù)是通過一定數(shù)學(xué)方法得到的偽隨機(jī)數(shù)，種子數(shù)是這個序列偽隨機(jī)數(shù)的第一個數(shù)，種子數(shù)不同，生成的偽隨機(jī)數(shù)序列不同。因此，網(wǎng)格尺寸、標(biāo)準(zhǔn)差、分形維數(shù)和種子數(shù)均影響生成裂縫的粗糙程度。種子數(shù)可以取任意值，相同分形維數(shù)、不同種子數(shù)所產(chǎn)生裂縫的形態(tài)不同，漏失速率及漏失量也不同，不存在規(guī)律性，故筆者未對種子數(shù)的影響進(jìn)行數(shù)值模擬。

2 鉆井液漏失模型

2.1 基本假設(shè)

假設(shè)為水平井眼，地層中存在一條矩形粗糙裂縫，井眼中軸線恰好通過裂縫面，把1條裂縫分為2個大小不同的矩形裂縫，如圖2所示。為便于研究，取其中1個矩形裂縫進(jìn)行鉆井液漏失行為分析(圖2中，L為裂縫長度，mm；H為裂縫高度，mm；α為裂縫傾角，(°))。

選取赫-巴模式描述鉆井液的流變性[18]，其為三參數(shù)模式，可以簡化為現(xiàn)場常用的賓漢和冪律流變模式，且比賓漢模式和冪律模式能更好地描述鉆井液的流變行為。該模式可以表示為：

τ=τy+Kγn

(2)

式中：τ為剪切應(yīng)力，Pa；τy為動切力，Pa；n為流性指數(shù)；K為稠度系數(shù)，Pa·sn；γ為剪切速率，s-1。

圖2 平面裂縫漏失示意Fig.2 Schematic diagram for losses of drilling fluid through plane fractures

裂縫存在應(yīng)力敏感性，鉆井液發(fā)生漏失，縫內(nèi)壓力升高，造成裂縫寬度增大，裂縫寬度增大進(jìn)一步促使鉆井液漏失，建立模型時需要考慮這個耦合過程。目前，常用線性變形和指數(shù)變形方程描述裂縫應(yīng)力敏感性。為了更真實(shí)地描述裂縫寬度的變化行為，筆者采用了指數(shù)變形方程，即：

式中：w0為裂縫法向應(yīng)力為0時的裂縫寬度，mm；pf為流體壓力，MPa；σn為裂縫面法向應(yīng)力，MPa；β為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，通過試驗(yàn)獲取。

2.2 控制方程

1) 連續(xù)性方程。根據(jù)質(zhì)量守恒原理，連續(xù)性方程為：

(4)

2) 動量方程。對于赫-巴模式鉆井液，其在裂縫內(nèi)的流速為：

3) 漏失控制方程。將式(3)、式(5)和式(6)代入式(4)，可得鉆井液漏失控制方程：

(7)

式(7)中，裂縫寬度w可根據(jù)分形理論由式(1)求得。進(jìn)一步講，w是粗糙裂縫在x，y平面上的裂縫寬度分布函數(shù)，表征了裂縫的粗糙程度。

2.3 初始及邊界條件

根據(jù)實(shí)際情況，裂縫內(nèi)的初始壓力均為地層壓力。假設(shè)與井眼相交裂縫的邊界條件為：

(8)

式中：p0為地層壓力，MPa；pw為井筒壓力，MPa；tε

為壓力逐步升高的時間，s。

其他邊界條件為：

(9)

2.4 模型求解

使用中心差分法對鉆井液漏失控制方程進(jìn)行離散，可得：

(10)

3 粗糙度對漏失影響的分析

利用粗糙裂縫漏失模型模擬赫-巴模式鉆井液的漏失規(guī)律，模型中的數(shù)據(jù)取值見表1。通過改變模型的網(wǎng)格尺寸、標(biāo)準(zhǔn)差和分形維數(shù)，研究裂縫粗糙度對漏失的影響。

表1 鉆井液漏失模型參數(shù)取值Table 1 Parameters of the model for drilling fluid loss

3.1 網(wǎng)格尺寸

模擬光滑裂縫和網(wǎng)格尺寸為16×16、32×32和64×64的粗糙裂縫的形態(tài)和鉆井液漏失規(guī)律，并統(tǒng)計(jì)不同網(wǎng)格尺寸的裂縫寬度，結(jié)果見圖3、圖4和表2。由圖3、圖4和表2可看出，網(wǎng)格尺寸對裂縫形態(tài)無影響，但影響裂縫寬度；網(wǎng)格尺寸變小(網(wǎng)格數(shù)增加)，裂縫平均寬度變大，標(biāo)準(zhǔn)差變小，漏失速率及累計(jì)漏失量變大；網(wǎng)格數(shù)大于32×32時，粗糙裂縫的平均寬度與光滑裂縫的縫寬相比誤差小于0.86%，峰值漏失速率與更小網(wǎng)格尺寸的漏失速率相比誤差小于3.5%，10 s時的漏失量與更小網(wǎng)格尺寸的漏失量相比誤差小于3.7%。因此，選擇32×32的網(wǎng)格尺寸進(jìn)行數(shù)值模擬能夠滿足要求。

3.2 標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差增大，裂縫起伏程度增加，部分裂縫面與基準(zhǔn)面開始接觸。假設(shè)接觸處的最小裂縫寬度為0.001 mm，通過改變標(biāo)準(zhǔn)差預(yù)設(shè)值的大小，可得到粗糙裂縫(不同標(biāo)準(zhǔn)差的裂縫寬度分布見表3)。模擬表明，當(dāng)真實(shí)標(biāo)準(zhǔn)差大于0.5 mm時，裂縫面已與基準(zhǔn)面開始接觸。

圖3 不同網(wǎng)格尺寸下的粗糙裂縫Fig.3 Rough fracture in different mesh sizes

網(wǎng)格尺寸平均縫寬/mm最小縫寬/mm最大縫寬/mm標(biāo)準(zhǔn)差/mm裂縫體積/m3光滑裂縫11101016×16098840763312822007529883632×32099140770112452007099913664×640992207562123300068499220

圖4 不同網(wǎng)格尺寸下的鉆井液漏失規(guī)律Fig.4 Patterns of drilling fluid losses in different mesh sizes

編號標(biāo)準(zhǔn)差/mm平均縫寬/mm預(yù)設(shè)實(shí)際預(yù)設(shè)實(shí)際接觸率，%最小縫寬/mm最大縫寬/mm裂縫體積/m3Std010100000708100871000000778812539100000Std030300002126102601000000336317616100000Std0707000048781056910000190001027735100005Std1010000067191066810000560001035191100009

不同標(biāo)準(zhǔn)差下的漏失規(guī)律如圖5所示。從圖5可以看出，隨著標(biāo)準(zhǔn)差增大，漏失速率和漏失量均明顯變小。結(jié)合模擬計(jì)算得到的流體流線分布圖分析可知，這是因?yàn)殡S著標(biāo)準(zhǔn)差增大，裂縫面部分接觸，鉆井液的流動路線變得越來越復(fù)雜，尤其當(dāng)裂縫面接觸后，流動路線的彎曲程度顯著增加，導(dǎo)致漏失速率和漏失量顯著減小。

圖5 不同標(biāo)準(zhǔn)差下的漏失規(guī)律Fig.5 Patterns of drilling fluid losses with different standard deviations

3.3 分形維數(shù)

對光滑裂縫和分形維數(shù)為2.2、2.5和2.7的裂縫進(jìn)行模擬，并對裂縫寬度數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果見表4。由表4可看出，隨著分形維數(shù)增大，裂縫平均寬度和裂縫的標(biāo)準(zhǔn)差增大。

標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.1和0.7 mm時不同分形維數(shù)下的赫-巴流體漏失規(guī)律如圖6和圖7所示。

表4 不同分形維數(shù)下的裂縫寬度分布

Table 4 Distribution of fracture widths with different fractal dimensions

分形維數(shù)平均縫寬/mm最小縫寬/mm最大縫寬/mm標(biāo)準(zhǔn)差/mm裂縫體積/m3光滑裂縫111010220981908180117920488498191250991307701124520708899136270999607224131290100199958

圖6 標(biāo)準(zhǔn)差為0.1 mm時不同分形維數(shù)下的赫-巴流體漏失規(guī)律Fig.6 Patterns of Herschel-Bulkley fluid losses in different fractal dimensions with standard deviation of 0.1 mm

從圖6和圖7可以看出：分形維數(shù)對漏失有影響，隨著分形維數(shù)增加，雖然裂縫平均寬度增大，但漏失速率及累計(jì)漏失量仍呈減小趨勢。由表3可知，圖6反映的是裂縫面與基準(zhǔn)面未接觸的情形，而圖7為裂縫面與基準(zhǔn)面有接觸的情形。由圖6和圖7可以看出：裂縫面與基準(zhǔn)面未接觸時，裂縫分形維數(shù)對漏失影響不大；裂縫面與基準(zhǔn)面接觸后，裂縫分形維數(shù)對漏失的影響十分顯著。

圖7 標(biāo)準(zhǔn)差為0.7 mm時不同分形維數(shù)下的赫-巴流體漏失規(guī)律Fig.7 Patterns of Herschel-Bulkley fluid losses in different fractal dimensions with standard deviation of 0.7 mm

3.4 參數(shù)敏感性分析

因?yàn)樵缙诘穆┦俾屎吐┦Я繉Χ侣┐胧┑倪x擇更為重要，故分析標(biāo)準(zhǔn)差和分形維數(shù)對鉆井液峰值漏失速率(1 s)和漏失量(10 s)的影響程度，結(jié)果見圖8。

圖8 參數(shù)敏感性分析結(jié)果Fig.8 Parameter sensitivity analysis

圖8表明：隨著標(biāo)準(zhǔn)差增大，漏失速率和漏失量近似呈線性減少；隨著分形維數(shù)增加，漏失速率和漏失量亦近似呈線性減??；標(biāo)準(zhǔn)差越大，分形維數(shù)的影響也越大。

3.5 應(yīng)用探討

以上研究表明，裂縫平均寬度相同、但標(biāo)準(zhǔn)差和分形維數(shù)不同時，相同時刻的漏失速率和漏失量明顯不同。因此，漏失速率、漏失量相同時，裂縫平均寬度可以相差較大。例如，平均縫寬為1.0 mm、分形維數(shù)為2.7、標(biāo)準(zhǔn)差為0.7 mm的裂縫，峰值漏失速率為0.26 m2/s，而平均縫寬為0.6 mm的光滑裂縫，峰值漏失速率亦為0.26 m2/s，兩者的漏失規(guī)律如圖9所示。

圖9 不同裂縫的漏失規(guī)律Fig.9 Patterns of fluid losses in different fractures

由圖9可知，兩者在漏失早期的漏失曲線基本重合?，F(xiàn)場應(yīng)用時，如果僅利用早期漏失速率會導(dǎo)致裂縫寬度預(yù)測出現(xiàn)誤差。這也說明，具有相同漏失速率及漏失特征的井漏，裂縫平均寬度可能差異較大。如果漏失速率數(shù)據(jù)有限，現(xiàn)場進(jìn)行防漏堵漏作業(yè)時，應(yīng)根據(jù)裂縫的粗糙度，對預(yù)測的裂縫寬度進(jìn)行適度校正，從而采取合理的防漏堵漏方案。

4 結(jié)論與建議

1) 利用分形理論構(gòu)建粗糙裂縫，采用赫-巴流變模式和指數(shù)變形方程描述鉆井液的流變特性和裂縫的變形特征，根據(jù)質(zhì)量、動量守恒原理，建立了粗糙裂縫鉆井液漏失模型，為研究漏失規(guī)律及更準(zhǔn)確地反演裂縫寬度等提供了理論依據(jù)。

2) 裂縫網(wǎng)格尺寸對漏失模擬結(jié)果有影響。網(wǎng)格尺寸越小，裂縫漏失速率和漏失量越大。選擇32×32的網(wǎng)格尺寸，誤差能夠滿足漏失模擬的需求。

3) 標(biāo)準(zhǔn)差和分形維數(shù)都表征裂縫的粗糙程度。隨標(biāo)準(zhǔn)差和分形維數(shù)增大，裂縫面由未接觸向部分接觸發(fā)展。

4) 標(biāo)準(zhǔn)差和分形維數(shù)對漏失均有影響。隨著標(biāo)準(zhǔn)差和分形維數(shù)增加，鉆井液漏失速率及漏失量均近似呈線性減?。坏芽p面沒有接觸時，分形維數(shù)的影響程度比較小。

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[編輯 令文學(xué)]

Drilling Fluid Loss Model in Rough Fractures Based on Fractal Theory

LI Daqi1,2,ZENG Yijin1,2,LIU Sihai1,2,KANG Yili3

(1.SinopecResearchInstituteofPetroleumEngineering,Beijing,100101,China; 2.StateKeyLaboratoryofShaleOilandGasEnrichmentMechanismsandEffectiveDevelopment,Beijing,100101,China; 3.StateKeyLaboratoryofOilandGasReservoirGeologyandExploitation,SouthwestPetroleumUniversity,Chengdu,Sichuan,610500,China)

Conventional lost-circulation models failed to consider impacts of fracture roughness on losses of drilling fluids.Consequently,patterns of lost circulation in rough fractures were not fully understood,whereas fracture widths derived through inversion were usually characterized by huge errors.In the concerned study,a two-dimensional model for rough fractures was established based on fractal theory.With non-Newtonian rheological behaviors of the drilling fluid were highlighted by using the Herschel-Buckley mode,and with non-linear deformation features highlighted by index equations,a model for losses of drilling fluid could be established.Midpoint displacement method was used to derive numerical solution of the equation to determine the impacts of mesh sizes,number of fractal dimensions and standard deviation on drilling fluid loss rates and cumulative loss.Research results showed when sizes of mesh grids were large enough,numerical simulation might generate results with higher reliability.Loss rates and the cumulative loss might decrease significantly with increases in the standard deviation.The effect of the number of fractal dimensions on fluid loss behavior was related to contact of the two fracture surfaces.Minor effects on the loss could be observed when the contact rate was zero,and the impacts might be enhanced with increases in contact areas.Research results showed the newly established lost-circulation model might provide theoretical references for identification of lost circulation mechanisms and to determine the widths of fractures through inversion.

fractured formation; roughness; fractal dimension; Herschel-Buckley fluid; fluid loss rate

2017-02-23；改回日期：2017-06-21。

李大奇(1982—)，男，山東德州人，2006年畢業(yè)于西南石油大學(xué)石油工程專業(yè)，2012年獲西南石油大學(xué)油氣井工程專業(yè)博士學(xué)位，副研究員，主要從事防漏堵漏和井壁穩(wěn)定方面的研究工作。E-mail:ldqcwct@163.com。

國家科技重大專項(xiàng)“海相碳酸鹽巖超深油氣井關(guān)鍵工程技術(shù)”(編號:2017ZX05005-005)、國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“頁巖油氣高效開發(fā)基礎(chǔ)理論研究”(編號:51490650)聯(lián)合資助。

10.11911/syztjs.201704008

TE254

A

1001-0890(2017)04-0046-07