李化云，范洪海，胡 端

(1.西華大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院，四川成都610039；2.西華大學(xué)綠色建筑與節(jié)能重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都610039；3.中國(guó)港灣工程有限公司，北京100027；4.西南交通大學(xué)交通隧道工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都610031)

巖土小樣本參數(shù)區(qū)間估計(jì)方法探討

李化云1，2，范洪海3，胡 端4

(1.西華大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院，四川成都610039；2.西華大學(xué)綠色建筑與節(jié)能重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都610039；3.中國(guó)港灣工程有限公司，北京100027；4.西南交通大學(xué)交通隧道工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都610031)

巖土參數(shù)分布區(qū)間的計(jì)算是可靠度分析方法中的一項(xiàng)基礎(chǔ)性工作。在實(shí)際工程中，受采樣數(shù)量的限制，巖土參數(shù)多為小樣本。在探討3σ法則、考慮偏度的分布區(qū)間修正法以及非參數(shù)Bootstrap法等現(xiàn)有的巖土小樣本參數(shù)區(qū)間估計(jì)方法的適用情形及存在的不足的基礎(chǔ)上，結(jié)合巖土工程參數(shù)區(qū)間估計(jì)的特點(diǎn)，提出了一種適用于小樣本巖土參數(shù)區(qū)間估計(jì)的改進(jìn)灰自助法。算例表明，在不同的參數(shù)分布情形及樣本數(shù)量下，改進(jìn)方法優(yōu)于已有方法。

巖土工程；小樣本；參數(shù)；區(qū)間估計(jì)

0 引 言

近年來(lái)，以可靠度分析方法為代表的不確定分析方法在巖土工程領(lǐng)域得到快速發(fā)展。巖土參數(shù)分布區(qū)間的計(jì)算是可靠度分析方法中的一項(xiàng)基礎(chǔ)性工作，但由于取樣數(shù)目受試驗(yàn)周期、難度以及費(fèi)用等因素的限制，通常僅能獲取少量的樣本。通過(guò)小樣本合理地確定巖土參數(shù)分布區(qū)間，對(duì)發(fā)展和完善可靠度分析方法體系有著重要意義[1-5]。為此，研究者們發(fā)展了多種方法，如將正態(tài)分布中著名的3σ法則用于巖土參數(shù)分布區(qū)間估計(jì)，該方法是以巖土參數(shù)服從正態(tài)分布為前提的，而實(shí)際中的巖土參數(shù)常常并不滿足正態(tài)分布，而且該方法沒(méi)有考慮實(shí)際分布具有一定偏度的特點(diǎn)；宮鳳強(qiáng)和黃天朗等[6]提出了一種考慮偏度的分布區(qū)間修正法，在一定程度上改善了3σ法的不足；駱飛等[7]則將對(duì)領(lǐng)域區(qū)間進(jìn)行擴(kuò)展的改進(jìn)非參數(shù)Bootstrap法用于求解參數(shù)分布區(qū)間，但當(dāng)樣本容量過(guò)小時(shí)，其擴(kuò)展范圍是很有限的；此外，還有諸如t分布等理論概率方法也被用于確定巖土參數(shù)分布區(qū)間。一般來(lái)說(shuō)，在巖土工程中，實(shí)測(cè)巖土參數(shù)分布區(qū)間[xmin，xmax]應(yīng)包含在估計(jì)區(qū)間[a，b]內(nèi)，而上述方法所得結(jié)果常常并不滿足，且目前仍然缺乏有效的方法確定區(qū)間[a，b]的上下限。

鑒于目前該問(wèn)題研究存在的不足，本文將灰自助法用于確定巖土參數(shù)分布區(qū)間，并針對(duì)巖土參數(shù)的特征，對(duì)灰自助法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了巖土參數(shù)區(qū)間估計(jì)的改進(jìn)灰自助法。

1 巖土參數(shù)區(qū)間估計(jì)方法

1.1 正態(tài)分布(3σ法)

該方法以巖土參數(shù)服從正態(tài)分布為前提，通過(guò)正態(tài)分布中常用的3σ法則確定a，b，即

(1)

式中，u為均值，σ為方差。

理論上，若參數(shù)服從正態(tài)分布，則該方法的置信概率為99.74%，即參數(shù)取值分布在該區(qū)間的概率為99.74%。然而，大量的統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，巖土參數(shù)并非都服從于正態(tài)分布，如有學(xué)者認(rèn)為粘聚力和內(nèi)摩擦角服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。此外，理論正態(tài)分布的概率密度曲線具有分布對(duì)稱的特征，巖土參數(shù)的實(shí)際分布卻具有一定的偏度，且直接采用式(1)計(jì)算可能會(huì)得出負(fù)值，這與巖土參數(shù)物理意義不符。

1.2 考慮偏度的分布區(qū)間修正法

為避免經(jīng)典的3σ法不能考慮偏度的不足，宮鳳強(qiáng)等提出了一種考慮偏度的分布區(qū)間修正法，其計(jì)算式如下

(2)

式中，c表示偏度，且當(dāng)u-(3-c)σ<0或u-3σ<0，取a=0。該方法所得估值區(qū)間比式(1)要大。筆者認(rèn)為，雖然該方法考慮了偏度的影響，但其仍然更適合于正態(tài)分布情形。

1.3 Bootstrap法

已經(jīng)證明，Bootstrap法是處理小樣本數(shù)據(jù)的一種行之有效的手段。其中，非參數(shù)Bootstrap法已被用來(lái)解決巖土參數(shù)區(qū)間估計(jì)問(wèn)題。該方法實(shí)質(zhì)上是將小樣本數(shù)據(jù)通過(guò)放回抽樣等擴(kuò)展為大樣本數(shù)據(jù)。標(biāo)準(zhǔn)的非參數(shù)Bootstrap法完全通過(guò)放回抽樣對(duì)樣本進(jìn)行擴(kuò)展，從而完成區(qū)間估值。因而得到的分布區(qū)間[a，b]往往包含在[xmin，xmax]之內(nèi)，這顯然不能直接用于巖土工程中的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題。駱飛等[7]通過(guò)改進(jìn)的非參數(shù)Bootstrap法完成對(duì)分布區(qū)間的擴(kuò)展，一定程度上避免了上述不足，但當(dāng)樣本容量很少時(shí)，其擴(kuò)散范圍是很有限的。

2 改進(jìn)灰自助法

由于標(biāo)準(zhǔn)的非參數(shù)Bootstrap法完全通過(guò)放回抽樣，對(duì)樣本進(jìn)行擴(kuò)展從而完成區(qū)間估值。自助樣本完全由原樣本產(chǎn)生，當(dāng)已知樣本容量較小時(shí)，自助樣本與已知樣本極為相似，得到的結(jié)果偏離真實(shí)分布，存在較大的誤差。本文給出一種簡(jiǎn)單的改進(jìn)非參數(shù)Bootstrap法。

設(shè)試驗(yàn)所得巖土參數(shù)數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn(已將參數(shù)升序排序)。按下式對(duì)抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)展

xs=xi+rand(xi+1-xi)

(3)

式中，i=1，2，…，n-1。式(3)實(shí)質(zhì)上是對(duì)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)進(jìn)行插值。按式(3)進(jìn)行抽樣，得到1個(gè)Bootstrap樣本，重復(fù)多次，即可得到多個(gè)Bootstrap樣本。

對(duì)每個(gè)Bootstrap樣本進(jìn)行升序排序，通過(guò)灰色預(yù)測(cè)模型得到每個(gè)Bootstrap樣本的下1個(gè)預(yù)測(cè)值xn+1，該預(yù)測(cè)值可以看作是對(duì)Bootstrap樣本的右區(qū)間的延伸。同理，對(duì)每個(gè)Bootstrap樣本降序排序，通過(guò)灰色預(yù)測(cè)模型又可以得到1個(gè)預(yù)測(cè)值x0，將該預(yù)測(cè)值視為Bootstrap樣本的左區(qū)間的延伸。由此可以完成對(duì)每個(gè)Bootstrap樣本的區(qū)間邊界的擴(kuò)展。值得說(shuō)明的是，該擴(kuò)展方法是建立在灰色預(yù)測(cè)模型對(duì)小樣本數(shù)據(jù)良好的適應(yīng)性之上的，能夠避免人為主觀進(jìn)行擴(kuò)展的不足?；疑Ｐ偷慕⑴c求解描述如下[8-9]：

對(duì)每個(gè)Bootstrap樣本進(jìn)行累加生成并按均值生成法構(gòu)造背景值，即

(4)

式中，Y為x1，x2，…，xi相加的和，Z為背景值函數(shù)。

建立白化方程

(5)

[ab]T=(BTB)-1BTA

(6)

從而可得到式(5)的時(shí)間響應(yīng)序列解為

(7)

通過(guò)累減還原的方法可以得到預(yù)測(cè)值。

將m個(gè)Bootstrap樣本右區(qū)間延伸值的集合記為{xn+1(i)}(i=1，2，…，m)；左區(qū)間延伸值的集合記為{x0(i)}(i=1，2，…，m)?？紤]到在巖土工程中，實(shí)測(cè)巖土參數(shù)分布區(qū)間[xmin，xmax]應(yīng)包含在估計(jì)區(qū)間[a，b]之內(nèi)，按如下方式確定估計(jì)區(qū)間：

(1)右邊界。判斷xn+1(i)與xmax的大小，取出{xn+1(i)}中所有大于等于xmax的元素，組成1個(gè)新集合{xnew(i)}，取新集合元素的平均值作為b的估計(jì)。

(2)左邊界。判斷x0(i)與xmin的大小，取出{x0(i)}中所有小于等于xmin的元素，組成1個(gè)新集合{xnew1(i)}，取新集合元素的平均值作為a的估計(jì)。

3 工程算例

3.1 不同分布情況下的參數(shù)區(qū)間估計(jì)

分別比較在正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布、貝塔分布、均勻分布情況下幾種方法的區(qū)間估計(jì)效果。取孔隙比、液限、粘聚力、酸蝕巖體強(qiáng)度、塑限等5個(gè)巖土參數(shù)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)作為區(qū)間估計(jì)的樣本?？紫侗鹊臉颖救萘繛?6個(gè)，滿足正態(tài)分布，各實(shí)測(cè)值分別為0.802、0.964、1.041、1.057、1.105、1.185、1.195、1.206、1.215、1.224、1.227、1.244、1.246、1.263、1.278、1.297、1.325、1.328、1.343、1.390、1.394、1.454、1.492、1.537、1.641、1.699；液限的樣本容量為26個(gè)，滿足對(duì)數(shù)正態(tài)分布，各實(shí)測(cè)值分別為36.9%、37.2%、37.9%、42.1%、44.7%、45.2%、47.2%、47.3%、48.5%、48.5%、48.5%、48.5%、48.6%、48.7%、51.0%、52.0%、52.6%、53.5%、53.8%、55.3%、56.0%、56.0%、57.5%、58.9%、66.5%、69.5%；粘聚力的樣本容量為21個(gè)，滿足貝塔分布，各實(shí)測(cè)值分別為7.2、8.8、9.1、9.2、9.2、10.8、12.3、12.3、12.8、15.4、15.4、16.0、16.4、16.9、16.9、16.9、17.6、19.1、20.0、21.6 kPa和23.1 kPa；酸蝕巖體強(qiáng)度的樣本容量為19個(gè)，滿足威布爾分布，各實(shí)測(cè)值分別為134、153、119、156、122、146、107、120、114、128、148、141、142、147、130、92、167、113 MPa和127 MPa；塑限的樣本容量為23個(gè)，滿足均勻分布，各實(shí)測(cè)值分別為18.9%、19.4%、20.8%、20.8%、21.3%、21.6%、22.1%、22.6%、22.9%、23.3%、23.3%、24.1%、24.4%、25.2%、25.5%、25.5%、26.1%、26.5%、27.5%、28.2%、28.3%、28.4%、28.7%。分別應(yīng)用本文方法、3σ法以及考慮偏度的分布區(qū)間修正法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)區(qū)間估計(jì)，所得結(jié)果見(jiàn)表1。為了進(jìn)行直觀對(duì)比，圖1給出了各種方法的計(jì)算上下限和實(shí)測(cè)參數(shù)的上下限的對(duì)比。由表1和圖1可知，通常情況下，3σ法則和考慮偏度的分布區(qū)間修正法得到的估計(jì)區(qū)間大于實(shí)測(cè)參數(shù)區(qū)間，且這2種方法得到的估計(jì)區(qū)間差別不大。相比之下，本文方法得到的估計(jì)區(qū)間略大于實(shí)測(cè)參數(shù)分布區(qū)間而又小于其他2種方法所得的估計(jì)區(qū)間。此外，在正態(tài)分布情形下，3σ法及考慮偏度的分布區(qū)間修正法得到的估值區(qū)間較實(shí)測(cè)參數(shù)區(qū)間差別不大，但當(dāng)處于其他幾種分布情形下時(shí)，這2種方法得到的估值區(qū)間都較實(shí)測(cè)區(qū)間有較大差距，尤其是在貝塔分布情形下，這2種方法的計(jì)算結(jié)果較實(shí)測(cè)參數(shù)上下限差別最大。相比之下，本文的方法無(wú)論在哪種情形下的計(jì)算結(jié)果都能與實(shí)測(cè)參數(shù)較為保持一致。

3.2 不同樣本數(shù)量的參數(shù)區(qū)間估計(jì)

為了檢驗(yàn)幾種方法在不同樣本數(shù)量的參數(shù)區(qū)間估計(jì)時(shí)的應(yīng)用效果，分別取不同數(shù)量的巖土參數(shù)內(nèi)摩擦角正切值實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)。組1的樣本容量為25個(gè)，各實(shí)測(cè)值分別為0.21、0.25、0.24、0.18、0.20、0.23、0.22、0.24、0.23、0.28、0.29、0.31、0.38、0.38、0.48、0.41、0.46、0.49、0.42、0.36、0.32、0.38、0.37、0.37、0.52；組2的樣本容量為42個(gè)，各實(shí)測(cè)值分別為1.14、1.19、1.06、1.80、1.48、1.48、1.55、0.94、0.68、0.78、1.44、1.30、0.76、1.00、0.88、0.58、0.87、1.12、0.59、0.51、0.63、0.80、0.87、1.01、0.80、0.73、0.70、1.06、0.80、0.79、0.67、1.10、0.60、1.02、0.65、0.52、0.85、0.38、0.81、0.38、0.60、0.63；組3的樣本容量為63個(gè)，各實(shí)測(cè)值分別為0.38、0.48、0.41、0.43、0.46、0.37、0.34、0.46、0.33、0.42、0.46、0.44、0.31、0.43、0.37、0.30、0.38、0.44、0.42、0.37、0.39、0.42、0.41、0.41、0.41、0.42、0.45、0.34、0.41、0.39、0.39、0.42、0.36、0.35、0.42、0.40、0.49、0.43、0.41、0.41、0.38、0.41、0.38、0.52、0.39、0.44、0.42、0.37、0.39、0.43、0.42、0.44、0.51、0.48、0.44、0.39、0.52、0.51、0.49、0.43、0.42、0.58、0.51。幾種方法的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。由表2可以看出，本文方法計(jì)算結(jié)果介于真實(shí)參數(shù)區(qū)間和其他2種方法的計(jì)算結(jié)果之間。

劉恒等[10]指出，對(duì)于小樣本區(qū)間估計(jì)的優(yōu)劣應(yīng)該以區(qū)間位置和區(qū)間寬度來(lái)衡量，區(qū)間位置由區(qū)間界限表征，區(qū)間寬度由區(qū)間上下界差的絕對(duì)值表征，且區(qū)間寬度越小，表明估計(jì)方法越有效。按照這2項(xiàng)指標(biāo)的定義，本文方法估計(jì)出來(lái)的區(qū)間在各種分布類型以及樣本數(shù)量下顯然優(yōu)于3σ法以及考慮偏度的分布區(qū)間修正法。結(jié)合巖土工程中的實(shí)際情況得出的估計(jì)區(qū)間應(yīng)該包含實(shí)測(cè)巖土參數(shù)分布區(qū)間[xmin，xmax]。本文改進(jìn)方法結(jié)合該要求對(duì)原有的灰自助法進(jìn)行了一定的改進(jìn)，通過(guò)對(duì)灰色模型的預(yù)測(cè)步長(zhǎng)進(jìn)行調(diào)整，避免了原有灰色自助法得出的估計(jì)區(qū)間不滿足巖土工程要求的不足，該方法的建立不借助于統(tǒng)計(jì)理論，理論上能適應(yīng)各種分布類型的數(shù)據(jù)。

表1 計(jì)算結(jié)果

圖1 計(jì)算結(jié)果對(duì)比

表2 計(jì)算結(jié)果

4 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)研究比較現(xiàn)有的多種小樣本巖土參數(shù)區(qū)間估計(jì)方法，指出已有方法存在的不足，并提出了一種適用于小樣本巖土參數(shù)區(qū)間估計(jì)的改進(jìn)灰自助法，得出以下結(jié)論：

(1)在現(xiàn)有巖土參數(shù)區(qū)間估計(jì)方法中，3σ法通常只適用于正態(tài)分布情形，雖然考慮偏度的分布區(qū)間修正法對(duì)該方法進(jìn)行了一定改進(jìn)，但仍然更適用于正態(tài)分布情況，且多數(shù)情況下，這2種方法估計(jì)區(qū)間很接近。

(2)結(jié)合巖土工程的實(shí)際要求，即估計(jì)區(qū)間應(yīng)該包含實(shí)測(cè)巖土參數(shù)分布區(qū)間[xmin，xmax]，對(duì)灰自助法中的灰色預(yù)測(cè)步長(zhǎng)自動(dòng)調(diào)整，從而避免估計(jì)區(qū)間不包含實(shí)測(cè)巖土參數(shù)分布區(qū)間[xmin，xmax]的不足。

(3)從文中算例可以看出，無(wú)論是在何種分布以及樣本數(shù)量下，改進(jìn)方法估計(jì)的區(qū)間始終優(yōu)于3σ法以及考慮偏度的分布區(qū)間修正法。

[1]宮鳳強(qiáng), 黃天朗, 李夕兵. 巖土抗剪強(qiáng)度參數(shù)的最優(yōu)概率分布函數(shù)推斷方法[J]. 巖土工程學(xué)報(bào), 2016, 38(z2)： 204- 209.

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(責(zé)任編輯 楊 健)

Discussion on Interval Estimation Method for Small Sample Parameters of Rock and Soil

LI Huayun1,2, FAN Honghai3, HU Duan4
(1. School of Architecture and Civil Engineering, Xihua University, Chengdu 610039, Sichuan, China;2. Key Laboratory of Green Building and Energy Saving, Xihua University, Chengdu 610039, Sichuan, China;3. Chinese Harbour Engineering, Beijing 100027, China; 4. Key Laboratory of Transportation Tunnel Engineering of Ministry of Education, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, Sichuan, China)

The calculation of the distribution range of geotechnical parameters is a fundamental work in reliability analysis method. In actual project, as the number of samples is limited, the geotechnical parameters are mostly small sample. By comparing existing geotechnical parameter interval estimation methods of small sample (3σlaws, considering of skewness distribution range correction method and non-parametric Bootstrap method), the application and the deficiencies of above three methods is discussed. By combining the characteristics of interval estimation of geotechnical parameters, an improved gray self-help method is proposed for interval estimation of geotechnical parameters. The results show that the improved method is superior to existing method by comparing the distributions of different parameters and the number of samples．

geotechnical engineering; small sample; parameter; interval estimation

2017- 05- 31

國(guó)家青年科學(xué)基金項(xiàng)目(51608450)；西華大學(xué)綠色建筑與節(jié)能重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金項(xiàng)目(szjj2015- 075)

李化云(1982—)，男，江西吉安人，講師，博士，主要從事巖土及地下工程研究．

TU43

A

0559- 9342(2017)08- 0044- 04