李娟，邱軍婷，高海濤

(哈爾濱工程大學(xué) 自動化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

非線性系統(tǒng)的動態(tài)面自抗擾控制器設(shè)計及應(yīng)用

李娟，邱軍婷，高海濤

(哈爾濱工程大學(xué) 自動化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

針對一類具有嚴格反饋形式的非線性系統(tǒng)的控制問題，本文將動態(tài)面控制技術(shù)和自抗擾控制技術(shù)相結(jié)合，提出了動態(tài)面自抗擾控制算法?？刂破靼ㄈ齻€功能：利用跟蹤微分器給出期望信號以及其一階導(dǎo)；利用擴張狀態(tài)觀測器估計外界擾動；擾動補償。該控制器有效避免了傳統(tǒng)反步法中出現(xiàn)的“微分爆炸”現(xiàn)象，并避免了控制器設(shè)計對系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的精確要求。依據(jù)李亞普洛夫穩(wěn)定性理論進行控制器設(shè)計，并對擴張狀態(tài)觀測器和動態(tài)面部分進行了穩(wěn)定性分析。通過水下無人航行器模型仿真，仿真結(jié)果表明：航跡誤差在(-4,4)范圍內(nèi)，驗證了該控制算法的有效性。

線性系統(tǒng)； 動態(tài)面控制； 跟蹤微分器； 觀測器； 擾動補償； 自抗擾控制； 魯棒性； 水下無人航行器

近年來，非線性系統(tǒng)的研究備受關(guān)注。特別是針對一類具有嚴格反饋形式的非線性系統(tǒng)，已經(jīng)取得了很多研究成果。其中，反步法是解決這類系統(tǒng)控制器設(shè)計問題的重要方法，以及與自適應(yīng)等相結(jié)合的反步法技術(shù)已經(jīng)比較成熟[1-3]。但對于高階系統(tǒng)而言，反步法存在缺陷，對虛擬控制量求導(dǎo)的過程中會出現(xiàn)“微分爆炸”現(xiàn)象。韓京清提出了自抗擾控制器，介紹了自抗擾控制器的應(yīng)用。驗證了自抗擾控制器的適應(yīng)性和魯棒性，并給出了自抗擾控制器的最大特點[4]。Swaroop對傳統(tǒng)反步法進行了改進，提出了動態(tài)面控制算法[5]，該方法在非線性系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用。文獻[6]將動態(tài)面控制方法應(yīng)用到了船舶的航向控制中，并驗證了該控制方法的有效性。文獻[7] 針對201起重船裝載作業(yè)過程中模型參數(shù)不確定及存在未知擾動問題設(shè)計了動態(tài)面自抗擾控制器，驗證了該算法具有強抗干擾能力及對模型參數(shù)變化具有強魯棒性。

基于以上的研究成果，本文采用動態(tài)面自抗擾控制技術(shù)對具有嚴格反饋形式的非線性系統(tǒng)進行控制器設(shè)計。該控制器避免了傳統(tǒng)反步法中出現(xiàn)的“微分爆炸”現(xiàn)象，并對系統(tǒng)的未建模部分或者未知部分進行實時估計，然后根據(jù)估計量的大小對系統(tǒng)的實際控制量進行相應(yīng)的補償，使得控制器具有更強的魯棒性。同時，該控制器的設(shè)計具有一般標準形式，對于類似的非線性系統(tǒng)均適用，因此，該控制器體現(xiàn)了很強的工程實用價值。

1 動態(tài)面自抗擾控制器設(shè)計

1.1 系統(tǒng)描述

考慮如下單輸入單輸出系統(tǒng)：

(1)

式中：xi(i=1,2,…,n-1)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；f(·)為系統(tǒng)的非線性部分，表示系統(tǒng)的未建模部分或者系統(tǒng)的不確定性；y和u分別為系統(tǒng)的輸入和輸出，b為輸入增益。該系統(tǒng)的控制目標是實現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤，即設(shè)計控制律u使得系統(tǒng)的輸出y跟蹤上期望信號yd，這里假設(shè)期望信號yd是n階可微并且有界的函數(shù)。

1.2 控制器設(shè)計

動態(tài)面自抗擾控制器由四部分組成，分別為跟蹤微分器(tracking differentiator, TD)、擴張狀態(tài)觀測器(extended state observer, ESO)、動態(tài)面控制律(dynamic surface control, DSC)、動態(tài)擾動補償(dynamic compensation, DC)?？刂破鞯脑砣鐖D1所示。

圖1 動態(tài)面自抗擾控制器原理Fig.1 Principle of dynamic surface autodisturbance rejection controller

1.2.1 跟蹤微分器設(shè)計

TD的主要作用是安排過渡過程，其設(shè)計思路是利用一個慣性環(huán)節(jié)來盡快(通常選取較小的時間常數(shù)即可實現(xiàn)，但不宜過小，需根據(jù)系統(tǒng)的實際要求)地跟蹤上期望信號，并獲取期望信號的微分值，即一邊盡快地跟蹤上期望，同時給出其近似微分。

對于上述系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的期望信號yd，安排系統(tǒng)的跟蹤過渡過程v1，并提取其微分信號v2。為了計算方便，該算法通常選用離散形式，具體表達式為

(2)

式中：fh(x1,x2,r,h)為最速控制綜合函數(shù)，動態(tài)面自抗擾控制算法如下：

(3)

式中：參數(shù)r為跟蹤速度的速度因子，參數(shù)r選取的越大，跟蹤期望信號的速度就越快，反之，則跟蹤期望信號的速度就越慢；參數(shù)h為TD的積分步長。

1.2.2 擴張狀態(tài)觀測器設(shè)計

對于控制系統(tǒng)中存在的擾動，如果這種擾動不能從被控對象的輸出觀測到，或者說這種擾動不能控制被控輸出，那么在控制系統(tǒng)的設(shè)計中可以不用考慮這部分擾動；反之，如果這種擾動可以在被控對象的輸出觀測到，那么在控制系統(tǒng)的設(shè)計過程中必須考慮擾動對系統(tǒng)的影響，并盡可能的消除擾動的影響。ESO將系統(tǒng)的總擾動擴張成新的一維系統(tǒng)狀態(tài)，并對其進行觀測。

針對上述系統(tǒng)(1)，現(xiàn)將該系統(tǒng)的未知非線性函數(shù)f(x1,x2,…,xn)擴張成新的一維狀態(tài)，設(shè)xn+1=f(x1,x2,…,xn)，則上述系統(tǒng)可寫成

(4)

對于上述系統(tǒng)，設(shè)計狀態(tài)觀測器，對系統(tǒng)的狀態(tài)xi,i=1,2,…,n+1進行觀測，設(shè)觀測值為zi,i=1,2,…,n+1，擴張觀測器的離散形式為

(5)

式中：β1,β2,…,βn+1分別為擴張觀測器的待設(shè)計參數(shù)，函數(shù)fal(e,α,δ)為原點附近具有線性段的連續(xù)的冪次函數(shù)，其具體算法表示為

(6)

式中：δ為線性區(qū)間的長度。

1.2.3 動態(tài)面控制器設(shè)計

對于系統(tǒng)(1)，為了動態(tài)面控制器設(shè)計，假設(shè)u0=f(x1,x2,…,xn)+bu或者bu0=f(x1,x2,…,xn)+bu，則系統(tǒng)(1)可轉(zhuǎn)化為如下系統(tǒng)：

(7)

對于上述系統(tǒng)，進行動態(tài)面控制器設(shè)計：

首先，定義第一個動態(tài)面：

(8)

對其求導(dǎo)，并結(jié)合式(7)可以得到：

(9)

(10)

式中：k1為待設(shè)計的參數(shù)，且有k1>0。結(jié)合動態(tài)面的設(shè)計思路，引入一個一階低通濾波器：

(11)

式中：τ2為待設(shè)計濾波器的時間常數(shù)，且有τ2>0；α2為濾波器的輸出。

這里定義第二個動態(tài)面：

(12)

對其求導(dǎo)，并結(jié)合式(7)可以得到：

(13)

(14)

式中：k2為待設(shè)計參數(shù)，且有k2>0。根據(jù)動態(tài)面的設(shè)計思想，再次引入一個一階低通濾波器：

(15)

式中：τ3為待設(shè)計的濾波器時間常數(shù)，且有τ3>0；α3為濾波器的輸出。

(16)

對其求導(dǎo)，并結(jié)合式(7)可以得到：

(17)

(18)

式中：ki為待設(shè)計參數(shù)，且有ki>0。根據(jù)動態(tài)面的設(shè)計思想，這里再次引入一個一階低通濾波器：

(19)

式中：τi+1為待設(shè)計的濾波器時間常數(shù)，且有τi+1>0，αi+1為濾波器的輸出。

這里定義第n個動態(tài)面：

(20)

對其求導(dǎo)，并結(jié)合式(7)可以得到：

(21)

鎮(zhèn)定式(21)，從而得到控制律u0：

(22)

式中：kn為待設(shè)計參數(shù)，且有kn>0。

1.3 擾動補償設(shè)計

為了保證在所設(shè)計的控制律作用下，系統(tǒng)在擾動過程中仍然能跟蹤上期望信號，需要對上述獨立設(shè)計的控制律進行相應(yīng)的擾動補償。本文中將由狀態(tài)擴張觀測器觀測到的擾動值補償?shù)絼討B(tài)面控制律中。針對上述系統(tǒng)，系統(tǒng)的擾動值為zn+1，補償?shù)絼討B(tài)面控制律u0中，最終決定實際控制律u，表達式為

(23)

式中：b是系統(tǒng)的補償參數(shù)，即上述系統(tǒng)中的控制輸入增益。

2 穩(wěn)定性分析

2.1 擴張狀態(tài)觀測器穩(wěn)定性分析

對于擴張狀態(tài)觀測器(5)的穩(wěn)定性分析，類似于一階系統(tǒng)的分析，為了分析方便，現(xiàn)考慮如下一階非線性系統(tǒng)：

(24)

式中：f(x1)為非線性部分。

對該系統(tǒng)建立擴張觀測器，得到觀測器的誤差模型為

(25)

根據(jù)式(25)，對(e1,e2)進行劃分，如圖2所示。

圖2 (e1,e2)劃分圖Fig.2 (e1,e2)partition area

(26)

(27)

對以上各李亞普洛夫函數(shù)求偏導(dǎo)，則有

(28)

在區(qū)域A1中，有

(29)

對于區(qū)域A1，有e2<β1e1，即有

(30)

對于區(qū)域A2，有

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

因此，對于上述擴張觀測器模型，根據(jù)多李亞普洛夫理論可以證明該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，并且最終會收斂到區(qū)域A0中。

2.2 動態(tài)面穩(wěn)定性分析

(36)

對于動態(tài)面S1有

(37)

結(jié)合式(35)，則有：

(38)

(39)

同理可得

(40)

當i=n時，有

(41)

結(jié)合式(18)、(19)、(20)可以得到：

(42)

定義：

(43)

(44)

結(jié)合式(39)、(40)可以得到：

(45)

結(jié)合式(41)可以得到：

(46)

這里定義李亞普洛夫函數(shù)：

(47)

在此，不妨做如下假設(shè)：

(48)

gi≤C

(49)

式中：p為任何正數(shù)，C為函數(shù)gi的最大值。

取控制器增益參數(shù)ki=2+a，一階低通濾波器的時間常數(shù)為τi=1+(C2/2ε)+a，則有

(50)

當V=p，且a滿足a>((n-1)ε)/2p，則有

(51)

由此證明過程可知，當選擇合適的控制增益ki和一階濾波器的時間常數(shù)τi，能夠保證整個控制系統(tǒng)最終收斂。

3 UUV的特性及其仿真研究

3.1 UUV的數(shù)學(xué)模型

UUV在海流干擾下的水平面非線性狀態(tài)方程[8-9]：

(52)

式中：[xyψ]T為UUV的位置向量，[uvr]T為UUV的速度向量，[ucvc0]T為海流的速度向量，[urvrr]T為UUV相對海流的速度，[τu0τr]T為UUV的控制力和力矩，A=-d22vr+(d26-urc26-muc)r，B=(d62-urc62)vr-d66r+τr，并且有

(53)

式(53)中相關(guān)參數(shù)及其水動力系數(shù)為

3.2 UUV循跡控制器設(shè)計

UUV循跡過程中，由視線導(dǎo)引法[10-11]提供實時期望艏向vψ，縱向速度為定常值。根據(jù)動態(tài)面自抗擾控制器的設(shè)計思路，分別設(shè)計該UUV的艏向控制器和縱向速度控制器。

1)艏向控制器設(shè)計：

(54)

式中:h為仿真步長，r為跟蹤微分器的調(diào)節(jié)因子，y1為UUV實時艏向，u1為控制力矩，β1i為擴張狀態(tài)觀測器待設(shè)計參數(shù)，k1i為動態(tài)面待設(shè)計參數(shù)，τ11為濾波器時間常數(shù)。

2)縱向速度控制器設(shè)計：

(55)

相關(guān)參數(shù)的含義與艏向控制器中類似。

3.3 UUV循跡仿真

在北東坐標系下，假設(shè)UUV的期望航跡為P={(5, 0),(50, 50),(50, 100),(5, 150),(5, 200),(50, 200),(50, 250)}，期望速度為1 m/s。海流大小為0.5 m/s方向為π/4。并在UUV的艏向和橫向分別加幅值為0.2、0.18N·m，周期均為20π的外界擾動。相關(guān)參數(shù)分別為r=0.8，h=0.02，δ=0.1，β11=100，β12=300，β13=1 000，β21=50，β22=800，k11=1，k12=1，k13=1，k21=5，τ11=0.1，b10=0.025，b20=0.06。仿真結(jié)果如3～6圖所示。

圖3 UUV航跡圖Fig.3 UUV track map

圖4 UUV航跡誤差圖Fig.4 UUV track error chart

圖5 跟蹤微分器的輸出信號Fig.5 Output signal of tracking differentiator

圖6 擴張狀態(tài)觀測器的觀測值Fig.6 Observed value of extended state observer

結(jié)合圖3和圖4可以看出，在有外界干擾的情況下，UUV能夠跟蹤上期望航跡，并使得航跡誤差較快趨于零；圖5給出動態(tài)面自抗擾控制器中艏向和縱向跟蹤微分器的輸出值；圖6是狀態(tài)擴張觀測器的觀測值與實際值的對比圖，可以看出觀測器能夠很好的估計外界擾動。

4 結(jié)論

1)該控制算法成功避免了反步法對虛擬控制量求導(dǎo)的過程中會出現(xiàn)“微分爆炸”的現(xiàn)象，對系統(tǒng)的未建模部分或者未知部分進行實時估計，然后根據(jù)估計量的大小對系統(tǒng)的實際控制量進行相應(yīng)的補償，使得控制器具有更強的魯棒性。

2)該控制算法對UUV航跡跟蹤、UUV縱向速度和艏向速度估計以及估計外界擾動具有很好的效果。

[1] 劉燕斌, 陸宇平. 基于反步法的高超音速飛機縱向逆飛

行控制[J]. 控制與決策, 2007, 22(3): 313-317. LIU Yanbin, LU Yuping. Longitudinal inverse flight control of hypersonic aircraft based on back-stepping method [J]. Control and decision making, 2007, 22(3): 313-317.

[2] 向崢嶸, 向偉銘. 基于反步法的一類非線性切換系統(tǒng)控制器設(shè)計[J]. 控制與決策, 2007, 22(12): 1373-1376. XIANG Zhengrong, XIANG Weiming. Design of class of nonlinear switching system controller based on back-stepping method [J]. Control and decision making, 2007, 22(12): 1373-1376.

[3] 何朕, 王廣雄, 楊文哲. 一類欠驅(qū)動系統(tǒng)的頻域反步法設(shè)計[J]. 電機與控制學(xué)報, 2012, 16(2): 71-76. HE Zhen, WANG Guangxiong, YANG Wenzhe. Design of frequency-domain back-stepping for a class of underactuted systems [J]. Journal of electric machines and control, 2012, 16(2): 71-76.

[4] 韓京清. 自抗擾控制器及其應(yīng)用[J]. 控制與決策, 1998, 13(1): 19-23. HAN Jingqing. Active disturbance rejection controller and its application [J]. Control and decision making, 1998, 13(1): 19-23.

[5] SWAROOP D, HEDRICK J K, YIP P P, et al. Dynamic surface control for a class of nonlinear systems[J]. IEEE transactions on automatic control, 2000, 45(10): 1893-1899.

[6] 孫紅英, 于風(fēng)衛(wèi). 船舶航向非線性系統(tǒng)自適應(yīng)動態(tài)面控制器設(shè)計[J]. 中國航海, 2008， 31(3)： 236-239. SUN Hongying, YU Fengwei. Design of adaptive dynamic surface controller for ship course nonlinear system [J]. China sailing, 2008， 31(3)： 236-239.

[7] 付明玉，彭海軍，徐玉杰,等. 基于動態(tài)面自抗擾技術(shù)的起重船動力定位控制[J]. 新型工業(yè)化, 2014, 4(10): 10-17. FU Mingyu, PENG Haijun, XU Yujie, et al. Dynamic positioning control of crane based on dynamic surface auto-disturbance rejection technology [J]. New industrialization, 2014, 4(10): 10-17.

[8] ERLING J, REFSNES G. Nonlinear model-based control of slender body AUVs[D]. Trondheim：Norwegian University of Science and Technology， 2007.

[9] REFSNES J E, SORENSEN A J, PETTERSEN K Y. Model-based output feedback control of slender-body under actuated AUVs: theory and experiments[J]. IEEE transactions on control systems technology, 2008, 16(5): 930-946.

[10] FREDRIKSEN E, PETTERSEN K Y. Global k-exponential way-point maneuvering of ships[C]//43rd IEEE Conference on Decision and Control. [S.l.],2004: 5360-5367.

[11] FOSSEN T I. Handbook of marine craft hydrodynamics and motion control[M]. [S.l.]: Norwegian University of Science and Technology, 2011: 248-252.

本文引用格式：

李娟，邱軍婷，高海濤. 非線性系統(tǒng)的動態(tài)面自抗擾控制器設(shè)計及應(yīng)用[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報， 2017， 38(8): 1278-1284.

LI Juan, QIU Junting, GAO Haitao. Design and application of dynamic surface auto-disturbance rejection control for nonlinear systems[J]. Journal of Harbin Engineering University， 2017， 38(8): 1278-1284.

Design and application of dynamic surface auto-disturbance rejection control for nonlinear systems

LI Juan, QIU Junting, GAO Haitao

(College of Automation, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Focusing on the control problem of a class of nonlinear systems with strict feedback, by combination with the dynamic surface and active disturbance rejection control method, this paper proposes an active disturbance rejection control algorithm. The controller can produce the expected signal and its derivative with a tracking differentiator (TD) and estimate the external disturbance with an extended state observer (ESO), which can be compensated by the ESO. The controller can effectively avoid the phenomenon of differential explosion, which appears in the traditional backstepping control method, and reduce the dependence on accurate mathematical models for the control system. The controller design is based on the Lyapunov stability theory, the stability of the ESO and dynamic surface control are analyzed. A simulation of an unmanned underwater vehicle (UUV) model was conducted, which resulted in the track error in the range of (-4,4). The experimental results show effectiveness of the proposed approach.

nonlinear system; dynamic surface control; tracking differentiator; observer; disturbance compensation; active disturbance rejection control; robustness; unmanned underwater vehicle

2016-06-01.

日期：2017-06-19.

國家自然科學(xué)基金項目(51609046/E091002)；國防科技重點實驗室基金項目(9140C270208140C27004)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項項目(HEUCFM170403).

李娟(1976-), 女, 副教授.

李娟，E-mail: Lijuan041@163.com.

10.11990/jheu.201606005

TP273.2

A

1006-7043(2017)08-1278-07

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20170619.1422.002.html