浙江奉化高級(jí)中學(xué)(315500) 柴驥寧

一道三角形面積最值問題的探析

浙江奉化高級(jí)中學(xué)(315500) 柴驥寧

2017年的南京一模的填空壓軸出了個(gè)有關(guān)三角形面積最值的問題,如果翻閱近幾年的江蘇各地?？?能尋覓到2015年泰州就出現(xiàn)過與此相同的一個(gè)最值問題,雖是陳題,但其還是有值得研究的好題,一個(gè)題只要你留心和觀察,方能看到不一樣的成效,下面是筆者對(duì)于此題的一些見解和推廣.

題目 (南京市、鹽城市2017屆高三年級(jí)第一次模擬考試第14題)在△ABC中,所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a2+b2+2c2=8,則△ABC面積的最大值為_____.

一.問題的解決

分析 顯然這是一個(gè)有關(guān)三角形的面積最值問題,也就是三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):三角形,面積,最值.首先,三角形就是涉及正余弦定理;其次,面積就是面積公式,一般涉及兩種面積形式;最后,最值就是一般利用函數(shù)和不等式解決問題,有了這樣的三個(gè)核心點(diǎn),筆者有了下面的幾種解法:

評(píng)注 此法主要是通過角的視角解決三角問題,通過簡(jiǎn)單的基本不等式和輔助角公式水到渠成地解決了此問題,當(dāng)然其中的三角函數(shù)有界性是最終求得其最值的核心內(nèi)核.

評(píng)注 此法是從角的視角解決三角形問題,邊角互化其實(shí)是對(duì)解法一,二最好的闡述,當(dāng)然法二還是通過簡(jiǎn)單的基本不等式放縮,通過轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)來解決這個(gè)問題,“最值問題函數(shù)解”這也是個(gè)常見而通俗的轉(zhuǎn)化思想.

評(píng)注 此法類似于解法一,但又高于解法一,通過柯西不等式的放縮直接構(gòu)造了三角形的面積公式,靈活但又簡(jiǎn)潔,這是體現(xiàn)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔美的一個(gè)解法.

解法四 如圖1,過C作CD⊥AB,垂足為D,則x+y=c.則

圖1

評(píng)注 此法與上一解法異曲同工之妙,通過不等式的放縮直接構(gòu)造了面積公式,只是一個(gè)從角的視角的面積公式,一個(gè)是低與高之間邊的視角的面積公式,千絲萬縷又面面相覷.

解法五 假設(shè)AB=c為定值,則以AB中點(diǎn)O建立平面直角坐標(biāo)系,如圖2,則不妨設(shè)C(x,y),其中a2+b2=8?2c2,則易得(x+

圖2

評(píng)注 此法易感受到就如同是把解法四坐標(biāo)化的詮釋,其實(shí)幾何問題代數(shù)化是解決幾何問題的一大重要途徑,此種方法有“重計(jì)算,輕思維”之嫌,也是學(xué)生在解決復(fù)雜幾何問題時(shí)喜歡選擇的方法,對(duì)于本題的此法,我們還發(fā)現(xiàn)(?)式是一個(gè)圓方程,即揭示了一個(gè)圓的定義:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的線性平方和為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)得軌跡即為圓.

評(píng)注 此法利用一個(gè)面積與邊之間的恒等式,結(jié)合四維的柯西不等式,輕巧而便捷地求得其面積的最大值,但這“簡(jiǎn)美”背后是數(shù)學(xué)知識(shí)“大道”的升華.

二.問題的推廣

命題1 在△ABC中,所對(duì)的邊分別為a,b,c,若xa2+yb2+zc2=t(其中 a,y,z,t均大于 0),則 (S△ABC)max=

其實(shí)不然,上述命題是同解法一一致,自然而又適合通法同性的教學(xué)功能,其實(shí)上述的命題中,代回到結(jié)論中,可以表述成如下不等式命題:

命題2 在t=xa2+yb2+zc2中,所對(duì)的邊分別為a,b,c若實(shí)數(shù)x,y,z＞0,則xa2+yb2+zc2≥

圖3

證明 如圖3,過A作AD ⊥ BC,垂足為D.設(shè)AD=k,BD=m,CD=n.則a2=(m+n)2,b2=k2+n2,c2=k2+m2,4S△ABC=2k(m+n).故只需證x(m+n)2+y(k2+n2)+z(k2+m2)≥2k(m+整理得(y+z)k2+x(m+n)2+yn2+故只需證故只需證

即證(y+z)[x(m+n)2+yn2+zm2]≥(m+n)2(xy+yz+zx).即證y(y+z)n2+z(y+z)m2≥yz(m+n)2?y2n2+z2m2≥2yzmn?(yn?zm)2≥0,故命題得證.

由(2)式不難發(fā)現(xiàn),這個(gè)不等式要成立,只需

因此可以推廣到如下的

命題3在△ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若實(shí)數(shù)x+y+z＞0,xy+yz+zx＞0,則xa2+yb2+zc2≥

評(píng)注 注意到命題3,當(dāng)x=y=z=1時(shí),就是1919年Weitezenbock提出的關(guān)于三角形的著名不等式:,當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為等邊三角形等號(hào)成立.此題也許就是這個(gè)不等式背景的命題效果吧.

三.思維的啟迪

通過對(duì)一道模考題的簡(jiǎn)單探析,能更好地把握住數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性和統(tǒng)一性,能更好地感受到解題而非就題論題,作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)該站在數(shù)學(xué)知識(shí)層面去解題,讓一個(gè)題真正煥發(fā)出它的生命力,這樣才能真正體現(xiàn)出一個(gè)題目的教學(xué)功能性.通過對(duì)一個(gè)題目的細(xì)細(xì)品讀和斟酌再三,能有效地提升教師的自身思維能力,作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)該是學(xué)生思維的領(lǐng)航者和引導(dǎo)者,只有數(shù)學(xué)教師自己能在題里看到一片天,才能使學(xué)生在天空中看到繁星.