譚偉良

（1.中國科學院武漢物理與數(shù)學研究所 波譜與原子分子物理國家重點實驗室，武漢 430071；2.中國科學院大學，北京 100049）

修正的ARMA模型在微懸臂系統(tǒng)辨識中的應用

譚偉良1,2

（1.中國科學院武漢物理與數(shù)學研究所 波譜與原子分子物理國家重點實驗室，武漢 430071；2.中國科學院大學，北京 100049）

在力學顯微鏡和光力學的研究中，微懸臂是一種被廣泛使用的微機械器件。為了了解微懸臂的模態(tài)信息，采用ARMA模型對微懸臂進行系統(tǒng)辨識和模態(tài)參數(shù)識別。針對觀測噪聲會使時間序列模型辨識精度變低的問題，研究如何將帶有觀測噪聲的ARMA模型轉化為無觀測噪聲的ARMA模型。得到微懸臂的ARMA模型后將其轉化為連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，再從傳遞函數(shù)中求出微懸臂的各模態(tài)參數(shù)。為了減小微懸臂對外力的延遲響應時間，根據(jù)系統(tǒng)辨識得到的模型，構造一個復原濾波器，微懸臂的位移信號通過這個復原濾波器后得到作用力信號。仿真及實驗結果證明了所用的系統(tǒng)辨識、模態(tài)參數(shù)識別及信號復原方法的有效性。

振動與波；微懸臂；ARMA模型；系統(tǒng)辨識；模態(tài)參數(shù)識別；復原濾波器；信號復原

微懸臂器件不僅在應用領域如高精密測量（生物傳感、力學顯微鏡等）被廣泛應用[1]，在基礎研究領域如在微納光力學中研究宏觀物體的量子效應等方面也受到廣泛重視[2]。為了了解微懸臂的準確信息，有必要對微懸臂的模態(tài)參數(shù)進行識別。自回歸滑動平均模型（ARMA模型）是一種精確、高分辨率的譜分析方法，是現(xiàn)代譜估計的常用模型，廣泛用于系統(tǒng)辨識。使用ARMA模型進行系統(tǒng)辨識的條件是要求施加的激勵是白噪聲，考慮到微懸臂的物理模型，這個條件是可以滿足的，當微懸臂沒有受到外力作用時，一個固定點的隨機起伏可以等效為熱噪聲等效力施加于微懸臂所產生的響應，而熱噪聲等效力的統(tǒng)計特性就是白噪聲。在測量過程中，微懸臂測量點的位移信號會被觀測噪聲所污染。以往用ARMA模型進行系統(tǒng)辨識時，很少考慮到觀測噪聲的存在，而觀測噪聲會使辨識精度變低。為了消除觀測噪聲的不利影響，文中研究如何將有觀測噪聲的ARMA模型轉化為無觀測噪聲的ARMA模型。

在力學顯微鏡的應用中，通常施加在懸臂的外力是正弦形式的，要求通過探測微懸臂的位移信號，估計外力的幅度和相位[3]。但由于微懸臂的品質因數(shù)過大，位移信號的幅度有一個逐漸變大的過程，時間足夠長后，信號幅度才會穩(wěn)定不變，所以需要等待位移信號的幅度穩(wěn)定下來才能進行幅度和相位估計，這種微懸臂對外力的響應延遲現(xiàn)象制約了力學顯微鏡掃描速度的提高。通常減小懸臂動態(tài)響應時間的方法是對懸臂施加一個負反饋作用力[4]，通過減小微懸臂的品質因數(shù)和增大帶寬來提高微懸臂響應速度，但這種方法實現(xiàn)麻煩且會減小懸臂的振動幅度。文中先用ARMA模型對懸臂進行系統(tǒng)辨識，然后根據(jù)所得模型估計模態(tài)參數(shù)并且構造一個復原濾波器。懸臂位移信號通過該濾波器輸出的信號即為作用力信號，從而大大減小微懸臂對外力的延遲響應時間。

1 修正的ARMA模型

當微懸臂無外加作用力時，其測量點的隨機起伏是由于白噪聲激勵而產生的，所以測量點的位移信號x(n)可表示為ARMA(Na,Nb)模型

w(n)為功率為白噪聲激勵，{ak}為自回歸部分的系數(shù)，{bk}等于滑動平均部分的系數(shù)。實際上得到的觀測信號y(n)是混有觀測噪聲v(n)的，假設v(n)是功率為的白噪聲，那么有

取Nb=max(Nc,Nd)時，不難看出式(9)的一個解是

2 微懸臂的模態(tài)參數(shù)識別

對微懸臂進行ARMA模型系統(tǒng)辨識后，接下來要做的是估計微懸臂的模態(tài)參數(shù)。由式(1)可得微懸臂等效的系統(tǒng)函數(shù)為

對H(z)的分子和分母進行因式分解

用零極點匹配法[5]，將H(z)轉化為連續(xù)情況時微懸臂的傳遞函數(shù)

對于微懸臂的第m個模態(tài)，其測量點的動力學方程為[6]

ωm和Qm分別是第m個模態(tài)的固有頻率和品質因數(shù)，cm是一個常數(shù)，F(xiàn)(t)是作用力，那么相應的傳遞函數(shù)為

考慮系統(tǒng)辨識對象是微懸臂，不同于以往模態(tài)參數(shù)識別的參數(shù)是固有頻率和阻尼比，文中模態(tài)參數(shù)識別的參數(shù)是固有頻率和品質因數(shù)，但兩者并沒有本質區(qū)別，因為由固有頻率和品質因數(shù)可以確定阻尼比。Gm(s)的極點為

比較式(15)和式(17)，可知式(17)右邊第二項的每個求和項對應于一個品質因數(shù)大于0.5的模態(tài)。我們只分析G(s)中品質因數(shù)大于0.5的模態(tài)，由式(15)和式(17)可求得

3 信號復原

對微懸臂進行ARMA模型辨識得到微懸臂的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，我們接下來要用H(z)構造一個復原濾波器Hr(z)，微懸臂位移信號x(n)通過這個濾波器后得到施加在微懸臂的作用力信號，通過信號復原可大大減小微懸臂對外加力的響應時間。

當外力存在時，微懸臂位移信號x(n)可以用差分方程表示為

f(n)是施加在微懸臂的作用力，包括外力和熱噪聲等效力，注意到式(19)右邊第二項的求和項是從k0開始的，而k0不一定等于0。當外力不存在時，f(n)是白噪聲，令w(n)=βk0f(n-k0)，則

Fd(z)是fd(n)=f(n-k0)的z變換。使用ARMA系統(tǒng)辨識得到模型參數(shù)由于實際得到的是帶噪位移信號y(n)，所以用y(n)代替x(n)，那么式(21)可寫為

為了使復原濾波器穩(wěn)定，要求Hr(z)的極點全都在單位圓內，但用式(10)求得的解不一定滿足這個要求。如果Hr(z)的極點不都在單位圓內，那么是非最小相位系統(tǒng)，這個系統(tǒng)可以用一個最小相位系統(tǒng)Hmin(z)和一個全通系統(tǒng)Hap(z)級聯(lián)而成[8]，即

由上式可直接得到

4 仿真及實驗

用Matlab模擬一個具有3階模態(tài)的系統(tǒng)，每1階的模態(tài)參數(shù)分別是：ω1=2π×1 000 rad/s，Q1=500；ω2=2π×2 000 rad/s ，Q2=1 000 ；ω3=2π×5 000 rad/s，Q3=1 500。生成5 000點的白噪聲，然后將白噪聲輸入到這個系統(tǒng)，再對輸出信號加入功率不等的白色觀測噪聲，得到帶噪輸出信號，最后對帶噪輸出信號用修正的ARMA模型和未修正的ARMA模型進行系統(tǒng)辨識，得到系統(tǒng)函數(shù)，為了便于對比，對無觀測噪聲的輸出信號也進行系統(tǒng)辨識。改變輸出信號的信噪比得到的系統(tǒng)函數(shù)的頻率響應曲線如圖1所示。

圖1 不同信噪比條件下得到的系統(tǒng)函數(shù)頻率響應曲線

從圖1可以看出，綠線與紅線偏離程度很大，而藍線與紅線的大致重合，只是在中間的極小值附近有所偏離。隨著信噪比的下降，綠線與紅線偏離程度加大，藍線與紅線在共振峰附近基本重合，在中間的極小值附近偏離程度有所增加，這表明文中提出的修正ARMA模型具有很好的魯棒性。信噪比為15 dB時，用修正的ARMA模型進行模態(tài)參數(shù)識別，結果如表1所示。

表1 信噪比為15 dB時模態(tài)參數(shù)的估計結果

可以看出相比品質因數(shù)，固有頻率的估計誤差更小，所有參數(shù)的估計誤差不超過1.6%，估計效果很好。在表1中，在同樣的信噪比下，用Hilbert-Huang變換[9]對上述系統(tǒng)做模態(tài)參數(shù)識別，不難看出用修正的ARMA模型得到估計結果的精度更高。

實驗使用 480 μm×10 μm×0.8 μm 的單晶硅微懸臂，用光纖干涉儀采集無外力作用下微懸臂的帶噪位移信號y(n)，信噪比為20 dB，采樣率為108 kHz，信號長度為10 000點，用ARMA(20,19)模型A對信號進行擬合，并加以修正，轉化為無觀測噪聲情況下的ARMA模型B。圖2為模型B的頻率響應曲線。用彈性力學來估算真實模態(tài)的大致固有頻率[10]，其在0～54 kHz范圍內，被標號的共振峰與估算的固有頻率最接近，其他共振峰不是真實模態(tài)，是由擾動噪聲造成的，用前文所述的方法估計四個模態(tài)的模態(tài)參數(shù)，它們的理論估計值和修正的ARMA模型估計值列于表2。

用模型B構造復原濾波器，將懸臂位移信號y(n)通過該濾波器，輸出信號為r(n)，再用ARMA(20,19)模型C對r(n)進行擬合，最后根據(jù)模型C繪制r(n)的功率譜，示于圖3。

圖2 微懸臂系統(tǒng)函數(shù)的頻率響應曲線

表2 4個共振峰對應的模態(tài)參數(shù)理論估計值和修正的ARMA模型估計值

圖3 恢復信號的功率譜

可以看出r(n)的功率譜變化幅度不大，表明r(n)是白噪聲，而微懸臂的激勵信號也是白噪聲，說明復原濾波器能達到復原信號的目的。

5 結語

針對觀測噪聲會使時間序列模型的辨識精度變低的問題，提出修正的ARMA模型，仿真結果表明這個模型具有很好的魯棒性。提出的微懸臂ARMA模型系統(tǒng)辨識方法能夠很好地擬合懸臂位移信號，微懸臂的ARMA模型等效頻率響應曲線能很清晰地顯示出尖峰的存在。微懸臂位移信號通過復原濾波器后輸出信號是白噪聲，說明復原濾波能在一定的帶寬范圍內修復懸臂對作用力信號造成的頻率失真作用，復原信號效果良好。提出的模態(tài)參數(shù)估計方法能準確、有效計算出懸臂模態(tài)參數(shù)，但這個方法亦有不足之處，即并非每一個模態(tài)都會在懸臂的幅頻曲線中對應于一個明顯的尖峰，要結合幅頻曲線分析各個模態(tài)的重要性。

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Application of ModifiedARMAModel in System Identification for Micro-cantilevers

TAN Wei-liang1,2
(1.State Laboratory of Magnetic Resonance andAtomic and Molecular Physics,Wuhan Institute of Physics and Mathematics,ChineseAcademy of Sciences,Wuhan 430071,China;2.University of ChineseAcademy of Sciences,Beijing 100049,China)

Micro-cantilever is a kind of micromechanical device which is widely used in the research of force microscope and optomechanics.In order to learn the modal information of micro-cantilevers,the ARMA model is employed for system identification and modal parameters identification of the micro-cantilevers.Since observing noise may decrease the identification accuracy of the time series model,the method of converting the ARMA model with observed noise to the ARMA model without observed noise is studied.After micro-cantilever’s ARMA model is obtained,this model is converted to a transfer function of the continual system.Then,the micro-cantilever’s modal parameters are calculated from the transfer function.In order to decrease the time delay of the micro-cantilever response to external force,a recovery filter is constructed on the basis of the model obtained by system identification.The applied force signal can be obtained by inputting displacement signal into the recovery filter.Simulation result and experimental result verify the effectiveness of the system identification,the modal parameter identification and the signal recovery method presented in this paper.

vibration and wave;micro-cantilever;ARMAmodel;system identification;modal parameters identification;recovery filter;signal recovery

O321

：A

：10.3969/j.issn.1006-1355.2017.04.011

1006-1355(2017)04-0052-05

2017-01-19

譚偉良（1990－），男，碩士研究生，南寧市人，主要從事微納光力學方面的研究工作。E-mail:tanweil@163.com