盧雨祥，湯子躍，喻令，周暢

(1.空軍預(yù)警學(xué)院，湖北 武漢 430019； 2.中國電子科技集團公司 第二十九研究所，四川 成都 610000)

隨機PRI雷達的多普勒頻率特性及相參處理*

盧雨祥1，湯子躍1，喻令2，周暢1

(1.空軍預(yù)警學(xué)院，湖北 武漢 430019； 2.中國電子科技集團公司 第二十九研究所，四川 成都 610000)

針對隨機PRI雷達目標(biāo)回波信號的脈沖多普勒頻率特性，首先對隨機PRI雷達非均勻采樣頻譜的周期性進行了分析，然后重點推導(dǎo)了隨機PRI雷達最大不模糊頻率的數(shù)學(xué)表達式；并進一步就該多普勒頻率特性對隨機PRI雷達相參處理帶來的影響進行了討論；最后，針對隨機PRI雷達的相參處理問題，提出了一種基于IAA算法的隨機PRI雷達MTD處理方法，該方法具有無多普勒模糊、低副瓣泄漏的特點。仿真實驗驗證了關(guān)于隨機PRI雷達多普勒頻率特性分析的正確性和基于IAA算法的隨機PRI雷達MTD處理方法的有效性。

隨機PRI雷達； 最大不模糊頻率； 非均勻采樣； 混疊頻率； 迭代自適應(yīng)方法(IAA)； 相參積累

0 引言

隨機PRI雷達因為PRI(pulse repetition interval)隨機捷變，較傳統(tǒng)均勻PRI雷達更加難以被偵察接收機分選識別，具有更強的低截獲性能。但是，對隨機PRI雷達進行相參積累時，同一距離單元上不同脈沖間采樣具有非均勻的特性；而傳統(tǒng)基于FFT的相參積累技術(shù)要求采樣點均勻采樣，所以隨機PRI與相參積累技術(shù)不兼容。

經(jīng)過多年發(fā)展，對于隨機PRI雷達的MTD(moving target detection)問題的研究取得了一些成果。文獻[1-2]詳細分析了隨機PRI雷達較傳統(tǒng)均勻PRI雷達在LPI(low probability of interception)性能上的提升。1993年，文獻[3]首先提出了非均勻PRI雷達與相參積累技術(shù)兼容的問題，并給出了理想回波信號的數(shù)學(xué)模型和基本解決方法NUDFT(non- uniform discrete Fourier transform)[4-5]。此后，文獻[6]提出了一種基于NUFFT(non- uniform fast Fourier transform)[7]的改進方法，可以在保證測速準(zhǔn)確率的情況下，將算法的時間復(fù)雜度由O(N2)提高到O(NlgN)。文獻[8-9]針對基于NUDFT算法高副瓣的問題，提出一種基于CS(compressed sensing)算法[10]的MTD框架，可以有效降低副瓣并具有較強的檢測性能。遺憾的是，雖然文獻[8-9]指出，隨機PRI雷達相較均勻PRI雷達可以在頻域無模糊地進行檢測，但是它并沒有給出精確的隨機PRI雷達最大不模糊頻率(該頻率決定了可以無模糊檢測的多普勒頻率范圍)。

針對以上問題，本文在建立隨機PRI雷達回波信號模型的基礎(chǔ)上，對隨機PRI雷達的多普勒頻譜特性進行了分析，包括頻譜周期性和最大不模糊頻率。進而針對隨機PRI雷達相參處理的問題，本文提出了一種基于IAA(iterative adaptive approach)算法的隨機PRI雷達MTD處理方法，該方法具有無多普勒模糊、低副瓣的特點。最后結(jié)合仿真實驗驗證了本文對隨機PRI雷達多普勒頻率特性分析的正確性和基于IAA算法隨機PRI雷達MTD處理的有效性。

1 隨機PRI雷達脈沖多普勒頻率特性

1.1 隨機PRI雷達回波信號模型

與傳統(tǒng)均勻PRI不同，隨機PRI雷達脈沖重復(fù)間隔按照預(yù)先設(shè)定偽隨機排布，其脈沖重復(fù)間隔的非均勻特性等效于在脈沖維對目標(biāo)回波進行非均勻采樣?？紤]沒有距離模糊的情況，回波信號可簡寫為[3，6，8]

(1)

式中：sk代表第k個目標(biāo)回波的復(fù)幅度；tn是脈沖維采樣時刻，假設(shè)第1個脈沖的采樣時刻為0時刻，那么tn就是前n個脈沖重復(fù)間隔之和：

(2)

1.2 問題提出

傳統(tǒng)均勻PRI體制雷達對目標(biāo)進行相參處理時，當(dāng)目標(biāo)多普勒頻率fd大于脈沖重復(fù)頻率時，目標(biāo)回波信號相參處理后會折疊到脈沖重復(fù)頻率以內(nèi)的多普勒通道上，這一現(xiàn)象是由基于FFT(fast Fourier transformation)的相參處理技術(shù)的頻域周期性導(dǎo)致的。而此時脈沖重復(fù)頻率即雷達最大不模糊頻率。那么，隨機PRI雷達情況下，最大不模糊頻率是多少呢？

(3)

那么，回波信號x(tn)經(jīng)過NUDFT處理后，通道fd上的取值為

(4)

在均勻PRI雷達的情況下，脈沖維采樣時刻均勻分布，有

(5)

(6)

說明多普勒頻率為fd的目標(biāo)回波經(jīng)過相參處理后折疊到通道f0上。然而在隨機PRI雷達情況下，由于脈沖維采樣非均勻性，式(5)中的條件不再成立，此時多普勒頻率為fd的目標(biāo)回波信號相參處理后不會折疊到通道f0上。這意味著隨機PRI雷達最大不模糊頻率不等于平均脈沖重復(fù)頻率。隨機PRI雷達頻譜的周期性與最大不模糊頻率將在1.3節(jié)中給出詳細推導(dǎo)。

1.3 隨機PRI雷達最大不模糊頻率分析

(1) 隨機PRI雷達最大不模糊頻率的導(dǎo)出

根據(jù)以上分析，分析隨機PRI雷達最大不模糊頻率，即分析回波信號NUDFT頻譜的周期性，對回波信號作NUDFT，可得

(7)

而在雷達信號處理中，比較關(guān)心的是功率譜，那么根據(jù)式(7)，NUDFT處理后，信號的功率譜為

(8)

(9)

考慮到采樣時刻差序列A={Ti，j= tj-ti：i，j = 0，1，…，N-1；i≠j}內(nèi)部的相關(guān)性，即

(10)

可以從序列A中找到一組線性無關(guān)的序列B，B={PRIn=Tn，n-1=tn-tn-1：n= 1，2，…，N-1} 。其中，序列B中的元素即為隨機PRI雷達的PRI，B即隨機PRI雷達的PRI組。只要保證fp對所有的PRI滿足如下關(guān)系：

PRInfp∈Z，

(11)

就能保證所有采樣時刻差Ti，j滿足式(9)成立。以下給出簡單證明。

根據(jù)式(10)，對于任意采樣時刻差Ti，j，式(9)左邊可以寫為

(12)

式(12)右邊，每一項PRInfp均為整數(shù)，所以其求和也是整數(shù)，即式(9)成立。

考慮到數(shù)字信號處理器中存儲的數(shù)據(jù)只能是有理數(shù)，那么隨機PRI雷達PRI為有理數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的定義，隨機雷達第n個PRI可以表示為

(13)

式中：an，bn均為整數(shù)且互質(zhì)。

(14)

即隨機PRI雷達最大不模糊頻率為其PRI組分母序列的最小公倍數(shù)除以分子序列的最大公約數(shù)。該公式在理論上是非均勻采樣數(shù)據(jù)傅里葉變換混疊頻率的計算公式。

(2) 最大不模糊頻率與平均脈沖重復(fù)頻率的關(guān)系

下文將證明，隨機PRI雷達的最大不模糊頻率大于等于平均脈沖重復(fù)頻率，等號成立的條件是脈沖重復(fù)間隔均相等(此時非均勻采樣轉(zhuǎn)化為均勻采樣)。也就是說，采樣的非均勻性擴大了隨機PRI雷達的最大不模糊頻率。

(15)

定義隨機PRI雷達最大不模糊頻率的倒數(shù)為等效采樣間隔Te，即

(16)

(17)

根據(jù)式(11)，PRInfm∈Z，并且考慮到PRIn，Te均為正數(shù)，則有：PRIn/Te≥1，代入式(17)，可得

(18)

以上證明隨機PRI雷達最大不模糊頻率大于等于平均脈沖重復(fù)頻率，下面考慮等號成立的條件。當(dāng)?shù)忍柍闪r，有

(19)

因為PRIn/Te≥1，所以只有每一項PRIn/Te均等于1時，等號才會成立。此時有PRIn=Te。

可見，等號成立時，非均勻的采樣間隔轉(zhuǎn)化為均勻采樣。即均勻采樣的最大不模糊頻率是非均勻采樣最大不模糊頻率的下限，說明采樣的非均勻性拓展了隨機PRI雷達最大不模糊頻率。

當(dāng)把均勻PRI雷達也看成一種廣義的隨機(非均勻)PRI雷達時，假設(shè)其脈沖重復(fù)周期為T，利用式(14)可以求得最大不模糊頻率為1/T，即最大不模糊頻率。說明均勻PRI雷達最大不模糊頻率是隨機PRI雷達最大不模糊頻率的一種特殊情況。

以上討論當(dāng)隨機PRI雷達MTD處理方法為CS-MTD，IAA[13-14]等算法時仍然適用，因為非均勻采樣譜估計方法具有共同的基向量(ej2πfkt0，ej2πfkt1，…，ej2πfktN-1)T。

2 隨機PRI雷達相參處理特點分析

2.1 頻域無模糊檢測

為了具體化小節(jié)1中的分析，考慮隨機PRI雷達的一組脈沖維采樣時間(ms)：

對應(yīng)的最大不模糊頻率為12 000 Hz，而平均采樣頻率為622.2 Hz，可以看到在這組采樣時間下，隨機PRI雷達的最大不模糊頻率接近于平均脈沖重復(fù)頻率的19倍。假設(shè)雷達載頻為1 GHz，目標(biāo)速度為300 m/s，則對應(yīng)的多普勒頻率為2 000 Hz遠小于最大不模糊頻率，那么這種情況下，雷達可以通過MTD處理直接檢測到目標(biāo)的真實多普勒頻率。

根據(jù)1.3節(jié)中的分析，隨機PRI雷達的最大不模糊頻率不再等于平均脈沖重復(fù)頻率，而決定于脈沖維采樣時間。那么，合理的采樣時間設(shè)置可以使隨機PRI雷達最大不模糊頻率遠遠大于目標(biāo)可能的多普勒頻率范圍，從而使隨機PRI雷達直接檢測目標(biāo)回波信號的真實多普勒頻率，而不需要像均勻PRI雷達那樣進行參差重頻解模糊，從而實現(xiàn)了頻域無模糊檢測?？梢酝茢啵诟咚倌繕?biāo)檢測領(lǐng)域，由于不受奈奎斯特采樣定理約束，隨機PRI雷達可能以較低的平均采樣頻率實現(xiàn)對高速目標(biāo)的檢測。

2.2 多普勒通道的設(shè)置

3 基于IAA算法的隨機PRI雷達MTD處理方法

雖然隨機PRI雷達理論上可以實現(xiàn)頻域無模糊檢測，但是傳統(tǒng)基于NUDFT算法的隨機PRI雷達MTD算法(簡稱NUDFT- MTD)具有較大的副瓣泄露問題，檢測中容易引起虛警。為了解決這一問題，這里提出一種基于IAA算法的隨機PRI雷達MTD(簡稱IAA- MTD算法)。

IAA算法具有較小頻譜泄露并且無需用戶設(shè)置參數(shù)等特性，該算法的基本思想是對某一頻點進行估計時，將其他頻點的復(fù)正弦信號都視為噪聲，采用加權(quán)最小二乘法進行功率譜估計，加權(quán)矩陣為其他頻點的信號的協(xié)方差矩陣和的逆矩陣。IAA算法功率譜更新的迭代公式為

(20)

式中：pi+1(fk)為第i+1次迭代中頻率fk上功率的估計；a(fk)為導(dǎo)頻矢量，寫作：a(fk)=(ej2πfkt1，ej2πfkt2，…，ej2πfktN)T；Ri為“噪聲”的協(xié)方差矩陣，表示為

(21)

基于IAA算法的MTD具體處理步驟如下：

(1) 初始化

(22)

(2) 迭代步驟

1) 協(xié)方差矩陣的迭代公式：

(23)

2) 功率譜的迭代公式

(24)

迭代次數(shù)一般設(shè)置為10～15次。

4 仿真實驗

4.1 隨機PRI雷達最大不模糊頻率仿真實驗

圖1 隨機PRI雷達理想回波信號MTD處理 的頻譜周期性Fig.1 Spectrum periodicity of random PRI radar MTD

圖1中紅色虛線分割開頻譜的2個周期，可以看到，經(jīng)過NUDFT處理后，多普勒頻譜具有周期性且周期為12 000 Hz，與本文中分析一致。

圖2 隨機PRI雷達理想回波信號MTD處理 的頻譜周期性Fig.2 Spectrum periodicity of random PRI radar MTD

從圖2可以看到，改變PRI參數(shù)設(shè)置，隨機PRI雷達最大不模糊頻率發(fā)生改變。圖2中頻譜的周期為24 000 Hz，與理論計算一致。

4.2 基于IAA算法的隨機PRI雷達MTD處理仿真實驗

假定隨機PRI雷達載頻為1 GHz，目標(biāo)徑向飛行速度為350 m/s，則目標(biāo)多普勒頻率為2 333.3 Hz。該雷達的隨機PRI通過在一個基準(zhǔn)時間T上疊加一個在[0，kT]上服從均勻分布的擾動來實現(xiàn)，即

(25)

圖3給出了基準(zhǔn)時間T=2 ms，k=0.5時，本小節(jié)后續(xù)仿真采用的一組隨機PRI數(shù)值，其由15個PRI組成。這樣的設(shè)置，可以保證距離雷達300 km以內(nèi)的目標(biāo)可以進行無距離模糊的相參積累，同時PRI在脈間捷變。

圖3 隨機PRI雷達的一組PRIFig.3 A set of randomly generated PRI

設(shè)置頻域采樣范圍為[-6 000，6 000](Hz)，這一頻率采樣范圍可以覆蓋速度小于3倍聲速的目標(biāo)，可以滿足一般的探測需求，頻域采樣間隔為10 Hz。

圖4給出了脈壓后信噪比為10 dB的條件下，基于NUDFT算法和IAA算法進行隨機PRI雷達相參MTD處理時得到的目標(biāo)回波信號多普勒頻譜。其中，圖4a)給出了NUDFT算法的頻譜結(jié)果，圖4b) 給出了IAA算法的頻譜結(jié)果。 通過仿真結(jié)果的對比分析，可以發(fā)現(xiàn)NUDFT- MTD算法多普勒頻率副瓣抑制能力較差，而IAA- MTD算法具有較低的副瓣泄露，同時可以在多普勒域無模糊地檢測目標(biāo)。

圖4 基于NUDFT和IAA算法的MTD結(jié)果Fig.4 MTD results based on NUDFT and IAA respectively

圖5給出了分別基于NUDFT- MTD，CS- MTD， IAA- MTD算法進行處理后，在不同信噪比條件下的恒虛警檢測概率對比曲線，仿真中采用一維距離向單元平均CFAR(constant false- alarm rate)，虛警概率為10-6，蒙特卡羅實驗次數(shù)為1 000次。從圖5可知，CS- MTD和IAA- MTD算法檢測性能都優(yōu)于NUDFT- MTD算法，而對于雷達關(guān)注的大于50%檢測概率區(qū)域，IAA- MTD算法檢測性能則優(yōu)于CS- MTD算法，且通過仿真對比，IAA- MTD算法計算效率也高于CS- MTD算法?；贑PU為Intel Core i5處理器、8G內(nèi)存的計算機求解——16點MTD時，基于凸優(yōu)化工具箱[15]求解的CS- MTD平均耗時1.062 9 s，而IAA- MTD平均耗時0.273 8 s(蒙特卡羅實驗次數(shù)1 000次)。

圖5 不同算法的檢測概率曲線Fig.5 Detection probability curve of different algorithms

綜合圖4副瓣抑制性能和圖5檢測性能的仿真對比和結(jié)果分析，本文提出的IAA- MTD算法具有較好的副瓣抑制能力，更優(yōu)的目標(biāo)檢測性能，且可以在多普勒域無模糊地檢測目標(biāo)。

5 結(jié)束語

針對隨機PRI雷達的相參處理問題，本文首先對隨機PRI雷達的多普勒頻譜特性進行了分析，進而提出了一種隨機PRI雷達IAA- MTD相參處理算法。最后通過仿真驗證了本文得出的隨機PRI雷達的多普勒頻率特性的正確性；IAA- MTD算法具有較好的副瓣抑制能力，更優(yōu)的目標(biāo)檢測性能，且可以在多普勒域無模糊地檢測目標(biāo)。

[1] MODARRES- HASHEMI M，NAYEBI M M.LPD Feature Improvement in Random PRF Radar Signals[J].IEE Proceedings- Radar Sonar and Navigation，2004，151(4)：225-230.

[2] MODARRES- HASHEMI M，NAYEBI M M.Performance Evaluation of Random PRF Signals in LPD Radars[C]∥Radar Conference，2000.The Record of the IEEE 2000 International.2000：134-139.

[3] MAIER M W.Non- Uniform PRI Pulse- Doppler Radar[C]∥Symposium on System Theory，Ssst.IEEE，1993：164-168.

[4] BAGCHI S，MITRA S K.The Nonuniform Discrete Fourier Transform and Its Applications in Filter Design.I.1- D[J].IEEE Transactions on Circuits & Systems II Analog & Digital Signal Processing，1996，43(6)：422-433.

[5] BOWLES T，ERICKSON J E.An Examination of Frequency Indexes Used in the Non- Uniform DFT[C]∥Image Analysis & Interpretation (SSIAI)，2010 IEEE Southwest Symposium on.IEEE，2010：77-80.

[6] LI Juan，CHEN Zhu- ming.Research on Random PRI PD Radar Target Velocity Estimate Based on NUFFT[C]∥Radar (Radar)，2011 IEEE CIE International Conference on.IEEE，2011：1801-1803.

[7] LIU Qing- huo，NGUYEN N.An Accurate Algorithm for Nonuniform Fast Fourier Transforms (NUFFT’s)[J].IEEE Microwave & Guided Wave Letters，1998，8(1)：18-20.

[8] LIU Zhen，WEI Xi- zhang，LI Xiang.Aliasing- Free Moving Target Detection in Random Pulse Repetition Interval Radar Based on Compressed Sensing[J].IEEE Sensors Journal，2013，13(7)：2523-2534.

[9] LIU Zhen，WEI Xi- zhang，LI Xiang.CS- Based Moving Target Detection in Random PRI Radar[C]∥Geoscience and Remote Sensing Symposium (IGARSS)，2012 IEEE International.IEEE，2012：7476-7479.

[10] DONOHO D L.Compressed Sensing[J].IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(4)：1289-1306.

[11] EYER L，BARTHOLDI P.Variable Stars：Which Nyquist Frequency ?[J].Astronomy & Astrophysics Supplement，1998，135(1)：1-3.

[12] MACIEJEWSKI M W，QUI H Z，RUJAN I，et al.Nonuniform Sampling and Spectral Aliasing[J].Journal of Magnetic Resonance，2009，199(1)：88-93.

[13] STOICA P，LI Jian，HE Hao.Spectral Analysis of Non- Uniformly Sampled Data：A New Approach Versus the Periodogram[C]∥Digital Signal Processing Workshop and 5th IEEE Signal Processing Education Workshop，2009.DSP/SPE 2009.IEEE 13th.IEEE，2009：375-380.

[14] STOICA P，BABU P，LI Jian.New Method of Sparse Parameter Estimation in Separable Models and Its Use for Spectral Analysis of Irregularly Sampled Data[J].Signal Processing IEEE Transactions on，2011，59(1)：35-47.

[15] Michael Grant，Stephen Boyd.CVX：Matlab Software for Disciplined Convex Programming，Version 2.0 Beta[EB/OL].September 2013.[2016- 06- 18].http：∥cvxr.com/cvx.

Random PRI Radar Doppler Characteristics and Coherent Processing

LU Yu- xiang1，TANG Zi- yue1，YU Ling2，ZHOU Chang1

(1.Airforce Early Warning Academy，Hubei Wuhan 430019，China； 2.29th Research Institute of China Electronic Technology Corporation，Sichuan Chengdu 610000，China)

Aimed at the pulse Doppler characteristics in random pulse repetition interval (PRI) radar echo signal, the periodicity of non- uniform sampling spectrum of the random PRI radar is analyzed and the mathematical expression of the maximum unambiguous frequency is derived. The impact of the Doppler frequency characteristics to the random PRI radar coherent processing is discussed. An iterative adaptive approach (IAA) based random PRI radar moving target detection(MTD) processing approach is proposed, which has a low sidelobe leakage and aliasing- free detection capability in Doppler domain. Simulation results verify the correctness of the analysis of Doppler frequency characteristics of the random PRI radar and the effectiveness of the MTD method based on the IAA algorithm.

random pulse repetition interval(PRI) radar； maximum unambiguous frequency； non- uniform sampling；aliasing frequency； iterative adaptive approach(IAA)； coherent accumulation

2016-06-19；

2016-11-18 作者簡介：盧雨祥(1992-)，男，山西忻州人。碩士生，主要研究方向為雷達信號處理。

10.3969/j.issn.1009- 086x.2017.04.021

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