何國棟 ,汪佳瑞 ,靳蓓蓓 ,王濤春

(1. 安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院,安徽 蕪湖241003；2. 安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽 蕪湖 241003)

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基于壓縮感知的GPS信號(hào)壓縮與捕獲研究

何國棟1,汪佳瑞1,靳蓓蓓1,王濤春2

(1. 安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院,安徽 蕪湖241003；2. 安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽 蕪湖 241003)

全球定位系統(tǒng)(Global Position System，GPS)信號(hào)的捕獲是其應(yīng)用的關(guān)鍵步驟，直接影響系統(tǒng)的正常運(yùn)行。針對(duì)衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)所具有的稀疏特性，結(jié)合壓縮感知理論稀疏性的要求，設(shè)計(jì)了基于衛(wèi)星特性的稀疏字典，應(yīng)用隨機(jī)矩陣對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮，獲得GPS壓縮信號(hào)，通過正交匹配追蹤算法對(duì)壓縮后的GPS信號(hào)進(jìn)行捕獲。最后通過大量的仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的可行性，可以將其應(yīng)用于 GPS數(shù)據(jù)壓縮、高信噪比快速捕獲及GPS信號(hào)源中。

壓縮感知；全球定位系統(tǒng)；捕獲；正交匹配跟蹤

0 引言

GPS采用碼分多址擴(kuò)頻調(diào)制信號(hào)，GPS 信號(hào)高效準(zhǔn)確的捕獲，是影響導(dǎo)航接收機(jī)正常工作的關(guān)鍵因素[1-2]。目前已有大量的文獻(xiàn)對(duì)GPS信號(hào)的捕獲進(jìn)行了研究，常用的捕獲方法有串行捕獲、基于FFT的并行快速捕獲和微弱信號(hào)的長時(shí)累積捕獲[3-4]等。

Nyquist采樣定理指出采樣頻率必須高于信號(hào)最高頻率的2倍，這對(duì)高頻通信系統(tǒng)的采樣無疑是一個(gè)重要的制約因素，因此需要尋找新的理論突破。為解決這一技術(shù)發(fā)展的瓶頸，2006年Candès、Tao和Donoho等[5-6]人提出了壓縮感知的理論：對(duì)于稀疏或在某個(gè)字典下稀疏的信號(hào)，可以以遠(yuǎn)低于Nyquist采樣速率對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，并可以通過重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)信號(hào)的完美重構(gòu)。壓縮感知充分利用了信號(hào)的稀疏特性，可大大降低信號(hào)的采樣速率，減少采樣數(shù)據(jù)，給信號(hào)的后期存儲(chǔ)、傳輸和處理帶來很大的便利。目前，壓縮感知得到了全球研究人員的廣泛關(guān)注，其應(yīng)用的領(lǐng)域涉及模擬到信息轉(zhuǎn)換[7-8]、圖像處理[9]、無線通信[10]及醫(yī)學(xué)等[11]。

由于衛(wèi)星PRN碼互相關(guān)具有稀疏特性，符合壓縮感知理論的稀疏性要求，并根據(jù)不同的衛(wèi)星信號(hào)設(shè)計(jì)稀疏字典，應(yīng)用隨機(jī)矩陣對(duì)接收的下變頻信號(hào)進(jìn)行壓縮，獲得GPS壓縮信號(hào)。通過改進(jìn)的匹配追蹤算法對(duì)壓縮后的GPS信號(hào)進(jìn)行捕獲。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的可行性，可以在高壓縮率下對(duì)高信噪比信號(hào)準(zhǔn)備捕獲，可以對(duì)實(shí)際GPS信號(hào)進(jìn)行壓縮、捕獲，或應(yīng)用于GPS信號(hào)源中。

1 傳統(tǒng)的GPS信號(hào)并行捕獲算法

射頻前端接收的GPS信號(hào)通過下變頻后變?yōu)橹蓄l信號(hào)，第k個(gè)衛(wèi)星信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(1)

式中，Ck(t)為第k個(gè)衛(wèi)星的PRN碼，Dk(t)為導(dǎo)航電文，ωI為中頻頻率，ωd為衛(wèi)星和接收相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的多普勒頻移，θk為載波相位，n(t)為噪聲干擾。

捕獲的目的是為了粗略決定可見衛(wèi)星的載波頻率和碼相位，傳統(tǒng)的碼分多址系統(tǒng)經(jīng)常采用串行搜索捕獲方法，對(duì)所有衛(wèi)星可能的碼相位和頻率進(jìn)行二維搜索，計(jì)算量大，非常耗時(shí)。為了提高捕獲的效率，F(xiàn)rai D M、Reichman A等人[12-13]提出了并行捕獲算法，將二維搜索的一個(gè)域進(jìn)行并行搜索，大大提高了捕獲的速度。

令2個(gè)長度為N的序列循環(huán)互相關(guān)序列為：

(2)

對(duì)式(2)進(jìn)行N點(diǎn)離散傅里葉變換，得到：

(3)

式中，X*(k)為x(n)的傅里葉變換的共軛，Y(k)為y(n)的傅里葉變換的共軛。通過一次傅里葉逆變換，即可找到初始碼相位。根據(jù)上面的公式，并行碼相位捕獲原理如圖1所示。

圖1 GPS并行碼捕獲算法原理圖

2 壓縮感知

基于Nyquist采樣頻率的數(shù)據(jù)采集，沒有考慮信號(hào)內(nèi)部的相關(guān)性，得到大量的冗余數(shù)據(jù)，然后對(duì)其進(jìn)行壓縮，降低數(shù)據(jù)量。壓縮感知充分利用了數(shù)據(jù)的稀疏性，將數(shù)據(jù)的冗余采樣和壓縮合二為一，直接得到較少的采樣數(shù)據(jù)，給信號(hào)處理帶來便利。壓縮感知主要包含3個(gè)部分：信號(hào)的稀疏表示、測(cè)量矩陣和重構(gòu)算法，下面簡單介紹這個(gè)3個(gè)部分的組成原理[14]。

2.1 信號(hào)的系數(shù)表示

給定信號(hào)x的長度為N，如果這個(gè)信號(hào)中大部分元素為零，只有k(k<

x=Ψ·s，

(4)

式中，s只有較少的非零元素，常用的基有離散余弦變換、離散傅里葉變換、小波變換和非正交冗余字典等。壓縮感知應(yīng)用的前提是信號(hào)必須是稀疏的，所以信號(hào)的稀疏表示至關(guān)重要。

2.2 測(cè)量矩陣

測(cè)量矩陣Φ是一個(gè)M×N(M<

Y=Φ·x=Φ·Ψ·s=Θ·s。

(5)

通過測(cè)量獲得了長度為M測(cè)量信號(hào)Y，實(shí)現(xiàn)了對(duì)信號(hào)的壓縮。將式(5)中Φ*Ψ=Θ測(cè)量矩陣和字典合在一起稱為感知矩陣。

測(cè)量矩陣與基或字典必須滿足不相關(guān)性，其不相關(guān)公式定義為：

(6)

M≥c·u2(Φ,Ψ) ·k·ln(N)。

(7)

可以看出，M與相關(guān)值成正比，所以一般選用相關(guān)值較低的矩陣作為測(cè)量矩陣。常用的測(cè)量矩陣有Toeplitz矩陣、高斯分布的隨機(jī)矩陣和哈達(dá)碼矩陣等。

2.3 重構(gòu)算法

從式(5)的測(cè)量過程可以看出，這是一個(gè)未知數(shù)比方程數(shù)多的欠定方程，該方程有無窮多組解，理論分析已經(jīng)證明，在滿足不相關(guān)性和稀疏性的條件下，可以通過重構(gòu)算法重構(gòu)出原稀疏信號(hào)?；趦?yōu)化的求解可以表示為：

(8)

式中，‖‖0為求信號(hào)中的非零元素的個(gè)數(shù)，但是上式的求解是一個(gè)NP-hard問題，可以通過其他算法進(jìn)行求解，常用的求解方法有基追蹤算法、迭代法貪婪算法等。

3 基于壓縮感知的GPS信號(hào)壓縮與捕獲

根據(jù)壓縮感知的理論和GPS信號(hào)的特點(diǎn)，提出了一種基于壓縮感知的GPS信號(hào)壓縮與捕獲方法。應(yīng)用隨機(jī)矩陣對(duì)GPS信號(hào)進(jìn)行壓縮，根據(jù)衛(wèi)星特性構(gòu)造字典，并通過改進(jìn)的匹配追蹤算法對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行捕獲，其構(gòu)成分為以下兩個(gè)部分。

3.1 稀疏字典的構(gòu)造

在GPS串行捕獲方法中，通過碼片移位和多普勒頻移二維搜索尋找衛(wèi)星，其公式表示為：

(9)

(10)

當(dāng)本地產(chǎn)生的信號(hào)與接收信號(hào)的GOLD碼時(shí)間移位C(n-τ)和多普勒頻率e-jwdn都對(duì)齊時(shí)，會(huì)得到較強(qiáng)的相關(guān)峰，而在其余情況下該值都相對(duì)較小，也即捕獲結(jié)果是稀疏的，這與壓縮感知所描述的稀疏信號(hào)相符合，基于此捕獲原理設(shè)計(jì)稀疏字典。

字典包含1 023個(gè)GOLD碼片的循環(huán)移位和多普勒頻率的搜索范圍，一般多普勒頻率搜索范圍為±10 kHz，搜索步進(jìn)為500 Hz，有41個(gè)頻率點(diǎn)，所以字典ψ=[Cn-τ·e-jωdn]∈Rn×(λ×41×1023)，其中λ為每個(gè)碼片的采樣點(diǎn)數(shù)，n為壓縮前數(shù)據(jù)的總長度。對(duì)于一顆衛(wèi)星，如果接收的信號(hào)中含有該衛(wèi)星發(fā)射的信號(hào)，則會(huì)有一個(gè)很強(qiáng)的相關(guān)峰值，而其余值都相對(duì)較小，即信號(hào)在該字典中可稀疏表示。

3.2 重構(gòu)算法

壓縮感知重構(gòu)算法很多，貪婪類算法中的匹配跟蹤算法重構(gòu)速度較快，適合工程應(yīng)用?？紤]衛(wèi)星系統(tǒng)的特殊性，即如果含有該衛(wèi)星信號(hào)，則相關(guān)峰很強(qiáng)，而其余值都很弱。正交匹配追蹤算法可以重構(gòu)出原稀疏信號(hào)[15-16]，但是考慮GPS信號(hào)捕獲只需找到其對(duì)應(yīng)衛(wèi)星的碼相移和多普勒頻率，設(shè)計(jì)了一種基于以上構(gòu)造的稀疏字典正交匹配追蹤算法來捕獲衛(wèi)星信號(hào)[17]，算法具體步驟如下：

初始化：輸入基于GPS偽碼和多普勒的稀疏字典，壓縮觀測(cè)信號(hào)，殘差r0=y；

Step1：找出殘差和感知矩陣相關(guān)積最大值對(duì)應(yīng)的下標(biāo)λ，即[Rk-1,λ]=argmaxj=1...N‖rk-1,Θj‖2；

Step3：計(jì)算最小二乘得到

Step5：判斷是否滿足迭代條件，設(shè)定捕獲閾值Thresh，不滿足則繼續(xù)執(zhí)行Step1，如果R2/R1≥Thresh，則認(rèn)為捕獲到一顆衛(wèi)星，反之認(rèn)為沒有該顆衛(wèi)星信號(hào)，捕獲結(jié)束。

4 仿真與分析

為了驗(yàn)證本文提出的基于壓縮感知的GPS信號(hào)壓縮和捕獲方法，應(yīng)用Matlab對(duì)其進(jìn)行仿真，其中測(cè)量矩陣使用的是歸一化的零均值高斯分布隨機(jī)矩陣，碼相位搜索步長為半個(gè)碼片，多普勒頻率步長搜索為500 Hz，為簡化仿真，多普勒頻率搜索范圍為-2.5 ～2.5 kHz。人為構(gòu)建一顆衛(wèi)星信號(hào)，隨機(jī)產(chǎn)生碼移位和多普勒頻移，構(gòu)造模擬的GPS信號(hào)，應(yīng)用隨機(jī)觀測(cè)矩陣對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮，并應(yīng)用本文方法對(duì)其進(jìn)行壓縮捕獲。

仿真以1號(hào)衛(wèi)星為例，產(chǎn)生其對(duì)應(yīng)的GOLD碼，采樣頻率Fs=38.192 MHz，中頻頻率Fc=9.548 MHz，多普勒頻偏和偽碼相移使用隨機(jī)產(chǎn)生的一個(gè)值，例如下面捕獲仿真中隨機(jī)產(chǎn)生的多普勒頻移Fd=0.657 7 kHz，偽碼相移Td=5 890，生成1 ms衛(wèi)星信號(hào)。實(shí)驗(yàn)分為無噪聲、高信噪比(10 dB)和低信噪比(-10 dB)3組，噪聲類型為零均值加性高斯白噪聲，分析其抗噪聲性能；每組又分別包含壓縮率α為70%、80%和90%三種情況，壓縮率定義由式(11)給出，從壓縮率和噪聲強(qiáng)度兩方面分析GPS信號(hào)壓縮與捕獲的關(guān)系。

(11)

對(duì)產(chǎn)生的1 ms信號(hào)分別進(jìn)行100次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，給出了9組實(shí)驗(yàn)中低信噪最低的捕獲結(jié)果圖，如圖2所示，因?yàn)檫@是最差捕獲環(huán)境，其余結(jié)果都比這種情況好。正確的多普勒頻率值為：5+ceil(0.655 7×103/500)=6，碼相位為ceil(38 192/5 890)=6.5，實(shí)驗(yàn)捕獲的峰值位置為12 592，按照上面給出的字典構(gòu)成原理反求對(duì)應(yīng)的頻率點(diǎn)和相位點(diǎn)，也即捕獲的頻率點(diǎn)為12 592/2 046=6.15，相位：2 046/(12 592-2 046*6)=6.47。

通過仿真發(fā)現(xiàn)，在無噪聲、高信噪比和高壓縮率情況下均可以實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星的正常捕獲，但是在低信噪比情況下，當(dāng)壓縮率為90%(即只保留了10%的采樣數(shù)據(jù))時(shí)，很難對(duì)衛(wèi)星正確捕獲。

(a)壓縮率為70%

(b)壓縮率為80%

(c)壓縮率為90%

5 結(jié)束語

提出了一種基于壓縮感知的GPS信號(hào)壓縮與捕獲方法，分析了GPS信號(hào)的稀疏特性，并根據(jù)衛(wèi)星特性和壓縮感知理論構(gòu)造了稀疏字典，應(yīng)用隨機(jī)矩陣對(duì)信號(hào)進(jìn)行了壓縮，并應(yīng)用稀疏重構(gòu)算法對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行捕獲。通過大量仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的可行性，可以將其思想應(yīng)用到GPS數(shù)據(jù)的壓縮或模擬信號(hào)源中。本文提出方法在高壓縮率和低信噪比下捕獲效果較差，如何提高其性能將是進(jìn)行后續(xù)研究的重要方向。

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Research on GPS Signal Compressing and Acquisition Based on Compressive Sensing

HE Guo-dong1,WANG Jia-rui1,Jin Bei-bei1,WANG Tao-chun2

(1. College of Physics and Electronic Information,Anhui Normal University,Wuhu Anhui 241003,China; 2. School of Mathematics & Computer Science,Anhui Normal University，Wuhu Anhui 241003,China)

The acquisition of GPS signal is a key step in its application,directly affecting the normal operation of system. In view of the sparsity of satellite navigation signals and the requirement of sparsity of compressive sensing theory,this paper designs a satellite-based features sparse dictionary. The GPS signal is compressed by random matrix to obtain the GPS compressed signal. The satellite can be acquired from compressed GPS signal by orthogonal matching pursuit. The results of multiple simulation experiments show that this method is feasible,and it can be applied to the GPS data compression,high SNR fast acquisition and GPS signal source.

compressive sensing; GPS; acquisition; orthogonal matching pursuit

2017-03-30

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61402014)；安徽省高校自然科學(xué)重點(diǎn)項(xiàng)目(KJ2016A266)；安徽師范大學(xué)項(xiàng)目培育基金(2015xmpy16)

何國棟(1980—)，男，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向：壓縮感知理論及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用等。王濤春(1979—)，男，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向：壓縮感知理論與應(yīng)用及無線傳感器網(wǎng)絡(luò)等。

10. 3969/j.issn. 1003-3114. 2017.05.09

何國棟,汪佳瑞,靳蓓蓓,等.基于壓縮感知的GPS信號(hào)壓縮與捕獲研究[J].無線電通信技術(shù),2017,43(5):38-41.

[HE Guodong,WANG Jiarui,Jin Beibei,et al. Research on GPS Signal Compressing and Acquisition Based on Compressive Sensing [J]. Radio Communications Technology,2017,43(5): 38-41.]

TP391.4

A

1003-3114(2017)05-38-4