余東洋，姬 青，張 翔,2,?，張 威,2?

1中國人民大學物理系，北京市海淀區(qū)中關村大街59號，100872

2光電功能材料北京市重點實驗室，北京市海淀區(qū)中關村大街59號，100872

光腔中的超冷原子氣體

余東洋1，姬 青1，張 翔1,2,?，張 威1,2?

1中國人民大學物理系，北京市海淀區(qū)中關村大街59號，100872

2光電功能材料北京市重點實驗室，北京市海淀區(qū)中關村大街59號，100872

近年來，光腔和冷原子氣體的耦合系統(tǒng)受到了越來越多的關注。本文簡要綜述了近年來該領域在理論和實驗方面的一些進展，重點關注其中的超輻射相變，并圍繞光腔–原子耦合這一特征，分別介紹了超冷玻色氣體和費米氣體中的新奇量子相和量子相變。這些研究工作展示了該系統(tǒng)在非平衡態(tài)物理、多體系統(tǒng)的量子模擬、人造規(guī)范勢和人造自旋–軌道耦合等方向的價值和意義。

腔量子電動力學；超冷原子氣體；超輻射躍遷；非平衡態(tài)

目 錄

I.導論 125

II.背景：腔量子電動力學 126

III.超輻射及Dicke模型 126

IV.光學腔中的超冷玻色氣體 130

A.自組織及超輻射相變 130

B.元激發(fā) 133

C.相變臨界指數 134

D.單分量的玻色–哈伯德模型 136

E.自旋–軌道耦合的玻色氣體 139

V.光學腔中的超冷費米氣體 140

A.單分量費米氣體 140

B.兩分量簡并費米氣體 142

VI.總結 144

致 謝 144

144

I.導論

近幾十年來，原子分子物理和光學領域發(fā)展了一系列用于冷卻、束縛、操控和測量原子、分子和光子的技術。特別是隨著磁束縛、光束縛、激光冷卻、蒸發(fā)冷卻、Feshbach共振、光晶格和高品質的光學共振腔等技術的日益成熟，使得人們可以在納米和納開量級控制原子外部自由度的同時，也能對原子內部狀態(tài)進行精確地制備和操控。這些實驗手段為人們研究物質在極低溫下的量子效應、新奇物相以及光與物質的相互作用提供了一個極佳的平臺。

該領域的一個重要方向是研究光學微腔和冷原子氣體的耦合系統(tǒng)。從理論方面，耦合系統(tǒng)中的光學模式和原子自由度相互耦合會帶來很多新奇的物理現象。首先，原子可以通過散射驅動光子進入腔光場，在光腔中實現超輻射相變，同時伴隨著原子系統(tǒng)發(fā)生對稱性破缺。在相變前后，原子系統(tǒng)的基態(tài)和激發(fā)態(tài)特征，以及動力學行為都會受到光場反饋的影響。特別值得注意的是，由于腔內光子會漏出腔外，導致腔光場存在耗散并和環(huán)境發(fā)生耦合，該體系長時間后將達到動力學穩(wěn)態(tài)，而非熱力學平衡態(tài)。這一特征不僅為研究非平衡態(tài)物理提供了優(yōu)秀的平臺，而且漏出腔外的光子還能提供非破壞性的測量手段。其次，在發(fā)生超輻射相變之后，腔內光子和原子發(fā)生相干耦合，可以在原子間誘導出等效的長程相互作用。這不僅將有助于在堿金屬超冷原子氣體中實現和研究電荷密度波(Charge Density Wave，CDW)和超固(supersolid)等新奇多體物相，還可能使體系出現燕尾結構等非線性效應。另外，還可以利用腔光場在多分量原子氣體中實現人造規(guī)范勢和人造自旋–軌道耦合，為研究強磁場物理、非

本文將簡要綜述近年來在光腔–原子耦合系統(tǒng)的研究中取得的一些進展。重點聚焦超冷玻色和費米氣體中的超輻射相變，以及與之相關的原子氣體中的新奇量子現象。

II.背景：腔量子電動力學

當利用波導管等電介質把光波局限在有限空間中時，光的模式會受到邊界條件的限制。由此引起的有限空間中真空場的變化會導致原子的自發(fā)輻射幾率幅或被加強或被減弱。基于此，人們設計了許多用途廣泛的光腔，可以用于測量光波波長、測量光譜以及激光系統(tǒng)等等。根據被束縛光場的特點，光腔可以分為駐波腔（如 Fabry-Per′ot腔，簡稱 FP腔）和行波腔（如環(huán)形腔）等。

常用的駐波腔是FP腔，它由兩面距離lres很近（約200μm）且反射率R極高的鏡子構成。實驗操作中常用兩塊近平面的球面玻璃代替平面的鏡子。反映光腔性質的一個重要參數是品質因數F

其中 ?νFSR是不同本征模式之間的頻率差，?νC是通頻帶的半高寬，主要受鏡子間距 lres和品質影響。以ETH的Esslinger實驗小組的光腔為例[1]，光腔間距 lres≈176μm，球面玻璃的半徑 R≈75 mm。由于邊界條件要求波長 λ滿足 nλ/2=lres，這使得沿腔軸方向模式之間的頻率差 ?νFSR=c/2lres=852 GHz。對于波長 λ=785.3 nm 的光波，?νC=2.4 MHz。因此該光腔的品質因數可達 F=3.42×105。品質因數還決定了光腔的耗散能力。光子在腔中來回反射 〈N〉=F/2π次后，會通過鏡子漏出光腔，其耗散率為κ=2π?νC。此外，腔中還存在垂直于腔軸方向（橫向）的模式 TEMnm，其中 n，m 為橫向腔模的量子數。在上述實例中，能量最低的橫向模式標記為TEM00，與高能模式的間距?νT=18.6 GHz。

將原子置于這樣的光腔內，當原子的基態(tài)與激發(fā)態(tài)之間的躍遷頻率ωA=ωe-ωg（比如87Rb的D2譜系）接近于腔共振的頻率ωC=2πνC時，由于原子的尺寸遠遠小于光波波長，此時原子通過電偶極相互作用與腔模耦合，其強度。這里 d表示原子的電偶極矩，ε0為真空的介電常數，Vcav表示腔的有效體積。在上述實驗中，g0達到了 2π×10.6 MHz。

III.超輻射及DICKE模型

根據愛因斯坦的自發(fā)輻射理論，真空電磁場與單個原子的相互作用會導致處于激發(fā)態(tài)的原子通過自發(fā)輻射回到原子的基態(tài)。在這個過程中，自發(fā)輻射幾率幅主要依賴于原子的能級結構。1954年，Dicke將這一過程推廣到多原子體系，從理論上研究了N個全同原子和單模光場之間的相互作用[2]。在兩能級近似下，Dicke發(fā)現所有原子趨向于協(xié)同向同一個方向輻射，且自發(fā)輻射幾率幅被提高了 N 倍，即 ΓN∝NΓ0，其中Γ0是單個原子的自然自發(fā)輻射幾率。這種相干效應后來被稱為超輻射(superradiance)。

隨著冷原子技術的發(fā)展和成熟，人們得以利用高度可調且純凈的冷原子體系研究超輻射現象[3-14]。經過十幾年的研究，人們已經對超輻射現象有了較為深入的認識和理解。1999年，Inouye等人研究了“雪茄型”玻色–愛因斯坦凝聚體 (BEC)的瑞利散射[3]。他們用紅失諧的線偏振光橫向驅動BEC，并且使得其線偏振方向垂直于BEC長軸。實驗發(fā)現，由于BEC在空間的不對稱性，散射光會沿著BEC長軸方向散射，這種現象在文獻中被稱為物質波超輻射(matter wave superradiance)。在這一現象中，被原子自發(fā)散射的光子沿著介質(BEC)長軸被原子受激瑞利散射，同時原子獲得光子的反沖動量，運動的原子與靜止的原子相位相干形成物質波。同時，物質波作為光柵散射驅動光，形成物質波超輻射。實驗還發(fā)現靜止的原子數會隨著時間以比指數更快的形式衰減，從另一個側面反映了超輻射的性質。由于BEC的相位相干性，物質波超輻射現象在BEC中具有失諧非對稱性（相對于原子的激發(fā)態(tài)），即紅失諧加強超輻射而藍失諧抑制超輻射[8-9]。物質波超輻射現象同樣適用于不同統(tǒng)計性質的介質，比如費米子或者熱原子，但超輻射現象保持失諧對稱性[11]。這里尤其值得注意的是，超輻射現象不一定需要量子簡并。2005年，來自日本的研究者Yoshikawa等人在實驗上借助拉曼散射成功地在熱原子中觀察到了拉曼物質波超輻射現象[6]。他們在實驗中通過拉曼散射避開了物質波相干散射的影響，并發(fā)現熱原子氣體中的相干時間主要受溫度影響。

由于精細和超精細劈裂以及電子之間的相互作用，一般的原子能級結構較為復雜。但是，當原子最外層只有一個電子時，內部滿殼層電子被緊緊束縛在內層，而對外層電子的影響可以忽略。因此，堿金屬原子通常具有相對簡單的光譜結構，從而在理論和實驗上得到了廣泛深入的研究。在冷原子物理中，人們常用的是堿金屬的D2譜系，其波長在可見光范圍。由于能量守恒，單色性極好的激光（頻率ωC）只能有效耦合其頻率附近的能級。為了物理清楚，我們可以假設原子只有一個激發(fā)態(tài)能級（與基態(tài)頻率差 ωA）能在單模光場的作用下被顯著激發(fā)，這一近似稱為兩能級近似。此外，由于可見光的波長λ（約500 nm）遠大于原子尺寸（約0.1 nm），在原子尺度內激光強度近似為常數，因此可以忽略在原子尺度上光場強度的變化，這一近似稱為偶極近似。在兩能級近似和偶極近似下，描述單原子和單模光場相互作用的哈密頓量（本文取自然單位?≡1）可以寫為如下形式，

相反地，如果耦合強度g0達到了光子頻率ωC的量級，我們稱為強耦合。此時，旋波近似不再適用，能量不守恒項和能量守恒項將同等重要，并會導致一些有趣的現象[15-16]。

在弱耦合條件下，當有N個全同原子與單模光場相互作用時，其有效哈密頓量寫作

圖1.熱力學極限下 Dicke模型的超輻射相變[24]。橫軸是相對耦合強度，縱軸是臨界溫度。圖中。

在實驗上，為了實現強耦合并探索超輻射相變，人們開始研究高品質光腔和原子的耦合體系。將BEC置于光腔中，可以實現集體耦合強度～20 GHz，并產生顯著的真空拉比劈裂[17,25]。但是，由于臨界強度，在光頻腔中仍然無法直接觀察到超輻射相變。這使得人們思考能否在別的物理構形中實現超輻射相變。其中一個可能是利用雙光子拉曼過程，將原子兩個能量接近的基態(tài)作為Dicke模型中的兩能級加以耦合[26]。這一構想隨后在實驗中得以實現[27]。另外，還可以利用BEC的相干性，把BEC的基態(tài)和激發(fā)態(tài)作為兩能級從而實現超輻射相變[28]。

除了能夠顯著提高光與物質（原子）相互作用的強度以外，光腔不可避免的耗散同時為光腔–原子耦合系統(tǒng)的研究打開了一扇新的大門—非平衡態(tài)。在這個系統(tǒng)中，原子散射腔光場，后者反過來又改變原子氣體的狀態(tài)，同時腔光場又不斷耗散到環(huán)境。最終，耦合系統(tǒng)的內部動力學自由度與外部環(huán)境達到動力學非平衡穩(wěn)態(tài)(dynamical nonequilibrium steady state)。不斷耗散出來的光子，不僅會影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)，同時也提供了一個非破壞(non-demolition)觀察原子體系演化的絕佳途徑。

對這個系統(tǒng)的描述，除了要考慮原子的內稟自由度與光場之間的耦合，還要考慮光場強度隨空間的變化、原子的質心運動、原子的自發(fā)輻射和腔的耗散等過程[29]。在旋波近似下，原子與光場之間的耦合由JC模型給出

這里up(uc)表示驅動光（腔光場）的波模。例如對駐波而言，up,c(r)=cos(kp,cr)，其中 kp和 kc分別表示驅動光和腔光場的波矢。另外，上式中gc代表單光子拉比頻率，驅動光相對于原子躍遷頻率和腔模的失諧分別為 ?pa=ωp-ωA和 ?pc=ωp-ωC。原子的質心運動由以下哈密頓量描述

其中Vext(r)包含所有的外加約束勢和光晶格勢。 驅動光的動力學哈密頓量則具有以下的形式

注意上式中包含了兩種驅動方式，一種是驅動光直接照射在原子氣體上（即原子驅動，atom pumping，驅動光和原子耦合的強度為 ?p），另一種驅動光直接驅動腔模，并間接耦合原子氣體（即腔驅動，cavity pumping，驅動光和腔的耦合強度為ηc）。在理論研究中，一般我們只考慮一種驅動方式，即單純的原子驅動（ηc=0,?p/=0）或單純的腔驅動（ηc/=0,?p=0）。綜上所述，描述原子氣體單粒子動力學行為的哈密頓量為。

在實驗中，我們通常把一團處于簡并溫度以下的超冷原子氣體置于光學腔中，并在垂直于腔軸方向（原子驅動）或沿腔軸方向（腔驅動）用頻率為ωp的激光驅動，同時使驅動激光頻率相對于原子的共振頻率ωA的失諧遠遠大于原子激發(fā)態(tài)的線寬，即|?pa|=|ωA-ωp|?γ。這時，原子處在激發(fā)態(tài)|e〉的概率可以忽略，從而可以不考慮自發(fā)輻射的影響，原子如一個電偶極矩絕熱地跟隨光子運動。這個極限被稱為色散極限(dispersion limit)。此時，在驅動光的旋轉坐標系下，通過絕熱消除哈密頓量中原子的激發(fā)態(tài)自由度，腔–原子耦合系統(tǒng)的單粒子哈密頓量?H0(r)可以寫為：

圖2.原子氣體中的Feshbach共振。上圖是超冷玻色氣體在不同磁場下的粒子數?？梢钥吹皆诠舱顸c附近，由于散射長度發(fā)散導致三體損失增大，原子數量大幅減少。下圖是通過飛行時間(time-of- fl ight)熒光成像技術反推出的as散射長度。該圖來自參考文獻[30]。

除了單粒子的動力學行為，原子之間的相互作用對原子系綜的性質也有非常重要的影響。原子之間的相互作用在真實的系統(tǒng)中是廣泛存在的，相互作用形式往往千差萬別，不同組分，不同溫度甚至不同維度都會改變相互作用的形式。一般而言，兩個堿金屬原子進行散射時，它們之間的短程相互作用主要受最外層電子庫侖相互作用影響，而長程相互作用主要來自誘導的偶極相互作用，即范德瓦爾斯勢V(r)∝1/r6。在研究兩個原子的散射問題時，如果體系的角動量守恒，可以利用分波法將散射過程分為s-，p-，d-波等。當原子氣體的溫度足夠低的時候，由于復雜的短程相互作用被離心勢所屏蔽，原子之間的散射將主要受長程相互作用影響。通過仔細的研究，人們發(fā)現當氣體的溫度足夠低(～nK)且密度足夠稀薄(～1013-1015cm-3)時，只用一個參數—s波散射長度as—就可以完全刻畫原子之間的相互作用。此時，原子之間的相互作用可以用一個簡單的接觸勢近似描述

隨著對Feshbach共振技術的挖掘和利用，人們發(fā)現可以通過外磁場調節(jié)s波散射長度

這里的abg是原子之間的背景散射長度，B0是 Feshbach共振發(fā)生的位置，?為共振寬度。 從公式（10）明顯看出，散射長度 as可以從 -∞ 連續(xù)地調節(jié)到 +∞，從而實現對相互作用強度 Us的調節(jié)。1998年，Inouye[30]等在鈉原子(23Na)BEC中觀察到了Feshbach共振（見圖2）。

此外，在溫度接近量子簡并溫度時，原子的量子統(tǒng)計規(guī)律也會顯著影響體系的性質。在超冷原子氣體中，由于原子的德布羅意波長和原子間距d量級接近，原子變得不可區(qū)分，這時玻色子和費米子的多體波函數分別具有偶宇稱和奇宇稱。這種對稱性的要求將極大地改變系統(tǒng)的熱力學和動力學行為。對于玻色子，由于玻色統(tǒng)計允許多個粒子占據同一個量子態(tài)，當溫度足夠低時，所有玻色子凝聚在能量最低的狀態(tài)—玻色–愛因斯坦凝聚，相干效應使得原子氣體表現得像一個原子。而對于費米子，由于泡利不相容原理，同一個量子態(tài)只允許最多占據一個粒子，體系會形成費米面，并在相互作用的影響下表現出超導、磁性等豐富多彩的性質。

在研究多體系統(tǒng)時，一個常用的方案是使用二次量子化語言。這時，玻色子和費米子分別滿足對易關系如下：

原子間的s波相互作用則寫為

注意由于交換反對稱性的限制，同組分費米子之間的s波相互作用被禁戒。這樣，腔–原子體系的整體哈密頓量為。

由于光腔是一個耗散系統(tǒng)，光子主要通過原子的自發(fā)輻射和光腔的耗散損失。這兩項耦合一般可以通過量子主方程刻畫：

至此，腔–原子耦合體系的性質可以通過聯(lián)立求解哈密頓量 (11)和 (13)式，以及主方程 (14)式得到。下面，我們將分別針對玻色和費米氣體的情況加以詳細討論。

IV.光學腔中的超冷玻色氣體

在本章中，為了敘述方便并保持物理圖像清晰，我們假設驅動方式是原子驅動，即 ηc=0而?p/=0，并且假設驅動光的波矢kp垂直于腔軸。在這種情況下，體系的總哈密頓量簡化為

原子算符和光場算符的動力學演化過程由海森堡方程決定

在溫度足夠低且腔光場的光子數足夠多的時候，原子和光場的漲落以及它們之間的糾纏可以忽略不計[31,32]，這時體系的描述變得極為簡單：原子處在玻色–愛因斯坦凝聚態(tài)，而光場處在一個相干態(tài)（或者真空態(tài)）。這時，可以對算符做如下近似，并得到腔-BEC系統(tǒng)的含時動力學演化方程 (Time-dependent Gross-Pitaevskii equation，TDGP equation)。為描述原子系綜和光場的耦合效果，我們定義代表原子感受到的有效失諧，其中 N為總原子數，描述了原子氣體密度與腔光場之間的重疊程度，也被稱為Bunching參量。如果，原子氣體動力學演化時間1/ωR最為緩慢，而光子從光腔的一側漏出之前(t＜1/κ)，光場已經在的時間尺度內達到動力學穩(wěn)態(tài)。在這樣的系統(tǒng)中，原子氣體和腔光場相互影響，同時腔光場又通過耗散和環(huán)境耦合，最終系統(tǒng)將達到穩(wěn)態(tài)，其穩(wěn)態(tài)方程為

A.自組織及超輻射相變

在腔驅動中，所有的原子都同時和同一個模式的腔光場耦合，腔光場的大小α依賴于原子氣體的分布，反過來又會影響原子系統(tǒng)狀態(tài)。在原子驅動下，原子和光場的耦合依賴于空間，不同位置散射的腔光場的振幅和相位也是空間依賴的，且由于相鄰格點之間距離為半個波長，散射的光子的相位正好差π，所以相鄰格點散射的腔光場相互抵消。因此，最初人們認為這樣的系統(tǒng)中不會有腔光場的形成。但之后的研究發(fā)現，密度漲落（熱漲落或者量子漲落）可以輔助腔光場的形成，腔光場反過來正反饋初始的密度漲落，最終使得原子氣體在空間上形成周期性分布，腔光場有宏觀占據[33-37]，且原子氣體在空間上的分布周期和腔光場的周期一致（Z2對稱性的破缺）[28,38]。對于原子氣體，這種相變被稱為自組織(self-organization)。對于腔光場而言，這種相變被稱為超輻射相變。后面我們會說明，在臨界點附近，超輻射相變等價于Dicke相變。伴隨著原子氣體形成新的分布，原子的動能也被腔光場通過耗散κ帶出腔，所以原子氣體的溫度也會被降低到腔的展寬κ的量級[33,34]。上述現象首先被基于半經典的Fokker-Planck方程的數值模擬所預言[33]。如圖3所示，隨著時間的推移，原子沿腔軸方向的運動最后都被束縛形成棋盤狀（checkerboard，見上圖），原子氣體沿腔軸的溫度會由于腔場的耗散效果而降低（見下圖）。這一數值結果隨后被實驗證實[34]。值得注意的是，對于自組織的形成，原子數或者驅動光強存在一個閾值，只有在閾值之上才可能出現相變[33,37]。

如同熱原子中的自組織相變，玻色–愛因斯坦凝聚體也會有類似的現象。不失一般性，我們用沿腔軸方向束縛的準一維氣體（取為x方向）進行說明?？紤]一個沿x方向放置的FP腔，腔模為uc(x)=cos(kx)，腔內原子沿橫向方向（垂直于腔軸）的運動被束縛在基態(tài)。 假設使用沿 y方向的平面波驅動原子氣體，即up(y)=exp(iky)，把橫向自由度積分后，體系的哈密頓量為

式中g1D表示原子在一維方向的有效相互作用強度，Vext(x)是用于約束原子的外加束縛勢。簡單起見，我們暫時省略Vext(x)的影響。方括號中第三項是由腔光場形成的光晶格，最后一項是由原子散射驅動光形成的干涉項，散射的能力由ηp衡量。當|?pc|主導整個體系的動力學行為時，光子將絕熱地跟隨原子氣體運動，這時光子的狀態(tài)為

圖3.上圖：在臨界驅動強度以上，40個85Rb原子在前40μs中的運動軌跡。不同顏色代表不同原子，其中大多數原子最終形成棋盤結構的分布。該圖來自參考文獻[36]。下圖：原子氣體沿腔軸的相空間體積（海森堡不確定性）隨時間的演化。實（虛）線分別代表在臨界強度之上（下）。紅色和黑色的實線分別代表原子數為40和160的情況。該圖來自參考文獻 [33,36]。

這時絕熱勢中的干涉項為

這種腔–原子耦合體系中的自組織現象與光晶格中玻色氣體的超流–莫特 (Mott)絕緣體相變是不同的。一方面，前者在形成自組織現象的初期，原子的波函數并沒有完全的局域化；另一方面，即使在深自組織區(qū)域時，氣體的壓縮率依然不為零（莫特絕緣體壓縮率為零）；最后，研究顯示在熱力學極限下，無論驅動光多強，總有一部分原子分布在原子數較少的格點[36]。

圖4.上圖：腔-BEC耦合系統(tǒng)超輻射序參量Θ隨驅動光強的變化。當驅動強度超過臨界值后，伴隨著腔光場的建立，序參量的出現意味著原子沿腔軸形成周期的分布，破壞了原有的Z2對稱性。下圖：在超輻射相中對應于驅動強度分別為（黃粗線）和300ωR（藍細線）時，原子波函數|ψ0(x)|2（實線）以及相應的由腔光場產生的絕熱光學勢ξc|α|2cos2(kx)+Vpc(x)（虛線）在空間的分布。圖中所用參數為 μ0=10?ωRλ，Nξc=-100ωR，?pc=-300ωR。該圖來自參考文獻 [37]。

上述BEC的自組織現象也可以通過Dicke相變來理解。在原子間相互作用比較弱的情況下，當玻色氣體處于BEC狀態(tài)時，原子大部分凝聚在|k=0〉的狀態(tài)。原子吸收一個光子變?yōu)閨k=±kR〉，而此態(tài)正好可以加強光子的布拉格散射，使得更多的光子進入腔中。當驅動光強度ηp在臨界點附近時，腔光場較弱，原子被散射到更高動量的概率很小，因而把BEC的波函數寫作

此外，通過虛時演化分析不含時GP方程(23)式可以得到其臨界驅動光強度。在相變點附近，假定原子的波函數為 ψ(x)=ψ0(x)[1+?cos(kRx)]，?為無窮小量，則正常態(tài)失穩(wěn)的條件就是激發(fā)態(tài)的衰減速率慢于基態(tài)的衰減速率。由此得到臨界驅動光強為

綜上所述，該體系中的自組織（超輻射）相變可以被歸為Dicke相變一類。

B.元激發(fā)

在這一節(jié)里，我們將運用一階線性漲落理論分析腔-BEC耦合系統(tǒng)的一階線性激發(fā)譜。在臨界點附近，腔光場很小，此時原子體系只有一小部分被激發(fā)到 cos(kRx)的狀態(tài)[39,40]，二能級近似的條件成立[39,41]。當進入較深的超輻射相時，原子的更高激發(fā)態(tài)也將被顯著激發(fā)。類比于凝聚態(tài)物理中的極化子，與腔光場耦合的低能激發(fā)被稱為極化激元 (polariton)[37,41]。 在臨界點附近，最低能量的極化激元在動量 |k|=kR附近的能隙逐漸軟化，直到臨界點時變?yōu)榱悖@一支特殊的極化激元又被稱為旋子(roton)[42,43]。在臨界點附近，人們發(fā)現旋子激發(fā)譜的臨界指數為 -1，而不是封閉系統(tǒng) Dicke模型預言的-1/2[41,44,45]。產生這個區(qū)別的原因是由于腔-BEC耦合系統(tǒng)的低能激發(fā)通過與腔光場的耦合獲得了耗散的特性。這也使得人們可以通過直接測量耗散光子無損地探測原子體系量子態(tài)。在實驗上，原子體系的耗散要比預期的大[46]，這是因為有限尺寸效應耦合了原子不同的集體激發(fā)模[43]。

為了簡單起見，我們仍然采用上一節(jié)的一維模型。同時，為了抓住腔和物質之間耦合的物理，暫時忽略原子之間的相互作用。由于（26）式中最后一項可以忽略，我們可以考慮其對應的Dicke模型的穩(wěn)態(tài)解。

這里 w2+|β|2=N2/4為守恒量。上面這個方程組始終有一個平庸解 α=β=0和 w=-N/2， 代表腔內沒有光子，同時所有的原子都處于其基態(tài)k=0。但是當時，將出現另外一個解，即腔內出現宏觀占據的光子和部分原子處于激發(fā)態(tài)k=kR，這時有

激發(fā)譜的頻率為 Re(ωex)，而其耗散為 Im(ωex)。當，激發(fā)譜ωex=ωR，代表BEC的第一個集體激發(fā)頻率。而當越來越趨近于時，其激發(fā)譜的頻率也逐漸變?yōu)榱?，說明BEC逐漸獲得了光子的性質。

圖 5.腔-BEC系統(tǒng)中低能激發(fā)的 (a)激發(fā)頻率 Re(ωex)和(b)耗散率Im(ωex)。圖中展示了能量最低的6支BEC主導（類原子）和1支腔主導（類腔）的集體激發(fā)模式。圖(a)和圖(b)的顏色一一對應。為了比較方便，類腔模式的激發(fā)頻率和耗散率分別被除以5和4000（黑色雙虛線），能量最低的類原子模式（紅實線）的耗散率γ1也被除以2。其余的參數與圖4的上圖相同。該圖來自參考文獻[37]。

隨著驅動光的增強，BEC的更高能級集體激發(fā)也會有宏觀占據，兩能級近似將變得不再適用，此時需要考慮更多激發(fā)態(tài)的影響[37,40]。圖5展示了腔-BEC耦合系統(tǒng)中集體激發(fā)譜隨驅動光強度的變化趨勢。在臨界點（這里取65.612 ωR）以下，BEC的激發(fā)譜（類原子）是兩重兼并的。在正常相中，BEC的每一個集體激發(fā)有一支（圖5中洋紅點線、靛藍點虛線、紅雙點劃線）與腔模脫耦，即使進入自組織區(qū)域，它們也只與BEC的其它模式耦合，因此耗散率始終為零；而類原子激發(fā)中能量最低的一支（圖5中紅實線）則與腔模耦合，混合了原子的集體激發(fā)和腔光場在穩(wěn)態(tài)附近的漲落。我們可以看到類原子的這支激發(fā)頻率（紅實線）隨著驅動光強增強而逐漸軟化，在臨界點上激發(fā)態(tài)能量變?yōu)榱?，而耗散率變?yōu)橛邢拗担ㄔ谂R界點附近耗散率的小凹陷是由于數值精度造成的），意味著系統(tǒng)的能隙關閉從而導致相變發(fā)生。這些結果進一步佐證了前面關于兩模Dicke模型的討論。

隨著驅動光強η的繼續(xù)增大，類原子的高能集體激發(fā)模式也會與腔模耦合，從而獲得了光子的耗散特性（綠虛線和藍虛線）。但是在強驅動光極限η→∞時，所有原子都被局限到腔模的波谷位置，導致只有BEC的第二支集體激發(fā)（紅實線）能與腔模耦合。因此，除了這一支獲得有限的耗散率，其余的兩支（包括能量更高的）的耗散速率都將變?yōu)榱悖ňG虛線和藍虛線）。這三支都混合了 BEC的集體激發(fā)和腔光場在穩(wěn)態(tài)附近的漲落，這一點與固體物理中類光聲子和光子之間耦合形成極化激元的過程是類似的。在這個意義上，這三支激發(fā)譜又被稱為極化激元。在強驅動極限下，由于所有原子都會感受到一個簡諧勢，因此其激發(fā)頻率將變?yōu)榈乳g距的簡諧振子的頻譜。

類原子激發(fā)譜中能量最低的一支（紅實線）代表著腔-BEC耦合系統(tǒng)的第一激發(fā)態(tài)的能隙。由于其動量為kR且其激發(fā)頻率在臨界點附近被軟化，因而這一支極化激元也具有旋子的特征[42,43]。2012年，Esslinger小組通過布拉格光譜的方法，實際測量了二維體系中極化激元的能隙隨著驅動光光強變化的趨勢（圖6）。實驗同時測量了處于激發(fā)態(tài) |kx=±kR,kz=±kR〉的原子數Ne和腔光子數Nph。由于在臨界點附近只有激發(fā)態(tài)|kx=±kR,kz=±kR〉有宏觀占據，實驗結果和基于Dicke模型的理論基本符合。對于有超輻射相變的情形(V＜0)，隨著驅動光光強從弱極限掃過臨界點，腔-BEC耦合系統(tǒng)從正常相過渡到超輻射相，激發(fā)譜的能隙先關閉再打開；相反地，對于V＞0的區(qū)域，由于腔光場趨向于壓制原子氣體的密度漲落，因而沒有超輻射相變，激發(fā)譜的能隙隨著驅動光的增加而增加。由于探測光的動量為kR，上述測量反映的是系統(tǒng)在p=?kR的激發(fā)譜，所以這個實驗證實了在腔-BEC耦合系統(tǒng)中類旋子激發(fā)譜的存在。另外，上述結論通過測量原子密度的靜態(tài)響應率也得到了證實[42]。

C.相變臨界指數

圖 6.腔-BEC耦合體系的低能激發(fā)。這里同時測量了來源于原子的信號（處于激發(fā)態(tài) |kx=±,kz= ±〉的原子數Ne，藍色）和來源于光子的信號（紅色）。V=/代表原子感受到的束縛勢的振幅。為了與有超輻射相變的情形對比（V ＜ 0，實心圓），圖中展示了沒有超輻射相變情形（V ＞ 0，空心圓）?；疑幱皡^(qū)域代表基于雙模模型的理論預測（包含了實驗中的不確定性）。其余的參數設置為：原子數 N=1.7×105，對于 V ＜0的情形取=-2π×(19.8,23.2)MHz，對于V＞0的情形取=2π×15.1 MHz，驅動光的強度P用臨界強度Pcr標度。該圖來自參考文獻[42]。

在腔–原子耦合體系中，原子與腔光場耦合，腔光場與環(huán)境相互作用導致腔光場不斷耗散到環(huán)境，因此環(huán)境會間接影響原子氣體的動力學演化，最終耦合系統(tǒng)達到了動力學穩(wěn)態(tài)。這一動力學穩(wěn)態(tài)與封閉系統(tǒng)的熱力學平衡態(tài)在各方面都可能存在本質的差別。以前面討論過的Dicke模型為例，對于封閉系統(tǒng)的平衡態(tài)，平均場預言正常相在零溫時的光場漲落為[41,44]

其臨界指數是-1/2，與一般的平均場模型一致。而對于動力學穩(wěn)態(tài)，平均場理論結果變?yōu)?/p>

其臨界指數是-1（圖7）。此外，原子算符的漲落（即被激發(fā)到 kR態(tài)的數目）也具有類似的臨界行為[44]。由此可見，非平衡態(tài)穩(wěn)態(tài)將極大地影響量子相變的性質。

圖7.開放系統(tǒng)（紅色實線）和封閉系統(tǒng)（藍色虛線）在趨近于臨界驅動強度yc時密度漲落的臨界行為。開放系統(tǒng)的耗散率 κ=2ωR，其余的參數為 ?pc=-2ωR，ξc=0。該圖來自參考文獻 [44]。

2013年，Esslinger小組通過實時測量光場的耗散，發(fā)現正常相中的腔光場漲落的臨界指數在-0.9(±0.1)，與平均場理論的預測基本一致[46]。但是，從圖 8可以發(fā)現，基于腔光子單通道耗散的理論預測（黑虛線）明顯高于實驗所測數據（紅色實心圓）。只有人為地把原子激發(fā)態(tài)的耗散γ（灰虛點線）也考慮進來，才能使得理論與實驗相符（紅實線）。同時，開放系統(tǒng)的光子漲落也明顯高于閉合系統(tǒng)的漲落（黑實線）。實際上，實驗中不可避免的有限尺寸效應會耦合BEC的高能激發(fā)態(tài)與類旋子激發(fā)態(tài)，從而使得原子的高能激發(fā)態(tài)扮演了一個附加的熱庫，為旋子激發(fā)提供了一個新的耗散通道。這一效應必然依賴于驅動光強和體系尺寸的大小，并且會壓制由于腔光場導致的密度漲落，從而導致腔光場漲落的減小。有限尺寸效應同時會使得臨界點附近的光場漲落添加一個次發(fā)散項 |η-ηcr|-3，但并不會改變臨界指數[43]。另外，如果考慮非單模的熱庫，非平衡態(tài)的臨界行為也會被相應地改變。例如，計算發(fā)現sub-ohmic熱庫會通過其低能態(tài)密度影響開放系統(tǒng)中的臨界指數，使得其絕對值低于1[47]。

圖8.發(fā)生超輻射之前腔內漲落的光子數。紅色圓點是實驗結果，黑色實線是閉合系統(tǒng)的理論結果，黑色虛線是基于腔光子單通道耗散的理論預測，紅色實線是考慮原子激發(fā)態(tài)耗散（灰色虛點線）后的結果。該圖來自參考文獻[46]。

除了漲落的臨界指數以外，弛豫時間、相干長度等物理量的臨界指數也能反映相變的類型和性質。在自組織（超輻射）臨界點附近，由于旋子的軟化，系統(tǒng)的相干長度發(fā)散，其弛豫時間變得無窮長，并服從冪律形式

式中 zμνμ是只依賴于相變類別的普適量（μ標記驅動相變的方向，即從正常相驅動到自組織相或者反過來）。實驗上，從不同方向驅動系統(tǒng)通過臨界轉變驅動強度，人們發(fā)現從均勻相驅動到自組織相的臨界指數z1ν1=0.75，而從自組織相驅動到均勻相的臨界指數 z2ν2=0.18[48]。這一結果與 Kibble-Zeruk機制預測的臨界指數 zμνμ=0.5（包括兩個驅動方向）差別較為明顯，其中的機制還有待進一步研究。

D.單分量的玻色–哈伯德模型

在超輻射相變發(fā)生后，腔內的光場會形成一個具有周期性的駐波場，原子的運動狀態(tài)由準動量標記。和傳統(tǒng)的光晶格不同的是，腔光場不再是“經典”的保守勢，而是會產生反饋效果的勢場。這種效應會產生非線性的相互作用，并有可能導致光學雙穩(wěn)現象、甚至更為復雜的三穩(wěn)現象和一些“燕尾”(swallowtail)結構。

簡單起見，考慮一維單組分玻色氣體在單模腔中的運動，且原子被束縛在最低的能帶（單帶近似），而光腔被原子驅動或者腔驅動。在熱力學極限下，如果不考慮原子和腔光場之間的糾纏，所有原子將感受到一個平均的腔光場，此時總哈密頓量簡化為

如第IV.A小節(jié)所述，在腔光場的特征頻率足夠大時，腔光場將跟隨原子氣體運動，因而可以消去光場，得到原子運動的有效哈密頓量。比如，在原子驅動情形下，物質場和光場之間的干涉項寫為

圖 9.（a）單個格點上有 n個粒子占據的概率 pn和（b）粒子數漲落隨散射長度 as的變化。圖（a）中實線是原子氣體位于光腔產生的光晶格中的情況，虛線是沒有腔但有相同深度的經典光晶格 Veff的情況。此外，ξc=-κ，?pc=-3.75κ，Veff=-4ER。圖（b）中虛點線對應于經典光晶格情況，其余的線對應不同的失諧。該圖來自參考文獻[49]。

除了為原子提供一個平均的周期勢之外，腔光場的量子漲落也會影響原子氣體的狀態(tài)。一方面，對于原子和腔耦合較弱或者腔光子很少的情況，較大的腔光場漲落會使得系統(tǒng)的基態(tài)表現出較為復雜的行為[49]。比如，當腔光子數nph=0時（沒有外加束縛勢和較弱的接觸相互作用），腔光場不影響原子氣體的長程關聯(lián)；但是當nph=1時，此時的腔光場趨向于阻止原子在空間的移動，破壞原子氣體的長程關聯(lián)，因而原子的基態(tài)往往是不同物質相的疊加態(tài)（圖9(a)）。腔光場的漲落還會增加Feshbach共振BEC區(qū)域的粒子數漲落，同時壓制BCS區(qū)域的粒子數漲落（圖9(b)）。另一方面，如果外加較深的背景光晶格使得原子的躍遷矩陣元()只是微弱的依賴于腔光場（腔光場漲落相對較?。?，由腔光場誘導的相鄰格點的躍遷仍然會改變原子系綜的穩(wěn)態(tài)，這一點在腔驅動和原子驅動的情形均可以看到。

圖10.腔驅動情況下玻色–哈伯德模型的相圖。橫軸為耗散率和驅動光強的比值κ/η，縱軸為重整后的化學勢?μ/g1D。該圖來自參考文獻[50]。

比如在腔驅動的情況下，由于腔的非線性效應和相互作用對粒子數密度的影響，莫特絕緣態(tài)會出現許多亞穩(wěn)態(tài)[50,51]，系統(tǒng)在不同失諧下的相圖也會表現出較大的差異（圖 10）。當 ?pa＜0時，原子趨向于聚集在波腹上，使得原子和腔的耦合極大，這時腔的非線性效應最為顯著；而如果?pa＞0，原子聚集在波節(jié)，使得原子和腔的耦合極小。因而在強驅動極限下，相圖和標準的玻色–哈伯德模型一致。但是當驅動光較弱時，相圖中出現了許多雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域，甚至有些莫特絕緣態(tài)還出現在了化學勢為負的區(qū)域。

圖 11.原子驅動情況下玻色–哈伯德模型的相圖。橫軸為耗散率與驅動光強的比值，縱軸是重整后的化學勢（相對于每個格點上僅有一個粒子時的在位相互作用特征能量U1）。黑色箭頭代表密度n0=1時發(fā)生超輻射相變的位置。其他參數為 ?pc=-50 κ，ξc=-0.1 κ，g1D/ERλ =4.74×10?4。該圖來自參考文獻[58]。

在原子驅動的情況下，由于原子的在位相互作用能依賴于腔光場的大小。腔光場越大，在位相互作用能越大。這不僅使得超流到莫特絕緣體轉變的臨界驅動光強變大，也使得莫特絕緣體的各區(qū)域(lobes)之間出現間隙（圖11）。在弱驅動極限s0→0或者壞腔極限 κ→ ∞ (κ/s0→ ∞)下，系統(tǒng)進入均勻的超流相（平均光子數為零）。隨著驅動光的增強或者腔的耗散下降，系統(tǒng)將進入超輻射相，使得原子在空間形成周期為λ的莫特絕緣體。在超流和絕緣體之間，原子系綜可能既具有超流的非對角長程序也具有電荷密度波的對角長程序。比如在填充數n0=1且0.6＜κ/s0＜0.78時，原子氣體既有固體的周期性又有超流的相干性，因而又稱這種狀態(tài)為超固相(supersolid)。對超固相的尋找和研究是凝聚態(tài)物理的重要課題之一[28,52-57]。以往的研究大多聚焦具有長程相互作用的體系，比如具有偶極相互作用的 BEC[54]。在腔-BEC耦合系統(tǒng)中，由于原子和同一個模式下的腔光場相互作用，使得原子之間具有等效的長程相互作用，因而在某些參數區(qū)間可能出現超固相。

圖 12.在失諧 ?pc（即圖中?c）和晶格深度 V2D平面的相圖。相圖中包括超流相SF（紅色）、超固體相SS（紫色）、電荷密度波相 CDW（藍色）和莫特絕緣體相（黃色）。黑色實心點代表電荷密度波的建立，白色空心點代表超流性的消失，斜線區(qū)域代表 CDW 和 MI的共存區(qū)域。圖中填充數n0≈1。該圖來自參考文獻[57]。

在 2016年的實驗中[57]，Esslinger小組將由約 4.2×104個87Rb原子組成的 BEC（溫度為 42 nK）傳送到一個光腔中，通過沿腔軸和垂直于腔軸兩個方向加一個經典光晶格，同時在另一個正交的方向加一束強光把原子氣體切成二維氣體。由于驅動光與腔的失諧 |?pc|/2π～10 MHz遠大于腔的耗散頻率κ/2π～1 MHz，而后者又遠大于原子運動的特征頻率ωR/2π～1 KHz，因此可以安全地絕熱消除光子自由度，得到腔中擴展的玻色–哈伯德模型

上述哈密頓量的前兩項代表傳統(tǒng)的玻色–哈伯德模型，而第三項代表由腔光子誘導的原子之間的長程相互作用，其系數，V2D為背景光晶格深度。另外，?pc-δc，M0代表原子和光場之間的重疊程度，δc代表原子氣體對腔的頻率移動。這個體系中的電荷密度波序可以用奇偶格點的粒子數失衡 Θ=表征。當時，長程相互作用會使得原子之間的能量升高，因而此時只有超流相或者莫特絕緣體相。當時，Ul＜0，這時系統(tǒng)將有可能具有電荷密度波序（Θ /=0）。

該實驗通過測量光子數反推Θ（圖12黑實心點），并通過時間飛行(time-of- fl ight)測量原子氣體的空間相干性（圖 12白空心點）。一方面，當失諧 |?pc|較小時，較淺的晶格使得氣體被原子的動能所主導，因而表現為空間均勻的超流態(tài)（紅色，SF）。而較深的晶格則會壓制原子的動能，但是由于腔光場較強使得電荷密度波序得以建立。在這兩者之間，氣體既有超流特性又有電荷密度波序，此時被稱為超固相（紫色，SS）。另一方面，隨著失諧的增加，腔光場也隨之減小，因而在較深的晶格下，原子氣體表現為莫特絕緣體（黃色，MI）。值得注意的是，腔光場和經典光晶格的競爭有可能導致雙穩(wěn)態(tài)，如圖12中的斜線區(qū)域。在理論上，人們對該體系中的超固相進行了一系列的研究。平均場理論給出的相圖和實驗結果定性吻合[59-62]。注意到由于前述實驗是通過調節(jié)背景光晶格深度 V2D的方式調節(jié)在位相互作用 Us，在調節(jié)的同時也改變了長程相互作用，因此并不能獨立解析出在位相互作用Us的影響。此外，動力學平均場方法（Dynamical Mean Field Theory,DMFT）也確認了二維系統(tǒng)中超固相的存在[63,64]。同時由于在位相互作用趨向于使得原子氣體均勻分布，因而會提高發(fā)生超輻射相變的臨界值[63]。隨后的進一步研究指出，動力學平均場方法在定量上仍然不精確[65]。值得一提的是，當腔光場足夠強時，將不僅與原子的密度耦合，而且還與原子的動能耦合，這使得原子體系形成了一些新奇的物相[59]。

另一方面，當腔的耗散率κ與原子的動能ωR相當時，腔光子不再絕熱地跟隨原子運動，導致絕熱近似失效。此時腔光子不僅會誘導原子之間的全局相互作用，還會有其他的動力學效應。雖然如此，腔-BEC耦合系統(tǒng)仍然可以達到動力學穩(wěn)態(tài)[48,65]。當驅動光和腔的有效失諧時，腔光場放大原子氣體的密度漲落，因而仍然會發(fā)生超輻射相變。當腔光場超過一定臨界值時，原子體系的空間相干性將會消失，成為莫特絕緣體，如圖13所示。在這個實驗中，原子的有效失諧與腔的耗散速率κ在相同量級，填充數 n0≈20。 圖中 HSF代表僅有空間相干性的均勻超流相，SSF代表同時具有電荷密度波序和空間相干性的超固相，而SMI代表僅有電荷密度波序的自組織莫特相。由于腔和原子運動的特征時間相當，人們在實驗中也觀察到了可能由動力學效應導致的“磁滯效應”[48]。

圖13.(a)腔光子數Np隨有效失諧（即圖中δeff）和驅動光強度（圖中?p）的變化趨勢。圖中 HSF代表均勻超流相，SSF代表超固體相，SMI代表莫特相。(b)沿圖(a)中的路徑ABCD，光子數和動量分布半高寬W 的變化趨勢。在B-C之間，腔光子數有限而原子仍然具有空間相干性，體系處于SSF相。(c)沿ABCD路徑，體系經過圖(b)中由箭頭標記的位置1-8時，原子在ky-kz平面內的動量分布。該圖來自參考文獻[65]。

E.自旋–軌道耦合的玻色氣體

自旋–軌道耦合效應往往會強烈地改變單粒子的色散關系和自旋成分，從而極大地影響體系的性質，出現新奇的基態(tài)物相和低能激發(fā)[66,67]。在冷原子物理中，現有的實驗一般通過微波或者拉曼過程耦合原子不同超精細能級形成人工自旋–軌道耦合。當把原子氣體置于光腔中時，腔光場和原子氣體的相互影響使得腔–原子耦合系統(tǒng)往往表現出一些非線性效應。最簡單的實現人造自旋-軌道耦合的方案是通過微波直接耦合原子不同超精細能級，使得不同分量的原子相干并伴隨動量轉移。即使在這樣簡單的構形里，光腔也會使得系統(tǒng)表現出一些不同于傳統(tǒng)的光力系統(tǒng)的性質。腔–原子耦合系統(tǒng)在某些參數區(qū)間內甚至表現出三穩(wěn)現象—存在兩個亞穩(wěn)態(tài)和一個基態(tài)[68]。在拉曼過程產生的自旋–軌道耦合系統(tǒng)中，原子的兩個基態(tài)與一個高能激發(fā)態(tài)通過兩束拉曼光耦合。當兩束拉曼光的單光子失諧遠遠大于激發(fā)態(tài)的線寬時，激發(fā)態(tài)的占據可以忽略不計，此時原子的兩個基態(tài)發(fā)生相干形成自旋–軌道耦合。如果其中一束拉曼光借助于腔光場實現，則腔的非線性和耗散效應也將通過拉曼過程進入到系統(tǒng)，使得系統(tǒng)出現燕尾結構(swallowtail)[69]等非線性效應[70-73]。

例如，可以沿垂直于腔軸的方向使用兩束大失諧（相對于原子躍遷頻率紅失諧，?pa＜0）的平面波（探測光，拉比頻率?2）和駐波（驅動光，拉比頻率?1）驅動原子，同時選擇恰當的驅動光偏振方向使得它們耦合原子的不同基態(tài)能級，通過壓制σ-光使得腔光場同時能耦合驅動光所耦合的能級（拉比頻率 g0），這時原子將通過兩種拉曼過程耦合起來，即?2-?1和?2-g0。描述該系統(tǒng)的有效哈密頓量為[74]

圖 14.(a)具有腔誘導的自旋–軌道耦合的兩分量玻色氣體的相圖。圖中 ?是探測光驅動的自旋–軌道耦合強度，η是驅動光強度。固定驅動光強度 η=0.7EL/?時，腔光場的期望值α和原子體系序參量Θ隨自旋–軌道耦合強度?的變化趨勢如 (b)和 (c)所示。圖中其他參數為：雙光子拉曼失諧 δ=-4EL/，驅動光與腔光場的單光子拉比頻率比 ?1/g0=10。該圖來自參考文獻 [74]。

如圖 14(a)所示，在 ?1?g0的條件下，隨著探測光?2的變化，該系統(tǒng)在零溫可以出現三個截然不同的物相：棋盤相（超輻射）、條紋相（正常態(tài)）和渦旋-反渦旋晶格相（超輻射）。首先，當探測光 ?2較小時，只有自旋朝下的粒子散射驅動光 (Θ/=0)，而自旋朝上的粒子不散射光子 (≈0)。因此只有驅動光的強度超過臨界值時，腔光場才會有宏觀占據，此時自旋朝下的粒子形成棋盤結構。由于不可避免的背景散射會使得自旋朝上與自旋朝下的粒子之間存在相互作用，自旋朝上的粒子的空間分布也會受到影響，具體形式依賴于散射長度。以鉻原子(Chromium，Cr)為例，由于不同贗自旋之間的散射長度為 a↑↑=a↑↓=112aB和 a↓↓=87.5aB（aB是玻爾半徑）滿足不相容 (immiscible) 條件，因此自旋朝上的粒子將聚集在自旋朝下粒子密度最小的地方。其次，當逐漸增加探測光的強度 ?2時，由?2-?1組成的拉曼過程形成自旋–軌道耦合。這種自旋–軌道耦合效應等價于一個空間位置依賴的有效磁場 B=(Bx,By)≈ -?cos(ky)(cos(ky),sin(ky))，其周期為π/k。這個有效磁場將壓制腔光場的形成（后者的周期為2π/k），因而隨著?(?2)的增強，腔光場將逐漸消失，最終進入一個由?1-?2主導的物質相――條紋相。這時垂直于腔軸方向原子形成條紋狀的分布 (α=0)，見圖 14(b)。最后，當進一步增強 ?時，通過?2-g0散射光子的拉曼過程也開始顯現作用，此時的腔光場主要來源于通過拉曼過程散射的探測光，即Θ≈0和Ξ/=0（圖14(c)）。這時由于拉曼過程起主導作用，兩種組分的原子將在空間形成相同的分布(miscible)。注意到該體系中的拉曼過程相當于引入了有效磁場，一方面使得原子的自旋形成磁性結構，另一方面使得原子波函數的相位形成渦旋–反渦旋晶格陣列（周期 2π/k）。這一等效磁場的強度可以達到幾個特斯拉量級，這使得腔–原子氣體耦合系統(tǒng)成為研究量子霍爾效應的一個新平臺。

V.光學腔中的超冷費米氣體

如前所述，當溫度足夠高時，遵從麥克斯韋–玻爾茲曼統(tǒng)計的熱原子氣體會在足夠強的橫向驅動下出現超輻射（自組織）相變[33,34]。但是，隨著溫度的逐漸降低，不同的量子統(tǒng)計性質使得耦合系統(tǒng)表現出截然不同的性質。對于玻色子，當溫度足夠低的時候，幾乎所有的原子都會凝聚到能量最低態(tài)，這使得超輻射相變更容易發(fā)生。對于費米子而言，其在低溫下是否仍然能夠發(fā)生超輻射相變？相變的發(fā)生條件和特征是否會出現變化？近期的研究發(fā)現，一方面，對于單分量 (spinless)費米氣體，泡利不相容原理并沒有禁戒超輻射相變，相反在某些參數區(qū)間，超輻射的不穩(wěn)定性會被極大地增強，而維度和光腔的耗散也會產生顯著的影響；另一方面，當原子的自旋自由度參與到系統(tǒng)的動力學演化，該復合體系的性質會變得更為特殊和有趣，出現非平衡態(tài)的腔誘導配對[75]、人造規(guī)范勢[76-78]等新奇物理現象。

A.單分量費米氣體

將簡并的單分量費米氣體置于駐波光腔中，同時沿橫向驅動原子氣體。描述其運動的哈密頓量與玻色氣體具有相同的形式（見(17)式）。由于費米統(tǒng)計，原子算符遵循反對易關系，同時原子之間的接觸相互作用被泡利不相容原理所禁戒，即Us=0。在熱力學極限下，光場的漲落可以忽略不計，我們采用平均場的方式處理腔光場〈〉=α。在紅失諧的驅動光情形下，光場的漲落仍然會擴大原子氣體的密度漲落，但是由于泡利不相容原理，使得原子氣體的超輻射相變受到氣體密度和維度的影響。理論研究發(fā)現[79]，腔光場的建立一方面會加深沿腔軸的晶格深度 ξc|α|2cos2(kRx)，另一方面會散射近共振的驅動光（ωp≈ ωc）進入光腔 ηp(α + α?)cos(kRx)，而沿驅動光的晶格深度也會受驅動光的影響。通過二階微擾論可得臨界驅動強度

這里的參數定義與玻色氣體的情形保持一致。式中f是一個與統(tǒng)計特性、驅動強度、原子氣體密度和維度有關的量。

圖15.(a)一維、(b)三維、(c)二維單分量費米氣體發(fā)生超輻射相變的臨界參數f隨填充數ν的變化。參數f和臨界驅動強度的關系如公式（42）所示。圖中 V0為驅動光的強度，虛線代表同樣參數下玻色氣體的情況。(d)不同填充數下參數1/f隨V0的變化趨勢。圖中虛線和實線的交點代表相應情況下的超輻射相變點。該圖來自參考文獻[79]。

圖 16.上圖：一維單分量費米氣體的相圖。主圖由藍色實線區(qū)分三個物相（溫度 kBT/Er=0.01）：費米液體(Fermi Liquid，FL)、超輻射 Peierls絕緣體 (Superradiant Peierls Insulator，SPI)、超輻射電荷有序費米液體 (Superradiant Charge Ordered Fermi Liquid，SCOFL)。黑色虛線代表溫度 kBT/Er=0。插圖代表超輻射相變在費米面附近從無能隙（虛線）變?yōu)橛心芟叮▽嵕€）。該圖來自參考文獻[80]。下圖：二維單分量費米氣體的相圖。圖中(a)和(b)分別代表填充數nF=0.5和1.5的情況，藍色實線代表二階相變，紅色雙線代表一階相變，斜線區(qū)域代表不穩(wěn)定區(qū)域。該圖來自參考文獻 [81]。

圖 15展示了不同維度下f隨原子填充數 ν（氣體密度）的變化關系[79]。對于玻色氣體而言，由于粒子可以占據同一個格點，因此其臨界強度不受氣體密度和維度的影響（圖中虛線）。但是對于費米氣體而言，由于統(tǒng)計性質的影響，費米子能夠獲得的相空間受到氣體密度和維度的強烈影響（實線）。在低密度時(ν→ 0)，費米氣體比玻色氣體更容易發(fā)生超輻射相變。在高密度時，泡利不相容原理則會壓制超輻射相變[79-81]。特別地，當費米面和腔光場的波矢發(fā)生嵌套(nesting)時，超輻射相變被極大地增強。這一機制與固體中的Pierels相變類似。由于一維費米氣體的費米面是兩個離散點，當填充數ν=0.5費米面發(fā)生嵌套時，效果最為顯著，導致臨界驅動強度→0，如圖15(a)和圖16（上）所示。此時，任意有限的腔光場都可以在費米面打開能隙，使得原子氣體表現為絕緣體（圖16（上）的SPI區(qū)域）。當填充數遠離半滿時，有限的腔光場并不能在費米面附近打開能隙，因而原子氣體表現為金屬（圖16（上）的SCOFL區(qū)域）。與玻色體系類似，超輻射相變既可以是連續(xù)相變也可以是一階相變（圖16）。在二維和三維體系中，由于費米面不能完全匹配，嵌套效果雖然會增強超輻射，但臨界驅動強度不能達到零，如圖15(b)和(c)所示。當填充數占據到更高能帶時，費米面的復雜結構將會帶來更為豐富的現象。特別地，當沿腔軸方向的晶格深度超過驅動方向的晶格深度時，原子將趨向于更多地沿腔軸排列，從而增強超輻射。這時將發(fā)生一個腔光場較小到較大的一階相變，如圖16（下）圖所示。這兩個相通過不同的密度絕熱地聯(lián)系起來，類似于氣液相變。

有限大小的耗散或者溫度都會抑制腔光場的建立，但是上述諸多現象在實驗范圍內仍然可以被探測，比如借助于時間飛行測量或者光腔的漏光光譜[80]。值得注意的是，費米氣體雖然具有不同于玻色氣體的特性，但是在高密度極限下，費米氣體的超輻射相變與玻色氣體的相變類似。在臨界點附近，仍然可以等價為 Dicke模型[82]。

B.兩分量簡并費米氣體

隨著自旋自由度的引入，光腔中兩分量費米氣體會表現出更為豐富的物理。首先，由于不同分量原子之間的s波散射長度可以通過Feshbach共振技術進行調控，原子之間的相互作用可以從弱吸引相互作用經過幺正區(qū)域連續(xù)調節(jié)到弱的排斥相互作用，使得體系發(fā)生BCS-BEC過渡。在BCS區(qū)域(as＜0)，低能激發(fā)服從費米統(tǒng)計，其超輻射相變主要表現為費米體系的特征，比如臨界驅動強度的密度依賴；在BEC區(qū)域(as＞0)，兩個不同分量的費米子形成復合玻色子，低能激發(fā)服從玻色統(tǒng)計，其超輻射相變主要體現出玻色體系的特征，其臨界驅動強度基本與密度無關。在幺正區(qū)域(1/kFas→±0)，低能激發(fā)則會同時表現出兩種統(tǒng)計特性。因此，在BCS-BEC過渡中，超輻射相變臨界驅動強度強烈地依賴于原子間相互作用和原子密度 [83]。

此外，在不同分量費米子之間也可以實現人造規(guī)范勢和人造自旋-軌道耦合。具有自旋-軌道耦合的費米系統(tǒng)會產生極為豐富的物理現象，比如自旋霍爾效應[84]、拓撲絕緣體[85]、Majorana費米子[86]、Weyl半金屬[87]等。在勢阱和光晶格中的超冷費米氣體中，目前已經實現了多種類型的自旋–軌道耦合[88-90]，在理論上對其中的配對物理和拓撲性質也進行了深入的研究[91,92]。在光學腔中，腔光場和自旋–軌道耦合的相互疊加使得原子氣體展現出了和自由空間不同的性質和現象，如拓撲超輻射和拓撲超流等[77]。同時，腔光場的耗散通道也使得人們可以非破壞地研究多體體系的動力學行為和非平衡態(tài)相變。

圖 17.利用 FP腔在兩分量費米氣體中實現人造自旋–軌道耦合的方案。本方案中垂直于腔軸方向加一束驅動光ωA驅動A模式，兩分量的超冷原子只能沿腔軸運動，同時沿腔軸方向加一束大失諧的線偏振光驅動腔的另一支模B。該圖來自參考文獻[93]。

考慮將處于量子簡并溫度以下的費米氣體（比如6Li）裝載到 FP腔中，沿垂直于腔軸方向驅動原子（偏振方向沿腔軸），超輻射相變將使得光腔的一支振動模式被激發(fā)（模式A）。同時，光腔的另一個模式(B)被大失諧的線偏振光驅動，如圖17所示。為了使更多光子被散射到光腔中，縱向驅動光和腔光場的A模近共振，且相對于原子的激發(fā)態(tài)是大的藍失諧。這時激發(fā)態(tài)的占據數很小，可以被絕熱消除。為了簡單起見，假設垂直于腔軸的兩個方向都存在強的束縛勢，約束強度 ?ω⊥遠大于原子氣體的費米能EF。 這時，費米氣體等效為沿腔軸方向的準一維費米氣體，其等效哈密頓量為[77]

當沒有驅動光時，磁場會把系統(tǒng)分為正常費米氣體(mz＜mc)和完全極化費米氣體 (mz＞mc)。當驅動光足夠強時，通過拉曼過程原子將散射足夠多的光子進入腔并與耗散過程達到平衡，這時發(fā)生超輻射相變α/=0。更為重要的是，拉曼過程將引起不同能帶間的自旋翻轉過程，使得基于瓦尼爾(Wannier)表象的單帶近似不再適用。當磁場較小時(mz＜mc)，驅動光誘導的有限腔光場將在費米面附近打開能隙的同時翻轉原子的自旋，系統(tǒng)進入了一個拓撲超輻射態(tài)。這個非平庸拓撲態(tài)的拓撲性質可以由第一布里淵區(qū)內自旋結構的非零環(huán)繞(Winding)數刻畫（如圖18所示），同時會伴隨一對零模邊緣態(tài)(edge state)的產生。當磁場大于臨界磁場時(mz＞mc)，計算表明存在兩種不同的超輻射相：一種是拓撲平庸超輻射相，而另一種相與弱磁場極限的拓撲非平庸相一致。這里的拓撲非平庸態(tài)來源于特殊的拉曼構形：腔光場所形成的拉曼光晶格的周期是背景晶格周期的兩倍，它們在波節(jié)處相交，因而使得拉曼場耦合同格點上的s和p能帶，同時帶間的耦合強度反比于能級差，所以不同分量對應的耦合強度不同。這種特性使得系統(tǒng)的能隙隨著驅動光強度ηA（或者腔光場α）的增強經歷了先閉合再逐漸打開的過程。通過對角化哈密頓量（43）式，可以得到在mz–ηA平面的相圖，如圖19所示。

圖 18.第一布里淵區(qū)內拓撲超輻射相 (a)和普通超輻射相(b)中典型的自旋分布。其中紅色實線代表自旋沿z軸分量，黑色虛線代表自旋沿y軸分量。插圖顯示了動量空間中自旋的結構。該圖來自參考文獻[77]。

圖19.具有腔誘導自旋–軌道耦合的無相互作用一維費米氣體的相圖。當等效磁場mz＜mc時，系統(tǒng)隨驅動光強度ηA的增加，從正常金屬相(M)進入拓撲非平庸超輻射相(TSR)。當mz＞mc時，系統(tǒng)在弱驅動時為極化的絕緣體(I)，經過超輻射相變后進入拓撲平庸的超輻射相(SR)，隨著驅動進一步增強變?yōu)榉瞧接沟某椛湎?TSR)。圖中黑色虛線、綠色點線和藍色點劃線代表二級相變，紅色實線代表一級相變。在臨界磁場mc處存在一個四相點。插圖顯示了沿不同軌跡（黃色箭頭）跨越相變線時，能帶結構的變化。其中藍色實線為箭頭起點的情形，粉色點線為相變點的情形，灰色虛線為箭頭終點的情形。該圖來自參考文獻[77]。

由于腔光場會不斷通過腔耗散，一方面，系統(tǒng)最終達到的狀態(tài)并非熱力學平衡態(tài)而是動力學穩(wěn)態(tài)；另一方面，系統(tǒng)的持續(xù)耗散過程也為觀察原子系綜提供了一個很好的通道。在半滿填充時，費米面的波矢滿足2kF=k0，因而費米面嵌套效應將顯著增強超輻射相變，導致在熱力學極限下任意有限的驅動強度都可以引發(fā)超輻射相變（圖19中的有限驅動強度歸因于有限尺寸效應），同時在腔光場中留下了特征。例如，腔內光子數的一階導數 ?|α|2/?ηA會在能隙閉合時表現出一個峰狀結構。結合自旋選擇的時間飛行測量，在實驗上將有可能測量并區(qū)分這兩種超輻射相。

接下來，我們考慮原子之間的相互作用的影響。這部分哈密頓量的形式如下[93]

這里g1D是不同組分之間的有效相互作用強度，可以通過Feshbach共振調節(jié)s波散射長度as或者通過約束誘導共振調節(jié)橫向束縛勢頻率ω⊥（或束縛勢特征長度來達到改變g1D的目的

式中C=1.4603。當g1D＞0時，原子之間的有效相互作用將是吸引相互作用，相反動量和自旋的原子將由于BCS不穩(wěn)定性形成弱束縛的庫伯對(Cooper pair)，同時費米面將失穩(wěn)并打開一個能隙，體系進入超流態(tài)。腔光場輔助的自旋–軌道耦合效應會使費米面發(fā)生自旋混合，配對態(tài)的性質也會發(fā)生改變。平均場理論研究表明[93]，雖然在較大參數范圍內發(fā)現了超流態(tài)和超輻射共存的區(qū)域，但是大多數時候并不是原子氣體的基態(tài)（圖20）。對于費米超流與費米超輻射兩種不同序的共存以及其中的拓撲性質有待進一步研究。

圖20.具有腔誘導自旋-軌道耦合的一維費米氣體在有相互作用時的零溫相圖。相互作用強度從左至右依次為0.25,0.28,0.8，其余參數與圖19一致。隨著相互作用強度的增強，超流(SF)的區(qū)域變大，正常態(tài)（N，包括完全極化(FP)和部分極化(PP)）的區(qū)域變小。圖中實線表示一階相變，虛線表示二階相變，點線表示拓撲相變。該圖來自參考文獻 [93]。

VI.總結

本文簡要綜述了光腔–原子耦合系統(tǒng)中的超輻射相變，并針對超冷玻色氣體和費米氣體分別介紹了近年來的一些理論和實驗進展。從前面的敘述可以看出，原子通過散射驅動光進入光腔，可以在腔內誘導出超輻射相變，腔內光場模式出現宏觀占據，同時伴隨著原子在空間的分布出現對稱性破缺。發(fā)生超輻射相變之后，原子在腔光場形成的駐波場中運動，反過來腔光場又受到原子的作用和反饋，二者相互耦合，在長時間極限下共同達到穩(wěn)態(tài)。和自由空間中外加的光晶格相比，超輻射相變后腔光場的主要區(qū)別有以下兩點。第一，腔光場通過耗散和環(huán)境發(fā)生耦合，因此體系達到的是動力學穩(wěn)態(tài)，而非熱力學平衡態(tài)；第二，腔光場和原子發(fā)生相干耦合，因此會在不同的原子間誘導出等效的長程相互作用。這些特點不僅會導致該體系的物質相和物質相變具有和傳統(tǒng)光晶格系統(tǒng)不同的行為，還為探索非平衡物理、發(fā)展非破壞實時測量技術、尋找多體新奇物態(tài)等研究提供了豐富的思路。

致 謝

作者感謝國家自然科學基金委（11274009、11434011、11522436）、科技部（2013CB922000）以及中國人民大學科研基金（10XNL016、16XNLQ03）的大力支持。由于時間和作者水平所限，疏漏之處在所難免，敬請讀者見諒。

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The hybrid system of optical cavity and ultracold atomic gas has caught great attention in recent years.This review article focuses on the up-to-date progresses in both theory and experiment worldwide,especially on the superradiant transition and some interesting quantum phases in Bose or Fermiatomic ensembles.It is shown that the hybrid system is highly valuable in the exploration of many interesting physics including non-equilibrium states,quantum simulation of many-body systems,and synthetical gauge field and spin-orbit coupling.

Ultracold atomic gases in optical cavities

Yu Dong-Yang1,Ji Qing1,Zhang Xiang1,2,Zhang Wei1,2

1.Department of Physics,Renmin University of China,Beijing 100872,People’s Republic of China
2.Beijing Key Laboratory of Opto-electronic Functional Materials and Micro-nano Devices,Renmin University of China,Beijing 100872,People’s Republic of China

Cavity-QED,Ultracold atomic gases,Superradiant transition,Non-equilibrium state

date:2017-05-02

O469

A

10.13725/j.cnki.pip.2017.04.001

1000-0542(2017)04-0125-23平庸拓撲物態(tài)等問題提供新的可能。從應用角度，光腔–原子耦合體系兼顧了光學系統(tǒng)中豐富的測量操控手段和原子系統(tǒng)擴展方便、耦合強度大、退相干時間長等優(yōu)勢，有可能用來實現量子存儲、量子中繼等重要技術應用。

E-mail:*siang.zhang@ruc.edu.cn；?wzhangl@ruc.edu.cn