于得川， 何漢輝， 周 鑫， 肖定邦， 吳學(xué)忠

(國防科技大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院，湖南 長沙 410073)

?

計(jì)算與測試

嵌套環(huán)式MEMS振動陀螺的靜電修調(diào)算法*

于得川， 何漢輝， 周 鑫， 肖定邦， 吳學(xué)忠

(國防科技大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院，湖南 長沙 410073)

對于工作在n=2模態(tài)諧振結(jié)構(gòu)，靜電修調(diào)是一種消除頻率裂解、實(shí)現(xiàn)模態(tài)匹配的常用方法。基于環(huán)形諧振子的剛度擾動模型，提出了一種直觀而實(shí)用的修調(diào)算法。通過巧妙地近似，并將嵌套環(huán)結(jié)構(gòu)的內(nèi)置修調(diào)電極等效為兩簇簇帶負(fù)剛度的“徑向彈簧”，從而將單環(huán)諧振結(jié)構(gòu)的理論模型成功應(yīng)用于多環(huán)嵌套結(jié)構(gòu)。最后通過靜電修調(diào)實(shí)驗(yàn)對該算法進(jìn)行了驗(yàn)證，實(shí)現(xiàn)了帶誤差諧振子的模態(tài)匹配。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：通過該算法頻率裂解從15 Hz左右被修到0.03 Hz左右。

嵌套環(huán)式微機(jī)電系統(tǒng)振動陀螺； 頻率裂解； 頻率修調(diào)； 模態(tài)匹配

0 引 言

嵌套環(huán)式微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)振動陀螺是新型高性能微機(jī)電陀螺之一，它由環(huán)形諧振陀螺發(fā)展而來，由多個(gè)半徑遞增的同心圓環(huán)嵌套而成，環(huán)與環(huán)之間排布了大量電極[3]。對于工作在n=2模態(tài)的諧振結(jié)構(gòu)，當(dāng)諧振子的質(zhì)量、密度、剛度等參數(shù)分布不均勻，諧振子的二階振型將出現(xiàn)2個(gè)相互間成45°的固有振型軸，沿這2個(gè)振型軸的二階彎曲振型對應(yīng)的固有頻率分別達(dá)到極大值和極小值，2個(gè)固有頻率差稱作頻率裂解。頻率裂解將嚴(yán)重影響陀螺性能，應(yīng)進(jìn)行必要的頻率修調(diào)以減小或消除頻率裂解。

通常采用添加[2]或去除質(zhì)量[3～5]以及靜電調(diào)剛度[6，7]的方法來進(jìn)行頻率修調(diào)。質(zhì)量修調(diào)需要采用復(fù)雜的工藝技術(shù)，只能在陀螺封裝之前進(jìn)行修調(diào)，并且去質(zhì)量修調(diào)會破壞諧振結(jié)構(gòu)。目前，應(yīng)用最普遍的修調(diào)方法是靜電調(diào)剛度的方法，該方法簡單有效，只需建立簡單的電路模型，在指定電極施加一定電壓即可實(shí)現(xiàn)修調(diào)。然而，目前大多數(shù)的相關(guān)研究報(bào)道都集中在環(huán)形諧振結(jié)構(gòu)的質(zhì)量修調(diào)算法[2～5]，對于多環(huán)結(jié)構(gòu)的靜電修調(diào)算法的研究還比較欠缺。

本文針對多環(huán)嵌套結(jié)構(gòu)，基于環(huán)形諧振子的剛度擾動模型[8]，通過巧妙的近似以及等效處理，推導(dǎo)出一套直觀且實(shí)用的靜電修調(diào)算法，詳細(xì)闡述了如何充分利用這些排布在環(huán)與環(huán)之間的電極進(jìn)行修調(diào)，并在實(shí)驗(yàn)中得以驗(yàn)證。

1 環(huán)形諧振子剛度擾動模型

對于工作在n=2模態(tài)的理想無誤差環(huán)形諧振子而言，假設(shè)其諧振頻率為ω0。如圖1所示，在諧振環(huán)上添加N個(gè)沿徑向方向的彈簧，每個(gè)彈簧剛度為Kj，周向位置為φj，j=1,2,…,N。剛度分布不均勻?qū)е铝讼嗖?5°的2個(gè)振型，高頻軸角度位置為ψ1，低頻軸角度位置為ψ2，且[1]

ψ1=ψ2-π/4

(1)

(2)

圖1 加徑向彈簧的環(huán)形諧振子

較高的頻率值ω1與較低的頻率值ω2分別為[1]

(3)

式中 α為徑向振幅與切向振幅的比值，S0為諧振子在n=2模態(tài)的彈性勢能。對于一般MEMS技術(shù)制造的諧振子，修調(diào)前的固有頻率與修調(diào)后的固有頻率相差小于0.3 %，因此，這里可近似認(rèn)為ω0=ω1=ω2，則式(3)經(jīng)過簡單的轉(zhuǎn)化可得

(4)

(5)

則式(4)可以化為

ω1-ω2=σccos4ψ1+σssin4ψ1

(6)

式中 σc，σs命名為“裂解系數(shù)”，表示帶誤差諧振子頻率裂解的嚴(yán)重程度，由式(2)可知

tan4ψ1=σs/σc

(7)

綜合式(5)～式(7)可得

(8)

即裂解系數(shù)可以通過測量頻率裂解和振型角度估算得到，實(shí)際上裂解系數(shù)由式(9)定義。

令Δ=ω1-ω2，根據(jù)式(5)～式(8)，頻率裂解與剛度分布的關(guān)系可簡化為復(fù)數(shù)形式

(9)

以上分析了理想無誤差環(huán)形諧振子加徑向彈簧后的頻率裂解情況，而更關(guān)心的是與之相反的情況，即帶誤差諧振子需要在何處添加多大剛度的彈簧,可將頻率裂解消除?，F(xiàn)考慮一帶誤差環(huán)形諧振子，其裂解因子(σc，σs) 可由式(8)定義。在該諧振子上添加N個(gè)徑向彈簧進(jìn)行修調(diào)，那么根據(jù)式(2)、式(4)和式(8)，修調(diào)后的裂解系數(shù)可表示為

(10)

以上推導(dǎo)了環(huán)形諧振子的剛度修調(diào)模型，可將其擴(kuò)展到如圖2所示的多環(huán)嵌套結(jié)構(gòu)。

圖2 嵌套環(huán)陀螺模型 (省略了環(huán)與環(huán)間的內(nèi)置電極)

2 嵌套環(huán)諧振子靜電修調(diào)模型

對于多環(huán)嵌套結(jié)構(gòu)，可以證明，添加在不同環(huán)上的徑向彈簧引起的頻率裂解仍符合向量疊加的關(guān)系[2]，但不同環(huán)的敏感系數(shù)會有所不同。那么，無誤差嵌套環(huán)諧振子添加徑向彈簧的模型可表示為

(11)

式中 R為嵌套環(huán)的總數(shù)；λr為第r環(huán)的敏感系數(shù)；Nr為第r環(huán)上彈簧數(shù)目。

實(shí)際修調(diào)中，是通過在電極上加電壓來達(dá)到改變結(jié)構(gòu)剛度的目的。這里需要對電極向徑向彈簧進(jìn)行等效處理，從而能夠套用以上理論模型。等效模型如圖3(左圖)所示，每個(gè)修調(diào)電極被均分為若干個(gè)小的電極單元，而每個(gè)電極單元的內(nèi)外兩側(cè)與其正對諧振結(jié)構(gòu)部分均可近似為如圖3(中間圖)平行板電容。當(dāng)諧振子工作在n=2模態(tài)，并在電極上加電壓V，小電極單元外側(cè)與諧振子重合部分所受的合外力可表示為

(12)

式中 k0為未加電壓時(shí)的諧振子與電極重合部分的等效剛度；x為電極與諧振結(jié)構(gòu)的間隙；x0為加電壓后平衡狀態(tài)下(未振動)諧振子的位移；Δx諧振子與電極單元重合部分的振動位移；Sout為電極單元與諧振子的重合面積；ε為真空介電常數(shù)。加電壓后諧振子與電極單元重合部分的等效徑向剛度，可通過對式(12)中的Δx求偏微分獲得

(13)

表明，加電壓后，電極單元外側(cè)所對諧振子位置的徑向剛度減小了SoutεV2/(x-Δx)3。同理可證，與此同時(shí)電極單元內(nèi)側(cè)所對諧振子位置的徑向剛度減小了SinεV2/(x-Δx)3。因此，加電壓后，小電極單元可看成是2個(gè)加在與電極相鄰的2個(gè)環(huán)上的徑向彈簧，整個(gè)電極可等效為2排徑向彈簧，如圖3 (右圖)所示。內(nèi)側(cè)和外側(cè)等效彈簧的剛度可分別表示為

(14)

式中 t為電極編號，由于Δx?x，因此，忽略了Δx項(xiàng)。則等效彈簧徑向剛度與電壓平方成正比。假設(shè)每個(gè)電極被分成Ne個(gè)電極單元，那么根據(jù)式(11)，對于理想無誤差諧振子，一個(gè)加了電壓V的電極可引起的頻率裂解為

在臨床醫(yī)學(xué)中，冠心病主要是指因?yàn)榛颊卟徽Ｖ|(zhì)代謝，在光滑動脈內(nèi)膜上形成堆積，時(shí)間變成體積變大，從而形成白色斑塊，稱其為動脈硬化，而斑塊的大量堆積會造成患者動脈腔逐漸狹窄，導(dǎo)致血液不暢，引發(fā)心絞痛，對患者日常生活產(chǎn)生了嚴(yán)重影響[1]?，F(xiàn)階段人們生活習(xí)慣與飲食結(jié)構(gòu)發(fā)生極大轉(zhuǎn)變，脂肪攝入主要增多，增加了血液粘稠度，從而很容易誘發(fā)早發(fā)冠心病[2]。本研究中全面分析了誘發(fā)早期冠心病的危險(xiǎn)因素，并應(yīng)用Cox回歸模型分析探討危險(xiǎn)因素與患者預(yù)后的相關(guān)性?，F(xiàn)報(bào)道如下。

(15)

Ne(整個(gè)電極被分成的電極單元個(gè)數(shù))是一個(gè)有限值，因此，每個(gè)電極單元的側(cè)面實(shí)際上仍為圓弧曲面，本文實(shí)際將這些小曲面近似看為平面后才得出式(15)。如果準(zhǔn)確計(jì)算，可令Ne趨于無窮大，則(15)可化為

(16)

式中 φt為電極t的中心角度位置;Rout和Rin為電極兩側(cè)的半徑；h為諧振環(huán)的高度；θ為電極所對圓心角；γt為一個(gè)與諧振子結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)的系數(shù)，可通過實(shí)驗(yàn)測得，并且與電極所處的徑向位置相關(guān)，對于處于相同半徑的電極，該系數(shù)是相同的。那么，與式(16)相應(yīng)的裂解系數(shù)可表示為

(17)

圖3 內(nèi)置修調(diào)電極等效模型

現(xiàn)考慮一帶誤差諧振子，在T個(gè)電極上加電壓進(jìn)行修調(diào)，那么綜合式(9)與式(17)可得修調(diào)后的裂解因子為

(18)

(19)

3 靜電修調(diào)實(shí)驗(yàn)

本文用于修調(diào)實(shí)驗(yàn)的嵌套環(huán)陀螺如圖4所示，諧振結(jié)構(gòu)由9個(gè)環(huán)嵌套而成外側(cè)均布了16個(gè)電極S1～S4組用于本實(shí)驗(yàn)的驅(qū)動和檢測。諧振結(jié)構(gòu)最外環(huán)半徑為4mm，諧振環(huán)高度為150μm，為了方便引線，內(nèi)置電極與外側(cè)檢測電極上均鍍了一層鋁。實(shí)驗(yàn)利用了最外2層的16個(gè)電極進(jìn)行修調(diào)，修調(diào)電極與電源電壓連接，如圖4所示，則式(19)中，T=16。注意到電極的中心角度的位置滿足

φt=(t-1)π/8,t=1,2,…,16

(20)

圖4 本實(shí)驗(yàn)所用陀螺顯微圖以及驅(qū)動檢測電極S1～S4,修調(diào)電極1～16和修調(diào)電路

由于電極位置的特殊性，并且同一半徑位置的電極具有相同的系數(shù)γt，即

γ1=γ3=…=γ15,γ2=γ4=…=γ16

(21)

為保證修調(diào)剛度均勻分布，實(shí)驗(yàn)的修調(diào)電壓也對稱施加如圖5所示，那么修調(diào)方程可進(jìn)一步簡化為

(22)

令式(22)中左邊修調(diào)后裂解因子為0，即可求解修調(diào)電壓。一般地

(23)

修調(diào)過程首先需要測定頻率裂解大小和高頻軸方向，進(jìn)而根據(jù)式(10)可求得裂解系數(shù)的大小。然而振動軸方向的測定過程比較復(fù)雜，而且由于嵌套環(huán)陀螺的振型不是標(biāo)準(zhǔn)的橢圓，測定的誤差也比較大。因此，本實(shí)驗(yàn)只判斷了高頻軸的范圍以及2個(gè)頻率大小，根據(jù)本算法仍然實(shí)現(xiàn)了修調(diào)。具體過程如下：

1)利用掃頻儀進(jìn)行模態(tài)測試，本實(shí)驗(yàn)驅(qū)動與檢測均在相同的4個(gè)對稱電極上，如圖4所示。S1組和S3組電極的頻率響應(yīng)曲線如圖5所示，該諧振子的初始頻率裂解大小為15.53Hz，并且通過該圖可以斷定，高頻軸在S3電極附近，即S2與S4之間。進(jìn)一步測試S2組和S4組電極的頻率響應(yīng)曲線，最終可確定高頻軸在S2～S3之間，即高頻軸在22.5°～45°之間。因此可以確定裂解系數(shù)σc<0,σs>0，根據(jù)式(23)可知，需要加電壓VⅢ和VⅡ進(jìn)行修調(diào)。

圖5 S1和S3組電極頻率響應(yīng)曲線

(24)

(25)

圖6 頻率裂解隨電壓VⅡ變化曲線

3)保持電壓VⅡ=19.80 V，可進(jìn)行裂解系數(shù)σc的修調(diào)。由于σc<0，需要加修調(diào)電壓VⅢ進(jìn)行修調(diào)。此時(shí)，根據(jù)式(22)和式(25)可知

(26)

接下來加電壓VⅢ，從5 V增大到30 V(間隔5 V)，并測試頻率裂解的變化，最終結(jié)果如圖7中數(shù)據(jù)點(diǎn)所示。同樣，曲線為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)向理論式(26)的擬合曲線。根據(jù)擬合曲線2得出敏感系數(shù)γ1的初始估計(jì)值為0.003 77 Hz/V2，將γ1的值以及|σc|=14.50 代入式(23)中對應(yīng)的公式，可算得所需的修調(diào)電壓VⅢ為31.01 V，將VⅢ調(diào)到這個(gè)電壓值后，測得最終頻率裂解如圖8所示，約為0.03 Hz。

圖7 頻率裂解隨電壓VⅢ的變化曲線

圖8 最終修調(diào)后S1和S3頻率響應(yīng)曲線

4 結(jié)束語

本算法將環(huán)形諧振子的修調(diào)模型應(yīng)用到多環(huán)嵌套結(jié)構(gòu)，推導(dǎo)出了直觀且實(shí)用的修調(diào)方程。實(shí)驗(yàn)中的兩條擬合曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)非常吻合，并且最終的修調(diào)結(jié)果也很理想，從而算法的可靠性得到驗(yàn)證。而本算法的應(yīng)用范圍不應(yīng)局限于嵌套環(huán)陀螺或者環(huán)形陀螺，簡單的仿真結(jié)果表明，該算法對半球形以及杯形等對稱型陀螺也同樣適用。

[1] Challoner A D,Ge H H,Liu J Y.Boeing disc resonator gyro-scope[C]∥Navigat Symp,Monterey,CA,USA:IEEE/ION,2014:504-514.

[2] Schwartz D,Kim D,Stupar P,et al.Modal parameter tuning of an axisymmetric resonator via mass perturbation[J].J Micro-electromech Syst,2015,24(3):545-555.

[3] Rourke A K,McWilliam S,Fox C H J.Multi-mode trimming of imperfect thin rings using masses at pre-selected locations[J].J Sound Vibrat,2002,256(2):319-345.

[4] Rourke A K,McWilliam S,Fox C H J.Multi-mode trimming of imperfect rings[J].J Sound Vibrat,2001,248(4):695-724.

[5] Gallacher B J,Hedley J,Burdess J S,et al.Multimodal tuning of a vibrating ring using laser ablation[J].J Mech Eng Sci,2003,217(5):557-576.

[6] Gallacher B J,Hedley J,Burdess J S,et al.Electrostatic correction of structural imperfections present in a microring gyros-cope[J].J Micro-electro-mech Syst,2005,14(2):221-234.

[7] Ayazi F,Najafi K.A HARPSS polysilicon vibrating ring gyro-scope[J].J Micro-electro-mech Syst,2001,10(2):169-179.

[8] Fox C H J.A simple theory for the analysis and correction of frequency splitting in slightly imperfect rings[J].J Sound Vibrat,1990,142(2):227-243.

[9] 賀 琨,崔紅娟,侯占強(qiáng),等.微機(jī)械振動陀螺模態(tài)耦合誤差分析與激光修形方法研究[J].傳感器與微系統(tǒng),2013,32(3):21-24.

[10] 侯占強(qiáng),肖定邦,江 平,等.電容式MEMS器件模態(tài)頻率的電學(xué)測試方法研究[J].傳感器與微系統(tǒng),2008,27(5):12-14.

Algorithm for electrostatic tuning of disk resonator MEMS vibration gyroscope*

YU De-chuan, HE Han-hui, ZHOU Xin, XIAO Ding-bang, WU Xue-zhong

(College of Mechatronics Engineering and Automation,National University of Defense Technology,Changsha 410073,China)

For the resonator operating atn=2 modes,electrostatic tuning is a commonly used method to reduce the permanent frequency mismatch.On the basis of the stiffness perturbation model for a ring,an intuitive and utility algorithm is introduced.In this algorithm,each tuning electrode is regarded as two rows of radial springs with negative stiffness,so that the theoretical model of ring resonator is successfully applied in the disk resonator gyroscope.Finally,the algorithm is verified by electrostatic tuning experiment,and matching of the two modes is realized.Results of experiments show that,the frequency split of resonators is decreased to about 0.03 Hz from original about 15 Hz.

disk MEMS resonator gyroscope; frequency split; frequency tuning; matching of modes

10.13873/J.1000—9787(2017)07—0134—04

2016—09—07

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51335011,51575521)

U 666.1

A

1000—9787(2017)07—0134—04

于得川(1990-)，男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榍短篆h(huán)式MEMS振動陀螺的加工工藝與頻率修調(diào)技術(shù)。