郭竹梅

（安徽科技學(xué)院 信息與網(wǎng)絡(luò)工程學(xué)院，安徽 鳳陽 233100）

一道三角有理函數(shù)不定積分的多種解法

郭竹梅

（安徽科技學(xué)院 信息與網(wǎng)絡(luò)工程學(xué)院，安徽 鳳陽 233100）

三角有理函數(shù)的不定積分是高等數(shù)學(xué)中常見的一種積分類型，其計(jì)算方法靈活多變。一題多解訓(xùn)練是引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法去解答同一道數(shù)學(xué)題的練習(xí)活動(dòng)。通過一道三角有理函數(shù)不定積分的多種解法，同學(xué)們既拓寬了解題思路、又培養(yǎng)了發(fā)散思維。

三角有理函數(shù)；不定積分；一題多解

不定積分是高等數(shù)學(xué)中非常重要的一部分內(nèi)容，但因其題目類型多，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，方法靈活多變，給初學(xué)者帶來很大的困擾。一題多解可以開闊學(xué)生的思路，幫助學(xué)生掌握知識(shí)的縱橫聯(lián)系，此方法特別適合用于不定積分的教學(xué)。近來，已有不少學(xué)者作了此方面的研究[1-4]，本文著重介紹一道三角有理函數(shù)不定積分的多種解法，為廣大學(xué)者提供參考。

1 不定積分的多種解法

初學(xué)者一看到三角有理函數(shù)積分，首先會(huì)想到萬能代換，但此題直接用萬能代換很麻煩，可以先利用三角函數(shù)等式化簡(jiǎn)，再利用萬能代換，見解法1：

解法1：

由于三角等式的應(yīng)用非常靈活，所以對(duì)于三角有理函數(shù)積分，不一定要把它化成有理函數(shù)的積分，見解法2[6]，解法3：

解法2：

根據(jù)不定積分題目自身的結(jié)構(gòu)和三角函數(shù)之間的化簡(jiǎn)，得解法5如下：

解法5：由

2 結(jié)束語

對(duì)于三角有理函數(shù)的積分，最基本的方法是萬能代換。但是從上述不同的解法我們可以看出，通過三角恒等式，分部積分，變量代換等方法可以更簡(jiǎn)單地解決問題。同時(shí)，通過一題多解，可以啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去分析同一道數(shù)學(xué)題，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的目的。

[1] 邢秀俠. 不定積分的一題多解[J]. 教育教學(xué)論壇，2016（15）：245-246.

[2] 景慧麗. 一道不定積分題的多種解法[J]. 玉溪師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2016（4）：24-26.

[3] 于文廣，黃玉娟. 不定積分的一題多解研究[J]. 牡丹江教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2015（10）：130-131.

[4] 屈娜，陳春梅，楊寶珍. 一道三角有理函數(shù)不定積分解法的探討[J]. 安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014（2）：108-109.

[5] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M]. 第七版.北京：高等教育出版社，2016：223.

[6] 彭輝.高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)（同濟(jì)·六版 上下冊(cè)合訂）[M]. 濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2011：240.

（責(zé)任編輯 劉常福）

Multiple Solutions for Indef i nite Integral of a Triangle Rational Function

GUO Zhumei
(School of Information and Network Engineering, Anhui Science and Technology University, Anhui Feng yang 233100, China)

The Integration of triangle rational function is a common integral types in higher mathematics, and its calculation method are flexible. Multiple solutions to a problem training is to guide students to use different methods to solve the same math problem. Through multiple solutions for indef i nite integral of a triangle rational function, students can not only widen their trains of thought, but also foster divergence thinking ability.

triangle rational function; indef i nite integral; multiple solutions

O172.2

A

1674 - 9200（2017）03 - 0038 - 03

2017 - 04 - 12

安徽科技學(xué)院教研項(xiàng)目“過程性考核評(píng)價(jià)教學(xué)模式在《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中的應(yīng)用研究”（X2015065）。

郭竹梅，女，安徽淮北人，安徽科技學(xué)院信息與網(wǎng)絡(luò)工程學(xué)院講師，碩士，主要從事微分方程及其應(yīng)用、矩陣分析研究。