李艷艷

（文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663099）

不可約非奇異M-矩陣最小特征值界的新估計

李艷艷

（文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663099）

分別給出不可約非負(fù)矩陣的上界和不可約非奇異M–矩陣逆矩陣的Hadamard積譜半徑的上界，并在這兩個上界中，令不可約非負(fù)矩陣的元素全為1，同時應(yīng)用不可約非奇異M–矩陣的最小特征值及其逆矩陣譜半徑的關(guān)系式，得到不可約非奇異M–矩陣最小特征值的新下界；理論和實例證明新界精確性有所提高。

不可約非負(fù)矩陣；M–矩陣；Hadamard積；譜半徑；最小特征值

非奇異不可約M-矩陣最小特征值的估計是矩陣分析領(lǐng)域中非常重要的研究課題，因為M-矩陣的最小特征值在M-矩陣?yán)碚撝杏兄匾獞?yīng)用。例如考察微分方程系統(tǒng)=-Ax(t), x(0)=x>0解x(t)的l01范數(shù)界問題，其中A是弱鏈對角占優(yōu)M-矩陣。關(guān)于M-矩陣最小特征值界的估計，文獻[1-3]給出了許多結(jié)果，雖然這些結(jié)果都只與矩陣的元素有關(guān)，但是它們的估計還不是太精確。本文對該問題繼續(xù)研究，給出只與矩陣元素有關(guān)的，且比文獻[1-3]中的估計式更精確的估計式。

1 預(yù)備知識

非負(fù)矩陣A≥0表示所有元素都非負(fù)的矩陣，ρ(A)表示A的譜半徑。τ(A)表示A的最小特征值，且有性質(zhì)，稱為C和D的 Hadamard積（C，D為任意的矩陣）。設(shè)A是n階矩陣，若存在n階置換矩陣P，使B, C，D分別是k, k, l階矩陣，則稱A是可約矩陣，否則就為不可約矩陣。

令Mn表示不可約非奇異M-矩陣的集合，指非主對角元素非正，逆矩陣的元素非負(fù)的矩陣。

下文所提到的矩陣A為非負(fù)不可約矩陣，矩陣B為不可約非奇異M-矩陣

引理1[1]設(shè)E，D，H∈Rn×n，其中C，D是正對角矩陣，I為單位矩陣，H為任意的矩陣，則

引理2[1]設(shè)H=(hij)為任意的n階方陣，則矩陣H的所有特征值都位于區(qū)域

引理3[2]設(shè)B=(bij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣，則B-1=(βij)滿足

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)A=(aij)≥0，B=(bij)∈Mn，B-1=(βij)，且A, B都為不可約矩陣，則有

證明：令λ=ρ(A B-1)。已知矩陣A, B不可約，則B-1也不可約。

由不可約矩陣的定義知G B-1也為不可約非負(fù)矩陣。

根據(jù)引理1有(FV)-1(A B-1)(FV)=(FV)-1A(DU) B-1=G B-1，即ρ(A B-1)=ρ(G B-1)=λ。應(yīng)用引理2中的第一個特征值包含域知，存在i使得

3 數(shù)值算例

占優(yōu)M-矩陣，由定理5得τ(A)≥0.1987。

而應(yīng)用文獻[3]中的估計式得τ(A)≥0.1749。該例進一步驗證了本文的定理5提高了文獻[3]中結(jié)果的精確性。

4 結(jié)語

本文通過構(gòu)造新的非負(fù)矩陣，得到了只與元素有關(guān)的非負(fù)矩陣最小特征值下界新的估計式，并且這兩個估計式提高了文獻[3]中的相應(yīng)結(jié)果。

[1]Horn R A, Johnson C R. Matrix analysis[M].Cambridge University Press, 1995：20-32.

[2]王峰.非奇異M-矩陣的逆矩陣和M-矩陣的Hadamard積的最小特征值下界估計[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2013（2）：13-15.

[3]Chaoqian Li, Yaotang Li，Ruijuan Zhao. New inequalities for the minimum eigenvalue of M- matrices[J].Linear and Multilinear Algebra, 2013（9）：1267-1279.

（責(zé)任編輯 劉常福）

New Estimates of the Minimum Eigenvalue Bounds for Irreducible Nonsingular M- Matrices

LI Yanyan
(School of Mathematics, Wenshan University, Wenshan Yunnan 663099, China)

The paper gives two upper bounds on the spectral radius of the Hadamard product for irreducible nonnegative matrix and irreducible nonsingular M– matrix, then in these upper bounds, lets the elements of irreducible nonnegative matrix be 1, uses the relationship of the minimum eigenvalue of irreducible nonsingular M– matrix and spectral radius of its inverse matrix and obtains the new lower bound of minimum eigenvalue for irreducible nonsingular M– matrix. Theory has proved that the new territories improve the corresponding results in the literature.

irreducible nonnegative matrix; M– matrix; Hadamard product; spectral radius; the minimum eigenvalue

O151.21

A

1674 - 9200（2017）03 - 0035 - 04

2016 - 06 - 20

云南省科技廳應(yīng)用基礎(chǔ)研究項目“關(guān)于兩個Schrodinger方程的數(shù)值解及其相關(guān)問題研究”（2013FD052）。

李艷艷，女，甘肅慶陽人，文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院講師，碩士，主要從事矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用研究。