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        秒殺共線向量求參的方法

        2017-08-08 03:01:38江蘇范賢麗王安寓
        關(guān)鍵詞:類題秒殺共線

        江蘇 范賢麗 王安寓

        秒殺共線向量求參的方法

        江蘇 范賢麗 王安寓

        最近正在復(fù)習(xí)《平面向量》,我在求解平面向量的題目過程中,發(fā)現(xiàn)了一種秒殺共線向量求參數(shù)值的方法.現(xiàn)整理成文,以饗讀者.

        一、秒殺解法的發(fā)現(xiàn)

        【例1】已知向量a=(1,0),b=(2,1),若(ka-b)∥(a+2b),則實(shí)數(shù)k=________.

        【分析】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線的坐標(biāo)公式,涉及簡單的實(shí)數(shù)四則運(yùn)算和解簡單的方程.只須按條件代入坐標(biāo),計算即可.

        上述求解過程中規(guī)中矩,沒有一點(diǎn)可挑剔的.然而我覺得還是“多干活”了——實(shí)際上完全可以不計算坐標(biāo),就能觀察出k的值.

        二、秒殺解法之實(shí)例

        常規(guī)解法與秒殺解法對比,常規(guī)解法多了許多計算,秒殺解法相應(yīng)少了一些計算,甚至心算就行.

        【類題1】已知向量a=(1,0),b=(2,1),若(ka-b)∥(a+3b),則實(shí)數(shù)k=________.

        【秒殺解法】.

        【類題2】已知向量a=(1,2),b=(0,1),設(shè)u=a+kb,v=2a-b,若u∥v,則實(shí)數(shù)k=________.

        【類題3】已知向量a、b滿足|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60°,記c=2a+b,設(shè)d=ma-b,且d∥c,求實(shí)數(shù)m的值.

        【秒殺解法】c=-(-2a-b),∴m=-2.

        【類題4】已知向量a=(2,1),b=(0,-1),若(a-λb)∥a,則實(shí)數(shù)λ=________.

        【秒殺解法】a=a-0·b,∴λ=0.

        三、秒殺解法的理論依據(jù)

        秒殺解法的理論依據(jù)是什么?其實(shí)就是共線向量定理和向量相等的充要條件.

        我們通過以下題目給出解釋.

        【例2】已知a、b是不共線的兩個向量,若8a+kb與ka+2b共線,則實(shí)數(shù)k=________.

        【常規(guī)解法】∵8a+kb與ka+2b共線,∴存在唯一實(shí)數(shù)λ,使得8a+kb=λ(ka+2b),

        ∵a、b是不共線的兩個向量,

        從常規(guī)解法中,我們直觀看到:所謂的共線向量,實(shí)際上就是通過變形,兩個向量是若干倍的關(guān)系.對常規(guī)解法做簡單變形,就得到秒殺解法.

        秒殺解法拋開了坐標(biāo)計算和共線定理的直接應(yīng)用,轉(zhuǎn)化為考查兩個基底的系數(shù)關(guān)系,本質(zhì)上仍是共線向量定理的應(yīng)用.

        四、秒殺解法的應(yīng)用范圍

        秒殺解法的本質(zhì)是:通過觀察找到了共線向量定理中的實(shí)數(shù)λ.如例1中,兩個共線向量的關(guān)系是:a+2b=-2(ka-b);例2中,兩個共線向量的關(guān)系是:ka+2b=.共線向量定理中的實(shí)數(shù)λ一旦找到,求其他參數(shù)就輕而易舉了.

        五、秒殺解法思想遷移

        以上,我們研究了向量a、b不共線(也就是能作為平面向量的基底),秒殺解法對向量a、b共線是否行得通呢?

        【分析】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線的坐標(biāo)公式,涉及簡單的實(shí)數(shù)四則運(yùn)算和解簡單的方程.只須按條件代入坐標(biāo),計算即可.

        上述解法是命題人希望我們采取的解法.其運(yùn)算量稍大.實(shí)際上,我們可以通過向量與自身共線來簡化運(yùn)算.

        【類題1】已知向量a=(1,k),b=(2,2),若(a+b)∥2b,則實(shí)數(shù)k=________.

        我們從以上例3及其類題中看到:已知兩個向量的線性和(差)共線,參數(shù)置入坐標(biāo)中時,往往是兩個向量共線.

        六、對秒殺解法的反思

        個人對秒殺解法的理解是:熟練掌握知識,才能反思出巧的解法.所謂的秒殺解法,實(shí)際上是省略了一些計算過程后呈現(xiàn)少的解法,是普通解法的升級版.其源頭仍是普通解法,即通性通法.我們解完一道題后,要多做一些反思,可以是方法的反思,也可以是解題過程的反思.既可以考慮一題多解,也要考慮多題一解.本文是從多題一解的角度思考的,有不足之處,敬請指正.

        (作者單位:江蘇省南京市六合區(qū)實(shí)驗(yàn)高級中學(xué))

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