江蘇 范賢麗 王安寓

秒殺共線向量求參的方法

江蘇 范賢麗 王安寓

最近正在復(fù)習(xí)《平面向量》，我在求解平面向量的題目過程中，發(fā)現(xiàn)了一種秒殺共線向量求參數(shù)值的方法．現(xiàn)整理成文，以饗讀者．

一、秒殺解法的發(fā)現(xiàn)

【例1】已知向量a＝（1，0），b＝（2，1），若（ka－b）∥（a＋2b），則實(shí)數(shù)k＝________．

【分析】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線的坐標(biāo)公式，涉及簡單的實(shí)數(shù)四則運(yùn)算和解簡單的方程．只須按條件代入坐標(biāo)，計算即可．

上述求解過程中規(guī)中矩，沒有一點(diǎn)可挑剔的．然而我覺得還是“多干活”了——實(shí)際上完全可以不計算坐標(biāo)，就能觀察出k的值．

二、秒殺解法之實(shí)例

常規(guī)解法與秒殺解法對比，常規(guī)解法多了許多計算，秒殺解法相應(yīng)少了一些計算，甚至心算就行．

【類題1】已知向量a＝（1，0），b＝（2，1），若（ka－b）∥（a＋3b），則實(shí)數(shù)k＝________．

【秒殺解法】．

【類題2】已知向量a＝（1，2），b＝（0，1），設(shè)u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，則實(shí)數(shù)k＝________．

【類題3】已知向量a、b滿足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a與b的夾角為60°，記c＝2a＋b，設(shè)d＝ma－b，且d∥c，求實(shí)數(shù)m的值．

【秒殺解法】c＝－（－2a－b），∴m＝－2．

【類題4】已知向量a＝（2，1），b＝（0，－1），若（a－λb）∥a，則實(shí)數(shù)λ＝________．

【秒殺解法】a＝a－0·b，∴λ＝0．

三、秒殺解法的理論依據(jù)

秒殺解法的理論依據(jù)是什么？其實(shí)就是共線向量定理和向量相等的充要條件．

我們通過以下題目給出解釋．

【例2】已知a、b是不共線的兩個向量，若8a＋kb與ka＋2b共線，則實(shí)數(shù)k＝________．

【常規(guī)解法】∵8a＋kb與ka＋2b共線，∴存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得8a＋kb＝λ（ka＋2b），

∵a、b是不共線的兩個向量，

從常規(guī)解法中，我們直觀看到：所謂的共線向量，實(shí)際上就是通過變形，兩個向量是若干倍的關(guān)系．對常規(guī)解法做簡單變形，就得到秒殺解法．

秒殺解法拋開了坐標(biāo)計算和共線定理的直接應(yīng)用，轉(zhuǎn)化為考查兩個基底的系數(shù)關(guān)系，本質(zhì)上仍是共線向量定理的應(yīng)用．

四、秒殺解法的應(yīng)用范圍

秒殺解法的本質(zhì)是：通過觀察找到了共線向量定理中的實(shí)數(shù)λ．如例1中，兩個共線向量的關(guān)系是：a＋2b＝－2（ka－b）；例2中，兩個共線向量的關(guān)系是：ka＋2b＝．共線向量定理中的實(shí)數(shù)λ一旦找到，求其他參數(shù)就輕而易舉了．

五、秒殺解法思想遷移

以上，我們研究了向量a、b不共線（也就是能作為平面向量的基底），秒殺解法對向量a、b共線是否行得通呢？

【分析】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線的坐標(biāo)公式，涉及簡單的實(shí)數(shù)四則運(yùn)算和解簡單的方程．只須按條件代入坐標(biāo)，計算即可．

上述解法是命題人希望我們采取的解法．其運(yùn)算量稍大．實(shí)際上，我們可以通過向量與自身共線來簡化運(yùn)算．

【類題1】已知向量a＝（1，k），b＝（2，2），若（a＋b）∥2b，則實(shí)數(shù)k＝________．

我們從以上例3及其類題中看到：已知兩個向量的線性和（差）共線，參數(shù)置入坐標(biāo)中時，往往是兩個向量共線．

六、對秒殺解法的反思

個人對秒殺解法的理解是：熟練掌握知識，才能反思出巧的解法．所謂的秒殺解法，實(shí)際上是省略了一些計算過程后呈現(xiàn)少的解法，是普通解法的升級版．其源頭仍是普通解法，即通性通法．我們解完一道題后，要多做一些反思，可以是方法的反思，也可以是解題過程的反思．既可以考慮一題多解，也要考慮多題一解．本文是從多題一解的角度思考的，有不足之處，敬請指正．

（作者單位：江蘇省南京市六合區(qū)實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)）