范晉偉，張?zhí)m清，鄔昌軍，劉凱凱

（北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124）

偏心軸隨動(dòng)磨削數(shù)學(xué)模型的研究

范晉偉，張?zhí)m清，鄔昌軍，劉凱凱

（北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124）

針對(duì)偏心軸隨動(dòng)磨削中存在的加工精度問(wèn)題，通過(guò)建立隨動(dòng)數(shù)控磨床運(yùn)動(dòng)之間的數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)出理想的砂輪切削點(diǎn)的軌跡方程并進(jìn)行MATLAB仿真，根據(jù)隨動(dòng)磨削運(yùn)動(dòng)特性推導(dǎo)出磨削設(shè)計(jì)約束方程，并分析了偏心軸在恒線(xiàn)速度加工條件下砂輪中心位移變化值，為了保證砂輪磨削點(diǎn)與擺軸頸的任意加工點(diǎn)相切，對(duì)相關(guān)參數(shù)并進(jìn)行離散化，且對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行了有效修正，為后續(xù)誤差補(bǔ)償做鋪墊，以達(dá)到提高加工精度的目的。

偏心軸；加工精度；隨動(dòng)磨削；數(shù)學(xué)模型；

0 引言

如今工業(yè)機(jī)器人開(kāi)始逐漸運(yùn)用于各個(gè)領(lǐng)域，其發(fā)展質(zhì)量和水平很大程度上代表一個(gè)國(guó)家的工業(yè)發(fā)達(dá)水平[1]。偏心軸作為工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)處RV減速器中的核心部件[2]，一般用于低速或靜止調(diào)節(jié)位置，要求體積小，加工精度高。因此其加工質(zhì)量和加工效率直接制約著工業(yè)機(jī)器人的發(fā)展。RV減速器偏心軸隨動(dòng)磨床是磨削偏心軸的工作母機(jī)如圖1所示，對(duì)其自身的精度要求更高，然而磨床自身的磨損和人為因素誤差影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于零件表面粗糙度誤差的影響，成為影響整體零件的加工質(zhì)量的主要因素，所以必須采取有效措施加以解決。

磨床的各運(yùn)動(dòng)部件存在的動(dòng)靜態(tài)誤差是影響加工精度的根源，要對(duì)這些誤差進(jìn)行有效的補(bǔ)償，首要問(wèn)題就是建立精確的數(shù)控機(jī)床空間誤差模型。1967年French和Humphries等首先用三角關(guān)系法建立起了三軸機(jī)床的幾何誤差模型[3]。1986年Donmez[4]等人提出了一種通用誤差建模和補(bǔ)償?shù)姆椒ā?990年Elshennaway等人用剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)對(duì)測(cè)量機(jī)的幾何誤差進(jìn)行了建模分析[5]。1993年Kiridena等用機(jī)構(gòu)學(xué)法建立了RRTTT、RTTTR、TTTRR等形式的五坐標(biāo)機(jī)床的空間幾何誤差模型，此后這種方法被較廣泛地用于各種多軸機(jī)床的空間幾何誤差建模[6]。浙江大學(xué)的鄔義杰[7]研究了多面形隨動(dòng)軸的磨削成形原理及數(shù)控加工技術(shù)，根據(jù)磨削速度相對(duì)的原則建立了磨削運(yùn)動(dòng)方程，推出了針對(duì)多面形非圓曲面磨削的插補(bǔ)算法遞推公式。華中科技大學(xué)謝勝泉[8]建立了砂輪跟蹤控制模型，并研究出新的跟蹤控制算法。上海機(jī)床廠有限公司采用西門(mén)子公司的840D開(kāi)放式數(shù)控系統(tǒng)和611D數(shù)字式交流伺服驅(qū)動(dòng)器，通過(guò)植入隨動(dòng)磨削控制軟件對(duì)數(shù)控系統(tǒng)進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)，研制了H405-BF汽車(chē)曲軸隨動(dòng)跟蹤磨床[9]。江西杰克機(jī)床有限公司的“數(shù)控高速隨動(dòng)曲軸磨床”系列中，JKM8240數(shù)控高速隨動(dòng)曲軸連桿頸磨床和JKM8140數(shù)控高速隨動(dòng)曲軸主軸頸磨床具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)[10]。而現(xiàn)如今針對(duì)隨動(dòng)式RV減速器偏心軸的磨床研究還很少，但最近北京第二機(jī)床廠初有成效，生產(chǎn)了一套整機(jī)設(shè)備，機(jī)床整體技術(shù)達(dá)到國(guó)際領(lǐng)先技術(shù)水平，但在加工精度上還需進(jìn)一步有效提高。本文通過(guò)數(shù)學(xué)建模，并從砂輪磨削點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡、跟蹤磨削設(shè)計(jì)約束方程、恒線(xiàn)速度下砂輪中心位置變化，建立幾何關(guān)系進(jìn)行求解，并進(jìn)行MATLAB仿真，找出誤差來(lái)源，為誤差補(bǔ)償做鋪墊，并應(yīng)用于實(shí)踐生產(chǎn)之中。

圖1 偏心軸隨動(dòng)磨床三視簡(jiǎn)圖

1 砂輪磨削點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡

偏心軸磨削加工過(guò)程中，偏心軸繞主軸頸中心O旋轉(zhuǎn)，同時(shí)砂輪沿著X軸方向做往復(fù)跟蹤運(yùn)動(dòng)，使得砂輪在磨削時(shí)始終與擺軸頸保持相切，保證擺軸頸加工的形狀。如圖2隨動(dòng)磨削運(yùn)動(dòng)示意圖，以主軸頸中心O為圓點(diǎn)，建立X-O-Y坐標(biāo)系，以砂輪中心點(diǎn)O1為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立X-O1-Y坐標(biāo)系，X軸正方向均為砂輪遠(yuǎn)離偏心軸方向。通過(guò)坐標(biāo)系對(duì)工件與砂輪的切點(diǎn)進(jìn)行描述。切點(diǎn)在曲軸主軸坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)表達(dá)為加工工件時(shí)所有磨削切點(diǎn)位置，而切點(diǎn)在砂輪中心坐標(biāo)系的位置表達(dá)為磨削點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。

圖2 偏心軸隨動(dòng)數(shù)控磨削數(shù)學(xué)模型

假設(shè)初始條件下，偏心軸相對(duì)于水平軸的旋轉(zhuǎn)角度為0，偏心軸轉(zhuǎn)過(guò)角θ后根據(jù)上圖在X-O-Y坐標(biāo)系中，由三角函數(shù)關(guān)系式可得出切點(diǎn)p坐標(biāo)(Xp,Yp)表達(dá)式為：

在三角形OO1O2中三角形正弦定理簡(jiǎn)化可得：

而在XO1Y坐標(biāo)系中有：

在三角形O1O2中，利用正弦定理得：

聯(lián)立式(6)、式(7)可得：

令e=2mm，R1=30mm，R2=300mm，利用MATLAB畫(huà)出擺軸軸徑在磨削過(guò)程中所有切點(diǎn)位置在X-O-Y中的軌跡圖像。由圖3知，其圖形近似為橢圓。

圖3 砂輪安裝誤差與加工誤差關(guān)系圖

在圖中，封閉曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線(xiàn)與水平軸正向的夾角（逆時(shí)針）表示對(duì)應(yīng)時(shí)刻偏心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度。由圖中可以看出，工件在磨削加工過(guò)程中，砂輪與工件的切點(diǎn)是不斷變化的，這種情況對(duì)工件的尺寸大小，形狀精度，表面粗糙度，波紋度，磨削力等都會(huì)產(chǎn)生影響，所以，保證磨削點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在精密加工中非常重要。

2 跟蹤磨削設(shè)計(jì)的約束方程

分別以偏心軸心軸中心，擺軸中心，砂輪架中心建立與各自部件固連的坐標(biāo)系為X1O1Y1，XbObYb，X2O2Y2，并且在心軸中心建立固定不動(dòng)的大地坐標(biāo)系X0O0Y0，如圖4所示。

圖4 偏心軸隨動(dòng)數(shù)控磨削數(shù)學(xué)模型

當(dāng)位于初始位置時(shí)，所有坐標(biāo)系坐標(biāo)軸都與大地坐標(biāo)系平行，坐標(biāo)系X1O1Y1，X2O2Y2，XbObYb原坐標(biāo)分別為（0，0），（L，0），（e，0），砂輪可沿X軸平行移動(dòng)，位移量參數(shù)為x，偏心軸可繞心軸中心轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)角為1。設(shè)在擺軸中心坐標(biāo)系中有一個(gè)起點(diǎn)（0，0），終點(diǎn)為任意點(diǎn)P的矢量r，其與擺軸中心坐標(biāo)系Xb的夾角為2θ，則任意點(diǎn)P在擺軸中心坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為：

根據(jù)坐標(biāo)變換原理，任意點(diǎn)P在偏心軸心軸中心坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為：

任一點(diǎn)P在大地坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為：

砂輪中心在大地坐標(biāo)系的坐標(biāo)為：

現(xiàn)在大地坐標(biāo)系中令任意點(diǎn)P與砂輪中心相重合，得到偏心軸加工過(guò)程的瞬時(shí)方程：

于是首先求得砂輪在某一瞬時(shí)相對(duì)于其初始位置的位移量為：

在擺軸中心坐標(biāo)系中，砂輪繞擺軸中心的轉(zhuǎn)角為：

在擺軸中心坐標(biāo)系中，砂輪繞擺軸中心的轉(zhuǎn)動(dòng)速度為：

圖5 不同砂輪繞擺軸中心轉(zhuǎn)速對(duì)比圖

3 偏心軸恒線(xiàn)速度條件下建模與分析

由于主軸頭架采用恒轉(zhuǎn)速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，擺軸上的磨削點(diǎn)相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)中心的速度和受力狀態(tài)是時(shí)刻變化的，因此為想實(shí)現(xiàn)偏心軸精密磨削，應(yīng)該采取主軸在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中應(yīng)為變速運(yùn)動(dòng)，且工件磨削點(diǎn)相對(duì)于擺軸中心為恒線(xiàn)速度運(yùn)動(dòng)，砂輪架進(jìn)行對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)角度的往復(fù)跟蹤運(yùn)動(dòng)，才能達(dá)到精密磨削的加工要求。

圖6 磨削點(diǎn)在擺軸上的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖6 中，A點(diǎn)為曲軸轉(zhuǎn)角θ為零時(shí)的磨削點(diǎn)，P為任意時(shí)刻的加工點(diǎn)，弧AP為曲軸磨削點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，其圓弧長(zhǎng)度記為S，則：

對(duì)式(19)兩邊求積分，并整理得：

由于頭架為非恒轉(zhuǎn)速度運(yùn)動(dòng)，這里n用來(lái)表示頭架旋轉(zhuǎn)的平均轉(zhuǎn)速，且式(20)滿(mǎn)足以下邊界條件：

如圖6所示，在三角形OO1O2中，由余弦定理知：

砂輪中心O1到主軸頸中心O的距離為x，則：

令偏心軸尺寸e=2mm，R1=30mm，R2=300mm，在恒線(xiàn)速度磨削的條件下，工件坐標(biāo)系內(nèi)偏心軸任意轉(zhuǎn)角的砂輪中心點(diǎn)位置如圖7所示，其描述了偏心軸旋轉(zhuǎn)一周過(guò)程中，砂輪中心位移值變化規(guī)律圖像。

圖7 隨動(dòng)磨削X軸運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)

利用式(25)，以1°或0.5°（離散采樣區(qū)間）為采樣周期，對(duì)磨床頭架旋轉(zhuǎn)一周范圍內(nèi)值進(jìn)行離散化，得到相應(yīng)的x值，即數(shù)控系統(tǒng)發(fā)出指令驅(qū)動(dòng)位置信息。

試驗(yàn)設(shè)3個(gè)處理，3次重復(fù)，隨機(jī)區(qū)組排列，小區(qū)面積8 m2。壟寬50 cm，溝寬30 cm，株距20 cm，密度12.45萬(wàn)株/hm2。生長(zhǎng)期視墑情澆水，蓮座期、結(jié)球期分別隨澆水追施尿素1次，每次用量為225 kg/hm2。苗期中耕鋤草，其他按常規(guī)管理。

又式(22)與式(24)聯(lián)立，得：

通過(guò)上述的數(shù)據(jù)列表，可以獲得一系列的加工數(shù)據(jù)點(diǎn)，原則上θ值的離散區(qū)間越小，加工誤差就會(huì)越小，但在實(shí)際加工中，取小的離散區(qū)間會(huì)為數(shù)控系統(tǒng)帶來(lái)繁瑣，過(guò)大區(qū)間會(huì)導(dǎo)致較大的輪廓誤差。因此需要有一個(gè)合理的采樣區(qū)間選擇標(biāo)準(zhǔn)來(lái)方便工程人員參考。

4 偏心軸運(yùn)動(dòng)方程修正

由式(25)和式(28)確定的運(yùn)動(dòng)方程可知，在磨削擺軸頸時(shí)，被磨表面各點(diǎn)的磨削厚度會(huì)隨偏心軸轉(zhuǎn)角變化，為了讓磨削過(guò)程中任意時(shí)刻的當(dāng)量磨削厚度相等有必要對(duì)運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行修正。依照“磨削點(diǎn)在擺軸頸上勻速運(yùn)動(dòng)的原則”確定偏心軸的變速轉(zhuǎn)動(dòng)不作調(diào)整，而是對(duì)砂輪中心的水平位移x疊加一個(gè)修正位移量來(lái)抵消運(yùn)動(dòng)方程導(dǎo)致的誤差。由當(dāng)量磨削厚度公式可知：

式中ap為磨削深度；vw為工件上磨削點(diǎn)的速度；vs為砂輪上磨削點(diǎn)的速度。

由于磨削點(diǎn)在擺軸頸上勻速運(yùn)動(dòng)，則vw、vs均視為常量，當(dāng)量磨削厚度只與磨削深度有關(guān)。則在任意時(shí)刻磨削點(diǎn)法向深度可由以下公式計(jì)算：

式中α0為普通外圓磨床狀態(tài)下磨削深度；αi為對(duì)應(yīng)任意偏心軸旋轉(zhuǎn)角度因隨動(dòng)磨削加工產(chǎn)生的加工深度。

消除隨動(dòng)磨削產(chǎn)生的附加磨削深度,應(yīng)沿磨削點(diǎn)法向疊加一個(gè)修正位移量axi，即應(yīng)滿(mǎn)足axi=-ai（i=0，1，2，3，…，360），當(dāng)然要想定量的確定axi的變化值還要依靠實(shí)驗(yàn)結(jié)果。對(duì)式(25)進(jìn)行修正，將axi想水平軸X投影得：

5 結(jié)論

本文首先通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型分析了隨動(dòng)磨削機(jī)床加工偏心軸的加工特性并運(yùn)用MATLAB仿真，直觀的再現(xiàn)了磨削點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。其次根據(jù)隨動(dòng)磨削運(yùn)動(dòng)特性推導(dǎo)出磨削設(shè)計(jì)約束方程并得出了當(dāng)偏心軸轉(zhuǎn)速恒定條件下，砂輪磨削速度是變化的，當(dāng)砂輪半徑在一定范圍內(nèi)，取值越大時(shí)，砂輪圍繞擺軸轉(zhuǎn)動(dòng)的速度變化越小。另外分析了偏心軸在恒線(xiàn)速度加工條件下砂輪中心位移變化值，為了保證砂輪磨削點(diǎn)與擺軸頸的任意加工點(diǎn)相切，對(duì)參數(shù)、x并進(jìn)行離散化，最后對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行了有效修正。其結(jié)果對(duì)以后投入實(shí)踐生產(chǎn)，開(kāi)發(fā)出特定的偏心軸磨床誤差補(bǔ)償技方法，提高加工偏心軸的生產(chǎn)質(zhì)量和效率提供了必要的條件。

[1] 王慶明.先進(jìn)制造技術(shù)導(dǎo)論[M].華東化工學(xué)院出版社,2007.

[2] 范晉偉,寧堃.提高曲軸磨削精度的幾何誤差補(bǔ)償技術(shù)[M].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造,2012.

[3] D.French, S.H.Humphries. Compensation for backlash and alignment errors in a numerically controlled machine-tool by a digital computer program[J].M.T.D.R.Conf. Proc,1967.

[4] Donmez A.,Lee K.Liu C.R.,and Barash M.M.A general methodology for machine tool accuracy enhancement by error compensation[J].Precis.Eng.1986,8(4):187-196.

[5] Elshennaway A.K.,Ham I. Performance improvement in coordinate measuring machine by error compensation[J].Journal of Manufacturing Systems,1990,9(2):151-158.

[6] Lin P D, Ehmann K F. Direct Volumetric Error Evaluation of Multi-Axis Mchines[J].Int.J.of Mach. Tools Manufacture.1993,33(5):675-693.

[7] 鄔義杰,項(xiàng)占琴.多面形非圓曲面數(shù)控磨削加工實(shí)時(shí)插補(bǔ)方法研[J].中國(guó)機(jī)械工程,2004,15(8):728-730.

[8] 謝勝泉,段正澄.自適應(yīng)跟蹤算法在非圓柱表面磨削加工中的應(yīng)用[J].中國(guó)機(jī)械工程,1998,9(7):7-9.

[9] 趙廣興.H405-BF數(shù)控專(zhuān)用磨床[J].設(shè)備管理與維修.2006,(10):42.

[10] 資訊看板.數(shù)控機(jī)床市場(chǎng)[J].2011,(5):14.

Study on mathematical model of follow-up grinding of eccentric shaft

FAN Jin-wei, ZHANG Lan-qing, WU Chang-jun, LIU Kai-kai

TH114；TG659

：A

1009-0134(2017)07-0106-05

2017-03-23

北京市教委基金項(xiàng)目（51275014）

范晉偉（1965 -），男，河南西平人，教授，博士，研究方向?yàn)閿?shù)控磨床可靠性與超精密加工。