程 博 袁建平 錢霙婧 馬衛(wèi)華

1.西北工業(yè)大學(xué)，西安 7100722.北京宇航系統(tǒng)工程研究所, 北京 1000763.航天飛行動力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 西安 7100724.北京工業(yè)大學(xué)，北京100124

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近圓參考軌道脈沖懸停及其軌跡安全分析方法

程 博1,2,3袁建平1,3錢霙婧4馬衛(wèi)華1,3

1.西北工業(yè)大學(xué)，西安 7100722.北京宇航系統(tǒng)工程研究所, 北京 1000763.航天飛行動力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 西安 7100724.北京工業(yè)大學(xué)，北京100124

基于航天器相對運(yùn)動的C-W方程及其解析解，研究了空間相對懸停的脈沖控制方法，給出了相對懸停脈沖控制量的計(jì)算方法，降低了對空間懸停任務(wù)航天器控制推進(jìn)系統(tǒng)的要求，有利于工程實(shí)現(xiàn)。以兩航天器相對軌道機(jī)動過程中的碰撞概率計(jì)算方法為基礎(chǔ)，對相對懸停的軌跡安全風(fēng)險進(jìn)行了量化分析。數(shù)值仿真算例顯示，本文方法可實(shí)現(xiàn)圓或近圓參考軌道上的空間相對懸停，且縮短懸停軌道機(jī)動周期，有利于懸停效果的提升。懸停相對運(yùn)動過程中，懸停碰撞概率的極值點(diǎn)與兩航天器相對距離的最小值幾乎同時出現(xiàn)。

近圓軌道；相對懸停；脈沖；碰撞概率；軌跡安全

隨著人類對空間研究、開發(fā)與應(yīng)用能力的不斷提升，各國開展的及計(jì)劃開展的航天任務(wù)的復(fù)雜程度不斷提高，研制的航天器在結(jié)構(gòu)、組成和性能等方面的技術(shù)水平不斷進(jìn)步。因此，對于以在軌燃料加注、維護(hù)修復(fù)、功能更換和升級以及在軌組裝等為內(nèi)容的在軌服務(wù)技術(shù)的需求越來越迫切[1]。

作為在軌服務(wù)技術(shù)重要支撐的航天器相對懸停技術(shù)逐漸成為航天工程領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。航天器相對懸停是指通過力和力矩控制，保持主動航天器相對目標(biāo)航天器的位置始終保持不變，仿佛是靜止懸停于某個固定點(diǎn)上[2]。

目前，針對航天器懸停技術(shù)的研究主要基于連續(xù)推力條件，要求主動航天器的推進(jìn)系統(tǒng)能夠提供大小和方向均連續(xù)可變的控制加速度。在實(shí)際工程應(yīng)用中，以現(xiàn)有的航天器控制推進(jìn)技術(shù)，實(shí)現(xiàn)對軌道控制推力的連續(xù)精確調(diào)節(jié)仍非常困難。因此近年來有學(xué)者基于線性相對運(yùn)動模型，開展了航天器懸停的脈沖推力控制方法研究[3-4]。

在對航天器相對懸停的控制方法進(jìn)行研究的同時，其軌跡安全也是需要重點(diǎn)關(guān)注的方面。尤其是近距離相對懸停的航天任務(wù)，相對標(biāo)稱懸停點(diǎn)的偏離以及相對懸停的軌道機(jī)動過程都極有可能導(dǎo)致兩航天器發(fā)生碰撞，產(chǎn)生災(zāi)難性后果?；谂鲎哺怕实乃枷耄辔粚W(xué)者研究了空間目標(biāo)相對運(yùn)動的安全問題，給出了空間相對運(yùn)動安全性的量化方法[5-7]。

本文基于航天器相對運(yùn)動C-W方程的解析解，給出了航天器相對懸停的脈沖方法，實(shí)現(xiàn)了脈沖推力作用下的圓或近圓參考軌道的空間相對懸停控制。首先介紹了航天器空間相對運(yùn)動的C-W方程及其解析解，建立了相對運(yùn)動的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣描述形式，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了基于相對運(yùn)動狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的懸停脈沖控制量線性計(jì)算方法，用以確定脈沖懸停的軌道轉(zhuǎn)移速度脈沖增量。其次，基于量化的碰撞概率模型給出了空間相對懸停運(yùn)動的軌跡安全分析方法，建立了碰撞概率密度模型，并在航天器結(jié)構(gòu)球形包絡(luò)及總包絡(luò)球內(nèi)的概率密度均勻的條件下給出了相對懸停運(yùn)動的碰撞概率計(jì)算方法，用于相對懸停的軌跡安全分析。

本文提出的方法可采用具備多次啟停功能的大推力軌控發(fā)動機(jī)實(shí)現(xiàn)軌道機(jī)動的沖量控制，有利于工程實(shí)現(xiàn)?；谂鲎哺怕实南鄬彝＼壽E安全分析方法能夠?qū)︼L(fēng)險進(jìn)行量化，分析結(jié)果相對可靠。數(shù)值仿真算例顯示，該方法可滿足圓或近圓參考軌道下一定精度的空間相對懸停任務(wù)的控制需求，碰撞概率與懸停運(yùn)動的相對位置相關(guān)，對軌跡安全的分析相對更加客觀和可信。

1 相對懸停動力學(xué)

為了對航天器懸停的相對運(yùn)動過程進(jìn)行描述，引入J2000地心赤道慣性坐標(biāo)系O-XYZ(簡稱“慣性坐標(biāo)系”)和目標(biāo)航天器質(zhì)心軌道坐標(biāo)系o-xyz(簡稱“軌道坐標(biāo)系”)。如圖1所示，慣性坐標(biāo)系的原點(diǎn)在地心O上，X軸在赤道面內(nèi)指向春分點(diǎn)，Y軸在赤道面內(nèi)與X軸垂直指向東，Z軸與X軸、Y軸構(gòu)成右手正交坐標(biāo)系。軌道坐標(biāo)系的原點(diǎn)在目標(biāo)航天器質(zhì)心o上，x軸沿地心指向目標(biāo)航天器方向，y軸在軌道平面上與x軸垂直，指向航天器的速度方向，z軸和x軸、y軸構(gòu)成右手正交坐標(biāo)系。

圖1 航天器懸停坐標(biāo)系(交換了y軸和z軸)

如圖1所示，在目標(biāo)航天器軌道坐標(biāo)系下，主動航天器相對目標(biāo)航天器運(yùn)動的動力學(xué)方程如下[8]：

(1)

對于一般的空間相對懸停任務(wù)，兩航天器的相對懸停距離ρ及其分量與參考軌道半徑相比為小量，故他們的模之比的二階及二階以上項(xiàng)為高階小量，簡化計(jì)算時可以略去，則式(1)可簡化成：

(2)

若參考軌道為圓或近圓軌道，則其軌道角速度為常值。

假設(shè)主動航天器不受外力作用，以自由飛行狀態(tài)與目標(biāo)航天器相對運(yùn)動。對式(2)進(jìn)一步簡化得：

(3)

式(3)即為描述航天器相對運(yùn)動的C-W方程，也稱希爾方程(Hill’sequations)[9-10]。對式(3)的微分方程組進(jìn)行求解，并將解析解寫成狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的形式。

(4)

在相對運(yùn)動初始時刻狀態(tài)已知的情況下，應(yīng)用式(4)可對任意時刻的相對運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)行求解。

2 脈沖懸停方法

航天器相對懸停的本質(zhì)也是一種相對運(yùn)動，只是懸停運(yùn)動的相對位置始終保持不變。脈沖懸停是以航天器脈沖變軌的軌道機(jī)動形式進(jìn)行相對位置控制的一種懸停方式。主動航天器在實(shí)施懸?？刂茣r，在懸停點(diǎn)施加速度沖量進(jìn)行脈沖變軌，其軌道轉(zhuǎn)移的目標(biāo)點(diǎn)仍設(shè)置為初始的懸停位置，當(dāng)脈沖變軌的周期足夠短或滿足工程任務(wù)需求，則可近似認(rèn)為2個航天器實(shí)現(xiàn)了“持續(xù)”的相對懸停。

將式(4)的相對運(yùn)動狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣寫成矩陣組合的形式：

(5)

式中,4個子陣均為三維方陣，則式(4)可寫成：

(6)

(7)

應(yīng)用本節(jié)給出的脈沖相對懸停的概念，使主動航天器相對目標(biāo)航天器軌道機(jī)動終止時刻的相對位置與初始時刻相同。則由式(6)可得：

(8)

式中，v0+為主動航天器進(jìn)行懸停軌道機(jī)動時的初始速度，將其代入式(7)可得：

(9)

vt為相對懸停軌道機(jī)動終止時刻主動航天器相對目標(biāo)航天器的速度。

對于相對懸停的2個航天器，主動航天器在施加速度脈沖實(shí)施懸停軌道機(jī)動前應(yīng)相對目標(biāo)航天器靜止。主動航天器經(jīng)過1個脈沖軌道機(jī)動再次到達(dá)目標(biāo)懸停點(diǎn)后，仍要求相對目標(biāo)航天器靜止，則可得脈沖懸停的初始速度沖量Δv0和終止速度沖量Δvt分別為：

(10)

適當(dāng)選擇脈沖相對懸停的周期，持續(xù)循環(huán)實(shí)施相對懸停的軌道機(jī)動脈沖可以實(shí)現(xiàn)速度沖量控制下的近似相對懸停。

在求解脈沖懸停速度沖量的大小時，三維方陣φ12的可逆性是需要關(guān)注的問題。求解φ12的行列式，可得：

(11)

根據(jù)矩陣可逆的充要條件，當(dāng)φ12的行列式det(φ12)≠0時，三維方陣φ12可逆。故式(12)中的條件應(yīng)同時滿足[11]，

(12)

為了得到近似持續(xù)的相對懸停，主動航天器軌道機(jī)動的周期應(yīng)小于參考軌道周期，因此僅考慮相對運(yùn)動時間t∈[0,2π/ω)的情況。由式(12)第1式可得相對運(yùn)動的時間t≠0，則可將相對運(yùn)動時間的討論范圍進(jìn)一步縮小為一個開區(qū)間t∈(0,2π/ω)。下面對式(12)的第2式的不等式條件進(jìn)行分析。

設(shè)θ=ωt，θ∈(0,2π)。對式(12)的第2式進(jìn)行變量代換，并構(gòu)造如下函數(shù)：

f(θ)=8-8cos(θ)-3θsin(θ)

(13)

對式(13)求一階導(dǎo)，f′(θ)=0的點(diǎn)即為函數(shù)f(θ)的極值點(diǎn)?？傻脴O值點(diǎn)對應(yīng)的變量θm滿足如下條件：

(14)

由式(14)可得，θm應(yīng)為函數(shù)g(θ)=tan(θ)和直線h(θ)=3θ/5交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且在函數(shù)定義域θ∈(0,2π)內(nèi)僅有1個交點(diǎn)，故函數(shù)f(θ)在其定義域內(nèi)僅有1個極值點(diǎn)。

顯然式(13)的函數(shù)f(θ)在θ∈(0,2π)連續(xù)，又f(0)=f(2π)=0，故函數(shù)f(θ)在其定義域內(nèi)無零點(diǎn)，即式(12)的第2式在t∈(0,2π/ω)內(nèi)成立。主動航天器相對目標(biāo)航天器脈沖懸停時，軌道機(jī)動的周期t∈(0,2π/ω)時，φ12可逆。

3 基于碰撞概率的懸停軌跡安全分析

基于本文第2節(jié)的方法可以有效建立以脈沖推力為控制手段的航天器相對懸停系統(tǒng)。但該方法在理論推導(dǎo)時進(jìn)行了簡化，舍去了動力學(xué)模型中的高階小量，會對懸停精度和穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。同時在實(shí)際的空間懸停任務(wù)中，因地球非球形引力攝動等各類空間攝動力對航天器軌道的影響，使得主動航天器相對目標(biāo)航天器的懸停點(diǎn)會發(fā)生緩慢的“漂移”，給長期懸停任務(wù)，特別是近距離長期懸停任務(wù)的系統(tǒng)安全性帶來無法忽視的影響。本節(jié)基于碰撞概率的思想，對相對懸停的軌跡安全進(jìn)行分析。

設(shè)初始時刻主動航天器和目標(biāo)航天器相對狀態(tài)分布的協(xié)方差矩陣為CX0，軌道機(jī)動t時刻的相對狀態(tài)分布的協(xié)方差矩陣為CXt。由式(4)可得2個協(xié)方差矩陣的傳遞關(guān)系:

(15)

相應(yīng)的，相對位置隨機(jī)向量的協(xié)方差矩陣CR為相對狀態(tài)隨機(jī)向量協(xié)方差矩陣CX的左上角3×3子陣。

(16)

為了計(jì)算相對懸停的2個航天器的碰撞概率，將航天器的外形簡化成一個包絡(luò)球，其球心為航天器質(zhì)心。將目標(biāo)航天器和主動航天器的包絡(luò)球結(jié)合成一個總包絡(luò)球V，其半徑為2個航天器包絡(luò)球半徑之和。如果讓目標(biāo)航天器的質(zhì)心與總包絡(luò)球球心重合，則主動航天器相對目標(biāo)航天器的相對位置落在總包絡(luò)球內(nèi)的部分表示2個航天器發(fā)射了碰撞。于是，相對懸停飛行器的瞬時碰撞概率可以通過在總包絡(luò)球內(nèi)對相對位置的概率密度函數(shù)式(16)進(jìn)行積分獲得。

(17)

如果總包絡(luò)球內(nèi)的相對位置概率密度較均勻，為簡化計(jì)算，可以用總包絡(luò)球球心處的概率密度近似代替整個總包絡(luò)球的概率密度，則碰撞概率可用下式簡化計(jì)算

(18)

在進(jìn)行航天器懸停的軌跡安全分析時，預(yù)先設(shè)定碰撞概率的預(yù)警值Palarm，當(dāng)2個航天器相對懸停運(yùn)動的懸停點(diǎn)發(fā)生“漂移”，使得某時刻其瞬時碰撞概率大于預(yù)設(shè)的預(yù)警值，則實(shí)施軌道機(jī)動，修正懸停運(yùn)動的懸停點(diǎn)，確保2個航天器相對懸停的安全性。

4 建模仿真

對文中給出的航天器相對懸停方法及相對懸停軌跡安全分析方法進(jìn)行仿真。仿真算例中，目標(biāo)航天器運(yùn)行在圓軌道上，其軌道參數(shù)如表1所示。

表1 目標(biāo)航天器初始條件

4.1 航天器脈沖懸停

設(shè)初始時刻主動航天器相對目標(biāo)航天器的位置ρ0(單位：km)和速度v0(單位：km/s)在目標(biāo)航天器軌道坐標(biāo)系下的分量分別為：

理論懸停點(diǎn)d與2個航天器初始時刻的相對位置ρ0相同。分別選擇在1個軌道周期內(nèi)進(jìn)行5次、10次和20次脈沖懸停，且每次脈沖變軌時間相同。圖2給出了主動航天器相對目標(biāo)航天器脈沖懸停的相對運(yùn)動軌跡的仿真結(jié)果。

圖2 脈沖懸停相對運(yùn)動軌跡

由圖2可知，主動航天器相對目標(biāo)航天器的每一次相對運(yùn)動，其起點(diǎn)和終點(diǎn)都在預(yù)先設(shè)定的懸停點(diǎn)附近，且懸停脈沖數(shù)越多，相對運(yùn)動軌跡越平滑，即主動航天器在懸停點(diǎn)附近的相對運(yùn)動越穩(wěn)定。本文給出的航天器懸停方法可有效實(shí)現(xiàn)圓或近圓參考軌道上的脈沖相對懸停。

4.2 相對懸停軌跡安全分析

設(shè)相對懸停的初始相對位置和速度與上例相同?？偘j(luò)球半徑為100m，初始時刻的相對狀態(tài)中相對位置測量量的標(biāo)準(zhǔn)差為150m，相對速度測量量的標(biāo)準(zhǔn)差為0.25m/s，則初始時刻相對狀態(tài)協(xié)方差矩陣的對角線元素為其對應(yīng)相對狀態(tài)標(biāo)準(zhǔn)差的平方，非對角線元素均為0。

選擇在1個軌道周期內(nèi)進(jìn)行4次脈沖懸停，連續(xù)進(jìn)行8次脈沖懸停軌道機(jī)動。圖3給出了這8次脈沖懸停軌道機(jī)動過程中主動航天器相對目標(biāo)航天器相對距離的大小，圖4給出了軌道機(jī)動過程中碰撞概率的變化情況。

圖3 脈沖懸停相對距離

由圖3可以看出，隨著脈沖懸停的持續(xù)，軌道機(jī)動初始和終止時刻2個航天器的相對距離逐漸變化，即懸停位置的實(shí)際值相對理論值出現(xiàn)了偏差，這是由于本文給出的航天器相對懸停方法的動力學(xué)模型略去了二階及二階以上的高階小量，存在一定的模型誤差。同時，2個航天器相對距離的最小值也在發(fā)生變化。圖3顯示本算例的相對距離最小值逐漸減小，這一變化理論上可使相對懸停過程中2個航天器發(fā)生碰撞的可能性逐漸增大。

圖4 脈沖懸停的碰撞概率

圖4給出了2個航天器相對懸停過程中，碰撞概率的變化情況。可以看出相對懸停的每一次軌道機(jī)動過程中，2個航天器碰撞的概率都是先增大后減小，且碰撞概率的極值點(diǎn)逐漸增大。對比圖3可知，碰撞概率的極值點(diǎn)與2個航天器相對距離的最小值幾乎同時出現(xiàn)。這說明，隨著懸停點(diǎn)的“漂移”，相對懸停的2個航天器的相對距離也隨之逐漸變化，如果相對距離逐漸減小，則2個航天器發(fā)射碰撞的可能性將逐漸增大。

在進(jìn)行空間相對懸停任務(wù)的工程設(shè)計(jì)時，可以預(yù)先設(shè)定一個碰撞概率的閾值，應(yīng)用本文給出的懸停軌跡安全分析方法對懸停軌道機(jī)動的碰撞概率進(jìn)行預(yù)估，當(dāng)該預(yù)估值小于設(shè)定的閾值時，說明本次軌道機(jī)動不太可能造成2個航天器的碰撞，可以正常實(shí)施軌道機(jī)動。反之，當(dāng)預(yù)估值大于設(shè)定的閾值時，則說明本次軌道機(jī)動有較大可能會造成2個航天器的碰撞，應(yīng)立即進(jìn)行懸停點(diǎn)修正，適當(dāng)增加2個航天器的最小相對距離，降低碰撞發(fā)生的可能性。

5 結(jié)論

基于航天器相對運(yùn)動C-W方程的解析解，給出了航天器相對懸停的脈沖方法，實(shí)現(xiàn)了脈沖推力作用下的圓或近圓參考軌道的空間相對懸停控制，利于采用技術(shù)成熟的大推力軌控發(fā)動機(jī)實(shí)現(xiàn)對航天器空間相對懸停的控制?；谂鲎哺怕实乃枷虢o出了空間相對懸停運(yùn)動的軌跡安全分析方法，建立了懸停相對運(yùn)動碰撞概率密度計(jì)算模型，并在航天器結(jié)構(gòu)球形包絡(luò)及總包絡(luò)球內(nèi)的概率密度均勻的條件下給出了相對懸停運(yùn)動的碰撞概率計(jì)算方法，對懸停的碰撞風(fēng)險進(jìn)行了量化，分析結(jié)果相對更加客觀和可信。

數(shù)值仿真分析結(jié)果顯示，在一定懸停精度條件下，本文方法可實(shí)現(xiàn)圓或近圓參考軌道上主動航天器相對目標(biāo)航天器的空間相對懸停，且懸停軌道機(jī)動的周期越短，相對懸停越穩(wěn)定。每個周期的懸停相對運(yùn)動過程中，2個航天器碰撞的概率先增大后減小。懸停碰撞概率的極值點(diǎn)與2個航天器相對距離的最小值幾乎同時出現(xiàn)。

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Methods of Spacecraft Impulse Relative Hovering in Near Circular Orbit and Trajectory Security Analysis

Cheng Bo1,2,3, Yuan Jianping1,3, Qian Yingjing4, Ma Weihua1,3

1. Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China2. Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering, Beijing 100076, China3. National Key Laboratory of Aerospace Flight Dynamics, Xi’an 710072, China4. Beijing University of Technology, Beijing 100124, China

BasedontheC-Wequationsanditsanalyticalsolutions,thespacecraftimpulserelativehoveringhasbeenstudied.Acomputationmethodoforbit-transfervelocityincrementforhoveringispresented,whichismoreadaptiveforthespacecraftenginesystem.Basedonthecalculationmethodofrelativemotioncollisionprobability,thehoveringtrajectorysecurityisanalyzed.Thenumericalsimulationsshowthattheintroducedimpulsehoveringmethodinthispaperisfeasibleandtheorbittransferperiodreductioncanimprovethehoveringperformance.Themaximalcollisionprobabilityduringrelativehoveringandtheminimumdistancebetweenthetwospacecraftscanalmostappearatthesametime.

Nearcircularorbit;Relativehovering;Impulse;Collisionprobability;Trajectorysecurity

2016-10-14

程 博(1983-)，男，陜西人，博士研究生，工程師，主要研究方向?yàn)楹教炱鲃恿W(xué)與控制；袁建平(1957-)，男，陜西人，博士生導(dǎo)師，教授，主要研究方向?yàn)轱w行器設(shè)計(jì)，航天飛行動力學(xué)與控制；錢霙婧(1984-)，女，安徽人，博士，講師，主要研究方向?yàn)槠絼狱c(diǎn)動力學(xué)與控制，自主導(dǎo)航研究；馬衛(wèi)華(1978-)，男，河南人，博士，副教授，主要研究方向?yàn)轱w行動力學(xué)和組合導(dǎo)航。

V412.4

A

1006-3242(2017)01-0013-07