鮑 慧

（嘉興市第三中學(xué) 浙江 嘉興 314050）

例談數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的妙用

鮑 慧

（嘉興市第三中學(xué) 浙江 嘉興 314050）

數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)主要的思想方法之一，其本質(zhì)是“數(shù)”與“形”之間的相互轉(zhuǎn)化。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想方法的有效運(yùn)用可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中輕松跨越障礙。數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“數(shù)中思形，以形助數(shù)”使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。

高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)思想

所謂數(shù)形結(jié)合，就是把題目所給條件中的“數(shù)”與“形”一一對(duì)應(yīng)，把靜態(tài)的數(shù)量與動(dòng)態(tài)的圖形結(jié)合起來(lái)，進(jìn)行詮釋、探究并最終解決問(wèn)題。華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)難入微?！边@句話深刻地揭示了數(shù)學(xué)中數(shù)與形之間的相互依存關(guān)系。數(shù)形結(jié)合是高中階段重要的數(shù)學(xué)思想，將其貫徹于數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程始終，是教好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。下面筆者通過(guò)實(shí)例，談?wù)剶?shù)形結(jié)合的思想在高中數(shù)學(xué)實(shí)踐中的運(yùn)用。

一、研究函數(shù)最值問(wèn)題

例1 對(duì)a，b∈R，記，求函數(shù)f（x）＝max｛｜x＋1｜，｜x－2｜｝的最小值.

解：根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖像，如圖1，由圖可知：函數(shù)f（x）在A點(diǎn)處取得最小值，點(diǎn)A可看成是兩直線的交點(diǎn)，由方程組解得A點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以函數(shù)f（x）的最小值為.

圖1

評(píng)注：通過(guò)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化分析，根據(jù)圖形直觀，將求函數(shù)最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程組的解.

二、研究參數(shù)的取值范圍

例2 （2010年寧夏卷）已知函數(shù)f（x）＝若a，b，c互不相等，且滿(mǎn)足f（a）＝f（b）＝f（c），則abc的取值范圍是 （ ）

A.（1，10） B.（5，6）

C.（10，12） D.（20，24）

解：不失一般性可設(shè)0＜a＜b＜c，因?yàn)閒（a）＝f（b）＝f（c），并結(jié)合圖2得0＜a＜1，1＜b＜10，10＜c＜12，因?yàn)閒（a）＝f（b），所以－lga＝lgb，lga＋lgb＝0，ab＝1，故abc＝c∈（10，12），選C.

圖2

評(píng)注：數(shù)形結(jié)合是“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合，充分體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的內(nèi)在關(guān)系，解決問(wèn)題時(shí)，我們既要考慮代數(shù)問(wèn)題在“形”上的直觀體現(xiàn)，也要考慮幾何問(wèn)題在“數(shù)”上的精準(zhǔn)表達(dá)，這兩方面相互結(jié)合，從而提高解題能力.

三、研究開(kāi)放性問(wèn)題

例3 （2012年福建卷）對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“”：設(shè)函數(shù)f（x）＝（2x－1）（x－1）且關(guān)于x的方程f（x）＝m（m∈R）恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是_________.

圖3

評(píng)注：開(kāi)放性問(wèn)題往往具有新穎性和一定的難度性，很多學(xué)生在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常手足無(wú)措，如果能夠正確理解題意并用圖形直觀的表示出問(wèn)題條件中的代數(shù)關(guān)系，該類(lèi)型問(wèn)題就會(huì)“水落石出”.