安志云 李志堅(jiān)

(山西大學(xué)理論物理研究所,太原 030006)

逾滲分立時(shí)間量子行走的傳輸及糾纏特性?

安志云 李志堅(jiān)?

(山西大學(xué)理論物理研究所,太原 030006)

(2016年12月18日收到;2017年4月1日收到修改稿)

在一維分立時(shí)間量子行走中,通過(guò)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩種方式隨機(jī)地?cái)嚅_(kāi)連接邊引入無(wú)序效應(yīng),研究了靜態(tài)逾滲和動(dòng)態(tài)逾滲對(duì)量子行走傳輸特性以及位置自由度和硬幣自由之間糾纏的影響.隨著演化時(shí)間的增加,靜態(tài)逾滲會(huì)使得量子行走從彈道傳輸轉(zhuǎn)變?yōu)榘驳律钟蚧?而動(dòng)態(tài)逾滲則會(huì)使之轉(zhuǎn)變?yōu)榻?jīng)典擴(kuò)散.理想情況下,量子糾纏在較短的時(shí)間內(nèi)就達(dá)到一個(gè)常數(shù)值E0.靜態(tài)逾滲量子行走的糾纏減小,并隨著時(shí)間做無(wú)規(guī)振蕩,而動(dòng)態(tài)逾滲量子行走的糾纏則會(huì)隨著時(shí)間光滑地增加,并在某一時(shí)間超過(guò)理想情況下的常數(shù)值,表現(xiàn)出動(dòng)態(tài)逾滲增強(qiáng)量子糾纏的特性.

逾滲量子行走,概率分布,量子糾纏

1 引 言

量子行走作為經(jīng)典隨機(jī)行走的量子力學(xué)推廣,同樣具有連續(xù)時(shí)間量子行走[1]和分立時(shí)間量子行走[2]兩種形式來(lái)描述粒子在分立格點(diǎn)上的相干動(dòng)力學(xué)行為.連續(xù)時(shí)間量子行走遵從分立空間的薛定諤方程,其在位置空間的哈密頓量由描述粒子在相鄰格點(diǎn)之間躍遷的轉(zhuǎn)移矩陣給出.分立時(shí)間量子行走則直接通過(guò)幺正算符重復(fù)作用于系統(tǒng)的初態(tài)來(lái)定義,除了位置空間之外,還需要一個(gè)硬幣空間,由硬幣態(tài)決定它在位置空間中移動(dòng)的方向,幺正演化算符的生成元可等效為相對(duì)論狄拉克粒子的哈密頓量[3].由于量子行走在不同路徑上傳播的相干疊加和干涉效應(yīng),使得它與經(jīng)典隨機(jī)行走相比表現(xiàn)出多種不同的動(dòng)力學(xué)行為[4,5].比如,一個(gè)典型的不同之處就是量子行走的位置方差隨著時(shí)間平方增加,表現(xiàn)出量子彈道傳輸行為,而經(jīng)典隨機(jī)行走的位置方差隨著時(shí)間線性增加,做經(jīng)典擴(kuò)散傳輸.這樣,量子行走具有比經(jīng)典隨機(jī)行走更快的傳播速度,而且人們基于這一特性為量子計(jì)算設(shè)計(jì)了更有效的量子搜索算法[6,7].鑒于經(jīng)典隨機(jī)行走在不同領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用和量子行走的優(yōu)越性,近些年人們?cè)诶碚摵蛯?shí)驗(yàn)上對(duì)量子行走進(jìn)行了大量的研究.實(shí)驗(yàn)上,人們已經(jīng)利用核磁共振[8]、囚禁離子[9]、光格子中的冷原子[10]以及波導(dǎo)陣列[11]等不同的物理系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了量子行走,為模擬復(fù)雜物理系統(tǒng)的量子動(dòng)力學(xué)提供了廣闊平臺(tái).理論上,量子行走除了用來(lái)設(shè)計(jì)量子算法之外,還被用來(lái)解釋像光合作用中能量傳輸這樣的復(fù)雜問(wèn)題[12]、論證原子的相干操控[13]以及探索拓?fù)湎郲14]等.無(wú)序效應(yīng)[15]、缺陷[16]、粒子間的相互作用[17],以及初態(tài)統(tǒng)計(jì)特性[18]等對(duì)量子行走的影響也受到了人們的廣泛關(guān)注,由此探討量子行走從彈道傳輸向經(jīng)典擴(kuò)散和局域化的過(guò)渡.

除了傳輸特性之外,量子行走另一個(gè)可應(yīng)用的重要特征是位置自由度和硬幣自由度之間的糾纏[19-21].量子糾纏是量子信息處理中的重要物理資源,它可以是一個(gè)大系統(tǒng)中不同子系統(tǒng)之間的糾纏,也可以是一個(gè)系統(tǒng)中不同自由度之間的糾纏.量子糾纏是量子系統(tǒng)特有的性質(zhì),經(jīng)典物理中與之沒(méi)有對(duì)應(yīng).噪聲、量子測(cè)量或周圍環(huán)境等的影響一般都會(huì)導(dǎo)致糾纏的減小或完全消失,解決這一問(wèn)題的一種方法就是生成糾纏,量子行走就是生成糾纏的一個(gè)過(guò)程.由于糾纏會(huì)對(duì)理解許多物理現(xiàn)象,如超輻射、無(wú)序效應(yīng)以及經(jīng)典轉(zhuǎn)變等給出新的洞察,因此研究量子行走糾纏對(duì)于開(kāi)拓量子行走的實(shí)際應(yīng)用具有重要意義.對(duì)于時(shí)間和空間都均勻的量子行走,兩種自由度之間的糾纏大小一般情況下一開(kāi)始會(huì)有所漲落,但隨著演化步數(shù)的增加,漲落越來(lái)越小,最終會(huì)趨于某一漸近值,而且這一漸近值的大小依賴于量子行走的初態(tài)和硬幣算符的選取.目前,時(shí)間和空間非均勻量子行走的糾纏引起了人們的極大關(guān)注,不同的無(wú)序效應(yīng)會(huì)對(duì)糾纏的產(chǎn)生帶來(lái)不同的影響[22-24].

分立時(shí)間量子行走是通過(guò)條件平移算符和硬幣算符相繼作用于當(dāng)前狀態(tài)來(lái)完成一步演化的,其中只有硬幣參數(shù)而沒(méi)有勢(shì)能的概念,空間無(wú)序可以通過(guò)位置依賴的隨機(jī)硬幣參數(shù)來(lái)引入,以此等效位置勢(shì)[25].同理,如果硬幣參數(shù)隨機(jī)地依賴于量子行走的步數(shù),則構(gòu)成時(shí)間上的無(wú)序.基于此,人們通過(guò)對(duì)分立時(shí)間量子行走的位置態(tài)或硬幣態(tài)的周期測(cè)量、應(yīng)用隨時(shí)間或位置變化的硬幣算符等方式,對(duì)量子行走的去相干、無(wú)序效應(yīng)以及散射特性進(jìn)行了大量研究[26-31].去相干和無(wú)序效應(yīng)會(huì)使得量子行走的傳輸特性發(fā)生變化,一般情況下導(dǎo)致兩種結(jié)果：一種是隨著時(shí)間的增加,會(huì)使得方差隨時(shí)間的二次增長(zhǎng)行為最終被抑制,轉(zhuǎn)變?yōu)殡S時(shí)間正比增長(zhǎng)的經(jīng)典擴(kuò)散行為;另一種是長(zhǎng)程干涉消失,只在初始位置附近發(fā)生多條傳播路徑相應(yīng)傳播幅度的干涉行為,最終表現(xiàn)為安德森局域化.最近,文獻(xiàn)[22,23]研究了與時(shí)間和空間相關(guān)的隨機(jī)硬幣對(duì)分立時(shí)間量子行走產(chǎn)生糾纏的影響,指出使用與時(shí)間有關(guān)的動(dòng)態(tài)隨機(jī)硬幣算符會(huì)使得量子行走產(chǎn)生最大糾纏.本文中,我們并非在分立時(shí)間量子行走的硬幣空間引入無(wú)序,而是類似于連續(xù)時(shí)間行走,通過(guò)隨機(jī)地?cái)嚅_(kāi)相鄰格點(diǎn)間的連接邊在位置空間中引入無(wú)序,形成逾滲系統(tǒng).我們首先給出模型,介紹無(wú)序的引入,定義靜態(tài)和動(dòng)態(tài)逾滲分立時(shí)間行走;接著通過(guò)數(shù)值計(jì)算分別研究逾滲效應(yīng)對(duì)量子行走傳輸特性和產(chǎn)生糾纏的影響;最后給出結(jié)論.

2 逾滲分立時(shí)間量子行走

假設(shè)有一個(gè)由N個(gè)格點(diǎn)組成的一維系統(tǒng),這樣就會(huì)有N-1條相鄰格點(diǎn)的連接邊,如圖1(a)所示.我們賦予每條邊一個(gè)取值范圍為0到1的隨機(jī)數(shù),如相鄰兩格點(diǎn)x和x+1的連接邊的隨機(jī)數(shù)記為Rx,一條邊是否斷開(kāi)由與之對(duì)應(yīng)的隨機(jī)數(shù)決定.給定一個(gè)臨界值p0,如果Rx≤p0,則表示格點(diǎn)x和x+1之間的連接邊是相連的,否則,則表示兩格點(diǎn)之間是斷開(kāi)的.這樣就形成了一個(gè)逾滲系統(tǒng).在計(jì)算過(guò)程中,如果進(jìn)行多次計(jì)算取平均,那么隨機(jī)取得每一個(gè)隨機(jī)數(shù)的概率是相同的,這樣p0就是整個(gè)系統(tǒng)連接邊連通的概率,稱為逾滲概率.如果p0=1,則一維格點(diǎn)鏈中的每條邊都是連通的;反之,p0=0則表示一維格點(diǎn)鏈中的每條邊都是斷開(kāi)的.

量子行走的希爾伯特空間是位置空間和硬幣空間的直積空間,即,其中位置空間HP由格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的態(tài)矢量|x〉(x∈Z)張開(kāi);硬幣空間HC由表硬幣正反面的態(tài)矢量|c〉=|↑〉,|↓〉張開(kāi).在量子系統(tǒng)中,粒子的內(nèi)稟自由度(如自旋)可以用來(lái)實(shí)現(xiàn)硬幣空間,此時(shí)量子態(tài)不僅為正交的正反面態(tài),而且可以是它們的任意疊加態(tài).這樣,量子行走的基矢為,其任意態(tài)可表示為

其中Ac(x,t)為t時(shí)刻量子行走硬幣態(tài)為c且位于x處的概率幅.量子行走的一步演化由硬幣算符C和依賴于硬幣態(tài)的條件平移算符S對(duì)其量子態(tài)的相繼作用得到,即

其中IP是作用在位置空間的單位算符.本文中,我們選取矩陣元都為實(shí)數(shù)的Hadam ard算符為硬幣算符,即

考慮逾滲后,條件平移算符可表示為

圖1 條件平移示意圖 (a)與x格點(diǎn)相連的兩條邊都連通;(b)與x格點(diǎn)相連的兩條邊中的一條斷開(kāi);(c)與x格點(diǎn)相連的兩條邊都斷開(kāi);弧形實(shí)線箭頭表示硬幣向上的粒子向右行走一步,弧形虛線箭頭表示硬幣向下的粒子向左行走一步,圓形箭頭表示粒子不動(dòng)但相應(yīng)的硬幣態(tài)翻轉(zhuǎn)Fig.1.Sketch of conditional shift:(a)Both links connected to x site are connected;(b)one link connected to x site is b roken;(c)both links connected to x site are broken.The solid curved arrow denotes the particle with up coin state walking to right neighbor site while the dashed cu rved arrow denotes the particle with down coin statewalking to left neighbor site,and the circled arrow m eans the particle does notm ove but its coin state reverses.

若把所有連接邊對(duì)應(yīng)的隨機(jī)數(shù)分布叫做“逾滲分布”,則根據(jù)逾滲分布在時(shí)間上的不同,我們可將系統(tǒng)分為兩種逾滲類型.如果量子行走在每一步中所選的逾滲分布是相同的,也就是說(shuō)每一步行走的條件平移算符相同,這樣的逾滲系統(tǒng)稱靜態(tài)逾滲系統(tǒng);如果量子行走在每一步中都重新選擇一個(gè)逾滲分布,也就是說(shuō)每一步行走的條件平移算符不同,則稱這樣的逾滲系統(tǒng)為動(dòng)態(tài)逾滲系統(tǒng).對(duì)于靜態(tài)逾滲系統(tǒng),量子行走演化t步后的波函數(shù)為|ψ(t)〉=Ut|ψ(0)〉;而對(duì)于動(dòng)態(tài)逾滲系統(tǒng),t步后的波函數(shù)為.

3 逾滲量子行走的傳輸特性

對(duì)于一個(gè)在分立時(shí)間和分立空間上都保持平移不變的量子行走,位置方差隨時(shí)間平方變化的彈道傳輸行為是其一個(gè)標(biāo)志性特征,這是時(shí)間演化過(guò)程中不同行走路徑之間發(fā)生量子相干的直接結(jié)果.然而這種相干性非常脆弱,很容易遭到破壞.本部分中,我們主要考慮分立時(shí)間行走中連接邊隨機(jī)連通的逾滲過(guò)程,研究靜態(tài)逾滲和動(dòng)態(tài)逾滲以及逾滲概率對(duì)量子行走傳輸特性的影響.

把方程(1),(3)和(4)代入方程(2),則與硬幣態(tài)相關(guān)的概率幅可表示為

從(5)式可以看出,如果所有連接邊都連通,量子行走每演化一步就會(huì)新增兩個(gè)格點(diǎn)被粒子占據(jù),所以如果粒子初始時(shí)刻位于0格點(diǎn)處,那么行走t步后最多在0格點(diǎn)周圍2t+1個(gè)格點(diǎn)上的分布概率不為零;而且對(duì)于Hadamard硬幣算符,遠(yuǎn)離初始位置波前的傳播速度為,因此這種量子行走在位置空間的傳播范圍為.如果有的連接邊斷開(kāi),則量子行走就會(huì)在相應(yīng)格點(diǎn)處停止向前傳播,我們考慮連接邊斷開(kāi)的隨機(jī)性,對(duì)不同的結(jié)果進(jìn)行多次的統(tǒng)計(jì)平均,這樣原則上量子行走不會(huì)在某格點(diǎn)處停止不前,仍然會(huì)擴(kuò)展至的格點(diǎn)范圍,但由于量子相干性的減弱或破壞,會(huì)導(dǎo)致經(jīng)典擴(kuò)散或安德森局域化.下面我們給出一維無(wú)限長(zhǎng)格點(diǎn)上逾滲量子行走概率分布的統(tǒng)計(jì)平均

圖2 (網(wǎng)刊彩色)逾滲概率p0=0.95,在不同演化步數(shù)下逾滲量子行走的概率分布 (a),(b)為靜態(tài)逾滲情況; (c),(d)為動(dòng)態(tài)逾滲情況;為了比較,其中(a)和(c)中的黑實(shí)線為無(wú)逾滲時(shí)的概率分布Fig.2.(color on line)W hen percolation p robability p0=0.95,the average p robability d istribu tions of percolation quantum walk are p lotted for d iff erent time steps:(a),(b)A re the static percolation cases;(c), (d)are the dynam ical percolation cases.For com parison,the solid b lack curves in Figs.(a)and(c)are the p robability d istribution without percolation.

這樣的初態(tài)選取可以導(dǎo)致理想(無(wú)逾滲)量子行走在均勻一維格點(diǎn)上關(guān)于初始位置對(duì)稱的概率分布,如圖2(a)和圖2(c)中的黑色曲線所示.圖2中其他曲線給出p0=0.95時(shí)不同演化步數(shù)下逾滲量子行走的概率分布,圖2(a)和圖2(b)對(duì)應(yīng)靜態(tài)逾滲量子行走,圖2(c)和圖2(d)對(duì)應(yīng)動(dòng)態(tài)逾滲量子行走.眾所周知,理想量子行走演化偶數(shù)(奇數(shù))步時(shí),其在奇數(shù)(偶數(shù))格點(diǎn)位置上的分布概率為零,而且分布概率主要集中在遠(yuǎn)離初始位置的波前位置.當(dāng)加入逾滲后,量子行走的每一步演化,都會(huì)使得傳播范圍內(nèi)的所有格點(diǎn)上都具有占有概率,破壞了理想時(shí)只在奇或偶格點(diǎn)上分布的特點(diǎn).當(dāng)演化步數(shù)較少時(shí),圖2(a)和圖2(c)表明,無(wú)論是靜態(tài)逾滲還是動(dòng)態(tài)逾滲,量子行走在遠(yuǎn)離初始位置的波前處有較大分布概率的相干性特征可以保持,但隨著演化步數(shù)的增加,波前處的分布概率會(huì)越來(lái)越小,而初始位置附近的分布概率卻越來(lái)越大,而且這種變化過(guò)程動(dòng)態(tài)逾滲量子行走要比靜態(tài)逾滲量子行走更快一些.隨著演化步數(shù)的進(jìn)一步增加,圖2(b)和圖2(d)顯示出靜態(tài)逾滲量子行走和動(dòng)態(tài)逾滲量子行走表現(xiàn)出兩種不同的極限分布.在長(zhǎng)時(shí)間演化下,靜態(tài)逾滲使得量子行走在不同路徑間的長(zhǎng)程干涉效應(yīng)消失,但在初始位置附近仍然有一定的概率發(fā)生多條傳播路徑之間的短程干涉,這樣,量子行走的概率分布范圍不再隨著時(shí)間發(fā)生變化,被局域在初始位置附近,表現(xiàn)出明顯的安德森局域化特征;而動(dòng)態(tài)逾滲不僅會(huì)使得長(zhǎng)程干涉消失,而且也會(huì)使短程干涉消失,量子相干性被徹底破壞,動(dòng)態(tài)逾滲量子行走雖然也是在初始位置附近分布概率最大,但隨著時(shí)間的增加,其峰的高度越來(lái)越低,包絡(luò)的寬度越來(lái)越寬,表現(xiàn)出典型的經(jīng)典高斯波包擴(kuò)散行為.由此可見(jiàn),靜態(tài)逾滲和動(dòng)態(tài)逾滲對(duì)量子行走的影響有著本質(zhì)不同的區(qū)別,前者導(dǎo)致了安德森局域化,而后者導(dǎo)致了經(jīng)典擴(kuò)散傳輸.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)演化步數(shù)t=50,選取不同逾滲概率時(shí)的量子行走的概率分布 (a)靜態(tài)逾滲;(b)動(dòng)態(tài)逾滲Fig.3.(color on line)W hen time steps t=50,the average p robability d istributions of percolation quantum walk are p lotted for d iff erent percolation p robabilities: (a)Is the static percolation case;(b)is the dynam ical percolation case.

在量子行走從相干彈道傳輸?shù)浇?jīng)典擴(kuò)散傳輸或安德森局域化的轉(zhuǎn)變過(guò)程中,除了如圖2所示與演化步數(shù)的長(zhǎng)短有關(guān)外,也與逾滲概率的大小有關(guān).總的來(lái)說(shuō)應(yīng)該與已傳播范圍內(nèi)的連接邊連通的數(shù)目有關(guān).在圖3(a)和圖3(b)中,我們分別給出t=50步時(shí)靜態(tài)逾滲量子行走和動(dòng)態(tài)逾滲量子行走在不同逾滲概率p0下的概率分布,隨著逾滲概率的減少,也就是連接邊斷開(kāi)的增多,發(fā)生轉(zhuǎn)變的過(guò)程更快,相應(yīng)的局域化強(qiáng)度更強(qiáng)或經(jīng)典擴(kuò)散更慢.

4 逾滲量子行走的糾纏動(dòng)力學(xué)

目前有關(guān)量子糾纏的度量有很多種不同的方式,如馮·諾依曼熵、共生糾纏度、量子失協(xié)等.在本文的研究中,我們總是選取純態(tài)為分立時(shí)間量子行走的初態(tài),再加上即使考慮連接邊的隨機(jī)斷開(kāi)過(guò)程,整個(gè)系統(tǒng)的時(shí)間演化仍然是幺正的,所以整個(gè)系統(tǒng)會(huì)一直保持為純態(tài).這樣,我們可以選擇馮·諾依曼熵來(lái)衡量量子行走位置自由度和硬幣自由度之間的糾纏.馮·諾依曼熵由位置空間或硬幣空間的約化密度算符態(tài)來(lái)定義,而且二者定義的結(jié)果完全一致[32].若t時(shí)刻整個(gè)系統(tǒng)的密度算符為ρ(t)=|ψ(t)〉〈ψ(t)|,對(duì)硬幣自由度或位置自由度求跡,可獲得位置空間或硬幣空間的約化密度算符分別為

這樣兩種自由度之間的糾纏(馮·諾依曼熵)定義為

我們選取硬幣空間約化密度算符ρC(t)來(lái)計(jì)算糾纏,一般地,ρC(t)在硬幣空間{|c〉}中可表示為矩陣形式

其中矩陣元αc,c,(t)與方程(1)中的系數(shù)Ac(x,t)之間具有關(guān)系,

和

如果二維矩陣ρC(t)的本征值為λ1(t)和λ2(t),則糾纏熵可進(jìn)一步表示為

其取值范圍為E(t)∈ [0,1],對(duì)于最大糾纏態(tài)E(t)=1,而對(duì)于可分離態(tài)E(t)=0.計(jì)算過(guò)程中,若λi=0,雖然log2λi會(huì)發(fā)散,但仍然取λilog2λi=0.

標(biāo)準(zhǔn)偏差越小,主峰結(jié)構(gòu)越高越窄,相應(yīng)的聚束效應(yīng)越強(qiáng).圖5給出了逾滲量子行走的統(tǒng)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)偏差隨時(shí)間的變化,不同曲線對(duì)應(yīng)不同的逾滲概率取值.圖5(a)顯示靜態(tài)逾滲量子行走的位置標(biāo)準(zhǔn)偏差在p0較大時(shí)隨著時(shí)間的增加可近似為一不變的常數(shù)值,p0較小時(shí)也是在某一常數(shù)值附近振蕩,這也說(shuō)明概率分布的峰的寬度不再隨時(shí)間發(fā)生變化,表現(xiàn)為局域化效應(yīng).而對(duì)于動(dòng)態(tài)逾滲量子行走,圖5(b)則顯示位置標(biāo)準(zhǔn)偏差隨著時(shí)間以的形式增加(或在這一遞增曲線附近振蕩增加),說(shuō)明概率分布的峰寬隨時(shí)間逐漸增加,聚束效應(yīng)減弱,表現(xiàn)為經(jīng)典擴(kuò)散行為.對(duì)于p0=1的全連通情況,量子行走的位置標(biāo)準(zhǔn)偏差隨時(shí)間t線性增加,是典型的彈道傳輸特征,此時(shí)由于概率分布有兩個(gè)主峰(如圖2所示),不能再用標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)描述概率分布的聚束效應(yīng).對(duì)比圖4和圖5,發(fā)現(xiàn)對(duì)于靜態(tài)或動(dòng)態(tài)逾滲量子行走,逾滲概率越小,局域化越強(qiáng)或經(jīng)典擴(kuò)散越慢,相應(yīng)聚束效應(yīng)較強(qiáng),因此糾纏值越小.對(duì)比靜態(tài)逾滲、動(dòng)態(tài)逾滲和無(wú)逾滲三種情況,其中具有局域化效應(yīng)的靜態(tài)逾滲量子行走的聚束效應(yīng)最強(qiáng),其糾纏值也越小;無(wú)逾滲量子行走雖然在位置空間的傳輸范圍最大,但其分布概率主要集中在展開(kāi)邊緣的兩個(gè)小區(qū)域內(nèi),其聚束效應(yīng)要強(qiáng)于經(jīng)典擴(kuò)散的動(dòng)態(tài)逾滲量子行走,因此其糾纏小于動(dòng)態(tài)逾滲時(shí)的糾纏.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)選取不同的逾滲概率,量子行走硬幣自由度和位置自由度之間的糾纏隨演化步數(shù)的變化 (a)靜態(tài)逾滲;(b)動(dòng)態(tài)逾滲Fig.4.(color on line)The variations of entanglem ent with time steps are p lotted for different values of percolation probability:(a)Static percolation;(b)dynam ical percolation.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)選取不同的逾滲概率,量子行走的位置標(biāo)準(zhǔn)偏差隨演化步數(shù)的變化 (a)靜態(tài)逾滲;(b)動(dòng)態(tài)逾滲Fig.5.(color online)The variations of standard deviation with time steps are p lotted for d iff erent values of percolation p robability:(a)Static percolation;(b)dynam ical percolation.

5 結(jié) 論

在一維分立時(shí)間量子行走中,我們通過(guò)連接邊的隨機(jī)連通或斷開(kāi)引入無(wú)序效應(yīng),并針對(duì)量子行走的傳輸和糾纏特性研究了這種無(wú)序效應(yīng)所產(chǎn)生的影響.無(wú)序效應(yīng)的引入有兩種不同的形式：一種是靜態(tài)逾滲,也就是量子行走在每一步中連接邊連通或斷開(kāi)的分布是相同的;另一種是動(dòng)態(tài)逾滲,就是在量子行走的每一步中都重新選擇新的連接分布.本文采用Hadamard硬幣算符,且假定初始時(shí)刻量子行走處于x=0的中心格點(diǎn)位置和理想情況下能導(dǎo)致概率對(duì)稱分布的硬幣態(tài).經(jīng)過(guò)多次計(jì)算的統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果表明,隨著演化時(shí)間的增加,靜態(tài)逾滲量子行走和動(dòng)態(tài)逾滲量子行走的傳播特征會(huì)由量子相干的彈道傳輸分別向安德森局域化和經(jīng)典擴(kuò)散行為轉(zhuǎn)變.兩種轉(zhuǎn)變的快慢都依賴于逾滲概率的大小,逾滲概率越小,轉(zhuǎn)變得越快.與不同的傳輸特性對(duì)應(yīng),量子行走中的位置自由度和硬幣自由度之間的糾纏也表現(xiàn)出不同的動(dòng)力學(xué)變化行為.理想情況下,量子糾纏在較短的時(shí)間內(nèi)就達(dá)到一個(gè)常數(shù)值E0(～0.85).靜態(tài)逾滲會(huì)使得糾纏減小,并隨著時(shí)間增加做無(wú)規(guī)律振蕩,而動(dòng)態(tài)逾滲量子行走的糾纏則會(huì)隨著時(shí)間光滑地增加,并在某一時(shí)間超過(guò)理想情況下的常數(shù)值,表現(xiàn)出動(dòng)態(tài)逾滲增強(qiáng)量子糾纏的特性.隨著逾滲概率的減小,靜態(tài)逾滲和動(dòng)態(tài)逾滲都會(huì)使得糾纏減小,但在無(wú)窮長(zhǎng)時(shí)間極限下動(dòng)態(tài)逾滲量子行走的糾纏會(huì)趨向最大糾纏值且與逾滲概率的大小無(wú)關(guān).在量子行走中,演化過(guò)程中的干涉效應(yīng)起著非常重要的作用.我們的研究結(jié)果表明,靜態(tài)逾滲和動(dòng)態(tài)逾滲模型的幺正量子操作可以為量子信息處理和量子態(tài)的儲(chǔ)存提供有效方法,無(wú)序和糾纏的關(guān)系有助于通過(guò)人造平臺(tái)探索和理解自然界中的無(wú)序過(guò)程.

[1]Farhi E,Gutm ann S 1998 Phys.Rev.A 58 915

[2]Aharonov Y,Davidovich L,Zagury N 1993 Phys.Rev. A 48 1687

[3]Chand rashekar C M 2013 Sci.Rep.3 2829

[4]K em pe J 2003 Con tem p.Phys.44 307

[5]Zabu rdaev V,Denisov S,K lafter J 2015 Rev.M od.Phys. 87 483

[6]Am bainis A 2003 In t.J.Quan tum Inf.1 507518

[7]Childs A M,Gosset D,W ebb Z 2013 Science 339 791

[8]Du J,Li H,Xu X,Shi M,W u J,Zhou X,Han R 2003 Phys.Rev.A 67 042316

[9]Schm itz H,M atjeschk R,Schneider Ch,G lueckert J,Enderlein M,Huber T,Schaetz T 2009 Phys.Rev.Lett.103 090504

[10]K arski M,Forster L,Choi J M,Steff en A,Alt W, M eschede D,W idera A 2009 Science 325 174

[11]Xue P,Qin H,Tang B,Zhan X,Bian Z H,Li J 2014 Chin.Phys.B 23 110307

[12]Engel G S,Calhoun T R,Read E L 2007 Nature 446 782

[13]Chand rashekar C M 2011 Phys.Rev.A 83 022320

[14]K itagawa T,Rudner M S,Berg E 2010 Phys.Rev.A 82 033429

[15]BeggiA,Buscem i F,Bordone P 2016Quan tum Inf.Process.15 3711

[16]Li Z J,W ang J B 2015 Sci.Rep.5 13585

[17]W ang L,W ang L,Zhang Y 2014 Phys.Rev.A 90 063618

[18]W ang Q H,Li Z J 2016 Ann.Phys.373 1

[19]D i Franco C,M c Gettrick M,Busch T 2011 Phys.Rev. Lett.106 080502

[20]Goyal S K,Chand rashekar C M 2010 J.Phys.A:M ath. Theor.43 235303

[21]Carneiro I,Loo M,Xu X 2005 New J.Phys.7 156

[22]V ieira R,Am orim E P M,Rigolin G 2014 Phys.Rev.A 89 042307

[23]V ieira R,Am orim E P M,Rigolin G 2013 Phys.Rev. Lett.111 180503

[24]Chand rashekar C M 2012 arX iv:12125984v1

[25]Li Z J,Izaac J A,W ang J B 2013 Phys.Rev.A 87 012314

[26]Y in Y,K atsanos D E,Evangelou S N 2008 Phys.Rev. A 77 022302

[27]Schreiber A,Cassem iro K N,Potocek V,Gab ris A,Jex I,Silberhorn C 2011 Phys.Rev.Lett.106 180403

[28]T?rm?P,Jex I,Sch leich W P 2002 Phys.Rev.A 65 052110

[29]Chou C I,Ho C L 2014 Chin.Phys.B 23 110302

[30]W ang D D,Li Z J 2016 Acta Phys.Sin.65 060301(in Chinese)[王丹丹,李志堅(jiān)2016物理學(xué)報(bào)65 060301]

[31]Lam H T,Szeto K Y 2015 Phys.Rev.A 92 012323

[32]Bennett C H,Bernstein H J,Popescu S 1996 Phys.Rev. A 53 2046

(Received 18 Decem ber 2016;revised manuscript received 1 April 2017)

Properties of distribution and entanglement in discrete-time quantum walk with percolation?

An Zhi-Yun Li Zhi-Jian?

(Institu te of Theoretical Physics,Shanxi University,Taiyuan 030006,China)

We investigate one-dimensionaldiscrete-time quantum walk on the linewhere the linksbetween neighboring sitesare random ly broken.Two link-broken ways,static percolation and dynam icalpercolation,are considered.The formerm eans that the broken links are fixed in position space at each time step,while the latter is that broken links are varied with time step.Our attention focuses on the effects of these disorders on two physical quantities,the probability distribution and the entanglem ent between the coin degree of freedom and position degree of freedom.Choosing Hadam ard coin operator and assum ing the walker to start from the position eigenstate|0〉and attach itself to a coherent coin state,we give the statistical average results after making numerical calculationsmany times.The choices of coin operator and initial state,resu lting in a symm etric p robability distribution about origin in the ideal case,is help ful in com paring with different cases in different disorder strengths.It is shown that the probability distribution of static percolation quantum walk can change from a coherent behavior at short time to Anderson localization at longer time,while the dynam ical percolation quantum walk can change to a classical diff usive behavior.W ith the decrease of the percolation probability,these transitions become faster.The entanglement for ideal case without disorder reaches a constant value after a short time evolution.The static percolation m akes the entanglem ent less than that of ideal case and fluctuate irregu larly around a certain value.The situation is very different for the dynam ical percolation: the entanglement increases smooth ly with the time step and can exceed the constant value in the ideal case at some time.Both of entanglem ents for two types of percolations decrease with reducing percolation probability.As a striking characteristic,the entanglem ent in dynam ical case can tend to m aximum regard less of percolation probability in long time lim it,while the static case cannot.In themodel for our study,the random ized unitary operations,induced by the static and dynam ical percolations,can lead to som e noticeable effects on the transport and entanglem ent of discrete time quantum walk.The results about the interplay between disorder and entanglem ent not only assist quantum inform ation processing,but also give more options to further explore and understand disorder physical processes in nature.

percolation quantum walk,probability distribution,quantum entanglement

PACS:03.67.Bg,05.40.FB,03.65.-w DO I:10.7498/aps.66.130303

?山西省回國(guó)留學(xué)人員科研資助項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào):2015-012)和山西省面上自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):201601D 011009)資助的課題.?通信作者.E-m ail:zjli@sxu.edu.cn

PACS:03.67.Bg,05.40.FB,03.65.-w DO I:10.7498/aps.66.130303

*Project supported by ShanxiScholarship Councilof China(Grant No.2015-012),and Natural Science Foundation of Shanxi Province,China(G rant No.201601D 011009).

?Corresponding author.E-m ail:zjli@sxu.edu.cn