楊斌 魏爍 史開元

(北京科技大學,國家材料服役安全科學中心,北京 100083)

基于等效彈性模量的微裂紋-超聲波非線性作用多階段模型?

楊斌?魏爍 史開元

(北京科技大學,國家材料服役安全科學中心,北京 100083)

(2017年1月3日收到;2017年5月5日收到修改稿)

提出了一種基于等效彈性模量的微裂紋-超聲波非線性作用多階段模型.該模型將微裂紋微觀層面的界面幾何特征和宏觀層面的界面相對運動統(tǒng)一為介觀單元彈性模量的變化,利用等效彈性模量表征損傷區(qū)域的“應力-應變”,然后利用分段函數(shù)來描述微裂紋-超聲波非線性相互作用,最后通過有限元仿真對波動方程進行求解,驗證了模型的有效性,獲得了超聲波在經(jīng)過微裂紋后傳播的非線性波動規(guī)律.仿真結(jié)果表明本文提出的模型相比于雙線性剛度模型、接觸面模型,能更好地體現(xiàn)一個諧波周期內(nèi)超聲波經(jīng)過微裂紋損傷區(qū)域時波形會發(fā)生畸變.同時,仿真實驗還分析了裂紋傾角、裂紋長度和超聲波激勵幅值對超聲波經(jīng)過微裂紋后產(chǎn)生的二次和三次諧波的幅值的影響.最后,對比分析了該模型的仿真計算結(jié)果與實驗測試結(jié)果,表明本文提出的多階段模型與實驗測試均能較好地體現(xiàn)微裂紋-超聲波非線性作用產(chǎn)生的二次諧波信號,且結(jié)果基本一致,驗證了模型的有效性.該模型為開展超聲波非線性效應定量檢測微裂紋提供了一種新的仿真手段.

微裂紋,超聲波,等效彈性模量,多階段

1 引 言

金屬材料內(nèi)部微裂紋的萌生和擴展是構件發(fā)生斷裂的重要原因,而且微裂紋的大小和取向?qū)嫾嗔研再|(zhì)有重要影響,所以微裂紋的早期檢測對于保障構件的服役安全具有重要意義[1-3].研究表明,超聲波與材料損傷的非線性作用會明顯增加高次諧波的幅值,是檢測材料的早期損傷和微裂紋的有效手段[4-6].因此,研究人員提出了許多模型來對裂紋-超聲波非線性作用進行解釋.Friswell和Penny[7]提出雙線性剛度模型,并使用數(shù)值模擬的方法驗證了模型的有效性.Solove等[8]基于雙線性剛度模型揭示了當超聲波的應變幅值大于裂紋面的初始應變,可以將裂紋“打開”,產(chǎn)生非線性效應.雙線性剛度模型在宏觀層面上解釋了裂紋面的相對運動對超聲波的非線性調(diào)制作用,但忽略了裂紋面的微觀幾何特征,無法解釋當超聲波應變幅值小于閾值時產(chǎn)生的高次諧波現(xiàn)象.G reenwood和W illiamson[9]在Hertz理論[10]的基礎上,引入接觸面粗糙峰高度的概率分布,建立了接觸面模型.Nazarov和Sutin[11]基于粗糙接觸面模型驗證了超聲波作用于“閉合”粗糙界面時會產(chǎn)生高次諧波.南京大學聲學研究所肖奇等[12]研究了不同粗糙峰高度的概率分布模型下超聲波與接觸面的非線性作用.接觸面模型探索在微觀層面上解釋粗糙界面與超聲波的非線性作用,但是沒有考慮超聲波與宏觀“張開”的粗糙界面的非線性相互作用.

由于高次諧波的產(chǎn)生原因一方面是宏觀層面上超聲波與裂紋面開合的非線性作用,另一方面是微觀層面上相互接觸的粗糙界面與超聲波的非線性作用.因此,本文旨在結(jié)合宏微觀層面上超聲波與微裂紋非線性作用的特性,完整地描述一個諧波周期內(nèi)微裂紋與超聲波的非線性作用,提出了基于等效彈性模量的微裂紋-超聲波非線性作用多階段模型.該模型將微裂紋粗糙界面的幾何特征(粗糙峰高度峰)和宏觀層面裂紋面的相對運動統(tǒng)一為介觀單元彈性模量的變化,然后利用分段函數(shù)描述了在一個超聲波諧波周期內(nèi)連續(xù)介質(zhì)損傷區(qū)域“應力-應變”的變化.仿真實驗表明該模型可以很好地區(qū)分微裂紋在“開”,“閉”階段的超聲非線性效應,并可以開展微裂紋的尺寸、取向、粗糙界面特征的定量分析.

2 理論模型

假設在連續(xù)固體介質(zhì)的一定區(qū)域內(nèi)存在一條細長的裂紋,將裂紋附近的區(qū)域稱為損傷區(qū)域(如圖1(a)).根據(jù)Brown-Scholz模型[13],將兩粗糙界面等效為裂紋粗糙面和裂紋平面,并假設一個參考平面來描述裂紋粗糙面和裂紋平面的相對運動.裂紋粗糙面相對參考平面保持不動,裂紋平面隨著超聲波的激勵相對參考平面上下振動.本文假設兩個位置為裂紋平面運動的參考點,位置一為裂紋完全張開的臨界點,位置二為裂紋完全閉合的臨界點,即當裂紋平面運動到位置一上方或者位置二下方時,裂紋完全張開或閉合.假設裂紋在位置一時應變?yōu)榱?在位置二時應變?yōu)棣舗(＜0).考慮裂紋尖端存在塑性區(qū),裂紋平面會在塑性作用下運動到位置一下方,并產(chǎn)生初始應變ε0(＜0),其對應的裂紋平面與參考平面之間的初始距離d0.同時,假設dm和dn為裂紋平面在位置一和位置二時與參考平面的距離(如圖1(b)).

圖1 (網(wǎng)刊彩色)裂紋粗糙面和裂紋平面的相對運動模型 (a)含裂紋的損傷區(qū)域;(b)相對運動模型Fig.1.(color online)Relative m otion model of crack rough surface and crack p lane:(a)Crack dam age zone;(b)relative m otion model.

假設一列縱波經(jīng)過損傷區(qū)域,超聲波的激勵載荷ε(t)=εmaxcosωt,εmax表示入射聲波引起的應變幅值,ω是角頻率,超聲波對裂紋張開閉合的作用如下：

當ε(t)+ε0＞0,裂紋平面與參考面之間的距離d＞dm,裂紋完全張開;

當εn＜ ε(t)+ε0＜ 0,裂紋平面與參考面之間的距離dn＜ d＜ dm裂紋面之間的距離dn＜d＜dm,裂紋非完全閉合;

當ε(t)+ε0＜εn,裂紋平面與參考面之間的距離d＜dn,裂紋完全閉合.

由于損傷區(qū)域存在裂紋,力學性能會發(fā)生變化,在超聲波周期性載荷的作用下,裂紋會以相同的周期張開閉合,導致?lián)p傷區(qū)域的“應力-應變”關系也會以相同的周期變化.因此,在一個諧波周期的不同階段難以用一個關系模型描述損傷區(qū)域的“應力-應變”關系.彈性模量是表征材料應力應變關系的物理量,本文通過使用“等效彈性模量”來描述一個諧波周期內(nèi)損傷區(qū)域在不同階段的“應力-應變”關系,并用分段函數(shù)描述了裂紋平面運動的三個階段：

其中P代表損傷區(qū)域所受的應力,EO表示裂紋面完張開時損傷區(qū)域的彈性模量,EC表示裂紋面非完全閉合時損傷區(qū)域的彈性模量,EN表示裂紋面完全閉合時損傷區(qū)域的彈性模量.EO,EC,EN與裂紋尺寸、裂紋面粗糙度、裂紋面初始應變有關,并且假設E表示材料沒有損傷時的彈性模量.

2.1 裂紋完全張開階段的等效彈性模量E O

當一列縱波經(jīng)過裂紋時,超聲波周期性的拉伸和壓縮載荷作用會使裂紋出現(xiàn)“呼吸效應”,即裂紋面將產(chǎn)生不斷張開閉合的現(xiàn)象,如圖2所示.

圖2 裂紋在超聲波拉壓載荷下的呼吸效應 (a)裂紋被壓縮閉合;(b)裂紋被拉伸張開Fig.2.Crack breathing effect under the tension and com p ression load of u ltrasonic:(a)Crack closing under the com p ressive load ing;(b)crack openning under the tension load ing.

在裂紋的完全張開階段,當ε(t)+ε0＞0,本文采用有效介質(zhì)方法對含有微小裂紋的損傷區(qū)域等效彈性模量進行求解,其核心思想是當裂紋承受外加應力,其周圍有效介質(zhì)的彈性模量由稀疏分布方法確定,具體計算公式如下[14]：

其中ω表示裂紋密度函數(shù)[14],

ρ(θ,a)是裂紋長度和裂紋傾角的分布密度函數(shù),a為裂紋長度一半,θ為裂紋面法向與外加應力方向夾角,A為損傷區(qū)域面積.

對于含有單裂紋的損傷區(qū)域,本文通過對裂紋密度函數(shù)化簡求得含有單裂紋的損傷區(qū)域在裂紋張開階段的等效彈性模量EO為

2.2 裂紋非完全閉合階段的等效彈性模量E C

在裂紋的非完全閉合階段,當εn＜ε(t)+ε0＜0,損傷區(qū)域的總應變εTOT由兩部分組成,分別是損傷區(qū)域連續(xù)介質(zhì)的彈性應變εE和裂紋產(chǎn)生的非線性彈性應變εC,如下式：

因此,通過引入裂紋所受應力σC和損傷區(qū)域的連續(xù)介質(zhì)所受應力σE,則損傷區(qū)域的等效彈性模量EC的倒數(shù)由下式求得：

本文利用概率函數(shù)描述裂紋表面粗糙峰高度分布,建立裂紋粗糙表面所受應力與裂紋面之間距離的關系,具體計算公式如下[12]：

P為裂紋面所受正應力,M為裂紋面的粗糙參數(shù), d為裂紋平面與參考面之間相對距離.φ(y)表示裂紋粗糙峰高度分布,本文采用高斯分布來描述固體表面的粗糙峰分布：

Ψ是對剪切力的存在而增加的幾何校正因式,和裂紋面的傾斜角度θ有關.根據(jù)Hertz接觸理論分別計算裂紋面的正應力FN和切向應力Fτ(忽略了裂紋表面的滑動),得到了幾何校正因式Ψ：

其中ν表示無損材料的泊松比.假設裂紋的寬度非常小,即裂紋面之間的位移極小,則裂紋面應變有如下的定義：

w為加載力方向上的位移,d0為裂紋參考面的距離,θ為裂紋面法向與力的夾角.接觸應力通過對應變求導,得出損傷區(qū)域在裂紋面接觸時彈性模量的變化規(guī)律：

圖3 損傷區(qū)域在裂紋面非完全閉合時的等效彈性模量ECFig.3.The equivalent elasticm odu lu EC of the damage zone as the crack surface is not com p letely closed.

2.3 裂紋完全閉合階段等效彈性模量E N

當裂紋完全閉合時,ε(t)+ε0＜εn,裂紋表面的所有凸峰和凹谷已經(jīng)完全接觸,此時損傷區(qū)域的等效彈性模量為無損材料的彈性模量,

3 仿真實驗與結(jié)果分析

3.1 仿真模型的建立

本文使用有限元方法對提出的三階段裂紋-超聲波的非線性作用模型進行仿真模擬,一方面驗證模型的正確性,另一方面通過本模型定性分析裂紋參數(shù)對超聲波非線性作用的影響.仿真實驗中使用銅作為平板材料,其密度ρ=8960 kg/m3,聲速c=4600 m/s,平板尺寸為20 mm×20 mm×20 mm.平板右端固定,設立兩個數(shù)據(jù)采集點A和B,采集X方向的超聲波信號,A點采集到的為未經(jīng)過損傷區(qū)域的超聲波信號, B點采集到的為經(jīng)過損傷區(qū)域的超聲波信號(如圖4).

圖4 有限元仿真建模Fig.4.Finite elem ent simu lation modeling.

在平板中間建立長度為1 mm的豎直裂紋,傳統(tǒng)裂紋建模方法是通過模擬裂紋的幾何形狀和接口,并定義適當?shù)慕佑|條件,但由于裂紋表面形貌復雜,所以需要將裂紋區(qū)域離散成尺寸非常小的單元體,這在本質(zhì)上容易造成單元的失真.本文通過使用非線性損傷單元替換裂紋及其周圍的損傷區(qū)域,避免了傳統(tǒng)裂紋建模的弊端,非線性損傷單元的“應力-應變”關系采用本文建立的三階段模型描述,具體仿真計算步驟如圖5所示.

圖5 仿真流程圖Fig.5.Sim u lation fl ow chart.

3.2 基于多階段模型的裂紋-超聲波非線性作用

仿真模擬過程中,在平板左端施加水平向右、周期2MHz、振幅4MPa的正弦載荷.

將本文提出的模型代入波動方程,并通過有限元模擬計算,結(jié)果如圖6所示.圖6(a)是A點和B點接收到的超聲波時域信號,可以看出超聲波在B點波形發(fā)生了嚴重畸變;圖6(b)是經(jīng)過傅里葉轉(zhuǎn)換后的頻域信號,對比發(fā)現(xiàn)B點的超聲波頻域信號產(chǎn)生了明顯的二次諧波和少量的三次諧波.仿真結(jié)果表明本文提出的模型可很好地描述超聲波與裂紋的非線性作用,驗證了模型的正確性.

3.3 一個諧波周期內(nèi)裂紋-超聲波非線性相互作用

對比本文提出的多階段模型、雙線性剛度模型、接觸面模型,計算一個諧波周期內(nèi)三種模型對超聲波波形畸變的影響.仿真實驗采用頻率為250 kHz、幅值為4 MPa的超聲波,裂紋長度為1 mm,裂紋傾角為0°,非線性損傷單元的應力-應變關系分別由本文提出的多階段模型、雙線性剛度模型、接觸面模型計算,其余參數(shù)與3.1節(jié)中參數(shù)保持一致,計算結(jié)果如圖7所示.本文引入波形畸變因子K來描述波形發(fā)生畸變的強度,畸變越強越利于后期信號分析與處理,畸變因子K的計算方法為

式中εi分別為多階段模型、雙線性剛度模型、接觸面模型下超聲波非線性作用引發(fā)的材料應變幅值.

圖6 (網(wǎng)刊彩色)超聲波經(jīng)過裂紋前后的信號對比 (a)時域信號;(b)頻域信號Fig.6.(color online)Com parison of signals before and after u ltrasonic wave passing th rough crack:(a)Time dom ain signal;(b)frequency dom ain signal.

圖7是一個諧波周期內(nèi)超聲波經(jīng)過微裂紋后的波形圖.采用接觸面模型計算時,超聲波的波形發(fā)生畸變,畸變因子K 值為1.30×10-2;采用雙線性剛度模型計算時,超聲波的波形發(fā)生畸變,畸變因子K值為1.32×10-2;采用本文提出的三階段模型,在超聲波拉伸和壓縮載荷作用下,張開和閉合階段都發(fā)生明顯畸變,畸變因子K值為2.12×10-2.仿真結(jié)果表明本文提出的多階段模型相比于雙線性剛度模型和接觸面模型,K值最大,能更好地體現(xiàn)超聲波經(jīng)過損傷區(qū)域時的非線性相互作用.

圖7 (網(wǎng)刊彩色)不同模型的超聲波波形畸變對比Fig.7.(color on line)Com parison of u ltrasonic waveform d istortion of d iff erent models.

3.4 裂紋特征參數(shù)和超聲波幅值對超聲波二次諧波幅值的影響

基于本文提出的多階段模型,進一步研究裂紋傾角、裂紋長度、超聲波幅值對微裂紋-超聲波非線性效應的影響,設計了3因素4水平的試驗(如表1).超聲波頻率采用2MHz,材料和尺寸參數(shù)與3.1節(jié)仿真模擬一致.

表1 不同裂紋特征參數(shù)對比試驗Tab le 1.Com parative test with different crack characteristic param eters.

3.4.1 裂紋傾角對微裂紋-超聲波非線性效應的影響

仿真參數(shù)：超聲波幅值為4 MPa,裂紋長度為1 mm,裂紋面的初始應變?yōu)?0.0001,分別設置不同的裂紋傾角進行對比實驗,超聲波經(jīng)過微裂紋后的時域和頻域信號如圖8所示.

圖9是在不同的裂紋傾角情況下,計算了超聲波經(jīng)過微裂紋后高次諧波幅值的變化規(guī)律.結(jié)果表明超聲波的傳播方向與裂紋面法線的夾角越大,高次諧波的幅值越小;從0°到60°,二次諧波的幅值減小了13%,從60°到90°二次諧波的幅值減小了82%.這是由于仿真采用縱波發(fā)射和接收,當裂紋傾角越小,裂紋面上產(chǎn)生的非線性應變分量就越大,損傷區(qū)域的彈性模量變化也就越大,超聲波的非線性行為越明顯.特別地,當裂紋傾角為90°時,裂紋面與縱波傳播方向平行,二次諧波的幅值幾乎為零,此時將無法檢測到裂紋的存在.三次諧波幅值的變化也體現(xiàn)了相同的規(guī)律.

圖8 (網(wǎng)刊彩色)不同裂紋傾角對超聲波非線性效應的影響 (a)時域信號;(b)頻域信號Fig.8.(color on line)The in fluence of different crack angle on u ltrasonic nonlinear effect:(a)Time dom ain signal;(b)frequency dom ain signal.

圖9 裂紋傾斜角對超聲波高次諧波幅值影響Fig.9.The in fluence of d iff erent crack angle on higher harm onic am p litudes of u ltrasonic.

3.4.2 超聲波激勵幅值對超聲波非線性效應的影響

仿真參數(shù)：裂紋長度1mm,傾角為0°,裂紋面的初始應變?yōu)?0.0001,分別設置不同的超聲波激勵幅值進行對比實驗,超聲波經(jīng)過微裂紋后的時域和頻域信號如圖10所示.

圖10 (網(wǎng)刊彩色)不同超聲波激勵幅值對超聲波非線性效應的影響 (a)時域信號;(b)頻域信號Fig.10.(color online)The in fluence of different ultrasonic excitation amplitude on ultrasonic nonlinear effect:(a)Time dom ain signal;(b)frequency dom ain signal.

圖11是在不同的超聲波激勵幅值下,計算了超聲波經(jīng)過微裂紋后高次諧波幅值的變化規(guī)律,結(jié)果表明高次諧波幅值隨著超聲波激勵幅值的增加而增加.為了定量地比較激勵幅值對超聲波非線性效應的影響,將超聲波的基波幅值進行了歸一化處理.由圖11可以看出,當超聲波幅值從4 MPa增加到8 MPa時二次諧波的幅值增加了0.104;從8 MPa增加到12 MPa時二次諧波的幅值增加了0.2;從12 MPa增加到16 MPa時二次諧波的幅值增加了0.04,幅值增加先快后慢.其主要原因是：當超聲波激勵幅值低于8 MPa時,裂紋面始終閉合,二次諧波不明顯,當大于閾值時,二次諧波幅值增加明顯,但當激勵幅值繼續(xù)增加時,此時二次諧波的幅值不會繼續(xù)增加.三次諧波幅值的變化也體現(xiàn)了相同的規(guī)律.

3.4.3 裂紋長度對超聲波的非線性效應的影響

仿真參數(shù)：超聲波激勵幅值4 MPa,裂紋面的初始應變?yōu)?0.0001,分別設置不同的裂紋長度進行對比實驗,超聲波經(jīng)過微裂紋后的時域和頻域信號如圖12所示.

圖13是在不同的裂紋長度下,計算了超聲波經(jīng)過微裂紋后高次諧波幅值的變化規(guī)律.從圖12的計算結(jié)果可以看出：隨著裂紋長度不斷增加,超聲波非線性效應不斷增強,當裂紋長度為0.4mm時,二次諧波幅值不太明顯;當裂紋長度為0.8 mm時,已經(jīng)可以明顯觀測到二次諧波的幅值,從而驗證了采用超聲波非線性效應檢測微裂紋的可行性.從圖13的計算結(jié)果可以看出：二次諧波和三次諧波幅值的增加與裂紋長度增加近似呈線性關系,依據(jù)此規(guī)律可以在實際測量中定量檢測裂紋的長度.

圖12 (網(wǎng)刊彩色)不同裂紋長度對超聲波非線性效應的影響 (a)時域信號;(b)頻域信號Fig.12.(color on line)The in fluence of different crack length on ultrasonic nonlinear effect:(a)Time dom ain signal;(b)frequency domain signal.

圖13 裂紋長度對超聲波高次諧波幅值的影響Fig.13.The in fluence of different crack length on higher harmonic amplitudes of ultrasonic.

3.5 實驗驗證與分析

為了驗證本文提出模型的有效性,進行實驗測試,實驗測試系統(tǒng)結(jié)構如圖14所示.實驗測試過程中,函數(shù)信號發(fā)生器(Tektronix AFG3022B)產(chǎn)生20周期頻率為2.5 MHz、電壓幅值為5 V正弦波信號;功率放大器(ENI2100L)放大和驅(qū)動超聲換能器,功率放大增益為50 dB;發(fā)射換能器中心頻率2.5 MHz,頻率帶寬為2.25-2.80 MHz;接收換能器中心頻率5 MHz,頻率帶寬為4.55-5.60 MHz;數(shù)字示波器(Tektronix DPO2024)采樣分析非線性超聲信號.

圖14 實驗系統(tǒng)結(jié)構圖Fig.14.The structure diagram of the experim ental system.

實驗采用黃銅H59作為實驗材料,彈性模量為110 GPa,泊松比為0.33,試樣尺寸為20 mm× 20 mm×100 mm.在試樣中間使用線切割預制長7 mm、寬0.2mm的缺口,如圖15所示.通過在三點彎曲試驗機(Amsler HFP 5000)上加載頻率為80 Hz、幅值為3.8 kN的循環(huán)載荷,預制出裂紋長度為3mm疲勞裂紋,如圖16所示.

圖15 試件尺寸Fig.15.D im ensions of specim en.

建立與試樣相同的仿真幾何模型,將試樣的裂紋近似等效為20mm×20mm×20mm的損傷區(qū)域,依據(jù)(2),(6),(11),(12)式近似求得損傷區(qū)域的多階段等效彈性模量變化,如圖17所示.

對比分析實驗測試和仿真計算所得到超聲波信號,對信號進行傅里葉轉(zhuǎn)換并進行歸一化處理,得到的超聲波頻域信號如圖18所示,可以看出實驗測試和仿真計算超聲波信號的頻譜成分中均出現(xiàn)了5MHz的二次諧波分量,而且實驗結(jié)果與仿真結(jié)果基本一致,從而驗證了本文模型的有效性.

圖16 裂紋擴展Fig.16.Crack p ropagation.

圖17 損傷區(qū)域應變-彈性模量關系變化Fig.17.Relationship between strain and elasticm odu lus in the dam age area.

圖18 實驗與仿真結(jié)果對比分析 (a)歸一化的實驗測試頻域信號;(b)歸一化的仿真計算頻域信號Fig.18.Com parative analysis of experim ental and simu lation resu lts:(a)Norm alized experim ental Frequency signal;(b)norm alized sim u lation frequency signal.

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于等效彈性模量的微裂紋-超聲波非線性作用多階段模型,完整地描述了一個諧波周期內(nèi)微裂紋-超聲波的非線性相互作用,能夠清晰地表征高次諧波是由于微裂紋粗糙界面的幾何特征(粗糙峰高度分布規(guī)律)和宏觀層面裂紋面的相對運動共同作用的結(jié)果.有限元仿真結(jié)果表明,本文提出的多階段模型相比于雙線性剛度模型、接觸面模型能夠更好地體現(xiàn)微裂紋-超聲波的非線性相互作用.同時,基于本文提出多階段模型,進一步探索了裂紋傾角、裂紋長度、超聲波幅值對微裂紋-超聲波非線性效應的影響.實驗測試與仿真計算的結(jié)果對比分析驗證了本文提出的多階段模型的有效性.因此本文提出的基于等效彈性模量的微裂紋-超聲波非線性作用多階段模型,可以有效地探究裂紋的單個特征參數(shù)對超聲波非線性效應的影響,為研究超聲波非線性效應、定量檢測微裂紋提供了新的仿真手段.

[1]Jhang K Y 2009 Int.J.Precis Eng.M an.10 123

[2]Chen Z J,Zhang S Y,Zheng K 2010 Acta Phys.Sin.59 4071(in Chinese)[陳趙江,張淑儀,鄭凱 2010物理學報59 4071]

[3]W u M,Guo F,Li M,Han Y 2016 M ater.Sci.Forum. 849 603

[4]Broda D,Staszew skiW J,M artow icz A,Uh l T,Silberschm id t V V 2014 J.Sound.Vib.333 1097

[5]Lim H J,Song B,Park B,Sohn H 2015 NDT&E In t. 73 8

[6]M atlack K H,K im J Y,Jacobs L J,Qu J 2015 J.Nondestruct Eval.34 273

[7]Friswell M I,Penny J E T 2002 Struct Health M onit.1 139

[8]Solodov IY,K rohn N,Busse G 2002 U ltrasonics 40 621

[9]W illiam son J B P,G reenwood J A 1966 Proc.R.Soc. London A 19 295

[10]Baltazar A,Rokh lin S I,PecorariC 2002 J.M ech.Phys. So lids.50 1397

[11]Nazarov V E,Su tin A M 1998 J.Acoust.Soc.Am.102 3349

[12]X iao Q,W ang J,Guo X S,Zhang D 2013 Acta Phys. Sin.62 275(in Chinese)[肖齊,王珺,郭霞生,章東2013物理學報62 275]

[13]B rown S R,Scholz C H 1985 J.Geophys.Res.90 5531

[14]Cai M,Horii H 1992 M ech.M ater.13 217

(Received 3 January 2017;revised manuscript received 5 May 2017)

Modelling of multi-stage nonlinear interaction of micro-crack and ultrasonic based on equivalent elastic modulus?

Yang Bin?Wei Shuo Shi Kai-Yuan

(University of Science and Technology Beijing,National Center for Materials Service Safety,Beijing 100083,China)

A multi-stagemodel of nonlinear interaction betweenmicro-crack and ultrasound based on equivalent elasticmodulus is p resented in this paper.In thismodel,the interface characteristics ofmicro-cracks at amicro-leveland the relative m otion at am acro-level are unified into an elasticm odu lus of them esoscopic elem ent.The equivalent elasticm odulus is used to characterize the“stress-strain”of the damage region.Then piecew ise function is used todescribe the nonlinear interaction between u ltrasound and micro-crack.Finally,the wave equation is solved by the finite elem ent simulation. In thism anner,the nonlinear interaction law between u ltrasound and micro-crack is obtained,and the validity of the model is verified.The simulation results also show that com pared with bilinear stiff ness model and contact surface model,the mu lti-stage model can well refl ect the distortion of the waveform in one period of ultrasonic wave passing through themicro-crack.In addition,the influences of the crack angle,the crack length and the input am p litude on the second harmonics generation and the third harmonics generation are analyzed.In the end,the com parison and analysis of the experim ental test and simulation calculations based on the p roposed mu lti-stage model show that the proposed multi-stagemodel and the experimental test can well refl ect the second harmonic signal p roduced by the nonlinear interaction ofmicro-crack and u ltrasound,and the second harmonic am p litudes of the experimental test are basically the sam e as the simulation calcu lations based on the proposed multi-stagemodel.Thus,the effectiveness of theproposed multi-stagemodel is verified.Themodel provides a new simulation method to quantitatively detect themicro-crack by ultrasonic nonlinear effect.

micro-crack,ultrasonic,equivalent elasticmodulus,multi-stage

PACS:43.25.+y,43.35.+d DO I:10.7498/aps.66.134301

?國家自然科學基金(批準號:51575038,51471022)和中央高?；究蒲袠I(yè)務費(批準號:TW 201710,FRF-BD-16-004A)資助的課題.

?通信作者.E-m ail:binyang@ustb.edu.cn

PACS:43.25.+y,43.35.+d DO I:10.7498/aps.66.134301

*Pro ject supported by the National Natu ral Science Foundation of China(G rant Nos.51575038,51471022)and the Fundam ental Research Funds for the Central Universities of M inistry of Education of China(Grant Nos.TW 201710,FRF-BD-16-004A).

?Corresponding author.E-m ail:binyang@ustb.edu.cn