賈 杰，任芳國(guó)

（陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)院，陜西西安710062）

關(guān)于正規(guī)矩陣的注記

賈 杰，任芳國(guó)＊

（陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)院，陜西西安710062）

利用正規(guī)矩陣特征值和奇異值的定義，聯(lián)系譜范數(shù)、Schur引理、極分解、矩陣酉相似對(duì)正規(guī)矩陣進(jìn)行了等價(jià)刻畫，得到正規(guī)矩陣特征值和奇異值存在關(guān)系σi＝｜λi｜，i＝1，2，…，n，λ1，λ2，…，λn，σ1，σ2，…，σn分別為A的特征值和奇異值，正規(guī)矩陣特征值和它的跡存在關(guān)系數(shù)學(xué)分析及類比思想獲得了正規(guī)矩陣唯一分解，推廣并證明了正規(guī)矩陣下的內(nèi)積不等式和范數(shù)不等式.

正規(guī)矩陣；特征值；跡；范數(shù)

正規(guī)矩陣是一類特殊的矩陣，是在討論矩陣的酉等價(jià)時(shí)產(chǎn)生的一類矩陣，在矩陣分析中占據(jù)重要的位置.文獻(xiàn)［1］研究了對(duì)角矩陣和正規(guī)矩陣的性質(zhì)；文獻(xiàn)［2］給出了可換矩陣的定理.文獻(xiàn)［3］線性代數(shù)的應(yīng)用給出了正規(guī)矩陣的相關(guān)性質(zhì)；文獻(xiàn)［4－8］分別研究了奇異值與特征值的內(nèi)容以及正規(guī)矩陣乘積的性質(zhì)等；在之后的文獻(xiàn)中研究了特征值理論，正規(guī)矩陣定理，矩陣與算子的應(yīng)用等.筆者繼續(xù)研究正規(guī)矩陣的等價(jià)定理，并得到正規(guī)矩陣的奇異值是特征值的絕對(duì)值，特征值與跡的關(guān)系，正規(guī)矩陣在范數(shù)中的應(yīng)用以及正規(guī)矩陣的分解及分解的唯一性.

1 預(yù)備知識(shí)

為了敘述方便，對(duì)符號(hào)約定如下：A＊表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置；Mm×n（F）表示數(shù)域F上的所有m×n階矩陣的集合；Mn（F）表示數(shù)域F上的所有n×n階矩陣的集合；tr（A）是矩陣A的跡，其中A∈Mn，其他未加說明的符號(hào)參見文獻(xiàn)［6］.

下面是與本文有關(guān)的幾個(gè)定義及引理：

定義1［1］設(shè)A∈Mn，則存在n階酉矩陣U及對(duì)角線元素為A的特征值的上三角矩陣D，使得A＝UDU＊，稱A具有Schur分解.

定義2［2］設(shè)A＝（aij）n×n∈Cn×n則｜｜A｜｜2＝，λ1為A＊A的最大特征值.

定義3［5］設(shè)A＝（aij）n×n∈Cn×n，若A＊A＝AA＊，則A正規(guī).

定義4［6］設(shè)A∈Mn（C），則A＝U｜A｜，其中A是A＊A的平方根或A＝｜A＊｜U，稱為極分解.

引理1［3］設(shè)矩陣A∈Mm×n（C），則存在兩個(gè)酉矩陣V∈Mm和W∈Mn及矩陣Σ＝［σij］∈Mm，n，

其中σij＝0（i≠j）且σ11σ22…σqq0，其中q＝min｛m，n｝，使得A＝VΣW＊，其中σii，i＝1，2，…，q為A的奇異值，稱A具有奇異值分解.如果A是實(shí)的，那么V∈Mm和W∈Mn是實(shí)正交陣，Λ＝引理2［4］設(shè)A，B，C，D都是n×n階矩陣且｜A｜≠0，AC＝CA，則

引理3［7－8］設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，對(duì)任何u，v∈Cn有

2 主要結(jié)論及證明

定理1 設(shè)A∈Cn×n，A是正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)

1）A與對(duì)角矩陣酉相似，即存在酉矩陣U∈Cn×n，使U＊AU對(duì)角化.

2）A∈Cn×n，A＝U｜A｜，A是正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)U與A可換.

3）λ1，λ2，...，λn是A的特征值且｜λ1｜｜λ2｜，…，｜λn｜，則A是正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)｜λ1（A）λ2（A）·…·λk（A）｜＝σ1（A）·…·σk（A）， k＝1，2，…，n.對(duì)于所有的k都成立.

4）A是正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A的每個(gè)特征向量是A＊的一個(gè)特征向量.

5）A是正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)和一個(gè)具有不同特征值的正規(guī)矩陣可換.

6）A是非奇異矩陣，M＝A－1A＊，證明A是正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)M是酉矩陣.

7）A是正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)I－A是正規(guī)的.

證 1）A是正規(guī)矩陣，則A＊A＝AA＊

由定義1得，A＝UDU＊其中U∈Cn×n為酉矩陣，D為上三角陣.

則（U＊AU）＊（U＊AU）＝（U＊AU）（U＊AU）＊，得A＊A＝AA＊，A為正規(guī)矩陣.

2）A＝U｜A｜， A＝｜A＊｜U，由于A＊A＝AA＊，故｜A｜＝｜A＊｜

故U｜A｜＝｜A｜U，U與A 可換；反之，U與A可換，則A＝U｜A｜＝｜A｜U＝｜A＊｜U，故｜A｜＝｜A＊｜A是正規(guī)的.

3）證明是顯然的.

4）A是正規(guī)的，u是A的一個(gè)單位特征向量，特征值為λ，則存在酉矩陣U第一列為u，使得U＊AU且α＝0，取U＊AU的共軛轉(zhuǎn)置，u是A＊的一個(gè)特征向量對(duì)應(yīng)λ－是A＊的特征值.另一方面，設(shè)Ax＝λx（U＊AU）（U＊x）＝λ（U＊x）

U是n階酉矩陣，由于Ax＝λx由schur分解，假設(shè)A是一個(gè)上三角陣.

取e1＝（1，0，…，0）T，e1是A的一個(gè)特征向量，假設(shè)e1也是A＊的一個(gè)特征向量，A＊e1＝Ue1，A＊的第一列由零組成除了第一個(gè)元素.因此

5）由于A和B可換，B是正規(guī)的，B的所有特征值不同，則B＝V＊CV，V為酉矩陣，C是對(duì)角陣diag（c1，c2，…，cn），AB＝BA得WC＝CW，W＝（wij）＝VAV＊，wijci＝wijcj，wij（ci－cj）＝0，i≠j時(shí)ci≠cj，wij＝0，因此是VAV＊對(duì)角的，A是可以酉對(duì)角化的，故A是正規(guī)的.

反過來，B＝Udiag（1，2，…，n）U＊，顯然可以得到B是正規(guī)的，AB＝BA.

6）由于M＝A－1A＊，由A是正規(guī)的則A－1是正規(guī)的，故M＊＝A（A－1）＊，M＊M＝A（A－1）＊A－1A＊＝AA－1（A－1）＊A＊＝In，故M是酉矩陣.反過來由于M是酉矩陣，則

M＊M＝In＝A（A－1）＊A－1A＊，A－1In（A－1）＊＝A－1A（A－1）＊A－1A＊（A－1）＊＝（A－1）＊A－1，

A－1（A－1）＊＝（A－1）＊A－1，故A－1是正規(guī)的，顯然A也是正規(guī)的.

7）由于A是正規(guī)的，則A＊A＝AA＊

（I－A）＊（I－A）＝（I＊－A＊）（I－A）＝（I－A＊）（I－A）＝I－A＊－A＋AA＊

而（I－A）（I－A）＊＝I－A＊－A＋AA＊

由于A＊A＝AA＊，故（I－A）＊（I－A）＝（I－A）（I－A）＊

故I－A是正規(guī)的.同理I－A是正規(guī)的，很容易可以得到A＊A＝AA＊.

故A是正規(guī)的.

又由于λt＝xt＋yti，則λ－t＝xt－yti，（xt，yt∈R，t＝1，2，…，n），故

所以

定理3 設(shè)A＝（aij）是一個(gè)n階復(fù)矩陣，且λ1，λ2，…，λn為A的特征值.

2）若A是正規(guī)矩陣，則

3）若A和B是正規(guī)矩陣且AB是正規(guī)矩陣，則BA是正規(guī)矩陣

4）設(shè)A是正規(guī)矩陣，AB＝BA，則A＊B＝BA＊.

5）若A和B是正規(guī)矩陣，若AB＝BA，則AB是正規(guī)的且存在一個(gè)酉矩陣U使得A和B同時(shí)對(duì)角化

6）設(shè)A是正規(guī)矩陣，則存在一個(gè)多項(xiàng)式P，使得

A＊＝P（A）

證 1）A＝U＊TU是A的schur分解，U是酉矩陣，T是上三角陣，則A＊A＝U＊T＊TU，顯然tr（A＊A）＝tr（T＊T）

A正規(guī)時(shí)，T是對(duì)角的.等號(hào)顯然成立.

且這種分解是唯一的.

則PkAQj＝λkPkQj＝λjPkQj，k≠j，則PkQj＝0，Pj＝PjIn＝Pj（Q1＋…＋Qk）＝PjQj

故Qj＝Pj，分解是唯一的，稱為A的譜分解.

3）設(shè)λ1（AB），λ2（AB），…，λn（AB）為AB的特征值.由于AB 的特征值和BA的特征值相同，又由于AB＝

故A＊B＝BA＊.

5）A和B是正規(guī)矩陣且AB＝BA，由定理3的證明4）得A＊B＝BA＊.

（AB）＊（AB）＝B＊A＊AB＝B＊AA＊B＝（A＊B）＊（A＊B）

（AB）（AB）＊＝ABB＊A＊＝AB＊BA＊＝（BA＊）＊（BA＊）

故AB是正規(guī)的.

由于A是正規(guī)的，則存在U使U＊AU為對(duì)角陣，則

U＊AUU＊BU＝U＊BUU＊AU，U＊AU與U＊BU可換，故U＊BU為對(duì)角矩陣，定理得證.6）證明原理：設(shè)f是一個(gè)函數(shù)，f在不同的點(diǎn)λ1，λ2，…，λm的取值分別為b1，b2，…，bm.則

令P（x）＝b1l1（x）＋b2l2（x）＋…＋bmlm（x），p（λ1）＝b1，…，p（λi）＝bi不妨設(shè)A＝diag（λ1，…，λn），使p（λi）＝λi，i＝1，2，…，n取不同的特征值.

則A＊＝P（A）.

定理4 設(shè)A∈Cn×n，A是正規(guī)矩陣，則

1）tr（A＊2A2）＝tr［（A＊A）2］

2）｜｜Ax｜｜＝｜｜A＊x｜｜，x∈Cn

3）若A是一個(gè)n階方陣，則｜（Au，u）｜#（｜A｜2u，u）.

4）A是正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)｜（Au，u）｜#（｜A｜u，u），u∈Cn

也有｜（Au，u）｜#（｜A＊｜u，u），u∈Cn

證 1）由于｜｜A＊A－AA＊｜｜2F＝2｛tr［（A＊A）2－（A＊2A2）］｝

又 ｜｜A＊A－AA＊｜｜2F＝0

故 tr（A＊2A2）＝tr［（A＊A）2］；

2）｜｜Ax｜｜2＝（Ax）＊（Ax）＝x＊A＊Ax＝x＊AA＊x＝｜｜A＊x｜｜2

故｜｜Ax｜｜＝｜｜A＊x｜｜，x∈Cn

3）設(shè)A＝UDV是A的奇異值分解，U和V為酉矩陣，D是非負(fù)對(duì)角陣，則｜A｜＝V＊DV，｜A＊｜＝UDU＊.

4）由定義4得，A＝U｜A｜

由定理2得，U與A 可換.因?yàn)椋麬｜12是A 的多項(xiàng)式，則U和｜A｜12可換，則

故有｜（Au，u）｜#（｜A｜u，u），u∈Cn

反過來，如果｜（Au，u）｜#（｜A｜u，u），u∈Cn，由schur定理假設(shè)A是上三角陣.

只需證明A是對(duì)角陣即可

若λ1＝λ2＝0且α＝0，取兩個(gè)正數(shù)s，t，且s＞t，u＝（s，t）T，有

｜u＊Au｜＝st｜α｜，u＊｜A｜u＝t2｜α｜，｜u＊Au｜#u＊｜A｜u，（s＜t）

若λ1≠0或者λ2≠0，令

則由｜u＊Au｜#u＊｜A｜u得｜λ1｜#a.

比較｜A｜2＝A＊A的左上角元素得a2＋｜b｜2＝｜λ1｜2，故b＝0

這個(gè)矩陣的（1，2）元素得λ1α＝（a＋c）b＝0，故α＝0

因此A是對(duì)角陣，則A是正規(guī)的.

同理有｜（Au，u）｜#（｜A＊｜u，u），u∈Cn.

參考文獻(xiàn)：

［1］M P Drazin.On diagonable and normal matrices［J］.Quart.J.Math.Oxford Ser，1951，2（2）：189－198.

［2］M P Drazin，J W Dungey，K W Gruenberg.Some theorems on commutative matrices［J］.J.London Math.Sot，1951，2（6）：221－228.

［3］P M Gibson.Simultaneous diagonalization of rectangular complex matrices［J］.Linear Algebra Appl，1974，9：45－53.

［4］F Hausdorff.Der Wertvorrat einer Bihnearform［J］.Math，1919，2（3）：314－316.

［5］Horn R A，Johnson C R.Matrix analysis［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1990.

［6］Horn R A，Johnson C R.Topics in matrix analysis［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1991.

［7］I Kaplansky.Products of normal operators［J］.Duke Math，1953，2（2）：257－260.

［8］C R Johnson.Normality and the numerical range［J］.Linear AZgebra A＆，1976，5（1）：84－94.

Remarks on normal matrices

JIA Jie，REN Fangguo
（School of Mathematics and Information Science，Shaanxi Normal University，Xi’an 710062，China）

In this paper，using the normal matrix and the definition of eigenvalue and singular value，contact the spectral norm，Schur lemma，polar decomposition，unitary similar matrix and their equivalent characterizations of normal matrix，the properties of normal matrix eigenvalue and singular value relationship between eigenvalue and singular value respectively and the normal relationship between matrix eigenvalues and trace，and using mathematical analysis and analogy thought only

regular matrix decomposition，the inner product promotion and proves that.

normal matrix；eigenvalue；trace；norm

O152.21

A

1671-9476（2017）02-0014-06

10.13450／j.cnkij.zknu.2017.02.004

2016-07-18；

2016-11-25

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（No.11471200）

賈杰（1990－），女，河南鄭州人，碩士研究生，研究方向?yàn)榫仃囌?

＊通信作者簡(jiǎn)介：任芳國(guó)，陜西師范大學(xué)副教授，E－mail：rfangguo＠snnu.edu.cn.