宋振云, 陳少元, 胡付高

(1.湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院， 湖北 孝感 432000； 2.湖北工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 孝感 432000)

MM-凸函數(shù)及其Jensen型不等式

宋振云1, 陳少元1, 胡付高2

(1.湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院， 湖北 孝感 432000； 2.湖北工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 孝感 432000)

考慮函數(shù)的廣義凸性問題，利用區(qū)間上的二元冪平均定義了MM-凸函數(shù)，討論了MM-凸函數(shù)的若干判定定理及運(yùn)算性質(zhì)，建立了其Jensen型不等式，并給出了Jensen型不等式的等價(jià)形式及推論．結(jié)果表明，MM-凸函數(shù)是比較函數(shù)定義區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)的冪平均函數(shù)值與其函數(shù)值的冪平均大小所確定的各類凸函數(shù)的推廣.MM-凸函數(shù)概念的引入，為深入研究凸函數(shù)和拓展凸函數(shù)概念探索了一條新途徑．

凸函數(shù)；MM-凸函數(shù)；判定定理；運(yùn)算性質(zhì)；Jensen型不等式

0 引 言

(1)

分別為n元加權(quán)算術(shù)平均、n元加權(quán)幾何平均、n元加權(quán)調(diào)和平均、n元加權(quán)平方根平均、n元加權(quán)調(diào)和平方根平均、n元加權(quán)立方根平均、n元加權(quán)調(diào)和立方根平均．

針對(duì)n元加權(quán)冪平均，文獻(xiàn)[1]進(jìn)行了深入研究，并給出了許多重要結(jié)果，此處不再贅述．

若ai∈(1,+∞)，則

特別地，?x1,x2∈R+及?t1,t2,α∈[0,1]，有

凸函數(shù)[2]、幾何凸函數(shù)[3]、調(diào)和凸函數(shù)[4]、平方凸函數(shù)[5]、調(diào)和平方凸函數(shù)[6]、r-平均凸函數(shù)[7]等都利用冪平均給出的定義，這些凸函數(shù)在許多領(lǐng)域的應(yīng)用及其重要作用已為人熟知，但缺乏規(guī)范、簡(jiǎn)潔的統(tǒng)一定義，考慮到數(shù)學(xué)的縝密性和嚴(yán)謹(jǐn)性，各方法尚存在不可忽視的缺失，僅就r-平均凸函數(shù)而言，張孔生等[8]在對(duì)冪指數(shù)做了相應(yīng)限制的前提下，給出了“P方凸函數(shù)”的定義，吳善和[9]充分考慮了冪指數(shù)取值的任意性，在定義中不得不用2個(gè)公式來確定其定義的“rP-凸函數(shù)”，席博彥等[7]通過引入加權(quán)平均的概念定義了“r-平均凸函數(shù)”，雖然彌補(bǔ)了前2種定義的缺陷，但仍未完全解決凸函數(shù)定義的統(tǒng)一和簡(jiǎn)潔性問題，特別是后續(xù)推廣應(yīng)用問題．其他類型的凸函數(shù)定義中的一些問題，不再列舉．

對(duì)區(qū)間上的二元冪平均確定的凸函數(shù)，本文給出了規(guī)范統(tǒng)一的定義，并進(jìn)行了全面深入研究．

定義1 設(shè)I?R+,f:I→R+,若?x1,x2∈I及?t∈[0,1]，存在r,p∈R(r，p≠±∞)，使得

(2)

則稱f(x)為I上的MrMp-凸函數(shù)． 如果不等式(2)中的不等號(hào)反向，則稱f(x)為I上的MrMp-凹函數(shù)．當(dāng)r=p≠0時(shí)，則稱f(x)為I上的r次冪平均凸(凹)函數(shù)．

顯然，當(dāng)r=p=1,0,-1,2,-2或r=p∈R時(shí)，MrMp-凸函數(shù)為凸函數(shù)、幾何凸函數(shù)、調(diào)和凸函數(shù)、平方凸函數(shù)、調(diào)和平方凸函數(shù)和r次冪平均凸函數(shù)；當(dāng)r=0且p=1,-1或p∈R(p≠0)時(shí)，MrMp-凸函數(shù)為GA-凸函數(shù)[10]、GH-凸函數(shù)[11]和GMp-凸函數(shù)[12]；當(dāng)r=1且p=0,-1,2或p∈R時(shí)，MrMp-凸函數(shù)為AG-凸函數(shù)(對(duì)數(shù)凸函數(shù))[13]、AH-凸函數(shù)[14]、AR-凸函數(shù)[15]和AMp-凸函數(shù)[16]；當(dāng)r=-1且p=0,1或p∈R時(shí)，MrMp-凸函數(shù)為HG-凸函數(shù)[17]、HA-凸函數(shù)[18]和HMp-凸函數(shù)[19]；當(dāng)r∈R且p=1,0,-1時(shí)，MrMp-凸函數(shù)為MrA-凸函數(shù)(P-凸函數(shù))[20]、MrG-凸函數(shù)[21]、MrH-凸函數(shù)[22]．

為簡(jiǎn)潔和統(tǒng)一，將凸函數(shù)的記號(hào)MrMp及AMp、GMp、HMp和MrA、MrG、MrH分別記為MM及AM、GM、HM和MA、MG、MH．由于所有“M”均表示n元加權(quán)冪平均，本文規(guī)定：凸函數(shù)記號(hào) “MM”中，第1個(gè)M為n元加權(quán)r次冪平均，第2個(gè)M為n元加權(quán)p次冪平均．

1 MM-凸函數(shù)的判定

考慮到區(qū)間I?R+上的冪函數(shù)τ(x)=xr(r≠0)、對(duì)數(shù)函數(shù)ω(x)=lnx和冪指復(fù)合函數(shù)ρ(x)=expxr(r≠0)是單調(diào)的,記τ(I)=Ir，ω(I)=ln I，ρ(I)=exp Ir．?r,p∈R，由于r=0，p=0時(shí)，MM-凸函數(shù)分別為幾何凸函數(shù)、GA-凸函數(shù)、GH-凸函數(shù)、GM-凸函數(shù)、AG-凸函數(shù)、HG-凸函數(shù)、MG-凸函數(shù)，相關(guān)討論參見文獻(xiàn)[3，10-13，17，21]．本文約定：除r=p=0時(shí)MM-凸函數(shù)為幾何凸函數(shù)外，其他都只討論r≠0，p≠0的情形．

定理1 設(shè)I?R+，f:I→R+，則

證明 這里僅證(i)，用類似方法可證明(ii)．

故f(x)為I上的MM-凸函數(shù)．

若f(x)是I上的MM-凸函數(shù)，且p>0，則由加權(quán)冪平均恒等式和MM-凸函數(shù)的定義，有

若f(x)為I上的MM-凹函數(shù)，則以上證明中的不等號(hào)反向，因此定理1的后半部分成立．

定理2 設(shè)I?R+，f:I→R+，則

證明 僅證(i)，用相同的方法可證明(ii)．

故f(x)為I上的MM-凸函數(shù)．

由以上證明可知，定理2(i)的后半部分亦成立．

類似地可證明：

定理3 設(shè)I?R+，f:I→R+，則

(i)當(dāng)p>0時(shí)，f(x)為I上的MM-凸(凹)函數(shù)的充要條件是(f(x))p為I上的MA-凸(凹)函數(shù)；

(ii)當(dāng)p<0時(shí)，f(x)為I上的MM-凸(凹)函數(shù)的充要條件是(f(x))p為I上的MA-凹(凸)函數(shù)．

定理5 設(shè)I?R+，f:I→R+，則

(i)當(dāng)p>0時(shí)，f(x)為I上的MM-凸(凹)函數(shù)的充要條件是exp(f(x))p為I上的MG-凸(凹)函數(shù)；

(ii)當(dāng)p<0時(shí)，f(x)為I上的MM-凸(凹)函數(shù)的充要條件是exp(f(x))p為I上的MG-凹(凸)函數(shù)．

定理7 設(shè)I?R+，f:I→R+，且f在區(qū)間I上連續(xù)，則

證明 只證(i)，同理可證(ii)．

充分性：若φ(t)為[0,1]上的凸函數(shù)，且p>0，則?x1,x2∈I及?t∈[0,1]，有

故函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的MM-凸函數(shù)．

若f(x)為I上的MM-凹函數(shù)，則以上證明中不等號(hào)反向，故定理7(i)的后半部分成立．

定理8 設(shè)I?R+，f:I→R+，

(i)若p>0，則f(x)為I上的MM-凸(凹)函數(shù)的充要條件是：?x1,x2,x3∈I且x1

當(dāng)r>0時(shí)，有

(3)

當(dāng)r<0時(shí)，有

(4)

(ii)若p<0，則f(x)為I上的MM-凸(凹)函數(shù)的充要條件是：?x1,x2,x3∈I且x10時(shí)，有

(5)

當(dāng)r<0時(shí)，有

(6)

證明 只證(i)，同理可證(ii)．

若f(x)為I上的MM-凸函數(shù)，則

因?yàn)?x∈I,f(x)>0，且p>0，注意到x10時(shí)，將上式整理即得

當(dāng)r<0時(shí)，類似地，有

由于p>0，且當(dāng)r>0或r<0時(shí)，以上證明步步可逆，所以充分性成立．

若f(x)在I上是MM-凹的，則以上證明中的不等號(hào)反向，故定理8(i)的后半部分成立．

定理9 設(shè)I?R+，f:I→R+，且f在I上二階可導(dǎo)，則f為I上MM-凸(凹)函數(shù)的充分必要條件是

(p-1)(f′(x))2x+f(x)f″(x)x+

(1-r)f(x)f′(x)≥(≤)0(p≠0)．

(7)

證明 只證f為I上MM-凸函數(shù)的情形，同理可證f為I上MM-凹函數(shù)的情形．

注意到x∈I?R+，f(x)>0(?x∈I)，所以

φ″(t)≥(≤)0?p[(p-1)(f′(x))2x+

f(x)f″(x)x+(1-r)f(x)f′(x)]≥(≤)0.

所以，當(dāng)p>0時(shí)，f(x)為I上的MM-凸函數(shù)的充要條件是 ?x∈I，有

(p-1)(f′(x))2x+f(x)f″(x)x+

(1-r)f(x)f′(x)≥0．

當(dāng)p<0時(shí)，f(x)是I上的MM-凸函數(shù)?

所以，當(dāng)p<0時(shí)，f(x)為I上的MM-凸函數(shù)的充要條件仍然是?x∈I不等式(7)成立.

故當(dāng)p≠0時(shí)，f(x)為I上的MM-凸函數(shù)的充要條件是?x∈I不等式(7)成立．

2 MM-凸函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算性質(zhì)

定理10 設(shè)A,I?R+，B?I，f:I→R+,μ:A→B，則

(i)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞增的MM-凸函數(shù)，u=μ(x)為A上的r次冪平均凸函數(shù)(r-平均凸函數(shù)[7])，則y=f(μ(x))為A上的MM-凸函數(shù)；

(ii)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞減的MM-凸函數(shù)，u=μ(x)為A上的r次冪平均凹函數(shù)(r-平均凹函數(shù))，則y=f(μ(x))為A上的MM-凸函數(shù)；

(iii)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞增的MM-凹函數(shù)，u=μ(x)為A上的r次冪平均凹函數(shù)(r-平均凹函數(shù))，則y=f(μ(x))為A上的MM-凹函數(shù)；

(iv)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞減的MM-凹函數(shù)，u=μ(x)為A上的r次冪平均凸函數(shù)(r-平均凸函數(shù))，則y=f(μ(x))為A上的MM-凹函數(shù).

證明 只證(i)，同理可證(ii)、(iii)、(iv)．

max{μ(x1),μ(x2)}]?B?I,

又u=μ(x)是A上的r次冪平均凸函數(shù)，所以

且y=f(u)為I上嚴(yán)格遞增的MM-凸函數(shù)，所以

即y=f(μ(x))是A上的MM-凸函數(shù)．

類似地可以證明：

定理11 設(shè)A,I?R+，B?I，f:I→R+,μ:A→B，則

(i)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞增的r次冪平均凸函數(shù)(r-平均凸函數(shù))，u=μ(x)為A上的MM-凸函數(shù)，則y=f(μ(x))為A上的MM-凸函數(shù)；

(ii)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞減的r次冪平均凸函數(shù)(r-平均凸函數(shù))，u=μ(x)為A上的MM-凹函數(shù)，則y=f(μ(x))為A上的MM-凸函數(shù)；

(iii)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞減的r次冪平均凹函數(shù)(r-平均凹函數(shù))，u=μ(x)為A上的MM-凸函數(shù)，則y=f(μ(x))為A上的MM-凹函數(shù)；

(iv)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞增的r次冪平均凹函數(shù)(r-平均凹函數(shù))，u=μ(x)為A上的MM-凹函數(shù)，則y=f(μ(x))為A上的MM-凹函數(shù)．

定理12 設(shè)A,I?R+，B?I，f:I→R+,μ:A→B，則

(i)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞增的AM-凸函數(shù)，u=μ(x)為A上的MA-凸函數(shù)，則y=f(μ(x))為A上的MM-凸函數(shù)；

(ii)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞減的AM-凸函數(shù)，u=μ(x)為A上的MA-凹函數(shù)，則y=f(μ(x))為A上的MM-凸函數(shù)；

(iii)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞增的AM-凹函數(shù)，u=μ(x)為A上的MA-凹函數(shù)，則y=f(μ(x))為A上的MM-凹函數(shù)；

(iv)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞減的AM-凹函數(shù)，u=μ(x)為A上的MA-凸函數(shù)，則y=f(μ(x))為A上的MM-凹函數(shù)．

證明 只證(i)，同理可證(ii)、(iii)、(iv)．

又u=μ(x)是A上的MA-凸函數(shù)，所以

且y=f(u)為I上嚴(yán)格遞增的AM-凸函數(shù)，所以

f(μ(x2)))，

即y=f(μ(x))是A上的MM-凸函數(shù)．

類似地有：

定理13 設(shè)A,I?R+，B?I，f:I→R+,μ:A→B，則

(i)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞增的GM-凸函數(shù)，u=μ(x)為A上的MG-凸函數(shù)，則y=f(μ(x))為A上的MM-凸函數(shù)；

(ii)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞減的GM-凸函數(shù)，u=μ(x)為A上的MG-凹函數(shù)，則y=f(μ(x))為A上的MM-凸函數(shù)；

(ii)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞增的GM-凹函數(shù)，u=μ(x)為A上的MG-凹函數(shù)，則y=f(μ(x))為A上的MM-凹函數(shù)；

(iv)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞減的GM-凹函數(shù)，u=μ(x)為A上的MG-凸函數(shù)，則y=f(μ(x))為A上的MM-凹函數(shù)．

定理14 設(shè)A,I?R+，B?I，f:I→R+,μ:A→B，則

(i)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞增的HM-凸函數(shù)，u=μ(x)為A上的MH-凸函數(shù)，則y=f(μ(x))為A上的MM-凸函數(shù)；

(ii)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞減的HM-凸函數(shù)，u=μ(x)為A上的MH-凹函數(shù)，則y=f(μ(x))為A上的MM-凸函數(shù)；

(iii)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞增的HM-凹函數(shù)，u=μ(x)為A上的MH-凹函數(shù)，則y=f(μ(x))為A上的MM-凹函數(shù)；

(iv)若y=f(u)為I上嚴(yán)格遞減的HM-凹函數(shù)，u=μ(x)為A上的MH-凸函數(shù)，則y=f(μ(x))為A上的MM-凹函數(shù)．

3 MM-凸函數(shù)的Jensen型不等式

證明 令g(x)=[f(x)]p(x∈I)，因?yàn)閒(x)是I上的MM-凸函數(shù)，所以，當(dāng)p>0時(shí)，由定理3(i)知，g(x)是I上的MA-凸函數(shù)，因此有g(shù)(x)在I上的Jensen型不等式[17]：

當(dāng)p<0時(shí)，類似可證結(jié)論成立．

f(x)是區(qū)間I上MM-凹函數(shù)的情形同理可證．

定理15的一個(gè)等價(jià)形式：

定理16 設(shè)I?R+,f(x)是I上的MM-凸(凹)函數(shù)，則?xi∈I及?qi∈R+(i=1,2,…,n)，有

進(jìn)一步，當(dāng)q1=q2=…=qn時(shí)，有

推論 設(shè)I?R+，f(x)是I?R+上的MM-凸(凹)函數(shù)，對(duì)?xi∈I(i=1,2,…,n)，有

[1] 匡繼昌.常用不等式[M]．第4版.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社,2010:53-63. KUANG J C．Applied Inequalities[M]. 4th ed. Jinan: Shandong Science and Technology Press,2010:53-63.

[2] 王伯英.控制不等式基礎(chǔ)[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社,1990:35-54. WANG B Y. Fundamental of Majorization Inequality [M]. Beijing: Beijing Normal University Press,1990:35-54.

[3] 張小明.幾何凸函數(shù)[M].合肥：安徽大學(xué)出版社,2004：6-18. ZHANG X M．Geometric Convex Function [M]. Hefei: Anhui University Press，2004:6-18.

[4] 吳善和.調(diào)和凸函數(shù)與琴生型不等式[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004,27(4):382-386. WU S H. Harmonic convex function and Jensen type inequality[J]. Journal of Sichuan Normal University：Natural Science,2004,27(24):382-386.

[5] 吳善和.平方凸函數(shù)與琴生型不等式[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005,26(1):16-21. WU S H. Square convex function and similar Jensen’s inequality[J]. Journal of Capital Normal University：Natural Science Edition,2005,26(1):16-21.

[6] 宋振云,陳少元.調(diào)和平方凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015,36(3):7-14. SONG Z Y, CHEN S Y.Harmonic square convex function and similar Jensen’s inequality[J]. Journal of Capital Normal University：Natural Science Edition,2015,36(3):7-14.

[7] 席博彥,包圖雅.關(guān)于r-平均凸函數(shù)的一些性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2008,38(12):113-119. XI B Y, BAO T Y. On some properties ofr-mean convex function[J]. Mathematics in Practice and Theory,2008,38(12):113-119.

[8] 張孔生,劉敏.P方凸函數(shù)及其Jensen型和Rado型不等式[J].阜陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005,22(2):18-20. ZHANG K S,LIU M. PowerPconvex function and Jensen type and Rado type inequality[J].Journal of Fuyang Teachers College：Natural Science,2005,22(2):18-20.

[9] 吳善和.rP-凸函數(shù)與琴生型不等式[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2005,35(3):220-228. WU S H.rP-convex function and Jensen type inequality[J]. Mathematics in Practice and Theory,2005,35(3):220-228.

[10] 吳善和.GA-凸函數(shù)與琴生型不等式[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004,22(2):52-55. WU S H. GA-convex function and Jensen type inequality[J]. Journal of Guizhou Normal University：Natural Science,2004,22(2):52-55.

[11] 陳少元.GH-凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013,34(5):1-5. CHEN S Y ． GH-convex function and Jensen type inequality[J]．Journal of Capital Normal University：Natural Science Edition,2013,34(5):1-5.

[12] 宋振云，陳少元.GM-凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2014,44(20):280-287. SONG Z Y, CHEN S Y. GM-convex function and Jensen type inequality[J]. Mathematics in Practice and Theory,2014,44(20):280-287.

[13] 吳善和.對(duì)數(shù)凸函數(shù)與琴生型不等式[J].高等數(shù)學(xué)研究，2004,7(5):61-64. WU S H. Logarithmic convex function and Jensen type inequality [J]. Studies in College Mathematics,2004,7(5):61-64.

[14] 陳少元.AH-凸函數(shù)及其應(yīng)用[J].湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2013,16(2):106-109. CHEN S Y． AH-convex function and its application [J]. Journal of Hubei Polytechnic Institute,2013,16(2):106-109.

[15] 宋振云.AR-凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015,38(4):331-336. SONG Z Y. AR-convex function and Jensen type inequality[J]. Journal of Anhui Normal University：Natural Science,2015,38(4):331-336.

[16] 宋振云.AM-凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J].淮北師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015,36(1):1-7. SONG Z Y. AM-convex function and Jensen type inequality[J]. Journal of Huaibei Normal University：Natural Science,2015,36(1):1-7.

[17] 陳少元,宋振云.HG-凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2013,43(2):257-264. CHEN S Y, SONG Z Y. HG-convex function and Jensen type inequality[J]. Mathematics in Practice and Theory,2013,43(2):257-264.

[18] 宋振云.HA-凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J].德州學(xué)院學(xué)報(bào)，2014,30(4):16-21. SONG Z Y. HA-convex function and Jensen type inequality[J]. Journal of Dezhou University,2014,30(4):16-21.

[19] 宋振云.HM-凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J].沈陽師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015,33(1):23-27. SONG Z Y．HM-convex function and Jensen type inequality[J]. Journal of Shenyang Normal University：Natural Science,2015,33(1):23-27.

[20] 張孔生,萬建平.P-凸函數(shù)及其性質(zhì)[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2007,23(1):130-133. ZHANG K S, WAN J P.P-convex functions and their properties [J]. Pure and Applied Mathematies,2007,23(1):130-133.

[21] 宋振云,陳少元.MG-凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J].山東師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014,29(4):56-60. SONG Z Y,CHEN S Y. MG-convex function and Jensen type inequality[J]. Journal of Shandong Normal University：Natural Science,2014,29(4):56-60.

[22] 宋振云.MH-凸函數(shù)及其Jensen型不等式[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015,14(2):156-160. SONG Z Y. MH-convex function and Jensen type inequality[J]. Journal of Hangzhou Normal University：Natural Science,2015,14(2):156-160.

MM-convex function & its Jensen-type inequality.

SONG Zhenyun1, CHEN Shaoyuan1, HU Fugao2

(1.SchoolofMechanical&ElectricalEngineering,HubeiPolytechnicInstitute,Xiaogan432000,HubeiProvince,China;2.SchoolofMathematics&Statistics,HubeiEngineeringUniversity,Xiaogan432000,HubeiProvince,China)

Considering the general convexity of functions, the authors present the definition of MM-convex function with two variables power means within the interval. Based on the definition, this article discusses its judgment theorems and operation properties, sets up its Jensen-type inequality, and provides the equivalent form of Jensen-type inequality and the deduction. Results show that MM-convex function is an extension of all convex functions determined by the power mean value of two arbitrary points within the definition domain of comparison function and by the power mean of the value. The introduction of MM- convex function brings an effective approach to deep study and further extension of convex function.

convex function; MM-convex function; judgment theorem; operation property; Jensen-type inequality

2016-09-19.

教育部科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(212109).

宋振云(1958-)，ORCID：http://orcid.org/0000-0002-7373-9733，男，教授，主要從事凸分析及其應(yīng)用研究，E-mail:hbsy12358@126.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.04.004

O 178.1

A

1008-9497(2017)04-403-08

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(4):403-410