何文正, 陳 晨, 李鵬程, 文競舟

(1. 重慶廣播電視大學(xué) 城市建設(shè)工程學(xué)院，重慶 400052；2. 宜賓職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程系，四川 宜賓 644000；3. 重慶交通科研設(shè)計(jì)院 道路所，重慶 400067；4. 云南省公路科學(xué)技術(shù)研究院 巖土所，云南 昆明 650051)

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偏心布筋曲梁振動(dòng)微分方程推導(dǎo)和求解

何文正1, 陳 晨2, 李鵬程3, 文競舟4

(1. 重慶廣播電視大學(xué) 城市建設(shè)工程學(xué)院，重慶 400052；2. 宜賓職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程系，四川 宜賓 644000；3. 重慶交通科研設(shè)計(jì)院 道路所，重慶 400067；4. 云南省公路科學(xué)技術(shù)研究院 巖土所，云南 昆明 650051)

為研究預(yù)應(yīng)力筋偏心距和半徑等參數(shù)對(duì)曲梁振動(dòng)特性的影響，以自由振動(dòng)狀態(tài)下的曲梁微段為研究對(duì)象，考慮偏心布筋產(chǎn)生的初始曲率對(duì)振動(dòng)的影響，推導(dǎo)了偏心布筋曲梁振動(dòng)偏微分方程，并求解方程得到了簡支曲梁面內(nèi)振動(dòng)1階頻率理論計(jì)算公式；最后通過實(shí)例分析驗(yàn)證了所提理論公式的正確性。

橋梁工程；曲梁；偏心布筋；初始曲率；自振頻率

預(yù)應(yīng)力曲梁在工程中已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用，其動(dòng)力特性是曲梁設(shè)計(jì)所關(guān)注的重要內(nèi)容，良好的動(dòng)力特性是滿足曲線梁橋抗震、抗風(fēng)性能的前提，也是保證結(jié)構(gòu)安全營運(yùn)的關(guān)鍵[1-2]。

目前，國內(nèi)外已有不少學(xué)者對(duì)曲梁的動(dòng)力特性進(jìn)行了理論研究。C．H．KOU等[3]提出了薄壁曲梁的有限梁段法進(jìn)行了曲梁自振頻率的分析；單德山[4]應(yīng)用積分變換法求解了移動(dòng)荷載作用下的曲梁振動(dòng)方程，并研究了曲梁彎扭耦合振動(dòng)機(jī)理和薄壁曲線箱梁的振動(dòng)特性；Y．B．YANG等[5]對(duì)曲梁強(qiáng)迫振動(dòng)進(jìn)行了研究；葉康生等[6]則采用動(dòng)力剛度法求解了曲梁面外振動(dòng)問題；宋郁民等[7-8]采用數(shù)學(xué)物理方法推導(dǎo)了曲梁振動(dòng)微分方程組，求解得到了半解析表達(dá)式。但是，曲梁的試驗(yàn)研究較少，動(dòng)力特性試驗(yàn)研究數(shù)據(jù)相對(duì)缺乏。

在以往的曲梁動(dòng)力特性研究中，基本沒有考慮預(yù)應(yīng)力的作用，也未研究力筋布置方式對(duì)曲梁動(dòng)力特性的影響，而目前工程中使用的曲梁基本上為偏心布筋預(yù)應(yīng)力曲梁，其動(dòng)力特性的計(jì)算基本上采用有限單元法進(jìn)行[9-10]，雖然有限元法功能強(qiáng)大，幾乎能夠求解所有數(shù)學(xué)模型的初值問題，但采用解析法更能深入研究曲梁振動(dòng)內(nèi)在規(guī)律。

筆者采用達(dá)朗貝爾原理推導(dǎo)了偏心布筋曲梁振動(dòng)微分方程，并考慮了預(yù)應(yīng)力以及偏心布筋產(chǎn)生的初始曲率對(duì)振動(dòng)特性的影響。提出了偏心布筋曲梁一階面內(nèi)自振頻率計(jì)算公式，并通過實(shí)例分析驗(yàn)證了該公式。

1 偏心布筋曲梁振動(dòng)微分方程

1.1 推導(dǎo)假定

在進(jìn)行偏心布筋曲梁振動(dòng)微分方程的推導(dǎo)前，筆者做了以下基本假定：①曲梁為等截面勻質(zhì)圓弧曲梁，半徑為常數(shù)R；②預(yù)應(yīng)力筋直線偏心布置，其預(yù)應(yīng)力大小為P，橫向和豎向偏心距為e1和e2；③曲率半徑遠(yuǎn)大于橫截面尺寸，忽略梁曲率影響。

采用三維流動(dòng)直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)系符合右手螺旋法則規(guī)定，正方向規(guī)定如圖1。

圖1 三維流動(dòng)坐標(biāo)系Fig. 1 Three-dimensional flow coordinate system

1.2 力筋偏心布置產(chǎn)生的初始彎矩

在曲線預(yù)應(yīng)力筋的預(yù)加力P作用下，在L(切向)、M(徑向)、N(豎向)產(chǎn)生3個(gè)外荷載[11]，如圖2。

圖2 截面內(nèi)的預(yù)應(yīng)力和內(nèi)力Fig. 2 Prestress and internal force in section

1.3 建立振動(dòng)微分方程

對(duì)于預(yù)應(yīng)力筋偏心布置的無黏結(jié)預(yù)應(yīng)力混凝土梁，在自由振動(dòng)時(shí)，取出梁上的一段微元體進(jìn)行受力分析，微元體內(nèi)力如圖3。

圖3 曲梁微段截面內(nèi)力Fig. 3 Internal force of the micro segment of the curved beam

利用彎曲梁段的6個(gè)空間平衡條件，考慮軸向力與梁曲率的乘積在力矩平衡方程中形成的附加項(xiàng)，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理得出6個(gè)平衡方程：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：m為曲梁單位長度質(zhì)量；N為軸向內(nèi)力；T為扭矩；Mx為豎向彎矩；My為橫向彎矩；ρ為曲梁密度；u，v，w分別為縱向、徑向和豎向位移；φ為扭角。

化簡可得到以下4個(gè)基本方程：

(7)

(8)

(9)

(10)

代入幾何、物理方程可建立曲梁內(nèi)力與變形之間的關(guān)系[12]，將幾何、物理方程代入式(7)～(10)中可得

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：A為曲梁截面面積；Ix為繞x軸的抗彎慣矩；E為梁的彈模；Iy為繞y軸的抗彎慣矩；G為剪切模量；Id為抗扭慣矩；Iw為梁的扇性慣矩。

分析式(11)～(14)可知，此時(shí)方程組中并不包含力筋的橫向和豎向坐標(biāo)e1和e2；但需要注意到當(dāng)預(yù)應(yīng)力筋偏心布置時(shí)，預(yù)應(yīng)力會(huì)對(duì)曲梁產(chǎn)生橫向和豎向附加彎矩，從而使梁體產(chǎn)生初始撓度。而此時(shí)梁體是以該初始撓度為平衡位置進(jìn)行自由振動(dòng)，因此，梁上各點(diǎn)的振動(dòng)位移為附加彎矩產(chǎn)生初始位移以及自由振動(dòng)產(chǎn)生的位移增量之和[13]，即

(15)

(16)

(17)

式中：腳標(biāo)Δ表示振動(dòng)產(chǎn)生的位移增量。

預(yù)應(yīng)力產(chǎn)生的初始位移可用靜力學(xué)方法得到，將式(15)～(17)對(duì)z和t求導(dǎo)，并代入式(11)～(14)可得到考慮偏心布筋的曲梁振動(dòng)方程組：

(18)

(19)

(20)

(21)

式(18)～(21)即為偏心布筋曲梁振動(dòng)微分方程。令：e1=e2=0，P=0；則式(18)～(21)退化為宋郁民等[7]所提出的方程，即不考慮預(yù)應(yīng)力效應(yīng)的曲梁振動(dòng)微分方程。

當(dāng)e1=e2=0、曲梁半徑R→∞，式(18)～(21)則退化為考慮軸力影響的直梁振動(dòng)方程[14]。

2 方程求解

2.1 邊界條件

筆者考慮單跨超靜定簡支曲梁的情況，如圖4。

其邊界條件為：

u(0)=0，u′(l)=0

(22)

v(0)=v(l)=0，v″(0)=v″(l)=0

(23)

w(0)=w(l)=0，w″(0)=w″(l)=0

(24)

φ(0)=φ(l)=0，φ′(0)=φ′(l)=0

(25)

圖4 單跨曲梁支承布置Fig. 4 Support arrangement of a single span curved beam

2.2 微分方程求解

考察微分方程式(18)和式(19)，方程中徑向振動(dòng)和縱向振動(dòng)相互耦合，由于橋梁結(jié)構(gòu)軸向拉壓剛度極大，軸向變形很小，可忽略軸向變形，在忽略曲梁縱向振動(dòng)的情況下面內(nèi)振動(dòng)方程可以解耦，從而實(shí)現(xiàn)方程的求解。但面外振動(dòng)由于彎扭耦合的影響，求解方法還需要進(jìn)一步研究。

僅考慮曲梁面內(nèi)的振動(dòng)，在忽略軸向變形的情況下有

(26)

將式(15)和式(16)代入式(26)，再將所得方程式代入式(19)，可得：

(27)

在預(yù)應(yīng)力筋偏心布置的情況下，梁體振動(dòng)時(shí)預(yù)應(yīng)力大小也為一個(gè)變化量，可通過平截面假定推導(dǎo)出振動(dòng)中的預(yù)應(yīng)力值為[13]：

(28)

式中：P0為預(yù)應(yīng)力筋的初始張拉力；Et，At分別為鋼束的彈性模量和鋼束面積。

將式(28)代入式(27)，并化簡得到：

(29)

式(29)為非齊次非線性偏微分方程，可采用Galerkin法求得近似解。

選取形狀函數(shù)φr(x)和權(quán)函數(shù)qr(t)，構(gòu)造橫向振動(dòng)位移函數(shù)：

(30)

將式(30)代入式(29)，并對(duì)得到的算式在區(qū)間(0≤x≤l)上進(jìn)行加權(quán)積分，取簡支梁1階振型函數(shù)φ1(x)=sin(πx/l)作為形狀函數(shù)和權(quán)函數(shù)代入算式，簡化得到：

(31)

對(duì)式(31)進(jìn)行積分得：

(32)

式(32)為一個(gè)單自由度自治系統(tǒng)，仍用Galerkin法求解體系自振頻率，構(gòu)造方程的近似解為：

q(t)=acos(ωt)

(33)

式中：ω=2π/T，a為振幅，T為周期。

將q(t)代入式(32)得到殘差力：

(34)

(35)

式(35)為偏心布筋曲梁面內(nèi)振動(dòng)1階自振頻率近似計(jì)算公式。令偏心距e1=0且曲梁半徑R趨于無限大，則式(35)就退化為軸心布筋直線梁1階自振頻率公式[14]：

(36)

通過對(duì)式(35)的分析，可知：①偏心布筋曲梁1階面內(nèi)振動(dòng)頻率除了與自身的質(zhì)量和剛度分布有關(guān)以外，還與曲線半徑、軸力大小以及偏心距有關(guān)，當(dāng)R趨于無限大時(shí)且偏心距為0時(shí)，曲梁的頻率則退化為直梁的頻率；②偏心直線布筋會(huì)對(duì)曲梁自振頻率產(chǎn)生影響，偏心距越大，自振頻率越大。

3 數(shù)值驗(yàn)證

3.1 建立有限元分析模型

采用有限元程序驗(yàn)證所提的近似計(jì)算公式的正確性。算例采用矩形截面實(shí)心梁；梁高h(yuǎn)=1.6 m，寬b=0.8 m，l=30 m，偏心直線布筋，曲梁半徑分別取60、100、200、500、10 000 m；混凝土彈性模量E=3.5×1010N/m2，混凝土密度ρ=2 500 kg/m3，預(yù)應(yīng)力筋彈性模量Et=2.1×1011N/m2，面積At=2.8×10-3m3，密度ρ=7 800 kg/m3；預(yù)應(yīng)力采用降溫法進(jìn)行模擬，力筋分別按照偏心距e分別取0、0.2、0.3 m布置。分別采用有限元程序和式(35)計(jì)算預(yù)應(yīng)力大小為P0分別取0、10、20 kN時(shí)的曲梁面內(nèi)1階自振頻率。二者計(jì)算結(jié)果比較如表1～表3和圖5。

表1 自振頻率計(jì)算結(jié)果對(duì)比(P0=0 kN)

表2 自振頻率計(jì)算結(jié)果對(duì)比(P0=10 kN)

表3 自振頻率計(jì)算結(jié)果對(duì)比(P0=20 kN)

圖5 不同偏心距(P0=0 kN)和預(yù)應(yīng)力(e=0.3 m)下的1階頻率Fig. 5 First order frequency with different eccentricities (P0=0 kN) and prestress values (e=0.3 m)

3.2 計(jì)算結(jié)果及相關(guān)參數(shù)的影響分析

按照式(35)計(jì)算的偏心布筋曲梁面內(nèi)自振頻率與有限元計(jì)算結(jié)果較為吻合，最大的誤差為3.38%；自振頻率隨著預(yù)應(yīng)力值增大而減小，公式計(jì)算和數(shù)值計(jì)算結(jié)果都表明預(yù)應(yīng)力值對(duì)頻率的影響極小。

在偏心布筋情況下，曲梁自振頻率隨著半徑的增加而逐漸降低。在半徑小于200 m時(shí)，曲梁半徑對(duì)頻率影響較明顯；當(dāng)半徑過200 m時(shí)，對(duì)頻率的影響較小。

曲梁的1階面內(nèi)自振頻率隨偏心距的增加而增大，與有限元分析結(jié)果吻合，其直梁頻率變化趨勢與李榮[15]所得出的結(jié)論一致，相對(duì)于預(yù)應(yīng)力值和半徑來說，偏心距對(duì)頻率的影響更為明顯。

根據(jù)對(duì)比分析結(jié)果可知，采用筆者所提出的計(jì)算公式能較好地進(jìn)行偏心布筋曲梁的1階面內(nèi)振動(dòng)頻率計(jì)算，公式能較好的地反映曲梁的頻率隨偏心距、半徑及預(yù)加力大小變化的趨勢。

4 結(jié) 論

筆者推導(dǎo)了偏心布筋曲梁的自由振動(dòng)微分方程組；并求解面內(nèi)振動(dòng)方程得出了曲梁面內(nèi)振動(dòng)1階頻率近似計(jì)算公式；分析了偏心距、預(yù)加力和半徑等參數(shù)對(duì)自振頻率的影響；數(shù)值分析結(jié)果與理論公式計(jì)算結(jié)果吻合，證明了方程的推導(dǎo)及求解的正確性。

結(jié)果表明：①預(yù)應(yīng)力值對(duì)曲梁動(dòng)力特性影響極小，計(jì)算中可以不考慮；②曲梁半徑對(duì)動(dòng)力特性影響較預(yù)應(yīng)力值明顯，但是當(dāng)半徑大于200時(shí)，曲梁半徑對(duì)動(dòng)力特性影響較小；③偏心距對(duì)頻率的影響較明顯，計(jì)算中不宜忽略。

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(責(zé)任編輯：劉 韜)

Derivation and Solution of Vibration Differential Equation of theCurved Beam with Eccentric Reinforce

HE Wenzheng1, CHEN Chen2, LI Pengcheng3, WEN Jingzhou4

(1. School of Urban Construction Engineering, Chongqing Radio & TV University, Chongqing 400052, P. R. China;2. Department of Architecture Engineering, Yibin Vocational and Technical College, Yibin 644000, Sichuan, P. R. China; 3. Road Research Institute, Chongqing Communications Research and Design Institute, Chongqing 400067, P. R. China;4. Rock and Soil Engineering Institute, Yunnan Science & Technology Research Institute of Highway, Kunming 650051, Yunnan, P. R. China)

In order to study the influence of tendon eccentricity and radius on the vibration characteristics of the curved beam, the differential equation of the vibration of the prestressed curved beam considering the influence of initial curvature on vibration was derived by analyzing the micro section of the curved beam under the condition of free vibration. Then the theoretic calculation formula of the first order natural frequency vibration of the eccentric reinforcement simply supported curved beam was deduced by solving the equation. Finally, the correctness of the proposed theoretic formula was verified by the case study.

bridge engineering; curved beam; eccentric reinforce; initial curvature; natural frequency of vibration

10.3969/j.issn.1674-0696.2017.07.03

2015-12-02；

2016-07-16

交通運(yùn)輸部建設(shè)科技項(xiàng)目(2013318791440)；重慶廣播電視大學(xué)重點(diǎn)基金項(xiàng)目(ZD2015-02)

何文正(1982—)，男，重慶人，講師，碩士，主要從事橋梁檢測加固方面的研究。E-mail：hewenzheng1982@126.com。

U441.2

A

1674-0696(2017)07-015-06