肖嘯 謝世偉 張志友 杜驚雷

1)(四川大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,成都 610064)

2)(樂(lè)山師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院,樂(lè)山 614000)

相位梯度界面對(duì)光傳播規(guī)律的影響?

肖嘯1)2)謝世偉1)張志友1)杜驚雷1)?

1)(四川大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,成都 610064)

2)(樂(lè)山師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院,樂(lè)山 614000)

(2016年7月13日收到;2016年10月30日收到修改稿)

在兩種介質(zhì)分界面上引入相位梯度形成相位梯度界面,這將使該界面的出射光和入射光之間產(chǎn)生相移.因此,與普通分界面不同,該界面對(duì)光的傳播行為有著重大影響.為深入認(rèn)識(shí)梯度相位界面的光學(xué)特性,本文研究了光在該類(lèi)界面上的一般性傳播規(guī)律.從費(fèi)馬原理出發(fā),采用穩(wěn)態(tài)相位法推導(dǎo)了基于相位梯度界面條件下的二維和三維廣義反射和折射定律,該定律表明分界面也會(huì)成為影響光傳播行為的重要因素,可以作為新的波前調(diào)制工具.利用廣義反射和折射定律討論了相位梯度對(duì)光傳播行為的影響規(guī)律,得出了二維和三維情形下的臨界條件(全反射和全透射條件),闡明了反射角不等于入射角、異常反射和折射、非平面反射和折射等一些新穎光學(xué)現(xiàn)象出現(xiàn)的原因;提出了以相位梯度界面為光學(xué)變換核心單元,依據(jù)廣義反射和折射定律進(jìn)行光學(xué)設(shè)計(jì)的思路,并以平面透鏡和平面軸錐鏡為例進(jìn)行了詳細(xì)說(shuō)明與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論值符合較好,可為拓展廣義定律在平面光學(xué)設(shè)計(jì)、自由曲面光學(xué)設(shè)計(jì)以及復(fù)雜光束控制中的應(yīng)用提供參考.

相位梯度界面,廣義反射定律,廣義折射定律,平面光學(xué)

1 引 言

光的反射和折射定律是幾何光學(xué)的基本實(shí)驗(yàn)定律,也是傳統(tǒng)成像光學(xué)儀器的設(shè)計(jì)基礎(chǔ).從該定律可知,光在兩種介質(zhì)分界面發(fā)生反射和折射時(shí),其折射角僅由光在這兩種介質(zhì)中的傳播速度決定,而反射角則恒等于入射角.該觀點(diǎn)很自然地認(rèn)為分界面僅是區(qū)分兩種介質(zhì)的理想邊界而已,光的反射和折射情況與分界面的性質(zhì)無(wú)關(guān).也就是說(shuō),傳統(tǒng)觀點(diǎn)認(rèn)為,是兩種介質(zhì)的光學(xué)性質(zhì)影響了光的傳播,而分界面本身對(duì)光的傳播無(wú)貢獻(xiàn).

2011年,美國(guó)哈佛大學(xué)學(xué)者在《科學(xué)》雜志上提出,可在介質(zhì)分界面上引入相位梯度控制入射光波不同部分的時(shí)間延遲,并建立了廣義反射和折射定律[1],研究人員逐漸認(rèn)識(shí)到分界面也會(huì)成為影響光傳播的重要因素[2-9].通過(guò)有目的地設(shè)計(jì)分界面的相位梯度能夠干預(yù)光的傳播,出現(xiàn)折射角不滿(mǎn)足經(jīng)典Snell公式,反射角不等于入射角等新穎光學(xué)現(xiàn)象[1-4,6].這一認(rèn)識(shí)突破了傳統(tǒng)思維,表明分界面能夠成為新的波前調(diào)制工具.

在兩種介質(zhì)分界面上引入相位梯度形成相位梯度界面,基于該界面的廣義反射和折射定律將經(jīng)典反射和折射定律包含在內(nèi),經(jīng)典定律只是廣義定律在界面相位梯度為零條件下的特例.在介質(zhì)分界面上引入相位梯度,可為在亞波長(zhǎng)尺度范圍操縱光場(chǎng)(方向、振幅、相位和偏振等)提供新的設(shè)計(jì)自由度,如亞波長(zhǎng)厚度的平面透鏡、渦旋相位片、全息相位片、偏振轉(zhuǎn)換器和波長(zhǎng)選擇器等[7-14].這一方法與透鏡、棱鏡、波片、光柵和全息片等傳統(tǒng)光學(xué)元件的設(shè)計(jì)思路迥然不同,傳統(tǒng)光學(xué)元件對(duì)波前的調(diào)控是通過(guò)沿著光程上的相位逐漸變化而累積實(shí)現(xiàn)的,而相位梯度界面則相當(dāng)于在分界面上對(duì)入射光場(chǎng)引入了一個(gè)非均勻分布的相位躍變(相當(dāng)于附加動(dòng)量).因此,相位梯度界面的引入不但突破了經(jīng)典觀念,豐富和拓展了光傳播規(guī)律的物理內(nèi)涵,同時(shí)還可從相位梯度的角度重新審視傳統(tǒng)光學(xué)元件的設(shè)計(jì)思路,為自由曲面光學(xué)設(shè)計(jì)、復(fù)雜光束控制和平面光學(xué)設(shè)計(jì)提供新的自由度.

目前,已有的研究大多集中在設(shè)計(jì)某些特定結(jié)構(gòu)的光學(xué)諧振器或光學(xué)天線(xiàn)實(shí)現(xiàn)對(duì)界面相位的控制[3-8,14-21],而對(duì)相位梯度界面影響光傳播的一般性規(guī)律和特點(diǎn)研究不足,甚至在一些認(rèn)識(shí)上還存在分歧[1,6].而實(shí)際上,二者同樣重要,如果僅從普適性的角度講,一般性規(guī)律還更具普遍意義.本文在闡述相位梯度界面控制光束傳播的基本原理之后,采用穩(wěn)態(tài)相位法推導(dǎo)了二維(2D)和三維(3D)廣義反射和折射定律,并詳細(xì)分析了相位梯度界面影響光傳播的規(guī)律和特點(diǎn),最后依據(jù)廣義定律從相位梯度界面的角度設(shè)計(jì)了平面透鏡和平面軸錐鏡(Axicon),并利用空間光調(diào)制器(spatial light modulator,SLM)進(jìn)行了簡(jiǎn)化驗(yàn)證.

2 相位梯度界面控制波前傳輸?shù)幕驹?/h2>

相位梯度界面一般由一系列不同尺寸、周期性排列的亞波長(zhǎng)厚度光學(xué)諧振器或光學(xué)天線(xiàn)實(shí)現(xiàn),比如金屬等離子體天線(xiàn)、電介質(zhì)諧振器、量子點(diǎn)和納米晶等,這類(lèi)相位梯度界面通常被稱(chēng)為超表面[15-20].通過(guò)調(diào)整這些光學(xué)諧振器的特征參數(shù)(形狀、尺寸和方位角等)可獲得不同的光學(xué)響應(yīng),而這些光學(xué)響應(yīng)與相位躍變密切相關(guān).當(dāng)光束入射到相位梯度界面時(shí),光束的不同部分受到光學(xué)諧振器的影響而產(chǎn)生不同相位躍變,相當(dāng)于入射光束通過(guò)界面不同位置的時(shí)延受到諧振器控制,從而獲得所調(diào)制的出射光場(chǎng).

圖1顯示了平面波正入射到分界面的波面情況,為簡(jiǎn)單起見(jiàn),假設(shè)光學(xué)阻抗匹配,則只需考慮向前的透射.其中圖1(a)的分界面為無(wú)結(jié)構(gòu)平面,透射波面為平面,而圖1(b)的分界面為金屬等離子體天線(xiàn)構(gòu)成的相位梯度界面,其透射波面一般為非平面,該非平面透射波面的形成機(jī)理可解釋如下：入射光在等離子體天線(xiàn)上激發(fā)電荷振蕩,電荷振蕩會(huì)將電荷存儲(chǔ)的入射光能以電磁輻射的形式釋放出去.由于等離子體天線(xiàn)特征參數(shù)(尺寸或方位角)不同,界面上不同位置處輻射場(chǎng)的振幅和相位等存在差異.從惠更斯原理的角度看,界面上的等離子體天線(xiàn)相當(dāng)于一個(gè)個(gè)次波源,入射光在等離子體天線(xiàn)上所激發(fā)的電磁輻射就是這些次波源發(fā)出的次波,由于在設(shè)計(jì)時(shí)使各等離子體天線(xiàn)產(chǎn)生不同的相位躍變,則同一時(shí)刻各次波源發(fā)出次波的傳播距離不同(即球面次波面的半徑不同,如圖1(b)),那么這些有著不同時(shí)延的次波所形成的包絡(luò)面(即新的波前)就不再是平面,受局域等離子體天線(xiàn)的色散特性所影響.因此,控制金屬等離子體天線(xiàn)的特征參數(shù)就能在界面上實(shí)現(xiàn)光傳播的局域延遲.

圖1 相位梯度界面控制波前的惠更斯原理示意圖 (a)無(wú)結(jié)構(gòu)界面;(b)相位梯度界面Fig.1. Schematics used to describe Huygens’principle applied to a gradient phased interface：(a)A flat nonstructured interface;(b)a gradient phased interface.

3 廣義反射和折射

如前所述,在界面引入相位梯度后將對(duì)光的傳播規(guī)律產(chǎn)生重大影響,會(huì)出現(xiàn)反射角不等于入射角、折射角不滿(mǎn)足傳統(tǒng)折射定律等新現(xiàn)象,同時(shí)由于相位的梯度方向可能不在入射面內(nèi),還會(huì)出現(xiàn)入射光、反射光和折射光不在同一平面內(nèi)的新情況,即非平面反射和折射.因此,相位梯度表面對(duì)光傳播的影響還應(yīng)分為2D和3D兩類(lèi)情況進(jìn)行討論.下面將從廣義定律的推導(dǎo)入手,分別討論2D和3D條件下相位梯度界面對(duì)光的傳播規(guī)律和特點(diǎn).

3.1 2D廣義反射和折射

3.1.1 2D廣義折射

下面先考慮如圖2所示的2D情形.設(shè)折射率分別為ni和nt的兩種介質(zhì)分界線(xiàn)為X軸,點(diǎn)光源A發(fā)出波長(zhǎng)為λ0的光經(jīng)相位梯度界面(相位梯度沿X軸方向)后折射成像于B點(diǎn).考察光在分界面上的兩條無(wú)限靠近的實(shí)際路徑和設(shè)1和2的位置坐標(biāo)分別為x和x+dx,相位梯度界面對(duì)入射在該兩點(diǎn)處的光波引入的相位躍變分別為Φ(x)和Φ(x)+dΦ,其中dΦ為1,2兩點(diǎn)間的相位改變量.依據(jù)穩(wěn)態(tài)相位法,光在A,B之間的實(shí)際傳播路徑上的光程相等,即圖2中的和路徑對(duì)應(yīng)的總相位相等,即

圖2 引入相位梯度界面的2D廣義折射定律推導(dǎo)示意圖Fig.2.Schematics used to derive the generalized refraction law in the 2D situation.

由圖2可知

由于1,2兩點(diǎn)間距離很近,dx很小,如圖2所示,因此可認(rèn)為

則由(1)式-(5)式聯(lián)立可得

同時(shí),由圖2可知

其中,θi和θt分別是入射角和折射角,ni和nt分別是入射光和折射光所在空間的折射率.

將上兩式代入(6)式可得

將上式改寫(xiě)為

此即經(jīng)典折射定律的Snell公式.因此可以認(rèn)為經(jīng)典Snell公式只是廣義折射定律在相位梯度為零條件下的特殊情況.更重要的是,由(7)式可知,如果在界面上對(duì)入射光引入合適的相位梯度,那么出射光可以朝任意方向折射,可能出現(xiàn)折射光線(xiàn)和入射光線(xiàn)在界面法線(xiàn)同一側(cè)的異常折射現(xiàn)象.比如,在Snell(8)式中,折射角θt和入射角θi的符號(hào)始終相同,說(shuō)明入射光和折射光分居法線(xiàn)兩側(cè),而在廣義折射定律表達(dá)式(7)中,dΦ/dx的某些取值可能導(dǎo)致折射角θt和入射角θi異號(hào),這說(shuō)明折射光和入射光位于法線(xiàn)同一側(cè),即產(chǎn)生了異常折射現(xiàn)象.同時(shí),由于公式中非零相位梯度的存在,打破了Snell公式對(duì)法線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性關(guān)系,即對(duì)于±θi的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)入射角會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不同的折射角.

在(7)式中,若令θt=90°,則會(huì)得到全反射臨界條件.此時(shí)有

注意,在經(jīng)典折射中,全反射僅僅發(fā)生在光從光密介質(zhì)(ni)向光疏介質(zhì)(nt)中傳播的時(shí)候,即ni＞nt,而且僅有一個(gè)全反射臨界角,即θtc=arcsin(nt/ni).而從(10)式可知,當(dāng)在界面引入相位梯度后,全反射條件和現(xiàn)象發(fā)生了變化,比如,全反射可能發(fā)生在光疏介質(zhì)入射到光密介質(zhì)時(shí),可能存在兩個(gè)全反射臨界角等.

圖3繪制了依據(jù)廣義折射定律得到的入射角和折射角關(guān)系曲線(xiàn),兩圖中曲線(xiàn)①-⑦對(duì)應(yīng)的相位梯度分別為5π/μm,3π/μm,π/μm,0,-π/μm,-3π/μm,-5π/μm,圖中箭頭所指處為曲線(xiàn)在對(duì)應(yīng)相位梯度條件下的全反射臨界角.

圖3 相位梯度界面條件下入射角和折射角關(guān)系曲線(xiàn)(a)ni＜nt;(b)ni＞ntFig.3.Angle of refraction versus angle of incidence at the gradient phased interface：(a)ni＜nt;(b)ni＞nt.

圖3(a)和圖3(b)中,一、三象限曲線(xiàn)部分對(duì)應(yīng)正常折射情況,此時(shí)入射角和折射角同符號(hào),入射光和折射光分居法線(xiàn)兩側(cè);二、四象限曲線(xiàn)部分對(duì)應(yīng)異常折射情況,此時(shí)入射角和折射角異號(hào),入射光和折射光位于法線(xiàn)同一側(cè).兩圖中曲線(xiàn)與縱坐標(biāo)零軸交點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的入射角為零,而此時(shí)的折射角一般不為零,這說(shuō)明正入射光線(xiàn)通過(guò)相位梯度界面后傳播方向發(fā)生了偏轉(zhuǎn),不再是正出射.

圖3(a)中,曲線(xiàn)④對(duì)應(yīng)相位梯度為0,實(shí)際上就是由經(jīng)典折射定律所確定的經(jīng)典折射關(guān)系,此時(shí)ni＜nt且dΦ/dx=0,無(wú)全反射現(xiàn)象;曲線(xiàn)③,⑤無(wú)全反射臨界角,而①,②,⑥,⑦分別存在一個(gè)全反射臨界角,說(shuō)明當(dāng)從光疏介質(zhì)入射到光密介質(zhì)(ni＜nt)時(shí)也可能發(fā)生全反射現(xiàn)象,突破了經(jīng)典全反射條件的限制.

圖3(b)中,曲線(xiàn)④也是對(duì)應(yīng)相位梯度為0的經(jīng)典折射情況,表面上看該曲線(xiàn)上有兩個(gè)全反射臨界角±θtc,但考慮到±號(hào)僅代表了入射方向的不同而已,并非角度的絕對(duì)大小不同,因此該兩全反射臨界角只能算作一個(gè);曲線(xiàn)③和⑤都存在兩個(gè)數(shù)值不同的全反射臨界角,同一曲線(xiàn)上兩臨界角絕對(duì)值不同的原因是相位梯度方向和入射方向的相對(duì)關(guān)系造成的;曲線(xiàn)①,②,⑥,⑦都只有一個(gè)全反射臨界角.

3.1.2 2D廣義反射

若考察引入相位梯度界面后的反射情況,其分析過(guò)程與廣義折射相似,在此不再重復(fù).令(7)式中的nt=ni,θt=θr,得

(11)式即為廣義反射定律,其中,θi和θr分別為入射角和反射角.若令dΦ/dx=0,則可得經(jīng)典反射定律表達(dá)式

因此,可以認(rèn)為經(jīng)典反射定律是廣義反射定律在相位梯度為零條件下的一種特例.

與經(jīng)典反射定律中反射角恒等于入射角的鏡像關(guān)系不同,由于存在非零相位梯度項(xiàng),廣義反射定律中的入射角和反射角不再相等,入射光和反射光不再具有法線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性.同時(shí),由于相位梯度dΦ/dx存在正負(fù)兩種情況,則關(guān)于法線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的±θi兩個(gè)入射角分別對(duì)應(yīng)著不同絕對(duì)值的兩個(gè)反射角.另外,與前面異常折射現(xiàn)象的原因類(lèi)似,dΦ/dx的某些取值會(huì)導(dǎo)致反射光和入射光處于法線(xiàn)同一側(cè),即發(fā)生異常反射現(xiàn)象.

從(11)式中還可看出,當(dāng)入射角θi大于某一角度時(shí),會(huì)發(fā)生反射光消失,只存在折射光(或透射光)的現(xiàn)象.與全反射臨界角的定義類(lèi)似,可將該入射角度定義為全透射臨界角θrc.在(11)式中令θr=90°,則可得全透射臨界角為

當(dāng)入射角θi＞θrc時(shí),反射光會(huì)變?yōu)橘渴挪?僅剩下折射光,這是在經(jīng)典反射中沒(méi)有的新現(xiàn)象.

圖4為位梯度界面條件下入射角和反射角關(guān)系曲線(xiàn),曲線(xiàn)①-⑦的相位梯度參數(shù)取值與圖3相同,箭頭所指處為曲線(xiàn)在對(duì)應(yīng)相位梯度條件下的全透射臨界角.其中,一、三象限的曲線(xiàn)部分對(duì)應(yīng)正常反射情況,入射光和反射光分居法線(xiàn)兩側(cè);二、四象限曲線(xiàn)部分對(duì)應(yīng)異常反射情況,入射光和反射光位于法線(xiàn)同一側(cè);曲線(xiàn)與橫坐標(biāo)零軸交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的反射角為零,而此時(shí)的入射角一般不為零,這說(shuō)明在相位梯度界面條件下一般正反射并不與正入射相對(duì)應(yīng);曲線(xiàn)④對(duì)應(yīng)相位梯度為0的經(jīng)典反射情況,該曲線(xiàn)上θr=θi;除曲線(xiàn)④外,其余每條曲線(xiàn)都有一個(gè)全透射臨界角,這說(shuō)明在相位梯度不為零的條件下肯定會(huì)發(fā)生全透射現(xiàn)象,這一性質(zhì)可用于增透膜或光耦合.

圖4 相位梯度界面條件下入射角和反射角關(guān)系Fig.4.Angle of reflection versus angle of incidence at the gradient phased interface.

3.2 3D廣義反射和折射

在前面的討論中,都是將界面相位梯度dΦ/dx的方向設(shè)定在入射面內(nèi),且入射光、折射光和反射光三者共面.因此,可以將前述的廣義定律視為2D廣義反射和折射定律.如果相位梯度的方向位于入射面外,則會(huì)發(fā)生折射光和反射光不在入射面內(nèi)的情況,此即為3D情形下的廣義反射和折射,或稱(chēng)為非平面反射和折射.下面利用穩(wěn)態(tài)相位法推導(dǎo)3D廣義折射和反射定律.

圖5 3D廣義折射和反射定律推導(dǎo)示意圖(界面相位梯度為任意方向)Fig.5.Schematics used to derive the generalized reflection and refraction in the 3D situation(the orientation of phase gradient is arbitrary at the interface).

其中,φ(r)為位置矢量r處的相位變化率,等式兩邊的積分路徑分別沿著和由于光的相位變化Δφ和波矢k之間存在以下關(guān)系：

則可將(14)式中等號(hào)兩端的積分分別改寫(xiě)為分段積分形式

(15)和(16)式中,ki和kt分別為光在折射率為ni和nt兩種介質(zhì)中的波矢,和分別為界面上A,B兩點(diǎn)處引入的附加界面相位.將兩式代入(14)中式可得

積分表達(dá)式不利于進(jìn)一步分析,為便于后面在波矢k空間中的討論,可將(17)式改寫(xiě)為界面上的波矢分量形式.考慮到矢量分解和圖5中的幾何關(guān)系,有以下表達(dá)式存在：

合并同類(lèi)項(xiàng)后得

其中,ki,x,ki,y和kt,x,kt,y分別是入射波矢ki和折射波矢kt在分界面上x(chóng),y方向的分量,dΦ/dx和dΦ/dy是界面相位梯度在x,y方向的分量.

由于分界面上的兩入射點(diǎn)A,B是隨機(jī)選取,則Δx和Δy的取值是隨機(jī)的.而(18)式對(duì)Δx和Δy的任意取值均成立,則必有下式成立：

此即為3D廣義折射定律的波矢表達(dá)式.

依據(jù)介質(zhì)中的波矢(ki和kt)、真空波長(zhǎng)λ0、介質(zhì)折射率(ni和nt)三者之間的關(guān)系,可將2D廣義折射定律(7)式改寫(xiě)為

再參照?qǐng)D2中的幾何關(guān)系可得

此即為2D廣義折射定律的波矢表達(dá)式.與(19)式對(duì)比可知,(20)式僅是其中的一個(gè)分量表達(dá)式.這意味著3D廣義折射可視為x,y方向上的兩個(gè)獨(dú)立2D廣義折射的矢量疊加,這與常見(jiàn)的矢量合成的物理直覺(jué)相符合.

值得關(guān)注的是,(19)式和(20)式還表明,由于界面相位梯度的引入,打破了界面的平移不變性,光波矢在界面兩側(cè)的切向分量不再守恒(或光子動(dòng)量的切向分量不守恒),相位梯度的存在相當(dāng)于引入了額外的“相位匹配(或動(dòng)量匹配)”.因此,通過(guò)調(diào)整相位梯度就可控制光的傳播方向.

采用推導(dǎo)3D廣義折射類(lèi)似的方法,可得到3D廣義反射定律的波矢表達(dá)式.事實(shí)上僅需將(19)式中代表折射的下標(biāo)“t”換為代表反射的下標(biāo)“r”即可

其中,kr,x和kr,y分別是反射光波矢在x,y方向的分量.與3D廣義折射相同,3D廣義反射也可看作x,y方向上的兩個(gè)獨(dú)立2D廣義反射的矢量疊加.

為討論簡(jiǎn)便且不失一般性,選擇入射光波矢ki位于三維坐標(biāo)系的y-z平面,即ki,x=0.又當(dāng)(19)式和(20)式中x軸方向的相位梯度dΦ/dx/=0時(shí),則存在x方向的反射光分量kr,x和折射光分量kt,x,此時(shí)入射光、反射光和折射光三者不再共面.因此不能再用通常的平面k空間來(lái)表示反射和折射,需要拓展至三維,如圖6(a).光在ni,nt兩種介質(zhì)中的波矢大小為ki=nik0和kt=ntk0,分別對(duì)應(yīng)圖6(a)中兩個(gè)半球面的半徑.反射光和折射光的方向分別由兩組角度(θr,φr)和(θt,φt)確定,如圖6(a)所示.其中,θr是kr與其在x-z平面上投影之間的夾角,φr是kr在x-z平面上投影與z軸之間的夾角;θt是kt與其在x-z平面上投影之間的夾角,φt是kt在x-z平面上投影與z軸之間的夾角.

圖6 (網(wǎng)刊彩色)廣義反射和折射的波矢空間 (a)3D波矢空間;(b)波矢合成示意圖Fig.6.(color online)Schematics ofk-space used to drive the generalized reflection and refraction：(a)3D geometricalk-space;(b)schematics of vector composition.

因此,任意方向的波矢k均可按下式進(jìn)行分解：

其中,kx,ky和kz分別為波矢在x,y和z方向的投影,(θ,φ)角的定義與(θr,φr)和(θt,φt) 類(lèi)似. 因此,將(22)式添加入射下標(biāo)i和折射下標(biāo)t后再代入(19)式,并考慮到ki,x=0,ki=nik0和kt=ntk0,可得該條件下的3D廣義折射定律表達(dá)式：

注意,入射光位于y-z平面內(nèi),θi為入射光波矢與z軸正方向之間的夾角.

同理,將(22)式代入(21)式,并考慮到ki,x=0,kr=ki=nik0,可得3D廣義反射定律表達(dá)式

注意一種特殊情況,當(dāng)界面的相位梯度位于入射面內(nèi)(即y-z平面)時(shí),dΦ/dx=0,由(19)式和(21)式確定的kt,x=kr,x=0,此時(shí)入射光、折射光和反射光三者共面,均位于y-z平面內(nèi),但這依然是廣義反射和折射而非經(jīng)典反射和折射,因?yàn)榇藭r(shí)界面相位梯度dΦ/dy/=0,依然起著相位匹配作用.

當(dāng)入射光從一種介質(zhì)穿越分界面向另一種介質(zhì)傳播時(shí),只要(22)式中的縱向波矢分量kt,z是實(shí)數(shù),則在另一種介質(zhì)中必然存在著向遠(yuǎn)處傳播的折射光.這意味著折射光波矢在分界面上的切向分量必須小于光在這種介質(zhì)中的波矢大小,即

同理,當(dāng)反射光的縱向波矢分量kr,z是實(shí)數(shù)時(shí)介質(zhì)中存在反射光,反射光波矢在分界面上的切向分量必須小于反射光波矢大小,即

折射光和反射光的存在條件(25)式和(26)式的幾何描述如圖6(b)所示.圖中,k//,i是入射光波矢的切向分量(注意,此處ki,x=0,ki,y=k//,i),k//,rt是反射光或折射光的切向波矢分量.在該圖中,若k//,rt的模小于對(duì)應(yīng)介質(zhì)中的波矢大小(即兩圓的半徑,分別為kr和kt),則存在反射光或折射光.而當(dāng)引入界面相位梯度時(shí),相當(dāng)于增加了一個(gè)界面相位梯度矢量,如圖6(b)中的kgrad,有

kgrad打破了分界面原來(lái)的各向同性,使全反射(全透射)條件和無(wú)相位梯度時(shí)存在顯著差異.

仿照2D情況的全反射和全透射分析,可得到3D情形下的全反射臨界角′θtc和全透射臨界角′θrc分別為

從(28)式和(29)式可知,是否存在臨界角和臨界角的數(shù)量、大小(即兩式有、無(wú)解和解的數(shù)量、大小)不僅受兩種介質(zhì)的折射率的影響,而且還與相位梯度的大小和方向有關(guān).

由于3D廣義反射和折射涉及到入射、反射和折射各光束的空間方向,無(wú)法像圖3、圖4一樣簡(jiǎn)單給出角度曲線(xiàn)關(guān)系,同時(shí)受限于篇幅,在此就不再深入.其實(shí),最簡(jiǎn)便的方法就像前面所討論的那樣,將3D廣義反射和折射看作是兩個(gè)互相垂直方向上的2D廣義反射和折射的矢量疊加.

4 基于廣義定律的平面光學(xué)設(shè)計(jì)與驗(yàn)證

由上述分析可知,在兩種介質(zhì)分界面上引入相位梯度后,光在其間的傳播規(guī)律遵從廣義反射和折射定律,出現(xiàn)了一些新穎的光學(xué)現(xiàn)象.相位梯度界面的引入不但拓展了光的傳播規(guī)律和豐富了光學(xué)現(xiàn)象,而且為傳統(tǒng)光學(xué)元件的設(shè)計(jì)提供了新的視角,為自由曲面光學(xué)設(shè)計(jì)、復(fù)雜光束控制和平面光學(xué)設(shè)計(jì)提供新的自由度.下面僅以平面透鏡和平面Axicon為例,從相位梯度界面的角度分析其設(shè)計(jì)過(guò)程,為廣義定律的應(yīng)用拓展提供參考.

4.1 平面透鏡

傳統(tǒng)折射型球面透鏡僅能將傍軸光線(xiàn)聚焦到某一點(diǎn),偏離傍軸條件將會(huì)導(dǎo)致單色像差,比如球差、彗差、象散等.為克服這些問(wèn)題需要用到復(fù)雜的優(yōu)化技術(shù),比如采用非球面和多透鏡設(shè)計(jì)等.而采用基于相位梯度界面的平面透鏡替代傳統(tǒng)球面透鏡不但能極大縮小元件厚度,有利于器件的微型化,而且還能實(shí)現(xiàn)非傍軸光線(xiàn)的消像差,這將為高數(shù)值孔徑的無(wú)單色像差成像提供思路.

設(shè)單色平行光正入射并通過(guò)焦距為f的平面透鏡,會(huì)聚于像方焦點(diǎn)F′,如圖7(a).依據(jù)廣義折射定律表達(dá)式(7),有入射角θi=0,折射角θt=θ,ni=nt=1,則可得

分離變量,得

由圖7中幾何關(guān)系可知r=ftanθ,求微分,得 dr=fsec2θdθ.將上式代入(30)式,得

(31)式即是從廣義折射定律推導(dǎo)得出的平面透鏡相位分布,該相位的空間輪廓側(cè)視圖和投影圖如圖7(b)所示.在推導(dǎo)過(guò)程中沒(méi)有傍軸近似,若在兩種介質(zhì)分界面上引入符合該表達(dá)式的相位分布,則可得到焦距為f的消像差平面透鏡.

圖7 (網(wǎng)刊彩色)平面透鏡 (a)光路;(b)相位分布Fig.7.(color online)Flat lens：(a)Beam path;(b)phase distribution.

4.2 平面Axicon

對(duì)于如圖8(a)所示的平面Axicon,沿光軸方向的入射光經(jīng)Axicon偏折后,所有出射光線(xiàn)的偏轉(zhuǎn)角均為θ.則在廣義折射定律表達(dá)式(7)中,入射角θi=0,折射角θt=θ,ni=nt=1,有分離變量,得積分

(32)式即是從廣義折射定律推導(dǎo)得出的平面Axicon相位分布,該相位的空間輪廓側(cè)視圖和投影圖如圖8(b)所示.若在兩種介質(zhì)分界面上引入符合該表達(dá)式的相位分布,則可得到偏轉(zhuǎn)角為θ的平面Axicon透鏡.

圖8 (網(wǎng)刊彩色)平面Axicon (a)光路;(b)相位分布Fig.8.(color online)Flat Axicon：(a)Beam path;(b)phase distribution.

4.3 驗(yàn)證與分析

如前所述,相位梯度界面一般由亞波長(zhǎng)厚度光學(xué)諧振器實(shí)現(xiàn).隨著工作波長(zhǎng)的縮短,諧振器的特征尺寸也會(huì)減小,制作難度和費(fèi)用提高.因此,已有的研究幾乎都集中于紅外甚至毫米波段,可見(jiàn)光波段甚少[1-8,15-21].考慮到可見(jiàn)光工作波長(zhǎng)的相位梯度界面制備難度大,且此處僅是對(duì)依據(jù)廣義定律方法設(shè)計(jì)平面光學(xué)元件的思路進(jìn)行驗(yàn)證,因此采用SLM產(chǎn)生平面光學(xué)元件所需的相位分布以替代相位梯度界面不失為一個(gè)簡(jiǎn)單易行的方法.

本文采用了德國(guó)HOLOEYES公司生產(chǎn)的PLUTO高精度純相位SLM系統(tǒng),有效面積15.36 mm×8.64 mm,像素1920×1080.由于SLM的相位調(diào)制范圍為0-2π,因此需要將(31)式和(32)式的相位歸化到2π范圍內(nèi),分布情況如圖9所示.

圖9 (網(wǎng)刊彩色)歸化相位分布 (a)平面會(huì)聚透鏡;(b)平面AxiconFig.9.(color online)The normalized phase distribution：(a)Flat convergent lens;(b)flat axicon.

采用He-Ne激光器,工作波長(zhǎng)632.8 nm,利用SLM獲得平面會(huì)聚透鏡(f=300 mm)和平面Axicon(θ=0.5°)的相位分布,CCD拍攝到的衍射光斑如圖10所示.其中圖10(a)是在距SLM約340 mm處拍攝的平面會(huì)聚透鏡的焦斑光強(qiáng)分布偽彩色圖,該焦斑位置與設(shè)計(jì)值存在約13%的偏差;圖10(b)是在平面Axicon的無(wú)衍射范圍內(nèi)的光強(qiáng)分布偽彩色圖,更進(jìn)一步的數(shù)據(jù)處理表明實(shí)驗(yàn)測(cè)得的Axicon最大無(wú)衍射范圍和中心光斑尺寸都比設(shè)計(jì)值偏大約10%.兩個(gè)平面光學(xué)元件的特征參數(shù)測(cè)量值均較理論值偏大,估計(jì)與沒(méi)有考慮SLM透明封裝材料的影響,以及SLM的實(shí)際像素尺寸比標(biāo)稱(chēng)尺寸略微偏大有關(guān).即使如此,該實(shí)驗(yàn)誤差也在能接受的范圍內(nèi),這說(shuō)明依據(jù)廣義定律相位梯度的思路設(shè)計(jì)平面光學(xué)元件的正確性.

圖10 (網(wǎng)刊彩色)光強(qiáng)分布 (a)平面會(huì)聚透鏡;(b)平面AxiconFig.10.(color online)The intensity distribution：(a)Flat convergent lens;(b)flat Axicon.

5 結(jié) 論

廣義反射和折射定律的建立,使得相位梯度界面在影響光傳播行為方面的重要性凸顯出來(lái),通過(guò)控制相位型界面的相位梯度調(diào)制出射波前將成為一種新的設(shè)計(jì)思路.比如,傳統(tǒng)折射透鏡的像差優(yōu)化問(wèn)題會(huì)使得系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜和體積增大,而采用相位梯度界面的亞波長(zhǎng)厚度平面透鏡將使非傍軸光線(xiàn)的單色像差問(wèn)題在極小的空間內(nèi)得到改善,有利于器件的進(jìn)一步微型化;再比如在傳統(tǒng)折射中,全反射臨界角只決定于兩種介質(zhì)的折射率,而依據(jù)廣義定律全反射(全透射)臨界角還與相位梯度有關(guān),不同的相位梯度對(duì)應(yīng)著不同的臨界角,相位梯度界面的這些性質(zhì)可用于陷光效應(yīng)以及亞波長(zhǎng)尺度范圍內(nèi)對(duì)光束進(jìn)行多束分光、選擇或約束傳輸?shù)?此外,相位梯度界面還在亞波長(zhǎng)尺度的渦旋相位片、全息相位片、偏振轉(zhuǎn)換器和波長(zhǎng)選擇器等方面具有應(yīng)用潛力.

本文推導(dǎo)了適用于相位梯度界面的2D和3D廣義反射和折射定律,詳細(xì)分析相位梯度對(duì)光傳播行為的影響規(guī)律,闡明了異常反射、異常折射和多個(gè)臨界角等新穎光學(xué)現(xiàn)象的出現(xiàn)原因;還從相位梯度界面的角度依據(jù)廣義折射定律得出了平面透鏡和平面Axicon的相位分布,利用SLM進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,結(jié)果表明依據(jù)廣義定律設(shè)計(jì)平面光學(xué)元件思路的可行性較高,并為拓展廣義定律在自由曲面光學(xué)設(shè)計(jì)、亞波長(zhǎng)甚至納米尺度范圍內(nèi)的復(fù)雜光束控制中的應(yīng)用提供了參考.

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PACS:42.25.Gy,78.68.+m DOI:10.7498/aps.66.024204

Influence of gradient phased interfaces on the laws of light propagation?

Xiao Xiao1)2)Xie Shi-Wei1)Zhang Zhi-You1)Du Jing-Lei1)?

1)(College of Physical Science and Technology,Sichuan University,Chengdu 610064,China)
2)(College of Physics and Electronic Engineering,Leshan Normal University,Leshan 614000,China)

13 July 2016;revised manuscript

30 October 2016)

The gradient phased interface is characterized by a non-zero phase variation along the interface between two optical media,which could generate a phase shit between the emitted and incident light beams.Unlike common ones,gradient phased interfaces have a great influence on the laws of light propagation,including light reflection and refraction,and some novel phenomena are observed.For a comprehensive understanding the optical characteristics of those gradient surfaces,the universal laws of light propagation at gradient phased interfaces are derived and discussed in detail in this paper.According to Fermat’s principle,we use the stationary phase method to successively acquire the two-dimensional(2D)and three-dimensional(3D)generalized laws of reflection and refraction.In the 2D generalized laws,the interfacial phase gradient lies in the plane of incidence,which is coplanar with the incident,refracted and reflected light beams.But in the 3D case,the phase gradient does not lie in the plane of incidence,and the non-planar reflection and refraction phenomena are observed.These generalized reflection and refraction laws indicate that the interface between two media could be an important factor when light traverses it,and gradient phased interfaces provide new degrees of freedom for manipulating the wavefront of light beams.Based on the generalized reflection and refraction laws,we analyze the influence of phase gradient on light propagation,then obtain critical angles of incidence for reflection and refraction(i.e.the critical angles for total internal reflection and total transmission)in 2D and 3D cases,and explain the reasons for some novel phenomena,such as reflection angle unequal to incidence angle,anomalous reflection and refraction,out-of-plane reflection and refraction,etc.These analysis results show that generalized laws of reflection and refraction have important value in optical design.In addition,we propose an optical design idea based on generalized laws of reflection and refraction,in which gradient phased interfaces are used as core components of optical elements to perform optical transform.And then a flat lens and flat axicon are taken for example to illustrate this idea,the design process of the two flat optical elements are shown in detail.Moreover,we experimentally simulate the gradient surfaces of the two elements by spatial light modulator,and experimental results agree well with theoretical values.It proves that this design idea is practicable.Our research is useful to understand comprehensively the generalized reflection and refraction laws,and extend the applications of generalized laws to flat optics,freeform optics and the accurate control of complex wavefront.

gradient phased interfaces,generalized law of reflection,generalized law of refraction,flat optics

:42.25.Gy,78.68.+m

10.7498/aps.66.024204

?國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào)：11305111,61307039)、四川省自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào)：15ZA0280)和樂(lè)山市科技研究基金(批準(zhǔn)號(hào)：15GZD108,Z1320)資助的課題.

?通信作者.E-mail：dujl@scu.edu.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11305111,61307039),the Natural Science Foundation of Sichuan Province,China(Grant No.15ZA0280),and the Science-Technology Foundation of Leshan City,China(Grant Nos.15GZD108,Z1320).

?Corresponding author.E-mail：dujl@scu.edu.cn