周若微 李江城2)董志偉 李云仙2) 錢振偉

1)(云南財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)管理研究中心,昆明 650221)

2)(云南大學(xué)統(tǒng)計(jì)系,昆明 650091)

周期波動(dòng)性對(duì)金融市場(chǎng)穩(wěn)定性的影響?

周若微1)李江城1)2)?董志偉1)李云仙1)2)錢振偉1)

1)(云南財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)管理研究中心,昆明 650221)

2)(云南大學(xué)統(tǒng)計(jì)系,昆明 650091)

(2016年5月23日收到;2016年11月29日收到修改稿)

利用平均逃逸率和逃逸時(shí)間分別研究了周期性波動(dòng)對(duì)股票價(jià)格穩(wěn)定性在金融常態(tài)和金融危機(jī)下的影響.基于Heston模型、引入單穩(wěn)勢(shì)函數(shù)和周期函數(shù),構(gòu)建了描述股票價(jià)格處于穩(wěn)定狀態(tài)和崩盤的逃逸狀態(tài)的動(dòng)力學(xué)模型.通過(guò)數(shù)值模擬和實(shí)際數(shù)據(jù)結(jié)合,發(fā)現(xiàn)：1)利用道瓊斯指數(shù)成分股的實(shí)際金融數(shù)據(jù)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì),對(duì)模型和實(shí)際金融數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)做了比較,發(fā)現(xiàn)模型和實(shí)際情況較為符合;2)從金融常態(tài)到金融危機(jī)逃逸率的研究中,發(fā)現(xiàn)較強(qiáng)的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率、較小的周期波動(dòng)強(qiáng)度、較小的長(zhǎng)期波動(dòng)值和較弱的波動(dòng)的振幅都會(huì)增強(qiáng)股票價(jià)格處于穩(wěn)定狀態(tài)的機(jī)率;3)通過(guò)研究金融危機(jī)周期性波動(dòng)對(duì)價(jià)格平均逃逸時(shí)間的影響,發(fā)現(xiàn)存在一個(gè)最佳的周期波動(dòng)振幅能最大化股票價(jià)格穩(wěn)定性,某個(gè)最佳的波動(dòng)均值回歸速度、變?nèi)醯闹芷诓▌?dòng)頻率、變強(qiáng)的噪聲關(guān)聯(lián)強(qiáng)度和增加的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率會(huì)進(jìn)一步加強(qiáng)該最佳周期波動(dòng)振幅從而進(jìn)一步促進(jìn)穩(wěn)定性.

周期波動(dòng),平均逃逸時(shí)間,逃逸率,金融物理

1 引 言

物理學(xué)研究發(fā)現(xiàn)隨機(jī)共振和逃逸現(xiàn)象是自然界中非常常見的現(xiàn)象.隨機(jī)共振[1]在諸多領(lǐng)域被廣泛地發(fā)現(xiàn)和研究,例如雙穩(wěn)系統(tǒng)[2-5]、線性系統(tǒng)[6]、生物系統(tǒng)[7]、生態(tài)系統(tǒng)[8,9].在對(duì)逃逸現(xiàn)象的研究中,平均逃逸時(shí)間,也就是平均首通時(shí)間是一個(gè)常被采用的物理量[10-14].Bonanno等[10]在研究單穩(wěn)勢(shì)中粒子逃逸現(xiàn)象時(shí)發(fā)現(xiàn)了噪聲增強(qiáng)穩(wěn)定性行為.Fiasconaro和Spagnolo[11]研究了一個(gè)過(guò)阻尼的粒子受到色噪聲驅(qū)動(dòng)從亞穩(wěn)態(tài)逃逸的過(guò)程,同樣發(fā)現(xiàn)了噪聲增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性行為.Jia[12]利用平均首通時(shí)間研究了受關(guān)聯(lián)噪聲驅(qū)動(dòng)的延遲雙穩(wěn)系統(tǒng)中時(shí)間延遲對(duì)瞬態(tài)行為的影響.Yoshimoto等[13]討論了Belousov-Zhabotinsky化學(xué)反應(yīng)的混沌變化中噪聲增強(qiáng)有序性的行為.Zeng等[14]研究了活躍的布朗粒子的逃逸和共振行為,也發(fā)現(xiàn)了噪聲增強(qiáng)穩(wěn)定性現(xiàn)象.在金融系統(tǒng)中也發(fā)現(xiàn)了隨機(jī)共振現(xiàn)象和逃逸現(xiàn)象.如 Krawiecki和Holyst[15]用隨機(jī)共振描述股票市場(chǎng)崩盤和泡沫,Babinec[16]研究了交互代理模型中的隨機(jī)共振現(xiàn)象,Li和Mei[17]發(fā)現(xiàn)了金融市場(chǎng)中的逆共振現(xiàn)象及隨機(jī)共振中的延遲作用.Heston模型與逃逸時(shí)間被廣泛應(yīng)用于金融危機(jī)中股票價(jià)格動(dòng)力學(xué)變化的研究,如用單穩(wěn)勢(shì)函數(shù)的方法研究了修正的Heston模型中的均值逃逸時(shí)間[18,19]、對(duì)證券市場(chǎng)發(fā)展中的不同模型中沖擊時(shí)間的統(tǒng)計(jì)特征[10,20]、華爾街市場(chǎng)證券價(jià)格收益率逃逸時(shí)間的統(tǒng)計(jì)特征[11]、平均逃逸時(shí)間和生存率的準(zhǔn)確表達(dá)[21,22]等.現(xiàn)今利用物理的方法和工具、復(fù)雜性科學(xué)、網(wǎng)絡(luò)科學(xué)和數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)來(lái)對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的各種問(wèn)題(如金融市場(chǎng))進(jìn)行分析建模取得了不少成果,并興起了一個(gè)逐漸成長(zhǎng)的研究方向——金融物理學(xué)[23].

與此同時(shí),股票市場(chǎng)價(jià)格的波動(dòng)性是有別于風(fēng)險(xiǎn)和收益的一個(gè)重要的研究熱點(diǎn).投資者的資產(chǎn)配置和投資行為等信息往往也是通過(guò)股市波動(dòng)性在市場(chǎng)中傳導(dǎo)的.對(duì)股票價(jià)格波動(dòng)特征的研究[24]、衍生工具定價(jià)[25]、風(fēng)險(xiǎn)控制[26]、市場(chǎng)監(jiān)管和價(jià)格預(yù)測(cè)[27]等金融市場(chǎng)的重大研究課題都具有極其重要的意義.波動(dòng)性使得金融市場(chǎng)時(shí)間序列表現(xiàn)出尖峰肥尾[28]、長(zhǎng)期記憶和波動(dòng)性集聚[29]等統(tǒng)計(jì)學(xué)特征.Bollerslev[30]提出了廣義自回歸條件異方差波動(dòng)率結(jié)構(gòu).Ding等[31]對(duì)標(biāo)普500指數(shù)收益率的開創(chuàng)性研究發(fā)現(xiàn)波動(dòng)率表現(xiàn)出很強(qiáng)的長(zhǎng)期記憶性,具有波動(dòng)持久性.Bansal等[32]指出波動(dòng)性對(duì)資產(chǎn)定價(jià)和宏觀經(jīng)濟(jì)有著重大的作用.Jebabli等[33]在世界股票市場(chǎng)和油價(jià)沖擊對(duì)食物價(jià)格的影響的研究中發(fā)現(xiàn)了波動(dòng)溢出現(xiàn)象.Heston模型[34]也能夠很好地描述金融市場(chǎng)肥尾、長(zhǎng)期記憶和波動(dòng)性集聚等統(tǒng)計(jì)學(xué)特征.Forde等[35]基于Heston模型研究了隱含波動(dòng)率的期限結(jié)構(gòu).Drǎgulescu和 Yakovenko[36]基于Heston模型和隨機(jī)波動(dòng)研究了收益的概率密度分布.特別是波動(dòng)性集聚表現(xiàn)出明顯高波動(dòng)和低波動(dòng)周期性交換的特征.Poon和Granger[37]評(píng)論了波動(dòng)性的研究并指出了盤中周期性波動(dòng)的特征.Fouque等[38]利用漸進(jìn)定價(jià)理論研究了標(biāo)普500指數(shù)的隱含波動(dòng)率,解釋了伴有時(shí)間周期波動(dòng)的潛在價(jià)格動(dòng)力學(xué)行為.因此,股票價(jià)格波動(dòng)性變化在金融市場(chǎng)中具有重要的意義,值得深入討論.

本文結(jié)合物理中共振和逃逸的思想,應(yīng)用Heston模型描述股票價(jià)格的動(dòng)力學(xué),綜合地研究股票市場(chǎng)中價(jià)格的周期波動(dòng)性對(duì)市場(chǎng)穩(wěn)定性的影響.文中結(jié)構(gòu)如下：第二部分引入周期性波動(dòng),建立周期波動(dòng)的Heston模型;第三部分比較了所構(gòu)建模型和實(shí)際數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù);第四部分用共振的思想研究一個(gè)波動(dòng)周期內(nèi)系統(tǒng)出現(xiàn)危機(jī)的比率;第五部分利用價(jià)格平均逃逸時(shí)間討論周期波動(dòng)性對(duì)市場(chǎng)穩(wěn)定性的影響;第六部分為總結(jié).

2 周期的Heston模型

由前面的討論可以發(fā)現(xiàn)Heston模型能很好地描述股票價(jià)格的動(dòng)力學(xué)變化過(guò)程,因而股票價(jià)格的動(dòng)力學(xué)模型可以用下面簡(jiǎn)化的Heston模型的隨機(jī)微分方程組來(lái)表示[34,36]：

其中x(t)表示對(duì)數(shù)股價(jià),μ為經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率,a表示回歸v(t)的均值回歸速度,b是v(t)的長(zhǎng)期方差,θ為波動(dòng)率振幅.v(t)是一個(gè)時(shí)間為a-1的指數(shù)瞬變過(guò)程,并且向b靠近[39].ξ(t)和η(t)是兩個(gè)相關(guān)的維納過(guò)程,滿足以下條件：

λ是ξ(t)和η(t)的相關(guān)系數(shù).盡管在文獻(xiàn)[17]中分別討論了外部和內(nèi)部的周期信息對(duì)金融系統(tǒng)的影響,然而股票市場(chǎng)是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng),公司的股票價(jià)格一直會(huì)受到市場(chǎng)外部宏觀經(jīng)濟(jì)的影響和公司自有的內(nèi)部周期性信息的作用.內(nèi)外周期性信息的共同作用下,必然導(dǎo)致股票價(jià)格的波動(dòng)性,這會(huì)使得股價(jià)波動(dòng)表現(xiàn)出高波動(dòng)和低波動(dòng)周期性交替變換的波動(dòng)集聚特征.如對(duì)經(jīng)濟(jì)代理兩個(gè)行為模式的研究發(fā)現(xiàn),行為切換會(huì)導(dǎo)致大的波動(dòng)和生成總體波動(dòng)性集群,表現(xiàn)出周期特征[40].因而波動(dòng)率振幅θ因受內(nèi)外周期性作用,其中必然包含有周期性特征.而這樣的周期特征可以展開為傅里葉級(jí)數(shù)的形式：

其中A0,Ai,P,φi為展開參數(shù).為了研究的簡(jiǎn)便,本文主要研究一級(jí)展開,即使用c+Acos(Ωt+φ)來(lái)簡(jiǎn)化替換方程(1)中的θ,Acos(Ωt+φ)便是內(nèi)外周期性信息對(duì)股價(jià)波動(dòng)性的作用.A,Ω和φ為波動(dòng)周期性的振幅、頻率和初始相位,c為波動(dòng)率振幅θ的期望,波動(dòng)的周期性圍繞c在變化.方程(1)變?yōu)?/p>

金融系統(tǒng)中股價(jià)在一定的價(jià)格區(qū)域內(nèi),多空雙方力量平衡時(shí)表現(xiàn)出盤整的特征.當(dāng)信息和市場(chǎng)中的投資者的行為發(fā)生共振現(xiàn)象時(shí),投資者往往表現(xiàn)出羊群行為,促使股價(jià)單方面暴漲和暴跌.當(dāng)共振行為超出一定的閾值,整個(gè)市場(chǎng)會(huì)出現(xiàn)不可逆轉(zhuǎn)的股價(jià)嚴(yán)重泡沫和崩盤現(xiàn)象,進(jìn)而引發(fā)整個(gè)系統(tǒng)的危機(jī).在此我們采用文獻(xiàn)[18,19]中的單穩(wěn)勢(shì)函數(shù)U(x)來(lái)描述這個(gè)過(guò)程,詳見圖1.U(x)=px3+qx2,p=2和q=3.U(x)是單穩(wěn)勢(shì)函數(shù),x=-1的虛線分為左右兩個(gè)區(qū)域,粒子如果落入x≥-1的區(qū)域是相對(duì)穩(wěn)定區(qū)域,系統(tǒng)往往處于動(dòng)態(tài)穩(wěn)定,這和股價(jià)處于常態(tài)類似;反之如果落入x＜-1的區(qū)域,粒子很大概率上處于單方面往左區(qū)域逃逸,這與股價(jià)崩盤是非常類似的.股價(jià)如果在右邊勢(shì)阱中,則股票價(jià)格處于較為穩(wěn)定的區(qū)域.當(dāng)市場(chǎng)中共振行為使得股價(jià)波動(dòng)性越過(guò)左邊不穩(wěn)定態(tài)的頂端時(shí),股價(jià)會(huì)趨于不穩(wěn)定的狀態(tài),極大可能會(huì)出現(xiàn)崩盤效應(yīng).因而受周期波動(dòng)性和單穩(wěn)勢(shì)函數(shù)影響的動(dòng)力學(xué)方程可以變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

基于文獻(xiàn)[36]和極值理論的方法,與文獻(xiàn)[17]相似,考慮小周期波動(dòng)和低頻周期,選擇和文獻(xiàn)[17]中一樣的參數(shù)值：A=0.05,Ω=0.05,我們對(duì)方程(4)進(jìn)行參數(shù)估計(jì).數(shù)據(jù)采用的是道瓊斯工業(yè)指數(shù)30只成分股在2007年9月3日到2008年12月31日,共計(jì)70637個(gè)樣本.與數(shù)據(jù)匹配,考慮從危機(jī)初期開始,和亞穩(wěn)態(tài)位置類比,故而隨機(jī)模擬方程(4)時(shí),采用初始位置x=-1到結(jié)束位置x=-6為止.可以得到μ,λ,a,b和c參數(shù)估計(jì)值分別為=0.0162593,=0.189739,=2.30123,=0.00256536 和=0.013307.

圖1 股票對(duì)數(shù)價(jià)格的單穩(wěn)勢(shì)函數(shù)圖Fig.1.Cubic potential used in the dynamical equation for the price.

3 價(jià)格收益的概率密度函數(shù)

在本節(jié)中,為了測(cè)試第2部分的假設(shè)合理性,我們比較了模型和時(shí)間數(shù)據(jù)的股票價(jià)格收益的概率密度函數(shù).采用文獻(xiàn)[41,42]中的描述,股價(jià)的日收益可以定義為

其中xi是在第i個(gè)時(shí)間點(diǎn)的對(duì)數(shù)價(jià)格(i=1,2,3,···).

為了比較收益 Δxi的概率密度函數(shù) (PDF),我們采用第2部分估計(jì)得到的參數(shù)進(jìn)行模擬.由方程(2),采用Box-Muller的方式模擬高斯白噪聲.時(shí)間步長(zhǎng)為Δt=0.01,每一個(gè)步長(zhǎng)當(dāng)作一個(gè)交易周期單位,如果采用的是日數(shù)據(jù),則可以理解為一天.基于方程(4)和(5),模擬超過(guò)106個(gè)路徑,最后得到收益的PDF.對(duì)于實(shí)際金融數(shù)據(jù),也采用第2部分提到的道瓊斯工業(yè)指數(shù)30只成分股從2007年9月3日到2008年12月31日7萬(wàn)多個(gè)交易日的每日復(fù)權(quán)的收盤價(jià);對(duì)復(fù)權(quán)收盤價(jià)先求對(duì)數(shù),后用方程(5)的方法求出70637個(gè)對(duì)數(shù)日收益率樣本,再用頻數(shù)法求出收益的PDF(組間距離為0.01).兩個(gè)結(jié)果比較后呈現(xiàn)在圖2中,可以發(fā)現(xiàn)實(shí)際數(shù)據(jù)和模型模擬得到的結(jié)果非常符合.

圖2 基于Heston模型和真實(shí)數(shù)據(jù)集的收益概率密度函數(shù)比較Fig.2.Probability density functions of price returns for a simulated data set from the Heston model and a real market data set.

4 周期逃逸率

前面已經(jīng)論述了波動(dòng)周期性的變化會(huì)表現(xiàn)出波動(dòng)集聚的特征.只要波動(dòng)不大于某個(gè)臨界值,股票價(jià)格如果初期處于穩(wěn)定狀態(tài),也就是如粒子初期處于圖1右邊區(qū)域勢(shì)阱中,會(huì)一直持續(xù)穩(wěn)定下去.但是,如果投資者的恐懼和貪婪驅(qū)動(dòng)下的交易行為,與內(nèi)外周期信息驅(qū)動(dòng)的周期性波動(dòng)性發(fā)生同步共振現(xiàn)象,會(huì)放大波動(dòng)性,驅(qū)使股票波動(dòng)性超越某個(gè)閾值,逃逸出右邊的勢(shì)阱,進(jìn)入左邊逃逸區(qū)域.為了研究哪些因子會(huì)誘發(fā)這個(gè)逃逸行為,我們使用布朗粒子來(lái)描述股價(jià)的隨機(jī)波動(dòng).研究從穩(wěn)態(tài) (x=0)出發(fā),逃逸到明顯已經(jīng)進(jìn)入左邊區(qū)域(x≤-6.0)粒子的比率,也就是從股市穩(wěn)定到發(fā)生股票崩盤現(xiàn)象的概率.鑒于波動(dòng)的周期性,我們研究了一個(gè)周期內(nèi)從穩(wěn)定態(tài)逃逸到崩盤區(qū)域的逃逸率,也就是平均周期逃逸率(mean periodic escape rate,MPER).具體計(jì)算方法：給定初始位置x0=0,用圖2的方法基于方程(2)和(4)模擬股價(jià)的軌跡.考慮Δt=0.01為一個(gè)交易日,計(jì)算一個(gè)周期股價(jià)的路徑,由方程(4)中Ω求出一個(gè)周期為個(gè)交易日.一個(gè)周期結(jié)束,股票價(jià)格如果為x≤-6.0,則記為一次逃逸,反之則記為處于穩(wěn)定區(qū)域.而后重新開始計(jì)算路徑,總共計(jì)算超過(guò)106條路徑,用逃逸的總次數(shù)除以總路徑量,計(jì)算出一個(gè)周期內(nèi)平均逃逸的比率.

圖3 MPER關(guān)于 lg(A)和 lg(Ω)的相位圖Fig.3.The phase diagram of MPER vs.lg(A)and lg(Ω).

為了研究周期性波動(dòng)對(duì)MPER影響,圖3給出了 MPER關(guān)于 lg(A)和lg(Ω)的相位圖.從圖3中可以發(fā)現(xiàn),隨著對(duì)數(shù)周期波動(dòng)性強(qiáng)度lg(A)的增加,黑色區(qū)域慢慢變?yōu)榘咨?也就是MPER逐漸增大.這也就是說(shuō),隨著周期波動(dòng)性強(qiáng)度增強(qiáng),股票市場(chǎng)越不穩(wěn)定.在高波動(dòng)區(qū)域,對(duì)數(shù)周期波動(dòng)性頻率增強(qiáng)使得MPER減少.這是因?yàn)橹芷诓▌?dòng)性頻率增強(qiáng)減少了周期的長(zhǎng)度.該相位圖黑色區(qū)域是影響因子的安全區(qū)域,白色則是逃逸率100%的危險(xiǎn)區(qū)域.由此,可以很方便地找到股票價(jià)格穩(wěn)定性區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域.

圖4 MPER的相位圖 (a)MPER關(guān)于lg(A)和λ的相位圖;(b)MPER關(guān)于lg(A)和lg(μ)的相位圖Fig.4.The phase diagrams of MPER：(a)The phase diagram of MPER vs.lg(A)andλ;(b)the phase diagram of MPER vs.lg(A)and lg(μ).

為了研究周期性波動(dòng)、噪聲關(guān)聯(lián)強(qiáng)度和經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率對(duì)MPER影響,圖4(a)和圖4(b)分別給出了MPER關(guān)于lg(A)和λ的相位圖以及關(guān)于lg(A)和lg(μ)的相位圖.從圖4(a)中可以發(fā)現(xiàn),噪聲關(guān)聯(lián)強(qiáng)度λ對(duì)MPER影響是微弱的,基本不會(huì)改變黑色安全區(qū)和白色逃逸區(qū)的大小.兩個(gè)區(qū)域的臨界閾值主要由周期性波動(dòng)強(qiáng)度A所決定.圖4(b)則顯示了增強(qiáng)的對(duì)數(shù)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率會(huì)增大黑色安全區(qū)域的大小.

為了研究波動(dòng)性的其他因子對(duì)MPER的作用,圖5(a)給出了MPER關(guān)于lg(A)和lg(a)的相位圖;圖5(b)給出了關(guān)于lg(A)和lg(b)的相位圖;圖5(c)給出了關(guān)于lg(A)和lg(c)的相位圖.圖5(a)顯示了增強(qiáng)的對(duì)數(shù)波動(dòng)均值回歸速度lg(a)會(huì)增大黑色安全區(qū)域的大小;圖5(b)和(c)都顯示了相同的特征,小的對(duì)數(shù)長(zhǎng)期波動(dòng)值lg(b)和波動(dòng)的波動(dòng)lg(c)使得股票價(jià)格處于黑色的安全區(qū)域,反之高的lg(b)和lg(c)誘導(dǎo)價(jià)格處于白色的逃逸區(qū)域.

圖5 MPER的相位圖 (a)MPER關(guān)于lg(A)和lg(a)的相位圖;(b)MPER關(guān)于lg(A)和lg(b)的相位圖;(c)MPER關(guān)于lg(A)和lg(c)的相位圖Fig.5.The phase diagrams of MPER：(a)The phase diagram of MPER vs.lg(A)and lg(a);(b)the phase diagram of MPER vs.lg(A)and lg(b);(c)the phase diagram of MPER vs.lg(A)and lg(c).

5 金融危機(jī)中的平均逃逸時(shí)間

如果股票價(jià)格處于第4部分中的白色區(qū)域,此時(shí)股價(jià)如同粒子逃逸一樣容易往左邊滑下去.這樣的現(xiàn)象在金融市場(chǎng)中則表現(xiàn)為股價(jià)崩盤現(xiàn)象,進(jìn)而引發(fā)金融危機(jī).然而研究發(fā)現(xiàn),噪聲在某些條件下會(huì)表現(xiàn)出增強(qiáng)系統(tǒng)穩(wěn)定性的作用.同樣在金融危機(jī)時(shí),周期性波動(dòng)是否會(huì)增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性?為了研究在金融危機(jī)狀態(tài)下周期性波動(dòng)對(duì)金融系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,我們使用平均逃逸時(shí)間(MET)來(lái)進(jìn)行分析.考慮已經(jīng)處于白色的逃逸區(qū)域,選擇圖1中左邊區(qū)域的x=-1.25開始,到明顯進(jìn)入到金融危機(jī)的末期,股價(jià)已經(jīng)嚴(yán)重貶值的x≤-6.0為止.由方程(2)和(4)得到平均逃逸時(shí)間.

圖6 對(duì)數(shù)平均逃逸時(shí)間 lg(MET) (a)lg(MET)關(guān)于lg(A)和lg(Ω)的函數(shù);(b)lg(MET)關(guān)于lg(A)和λ的函數(shù)Fig.6.The function of lg(MET)：(a)lg(MET)vs.lg(A)and lg(Ω);(b)lg(MET)vs.lg(A)andλ.

為了分析周期波動(dòng)性和噪聲關(guān)聯(lián)強(qiáng)度對(duì)MET的作用,圖6(a)給出了對(duì)數(shù)平均逃逸時(shí)間lg(MET)關(guān)于 lg(A)和 lg(Ω)的函數(shù);而圖6(b)給出了關(guān)于 lg(A)和λ的函數(shù).圖6(a)和圖6(b)都顯示了lg(MET)vs.lg(A)存在著一個(gè)極大值,也就是說(shuō)存在一個(gè)最佳的周期波動(dòng)強(qiáng)度A使得平均逃逸時(shí)間最大(即最佳的A最大地增強(qiáng)了股票價(jià)格的穩(wěn)定性).圖6(a)顯示了隨著lg(Ω)的增大,lg(MET)vs.lg(A)的最大值在減小;反之,圖6(b)顯示了隨著λ的增大,lg(MET)vs.lg(A)的最大值在增大.也就是說(shuō)周期波動(dòng)頻率的增加減弱了股票價(jià)格的穩(wěn)定性,而關(guān)聯(lián)噪聲強(qiáng)度的增加則加強(qiáng)了股票價(jià)格的穩(wěn)定性.

圖7 (a)對(duì)數(shù)平均逃逸時(shí)間 lg(MET)關(guān)于lg(A)和lg(μ)的函數(shù);(b)MPER關(guān)于lg(A)和lg(μ)的相位圖Fig.7.(a)The function of lg(MET)vs.lg(A)and lg(μ);(b)the phase diagram of MPER vs.lg(A)and lg(μ).

為了分析周期波動(dòng)性和經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率對(duì)MET的影響,圖7(a)給出了對(duì)數(shù)平均逃逸時(shí)間lg(MET)關(guān)于 lg(A)和lg(μ)的函數(shù).從圖7(a)中可觀察到lg(MET)vs.lg(A)存在著一個(gè)最大值,而且隨著lg(μ)的增大,lg(MET)vs.lg(A)的最大值在增大.當(dāng) lg(μ)取值較大時(shí)(特別是lg(μ)約大于閾值-1.7),增大的lg(μ)會(huì)驅(qū)動(dòng)本來(lái)在逃逸過(guò)程的粒子進(jìn)入到穩(wěn)態(tài)區(qū)域,也就是說(shuō)當(dāng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率超過(guò)某個(gè)閾值的時(shí)候,粒子將很可能長(zhǎng)久地留在穩(wěn)定區(qū)域,使得平均逃逸時(shí)間趨近于無(wú)窮和平均周期逃逸率趨近于0.為了表明這個(gè)現(xiàn)象,MPER關(guān)于lg(A)和 lg(μ)的相位圖呈現(xiàn)在圖7(b)中.此時(shí)模擬的起始位置為x=-1.25和終止位置為x≤-6.0.圖7(b)中顯示了當(dāng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率大于 10-1.7(約為2.0%)時(shí),股票價(jià)格由即將進(jìn)入金融危機(jī)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換為穩(wěn)定的經(jīng)濟(jì)狀態(tài).這和實(shí)際的經(jīng)濟(jì)狀態(tài)是符合的,高速增長(zhǎng)的GDP將會(huì)促進(jìn)股票市場(chǎng)穩(wěn)定.

圖8 對(duì)數(shù)平均逃逸時(shí)間lg(MET) (a)lg(MET)關(guān)于lg(A)和lg(a)的函數(shù);(b)lg(MET)關(guān)于lg(A)和lg(b)的函數(shù);(c)lg(MET)關(guān)于lg(A)和lg(c)的函數(shù)Fig.8.The logarithmic mean elapsed time lg(MET)：(a)lg(MET)vs.lg(A)and lg(a);(b)lg(MET)vs.lg(A)and lg(b);(c)lg(MET)vs.lg(A)and lg(c).

為了分析波動(dòng)性的其他因子對(duì)MET的作用,對(duì)數(shù)平均逃逸時(shí)間lg(MET)關(guān)于lg(A)和lg(a)的函數(shù)圖見圖8(a);對(duì)數(shù)平均逃逸時(shí)間lg(MET)關(guān)于lg(A)和lg(b)的函數(shù)圖見圖8(b);對(duì)數(shù)平均逃逸時(shí)間 lg(MET)關(guān)于 lg(A)和 lg(c)的函數(shù)圖見圖8(c).圖8(a)—(c)都顯示了lg(MET)vs.lg(A)存在著一個(gè)極大值.圖8(a)還表明了lg(MET)vs.lg(a)也存在著一個(gè)最大值,而且這個(gè)最大值會(huì)進(jìn)一步加強(qiáng) lg(MET)vs.lg(A)的極大值.也就是說(shuō)一個(gè)最佳的波動(dòng)均值回歸速度會(huì)最強(qiáng)地增加lg(MET)vs.lg(A)的極大值,也即最佳的波動(dòng)均值回歸速度和周期波動(dòng)振幅會(huì)有互相加強(qiáng)的作用.圖8(b)和圖8(c)也都表明了在小的周期波動(dòng)強(qiáng)度A下,lg(MET)vs.lg(b)和lg(MET)vs.lg(c)都存在一個(gè)最大值.lg(MET)vs.lg(A)的最大值的區(qū)域和這兩個(gè)最大值類似,都在較小的對(duì)數(shù)長(zhǎng)期波動(dòng)值lg(b)和波動(dòng)振幅lg(c).這和圖5中的結(jié)果是相對(duì)應(yīng)的.

6 結(jié) 論

本文研究了穩(wěn)態(tài)區(qū)域和逃逸區(qū)域中周期性波動(dòng)對(duì)股票價(jià)格穩(wěn)定性的作用.我們應(yīng)用Heston模型來(lái)描述股票價(jià)格的動(dòng)力學(xué)過(guò)程;引入了一個(gè)穩(wěn)態(tài)和一個(gè)亞穩(wěn)態(tài)的單穩(wěn)勢(shì)函數(shù)來(lái)刻畫股票價(jià)格處于穩(wěn)定狀態(tài)和崩盤的逃逸狀態(tài);在股票價(jià)格波動(dòng)的振幅項(xiàng)中,引入了周期函數(shù),刻畫周期波動(dòng)性.結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù),采用了極值方法對(duì)參數(shù)進(jìn)行了估計(jì),對(duì)模型和實(shí)際金融數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)的比較結(jié)果較為符合.

基于共振的思想,采用了一個(gè)周期內(nèi)從穩(wěn)態(tài)到明顯逃逸狀態(tài)的逃逸率來(lái)描述股票價(jià)格從穩(wěn)定狀態(tài)到金融危機(jī)狀態(tài)的概率,并研究了周期性波動(dòng)對(duì)周期逃逸率的影響.通過(guò)相位圖刻畫了安全區(qū)域和危機(jī)區(qū)域的參數(shù)范圍,發(fā)現(xiàn)較大的周期波動(dòng)強(qiáng)度、較大的長(zhǎng)期波動(dòng)值和較強(qiáng)的波動(dòng)的振幅都會(huì)誘導(dǎo)股票價(jià)格進(jìn)入崩盤的危機(jī)狀態(tài);反之,較強(qiáng)的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率、較小的周期波動(dòng)強(qiáng)度、較小的長(zhǎng)期波動(dòng)值和較弱的波動(dòng)的振幅都會(huì)增強(qiáng)股票價(jià)格處于穩(wěn)定狀態(tài).

對(duì)于已經(jīng)進(jìn)入金融危機(jī)狀態(tài)的股票價(jià)格穩(wěn)定性,我們利用平均逃逸時(shí)間研究了周期性波動(dòng)對(duì)穩(wěn)定性的作用,發(fā)現(xiàn)分別存在一個(gè)最佳的周期波動(dòng)振幅、波動(dòng)均值回歸速度、長(zhǎng)期波動(dòng)值和波動(dòng)的振幅使得股票價(jià)格穩(wěn)定性最強(qiáng);同時(shí)最佳的波動(dòng)均值回歸速度和周期波動(dòng)振幅會(huì)有互相加強(qiáng)的作用.在平均逃逸時(shí)間與周期波動(dòng)振幅的函數(shù)中,增強(qiáng)的噪聲關(guān)聯(lián)強(qiáng)度和經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率會(huì)加強(qiáng)股票價(jià)格的穩(wěn)定性;反之,增強(qiáng)的周期波動(dòng)頻率會(huì)減弱股票價(jià)格的穩(wěn)定性.

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今年其他弟子運(yùn)氣并不好，也只余下他們?nèi)齻€(gè)來(lái)做第七試了，可為什么忽然改換到明天呢？太陽(yáng)才剛剛偏西，離西北方向的終南諸峰尚遠(yuǎn)。三人百思不得其解，也只能辭別宇晴師父，回來(lái)小心準(zhǔn)備。三人收了曲風(fēng)送來(lái)的蓮子，將宋歌生撈的白魚去喂了小鯤，悶悶地晚飯，直到晚飯后被宇晴尋到，一路乘鯤來(lái)到這摘星樓上。

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PACS:05.40.—a,89.65.—s,02.50.—r DOI:10.7498/aps.66.040501

Influence of periodic volatility on the stability offinancial market?

Zhou Ruo-Wei1)Li Jiang-Cheng1)2)?Dong Zhi-Wei1)Li Yun-Xian1)2)Qian Zhen-Wei1)
1)(Catastrophic Risk Management Research Center,School of Finance,Yunnan University of Finance and Economics,Kunming 650221,China)
2)(Department of Statistics,Yunnan University,Kunming 650091,China)

23 May 2016;revised manuscript

29 November 2016)

Various stochastic volatility models have been designed to model the variance of the asset price.Among these various models,the Heston model,as one-factor stochastic volatility mode,is the most popular and easiest to implement.Unfortunately,recent findings indicate that existing Heston modelis not able to characterize all aspects of asset returns,such as persistence,mean reverting,and clustering.Therefore,a modified Heston model is proposed in this paper.Compared with the original Heston model,the mean-reverting Cox Ingersoll and Ross process is modified to include a cosine term with the intention of capturing the periodicity of volatility.The phenomenon that high-volatile period is interchanged with low-volatile periods can thus be better described by adding such a period term to the volatility process.In addition,the geometric Brownian motion is replaced by a random walk in the presence of a cubic nonlinearity proposed by Bonanno et al.By doing so,a financial market with two different dynamical regimes(normal activity and extreme days)can be modeled.Closed-form solution for the modified Heston model is not derived in this paper.Instead,Monte-Carlo simulation is used to generate the probability density function of log-return which is then compared with the historical probability density function of stock return.Parameters are adjusted and estimated so that the square errors can be minimized.Daily returns of all the component stocks of Dow-Jones industrial index for the period from 3 September 2007 to 31 December 2008 are used to test the proposed model,and the experimental results demonstrate that the proposed model works very well.The mean escape time and mean periodic escape rate of the proposed modified Heston model with periodic stochastic volatility are studied in this paper with two different dynamical regimes likefinancial markets in normal activity and extreme days.Also the theoretical results of mean escape time and mean periodic escape rate can be calculated by numerical simulation.The experimental results demonstrate that 1)larger value of rate of return,smaller long run average of variance and smaller magnitude of periodic volatility will reduce the mean periodic escape rate,and thus stabilize the market;2)by analyzing the mean escape time,an optimal value can be identified for the magnitude of periodic volatility which will maximize the mean escape time and again stabilize the market.In addition,an optimal rate of relaxation to long-time variance,smaller frequency of the periodic volatility,larger rate of return,and stronger correlation between noises will furtherreduce the mean escape time and enhance the market stability.

periodic volatility,mean escape time,escape rate,econophysics

:05.40.—a,89.65.—s,02.50.—r

10.7498/aps.66.040501

?國(guó)家杰出青年科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào)：11225103)、國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào)：11165016,71263056)、第57批中國(guó)博士后科學(xué)基金項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào)：2015M572507)和云南省博士后定向培養(yǎng)項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào)：C6153005)資助的課題.

?通信作者.E-mail：lijiangch@163.com

*Project supported by the National Science Fund for Distinguished Young Scholars of China(Grant No.11225103),the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11165016,71263056),the China Postdoctoral Science Foundation(Grant No.2015M572507),and Postdoctoral Directional Ttraining Project in Yunnan Province,China(Grant No.C6153005).

?Corresponding author.E-mail：lijiangch@163.com