譚乃悅 許中杰 韋可 張?jiān)?王睿

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)光電科學(xué)與工程學(xué)院,長沙 410073)

透射光學(xué)系統(tǒng)像平面一階散射光照度分布規(guī)律研究?

譚乃悅 許中杰 韋可 張?jiān)?王睿?

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)光電科學(xué)與工程學(xué)院,長沙 410073)

(2016年6月16日收到;2016年11月16日收到修改稿)

透射光學(xué)系統(tǒng)由于結(jié)構(gòu)簡單、成本低、視場大、成像質(zhì)量高等優(yōu)點(diǎn),廣泛應(yīng)用于探測、顯微、望遠(yuǎn)等實(shí)際應(yīng)用中,但目前關(guān)于該類系統(tǒng)像平面散射光斑分布規(guī)律的研究卻鮮見報(bào)道.本文對透射光學(xué)系統(tǒng)焦平面散射光照度分布規(guī)律展開研究,以Harvey雙向散射分布函數(shù)散射理論為基礎(chǔ),建立了小散射角條件下透射光學(xué)系統(tǒng)一階表面散射光在像平面的高斯函數(shù)分布規(guī)律的理論模型,該模型能與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)很好地符合.

Harvey散射,透射光學(xué)系統(tǒng),一階表面散射,高斯函數(shù)

1 引 言

隨著大功率激光器和相機(jī)技術(shù)的發(fā)展,關(guān)于表面散射理論的研究成果層出不窮[1-9].從目前已有的文獻(xiàn)來看,國內(nèi)外對于表面散射的研究主要集中在反射表面散射上,然而對于廣泛應(yīng)用于探測、顯微、望遠(yuǎn)等實(shí)際工程應(yīng)用中的透射光學(xué)成像系統(tǒng)的表面散射研究卻鮮見報(bào)道,其主要原因一方面是因?yàn)榉瓷浔砻嫔⑸錅y量儀器原理簡單,易于操作;另一方面是因?yàn)閲鴥?nèi)外對于表面散射主要是作為材料表面特性來研究,而不是研究光學(xué)系統(tǒng)整體的散射狀況.關(guān)于透射光學(xué)系統(tǒng)中表面散射在焦平面的成像規(guī)律,目前僅有2參數(shù)的Harvey雙向散射分布函數(shù)(bi-directional scatter distribution function,BSDF)散射模型[10]的報(bào)道,存在著在散射角度較小時(shí)與實(shí)際情況不符的缺陷,而對于聚焦透射光學(xué)系統(tǒng)而言,小角度散射對于焦面成像質(zhì)量的影響尤為顯著.本文以Harvey BSDF散射理論為基礎(chǔ),建立小散射角度條件下透射光學(xué)系統(tǒng)一階表面散射光在像平面的高斯函數(shù)分布規(guī)律的理論模型,該模型與2參數(shù)Harvey BSDF散射模型互為補(bǔ)充,拓寬了Harvey BSDF散射模型的適用范圍,使之能夠更好地解釋透射光學(xué)系統(tǒng)像平面散射光斑的成像規(guī)律.該模型的建立彌補(bǔ)了2參數(shù)Harvey BSDF散射理論的局限性,為后續(xù)小散射角度的表面散射研究提供有效的理論依據(jù).

2 理論模型

2.1 光學(xué)表面散射

如圖1所示,當(dāng)一束光照射某光學(xué)元件時(shí),由于光學(xué)元件材料表面高度的隨機(jī)起伏使得入射到該表面的部分能量將在反射定律或者折射定律確定的方向以外傳播,稱之為散射光.

表面散射是由材料表面高度的起伏導(dǎo)致的.在傳播過程中,某表面產(chǎn)生的一次散射光稱之為一階散射光,一階散射光還可能會(huì)被其他表面再一次散射,形成二次散射乃至多次散射,這些二次散射及多次散射被稱為二階散射及高階散射.相對于入射波長,表面高度的起伏越大,表面就越“粗糙”,被散射的能量份額(即散射能量在總透射能量中所占的比例)就越大.材料表面的“粗糙”程度可用其表面高度的均方根粗糙度[11](root-mean-square roughness,rms粗糙度,記為σrms)來衡量.本文重點(diǎn)研究經(jīng)過拋光的光學(xué)表面的散射,這類表面的rms粗糙度約在1—50 nm之間.

圖1 (網(wǎng)刊彩色)表面起伏與表面散射示意圖Fig.1.(color online)Schematic of the surface undulation and surface scattering.

全積分散射(total integrated scattering,TIS),定義為透射散射功率與總透射功率的比值,且由其與表面rms粗糙度的關(guān)系[12],有

其中Δn為材料兩邊的折射率差.透射光學(xué)系統(tǒng)按其應(yīng)用譜段可分為可見光和紅外光學(xué)系統(tǒng),可見光學(xué)系統(tǒng)通常使用的光學(xué)材料是SiO2,其折射率約為1.5,而紅外光學(xué)系統(tǒng)通常使用的光學(xué)材料是Ge,Si和ZnS等,它們在紅外波段的折射率約在2—4之間,而空氣的折射率近似為1,則材料兩邊的折射率差約為Δn=1—3.例如本文實(shí)驗(yàn)中使用的光學(xué)系統(tǒng)的透鏡材料主要為Si,其折射率約為3.4268,則材料兩邊的折射率差Δn=2.4268,若取Δn=2.4268,σrms=50 nm,λ=3.8μm,則TIS為4.0%.由全積分散射可知,二階散射能量大約只占一階散射能量的4.0%,且二階散射能量分散在整個(gè)透射半球空間,因此二階散射對最終像面散射光斑輻照度的貢獻(xiàn)相對一階散射要弱很多.為了簡化,本文僅考慮表面對光線的一階散射.

2.2 Harvey BSDF模型

經(jīng)過大量的實(shí)驗(yàn)測量,Harvey發(fā)現(xiàn)對于干凈的、光滑的、各向同性的光學(xué)表面,散射亮度具有線性平移不變性,如圖2所示.

根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,Harvey提出了2參數(shù)的Harvey BSDF模型.數(shù)學(xué)上,其可以寫成如下形式[10]：

其中θ0是折射角,θs是散射角,b是偏離折射方向0.01 rad處的BSDF的值,t為對數(shù)坐標(biāo)系下的斜率的絕對值.一般地,b和t的值可以從實(shí)驗(yàn)測量得到.對于干凈的、光滑的光學(xué)表面,t的典型取值范圍為1＜t＜3.

由(2)式可知,當(dāng)散射角度較小時(shí),即|sinθs-sinθ0|→0時(shí),BSDF?1,顯然不符合實(shí)際情況.

針對上述情況,為了避免BSDF的數(shù)值在折射方向上變成無限大,本文引進(jìn)了一個(gè)肩下降參數(shù)l進(jìn)行修正,其單位為弧度(rad),其定義為在對數(shù)坐標(biāo)系下,隨著|sinθs-sinθ0|的減小,散射模型的BSDF值從某一點(diǎn)處開始趨向一個(gè)常數(shù)時(shí),則該點(diǎn)的橫坐標(biāo)值為肩參數(shù)l.假定b0是散射角θs等于θ0時(shí)BSDF的值,此時(shí)b0應(yīng)為BSDF的最大值,令b0=b(100l)-t,則當(dāng)|sinθs-sinθ0|≤l時(shí),由(2)式可知,BSDF≥b0,與b0為BSDF的最大值矛盾,不符合實(shí)際情況.

近年來,Harvey等在將Harvey BSDF模型推廣到適用于更一般的表面散射的過程中發(fā)現(xiàn),實(shí)驗(yàn)測量所得的表面散射的BSDF曲線與幾個(gè)高斯函數(shù)之和擬合得很好[13,14].因此我們也不妨假設(shè),當(dāng)|sinθs-sinθ0|≤l時(shí),即散射角度較小時(shí),表面散射的BSDF曲線呈指數(shù)分布,由肩下降參數(shù)l的定義以及在對數(shù)坐標(biāo)系下當(dāng)|sinθs-sinθ0|?l時(shí)BSDF曲線的斜率的絕對值趨向t(這里是為了與2參數(shù)的Harvey BSDF模型的t保持一致),建立了散射角度較小時(shí)的高斯函數(shù)分布的BSDF模型,其具體的數(shù)學(xué)形式如下：

比較(2)式和(3)式,改進(jìn)后的BSDF模型可寫為

2.3 理論模型的建立

Peterson[15]利用Lagrange不變量來表示相對散射角以及使用能量守恒定律來描述散射能量傳遞時(shí),最終推導(dǎo)得出：對于聚焦透射光學(xué)系統(tǒng),最終像面上由某表面的散射而產(chǎn)生的輻照度分布與該表面的BSDF成正比,即

其中,r為最終像面上的點(diǎn)到像面中心的距離,NA是系統(tǒng)的像方數(shù)值孔徑,T為系統(tǒng)的總透射率,τi和TISi分別為第i表面的半球透射率和全積分散射,入射光束的光功率為E=π(Rent)2ent,ni和ai分別為入射光透過第i表面時(shí)的折射率和有效光束半徑.

如果該系統(tǒng)有n個(gè)表面,則表面散射在最終像面上P點(diǎn)的輻照度是所有表面散射在該處的貢獻(xiàn)之和,即

當(dāng)入射光功率密度較大時(shí),散射導(dǎo)致的飽和區(qū)(詳見3.3節(jié))較大,此時(shí)落在飽和區(qū)邊緣的散射光的散射角相對較大,當(dāng)|sinθs-sinθ0|＞l時(shí),由(4)式得

其中bi是散射角為0.01的BSDFi的值.假設(shè)每個(gè)表面的BSDFi中的ti均相等,即ti=t,將(7)式代入(6)式并化簡,有

當(dāng)入射光功率密度較小時(shí),散射導(dǎo)致的飽和區(qū)較小,此時(shí)落在飽和區(qū)邊緣的散射光的散射角相對較小,當(dāng)|sinθs-sinθ0|≤l時(shí),根據(jù)(4)式有

其中b0i是散射角為0的BSDFi的值.將(9)式代入(6)式,有

由(10)式可知,對于聚焦透射光學(xué)系統(tǒng),小光功率密度條件下最終像面上散射光斑的輻照度分布可以表示為n個(gè)高斯函數(shù)之和.

2.4 衍射的影響

研究表明,對于理想的無像差系統(tǒng),當(dāng)平行光束沿光軸滿瞳入射時(shí),在像平面上接收到的衍射可以等效為圓形孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射(本文實(shí)驗(yàn)中所使用透鏡均為圓形透鏡),且在距離中心像點(diǎn)較遠(yuǎn)處的衍射光強(qiáng)按到幾何像點(diǎn)距離的3次方衰減[16],具體如下：

其中C3=TRentfλ/(2π2).(12)式說明由孔徑衍射導(dǎo)致的探測器飽和區(qū)域面積SAdiff與入射光功率密度ent的2/3次方成正比.這個(gè)關(guān)系可用來估算由孔徑衍射導(dǎo)致的飽和區(qū)域的面積隨平均入瞳功率密度的變化規(guī)律.然而,實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),飽和區(qū)域的面積隨入射光功率密度的變化不符合上述規(guī)律,對此,本文將在3.3節(jié)進(jìn)行討論.

3 實(shí)驗(yàn)研究

3.1 透射光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

為了驗(yàn)證改進(jìn)的BSDF模型的合理性,我們采用四透鏡的光學(xué)系統(tǒng)開展驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn),如圖3所示,其中四個(gè)的透鏡表面采用的是相同的加工工藝,因此我們可以近似地認(rèn)為所有的光學(xué)表面擁有相同的表面粗糙度.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)透射光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.3.(color online)Structure arrangements of four lens system.

3.2 實(shí)驗(yàn)方法

實(shí)驗(yàn)光路如圖4所示.本文采用的探測器為廣泛應(yīng)用于熱成像、氣體分析、FTIR光譜儀、激光探測、鐵路Hotbox、線掃描儀激光光譜儀等領(lǐng)域的320×256面陣碲鎘汞中紅外探測器,其響應(yīng)波段為3—5μm,工作溫度為80 K.光源選用的是3.8μm的中紅外連續(xù)激光器,經(jīng)擴(kuò)束后沿光軸方向滿瞳入射到透射光學(xué)系統(tǒng),激光經(jīng)透射光學(xué)系統(tǒng)的傳播到達(dá)探測器表面,在其表面形成一定的光強(qiáng)分布,記為E(x,y).探測器接收這種分布的光信號,產(chǎn)生光電效應(yīng),將光信號轉(zhuǎn)換成電信號,再經(jīng)過信號處理電路的作用,轉(zhuǎn)換成圖像信號V(x,y).

圖4 實(shí)驗(yàn)光路示意圖Fig.4.Schematic of the transmission optical system.

本實(shí)驗(yàn)主要關(guān)注激光在透射光學(xué)系統(tǒng)中傳播時(shí)所經(jīng)歷的表面散射對探測器表面上的光強(qiáng)分布E(x,y)的影響.

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

在探測器表面,當(dāng)某點(diǎn)的輻照度E(x0,y0)大于探測器飽和閾值Eth時(shí),該點(diǎn)將會(huì)飽和,轉(zhuǎn)換成圖像信號輸出為明亮的白點(diǎn).圖5給出了激光從視場內(nèi)入射到透射光學(xué)系統(tǒng)時(shí)探測器的典型飽和圖像.圖中間的近似圓形的白色區(qū)域,其像素灰度值已經(jīng)達(dá)到最大值,故稱為飽和區(qū).

圖5 (網(wǎng)刊彩色)典型的焦面光斑圖像Fig.5.(color online)Typical spot image at the focal plane.

本實(shí)驗(yàn)重點(diǎn)關(guān)注的是紅色圓圈內(nèi)的飽和區(qū)隨入射光功率變化的規(guī)律.通過統(tǒng)計(jì)紅色圓圈內(nèi)飽和像元的個(gè)數(shù)再乘以像元面積得到中心飽和光斑面積,記為Sth.

當(dāng)入射光功率較大時(shí),令Es(r)=Eth,代入(8)式得光學(xué)表面散射導(dǎo)致的飽和區(qū)域面積為

其中C2=T(NA)2-t.

假設(shè)只存在衍射,由(12)式可知,

當(dāng)入射光功率密度較大時(shí),中心飽和光斑面積Sth(單位：mm2)隨入射光功率E(單位：mW)變化的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6中的黑色數(shù)據(jù)點(diǎn),根據(jù)圖6中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),對比2參數(shù)Harvey BSDF模型,可得到圖6中藍(lán)色曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

對比(13)與(15)式,可知

由孔徑衍射導(dǎo)致的飽和區(qū)域的面積隨入射光功率的變化曲線如圖6中的黑色曲線所示,從圖6給出的數(shù)據(jù)結(jié)果可以看出,純衍射模型給出的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相差很大,因此除了衍射之外,還存在表面散射,且衍射遠(yuǎn)小于表面散射.同時(shí),也可以看到2參數(shù)Harvey BSDF模型在描述大散射角情況下與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合得較好.

圖6 入射光功率密度較大時(shí)飽和區(qū)域面積Sth隨入射光功率E變化Fig.6.The saturated areaSthas a function of irradiation powerEin the condition of large irradiation power.

當(dāng)入射光功率較小時(shí),由BSDF的互易性原理[17],假設(shè)每個(gè)表面niaili=l,ti=t,代入(10)式,有

令Es(r)=Eth,得到由光學(xué)表面散射導(dǎo)致的飽和區(qū)域面積為

當(dāng)入射光功率密度較小時(shí),中心飽和光斑面積Sth(單位：mm2)隨入射光功率E(單位：mW)變化的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7中黑色的數(shù)據(jù)點(diǎn).假設(shè)只存在衍射,由(14)式可知,由孔徑衍射導(dǎo)致的飽和區(qū)域的面積隨入射光功率的變化曲線如圖7中黑色曲線所示,與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相差很大.因此除了衍射之外,還存在表面散射,且衍射遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于表面散射.

圖7 (網(wǎng)刊彩色)入射光功率密度較小時(shí)飽和區(qū)域面積Sth隨入射光功率E變化Fig.7.(color online)The saturated areaSthas a function of irradiation powerEin the condition of small irradiation power.

圖7中紅色曲線和藍(lán)色曲線分別為基于改進(jìn)的BSDF模型推導(dǎo)而來的(18)式和基于2參數(shù)Harvey BSDF散射模型推導(dǎo)而來的(15)式在小散射角條件下飽和區(qū)域面積Sth隨入射光功率E變化的曲線.

對比藍(lán)色曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),可以看出2參數(shù)Harvey BSDF散射模型在小散射角條件下與實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在較大差距.

對比紅色曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),可以看出改進(jìn)后的BSDF散射模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合較好,從而驗(yàn)證了改進(jìn)模型的合理性.

4 結(jié) 論

本文以Harvey BSDF散射理論為理論基礎(chǔ),在研究透射光學(xué)系統(tǒng)焦平面一階散射光照度分布規(guī)律過程中發(fā)現(xiàn)了2參數(shù)Harvey BSDF散射理論在處理透射光學(xué)系統(tǒng)表面散射過程中存在的局限性,即小散射角條件下,2參數(shù)Harvey BSDF散射理論并不能準(zhǔn)確地描述光學(xué)表面材料的散射特性.隨后通過引入修正參數(shù)l,建立小散射角條件下透射光學(xué)系統(tǒng)的散射理論模型,并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該理論模型的準(zhǔn)確性.在小散射角條件下,利用該理論模型可以得到以下結(jié)論：1)最終像面散射光斑輻照度的大小隨入射光功率的增加線性增大;2)透射光學(xué)系統(tǒng)中每一個(gè)相同散射性質(zhì)的光學(xué)表面對最終像面散射光斑輻照度貢獻(xiàn)可以用一個(gè)高斯函數(shù)表示;3)最終像面散射光斑的輻照度可以表示為n個(gè)高斯函數(shù)的疊加,其中n為透射光學(xué)系統(tǒng)中不同散射性質(zhì)光學(xué)表面的數(shù)目.

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PACS:42.25.Fx,42.30.—d,42.30.Lr DOI:10.7498/aps.66.044201

The research on the illumination distribution law of thefirst-order scattered light in the focal plane of transmission optical system?

Tan Nai-YueXu Zhong-Jie Wei KeZhang YueWang Rui?
(College of Opto-Electronic Science and Engineering,National University of Defense Technology,Changsha 410073,China)

16 June 2016;revised manuscript

16 November 2016)

With the advantages of simple structure,low-cost,large field of view,and high image quality,the transmission optical system is widely used in detection system,microscope,telescope,etc.However,the research on the illumination distribution law in the focal plane of transmission optical system is rarely reported.In this paper,this issue is studied.During the study on the first-order scattered light distribution law in the focal plane of the transmission optical system,the limitations of the two-parameter Harvey bi-directional scatter distribution function(BSDF)scattering theory are found,namely in the condition of small scattering angle,the two-parameter Harvey BSDF theory cannot accurately describe the scattering properties of the optical surface material.So the scattering model of the transmission optical system under small scattering angle is established by introducing parameterl,and the accuracy of the new theoretical model is verified experimentally.This model complements the two-parameter Harvey BSDF scattering model and broadens the application scope of the Harvey BSDF scattering model so that it can better explain the imaging law of scattered light spot in the focal plane of transmission optical system.At a small scattering angle,the conclusions can be drawn from the new theoretical model as follows.1)The irradiance of the final image plane increases linearly with the increase of the incident optical power.2)In the transmission optical system,the contribution of each optical surface with the same scattering properties to scattered spot irradiance in the final image plane can be expressed by a Gaussian function.3)The irradiance of scattered spot in the final image plane can be expressed as the superposition ofnGaussian functions,wherenis the number of optical surfaces with different scattering properties in the transmission optical system.

Harvey BSDF scattering theory,transmission optical system,focal plane spot first-order surface scattering,Gaussian distribution

:42.25.Fx,42.30.—d,42.30.Lr

10.7498/aps.66.044201

?激光與物質(zhì)相互作用國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(批準(zhǔn)號：SKLLIM1402)資助的課題.

?通信作者.E-mail：xi_g_z@126.com

*Project supported by the Open Basic Research of the State Key Laboratory of Laser Interaction with Matter,China(Grant No.SKLLIM1402).

?Corresponding author.E-mail：xi_g_z@126.com