劉 永,趙維銳

(武漢理工大學 理學院，湖北 武漢 430070)

一類食餌捕食者模型的分支分析

劉 永,趙維銳

(武漢理工大學 理學院，湖北 武漢 430070)

針對食餌捕食者問題，研究了具有廣義Holling IV型功能反應食餌捕食者模型。在適當?shù)臈l件下，該模型可能具有一個退化的正平衡點和一個非退化的正平衡點。以描述捕食者變化的兩個變量作為分支參數(shù)，進行分支分析。當參數(shù)發(fā)生變化時，在退化平衡點的附近該食餌捕食者系統(tǒng)產(chǎn)生了一個Bogdanov-Takens分支。利用標準型理論和隱函數(shù)定理，得到了Bogdanov-Takens分支中鞍結點分支曲線、Hopf 分支曲線和同宿軌道分支曲線的近似表達式。

Bogdanov-Takens分支；退化平衡點；Holling IV型功能反應；食餌捕食者模型

0 引言

食餌捕食者之間的動態(tài)關系一直是生物學和生物數(shù)學領域的一個重要課題，吸引了國內(nèi)外很多學者的關注。文獻[1-4]詳細研究了如下形式的食餌捕食者系統(tǒng)：

(1)其中：x(t)和y(t)分別為食餌和捕食者在時刻t的種群密度；p(x)為功能反應函數(shù)；r為食餌的固有增長率；K為環(huán)境容量；s為捕食者的增長率；h為反應捕食者種內(nèi)競爭的正常數(shù)?？紤]到環(huán)境中隨機因素的影響，文獻[5]提出了具有時滯和隨機項的食餌捕食者模型，并得到了系統(tǒng)全局穩(wěn)定的條件。利用Euler-Maruyama方法可以得到隨機種群模型的數(shù)值解，并且數(shù)值解均方收斂于解析解[6]。

本文研究了具有廣義Holling IV型功能反應[7]的食餌捕食者模型，即：

(2)

其中：r,K,a,s,h為正常數(shù)；b為任意常數(shù)。在詳細討論之前，進行尺度放縮：

(3)

1 Bogdanov-Takens分支的存在性

(4)

其中：x∈(0,1)。注意到方程(4)是1個一元三次方程，在區(qū)間(0,1)可能有1個、2個或者3個正解與之對應，系統(tǒng)(3)可能有1個、2個或者3個正平衡點。系統(tǒng)(3)在E(x,y)處的雅可比矩陣為：

顯然，若det(J(E))≠0，E(x,y)是一個非退化平衡點；若det(J(E))<0，則E(x,y)是一個鞍點;若det(J(E))=0，則E(x,y)是一個退化平衡點。對于平衡點的數(shù)目和類型，類似于文獻[8]，有以下的引理1。

引理1 設

則以下結論成立：

(Ⅰ)若Δ>0，則系統(tǒng)(3)有1個唯一的正平衡點E*=(x*,y*)。

(Ⅱ)若Δ=0并且

證明 因為(x0,y0)是平衡點，故x0是以下方程的解：

f(x)=g(x,y(x))=0，

其中：y(x)是由h(x,y)=0在x=x0處確定的隱函數(shù)，對h(x,y)=0關于x求導，可得：

f(μ)=0,f′(μ)=0。

由此可得：

(5)

并且，系統(tǒng)(5)具有兩個正平衡點：

2 Bogdanov-Takens分支

選取δ,β作為分支參數(shù)，當δ,β發(fā)生變化時，研究系統(tǒng)(3)的分支情況，即考慮如下的系統(tǒng)：

(6)

(7)

首先，作一個仿射變換：

y1=x1，y2=α10x1+α01x2，

則系統(tǒng)(7)可以寫成如下形式：

(8)

結合系統(tǒng)(8)，可得：

(9)

現(xiàn)在，在原點(0,0)的小鄰域內(nèi)作一個光滑的坐標變換：

X1=z1,X2=z2+C1(z1,z2)，

則系統(tǒng)(9)轉(zhuǎn)化成如下形式 ：

(10)

(11)

則系統(tǒng)(11)可以寫成如下形式：

(12)

(13)

其中：

R(x,y,λ)是關于x,y的冪級數(shù)，并且任意一項xiyj滿足i+j≥3,j≥2。可以驗證:

因此，以上的參數(shù)變換是非奇異的，并將對應的eij代入，則系統(tǒng)(13)變成如下形式:

(14)

(15)

選擇μ1和μ2作為分支參數(shù)，可得:當(λ1,λ2)在原點附近變化時，系統(tǒng)(14)產(chǎn)生了一個Bogdanov-Takens分支。結合隱函數(shù)定理，在原點分支曲線的局部表示如下(為了方便起見，記f1=2β(μ-1)2-μ3-μ2,f2=β(μ-1)2-μ3)。

(Ⅰ)鞍結點分支曲線：

曲線SN包含SN+和SN-兩部分，其中，SN+={(λ1,λ2):μ1(λ1,λ2)=0,μ2(λ1,λ2)>0}，SN-={(λ1,λ2):μ1(λ1,λ2)=0,μ2(λ1,λ2)<0}。

(Ⅱ)Hopf分支曲線：

(Ⅲ)同宿軌道分支曲線：

綜上所述，有以下的定理：

3 結束語

[1] HUANG J,RUAN S,SONG J.Bifurcations in a predator-prey system of Leslie type with generalized Holling type III functional response[J].Journal of differential equations,2014,257(6):1721-1752.

[2] CAI L,CHEN G,XIAO D.Multiparametric bifurcations of an epidemiological model with strong Allee effect[J].Journal of mathematical biology,2013,67(2):185-215.

[3] LI Y,XIAO D.Bifurcations of a predator-prey system of Holling and Leslie types[J].Chaos,solitons & fractals,2007,34(2):606-620.

[4] BRAZA P A.The bifurcation structure of the Holling-Tanner model for predator-prey interactions using two-timing[J].SIAM journal on applied mathematics,2003,63(3):889-904.

[5] 聶文靜,王輝,胡志興,等.一類具有時滯和隨機項的捕食-被捕食模型[J].河南科技大學學報(自然科學版),2015,36(6):75-81.

[6] 郭書東,張啟敏.跳擴散種群系統(tǒng)的數(shù)值解[J].河南科技大學學報(自然科學版),2009,30(5):89-92.

[7] ANDREWS J F.A mathematical model for the continuous culture of microorganisms utilizing inhibitory substrates[J].Biotechnology and bioengineering,1968,10(6):707-723.

[8] XIAO D,RUAN S.Global analysis in a predator-prey system with nonmonotonic functional response[J].SIAM journal on applied mathematics,2001,61(4):1445-1472.

[9] CHOW S N,HALE J K.Methods of bifurcation theory[M].Heidelberg:Springer Science & Business Media,2012.

[10] PERKO L.Differential equations and dynamical systems[M].Heidelberg:Springer Science & Business Media,2013.

國家自然科學基金項目(11601402);湖北省自然科學基金項目(2013CFB347)

劉永(1990-),男,安徽蒙城人,碩士生;趙維銳(1967-),男,湖北恩施人,教授,博士,碩士生導師,主要研究方向為動力系統(tǒng).

2016-05-30

1672-6871(2017)02-0089-06

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.02.017

O193

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