蘇耀恒,陳愛(ài)民，2,王 軍,李躍文

(1.西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048；2.西安交通大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710049；3.中航光電科技股份有限公司 光電設(shè)備事業(yè)部，河南 洛陽(yáng) 471000)

不對(duì)稱外磁場(chǎng)下兩量子比特系統(tǒng)的幾何相

蘇耀恒1,陳愛(ài)民1，2,王 軍1,李躍文3

(1.西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048；2.西安交通大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710049；3.中航光電科技股份有限公司 光電設(shè)備事業(yè)部，河南 洛陽(yáng) 471000)

研究了不對(duì)稱旋轉(zhuǎn)外磁場(chǎng)下具有XXZ型海森堡相互作用的兩量子比特系統(tǒng)的幾何相?？紤]體系的絕熱條件，利用數(shù)值模擬的方法得到量子比特系統(tǒng)的4個(gè)本征態(tài)的Berry相，研究了外加旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的極角以及量子比特之間相互作用的各向異性參數(shù)對(duì)4個(gè)本征態(tài)的Berry相的影響。研究結(jié)果表明：當(dāng)極角保持不變，各向異性參數(shù)由0增加至無(wú)窮大的過(guò)程中，系統(tǒng)的哈密頓量由一種極限下的含外場(chǎng)的XX模型經(jīng)過(guò)中間的海森堡模型，逐漸演化為另外一種極限下的Ising模型。4個(gè)本征態(tài)的Berry相都有各自獨(dú)特的變化規(guī)律，且極角越小幾何相趨于穩(wěn)定越快。通過(guò)對(duì)系統(tǒng)Berry相的研究，可以得到系統(tǒng)在不同參數(shù)區(qū)間對(duì)應(yīng)的模型的轉(zhuǎn)化，并對(duì)本征態(tài)的幾何性質(zhì)有更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。

量子信息；兩量子比特系統(tǒng)；幾何相；海森堡相互作用

0 引言

量子信息[1]是指在物理系統(tǒng)的量子態(tài)中所保存的物理信息。量子信息最基本的單元是量子比特[2]，這是一個(gè)二能級(jí)態(tài)的量子系統(tǒng)。例如，光子的兩個(gè)偏振方向、原子中電子的兩個(gè)能級(jí)或者環(huán)路中電流的不同方向等，在測(cè)量時(shí)都可以很容易被區(qū)分開(kāi)來(lái)。量子系統(tǒng)的哈密頓量不僅決定了量子態(tài)的能級(jí)，更決定了這個(gè)物理系統(tǒng)的態(tài)隨時(shí)間的演化情況。在許多應(yīng)用中，哈密頓量的物理參數(shù)都是由含時(shí)的外部或環(huán)境因素決定的，因而研究含時(shí)的哈密頓量在實(shí)際的物理領(lǐng)域中是很重要的。通常，含時(shí)的哈密頓量總會(huì)導(dǎo)致幾何相位[3](Berry相)的出現(xiàn)。目前，人們對(duì)不同量子比特系統(tǒng)的幾何相已經(jīng)開(kāi)展了廣泛的研究[4-6]，基于Berry相的量子操作已經(jīng)在核磁共振[7]和束縛離子[8]系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)。人們比較感興趣的是復(fù)合系統(tǒng)的幾何相，因?yàn)槠淇梢詰?yīng)用到量子信息執(zhí)行過(guò)程中[9-10]。量子比特系統(tǒng)的操作，可以通過(guò)控制系統(tǒng)參數(shù)來(lái)改變復(fù)合系統(tǒng)的子系統(tǒng)相互作用來(lái)實(shí)現(xiàn)[11]。文獻(xiàn)[12]研究表明：在含時(shí)外場(chǎng)作用下，復(fù)合系統(tǒng)的幾何相和系統(tǒng)的糾纏存在特定的聯(lián)系。近年來(lái)，大量研究者開(kāi)始通過(guò)研究幾何相來(lái)探測(cè)系統(tǒng)的相變[13-14]。

迄今為止，對(duì)于旋轉(zhuǎn)外場(chǎng)作用下XXZ型海森堡相互作用的兩量子比特系統(tǒng)幾何相的研究，都是在對(duì)稱外磁場(chǎng)的條件下進(jìn)行的。對(duì)于非對(duì)稱的情況，由于不能直接得到系統(tǒng)本征態(tài)的解析解，幾何相的研究變得更加復(fù)雜。因此，本文主要通過(guò)數(shù)值模擬的方法，研究在不對(duì)稱外磁場(chǎng)下XXZ型海森堡相互作用的兩量子比特系統(tǒng)的本征態(tài)演化，給出了系統(tǒng)本征態(tài)的幾何相隨相互作用的各向異性參數(shù)的變化情況。對(duì)于幾何相的研究可以更透徹地了解量子系統(tǒng)的性質(zhì)，以便進(jìn)一步應(yīng)用于實(shí)際的量子操作。

1 模型

H=HB+Hxxz,

(1)

若旋轉(zhuǎn)外場(chǎng)的圓頻率為常數(shù)ω，則有φ(t)=ωt。在外場(chǎng)旋轉(zhuǎn)一個(gè)周期τ的過(guò)程中，φ緩慢地由φ(0)=0變?yōu)棣?τ)=2π。注意：當(dāng)極角θ=0和π時(shí)，外加旋轉(zhuǎn)場(chǎng)約化為一個(gè)沿z方向的靜場(chǎng)，此時(shí)模型描述的是一個(gè)哈密頓量不含時(shí)的系統(tǒng)。在研究系統(tǒng)本征態(tài)的幾何相時(shí)，考慮θ的對(duì)稱性，則只需要限制θ的取值為0<θ<π。

通過(guò)對(duì)哈密頓量進(jìn)行研究可以發(fā)現(xiàn)：隨著各向異性參數(shù)Δ由0增大到無(wú)窮大，系統(tǒng)的哈密頓量由一種極限下的含外場(chǎng)的XX模型經(jīng)過(guò)中間的Δ=1時(shí)的海森堡模型，逐漸演化為另外一種極限下的Ising模型。

2 數(shù)值模擬

(2)

在絕熱的循環(huán)演化條件下，Berry相是與路徑有關(guān)的，不管哈密頓量的形式是什么，只要參數(shù)空間中給出的是同一個(gè)幾何路徑，則可以得到相等的Berry相。

2.1 不同極角 θ對(duì)應(yīng)的Berry相隨各向異性參數(shù) Δ的改變

令J作為能量符號(hào)，并且外場(chǎng)強(qiáng)度B=Jx。本文主要討論各向異性參數(shù)Δ以及旋轉(zhuǎn)外場(chǎng)極角θ對(duì)系統(tǒng)Berry相的影響。注意：幾何相的周期為2π，即當(dāng)γn=2π rad時(shí)也表示沒(méi)有Berry相的產(chǎn)生。

圖1 選定不同的極角 θ，Berry相γn隨各向異性參數(shù) Δ的變化曲線

由圖1a可知：當(dāng)θ=0.01π時(shí)，隨著各向異性參數(shù)Δ的增大，γ1先保持0 rad不變，后在Δ≈0.4處迅速增大到2.0π rad再保持不變；而γ3的值先保持2.0π rad不變，后在Δ≈2.7附近迅速減小到0 rad再保持不變，這兩個(gè)本征態(tài)的幾何相都隨Δ的變化呈單調(diào)變化趨勢(shì)。值得注意的是:γ2先保持2.0π rad不變，后在Δ≈0.4處迅速減小到0 rad后保持不變；當(dāng)Δ繼續(xù)增大，在Δ≈2.7再一次迅速增大到2.0π rad并在其后保持不變，在Δ的增加過(guò)程中，γ2一共經(jīng)歷了兩次劇烈的變化。γ4始終保持2.0π rad不變，即不管各向異性參數(shù)怎么改變，始終沒(méi)有幾何相。因此，在整個(gè)參數(shù)區(qū)間中一共有兩個(gè)幾何相的轉(zhuǎn)變點(diǎn)，這是由于隨著Δ的改變，磁場(chǎng)強(qiáng)度B和相互作用J共同影響了系統(tǒng)的本征態(tài)。綜上可以看出：對(duì)于4個(gè)本征態(tài)對(duì)應(yīng)的Berry相，除了在很短的參數(shù)區(qū)域以外，幾乎整個(gè)區(qū)間的幾何相都為2.0π rad或 0 rad，即不存在幾何相。可以預(yù)見(jiàn):隨著θ的值趨于0，外加旋轉(zhuǎn)場(chǎng)約化為一個(gè)沿著z方向的靜場(chǎng)，模型描述的是一個(gè)哈密頓量不含時(shí)的系統(tǒng)，其本征態(tài)的幾何相都趨于零。4個(gè)本征態(tài)的Berry相之間還滿足以下關(guān)系：當(dāng)Δ≈0.4時(shí)，γ1=γ2；當(dāng)Δ≈2.7時(shí)，γ2=γ3。

由圖1b可知：當(dāng)θ=0.20π時(shí)，隨著 Δ的增大，γ1迅速增大到2.0π rad后保持不變；γ2先減小到一個(gè)最小值(不等于0 rad)后增大，最終保持2.0π rad不變；γ3單調(diào)逐漸減小，最終保持0 rad不變；γ4單調(diào)逐漸增大到4.0π rad。當(dāng)Δ→∞時(shí)，所有本征態(tài)的幾何相全部消失。Δ=0時(shí),各本征態(tài)幾何相對(duì)應(yīng)的值與系統(tǒng)參數(shù)的選取有關(guān)。4個(gè)本征態(tài)的Berry相之間還滿足以下關(guān)系：當(dāng)Δ≈0.3時(shí)，γ1=γ2;當(dāng)Δ≈2.2時(shí)，γ2=γ3。

圖1d給出了當(dāng)θ=0.60π時(shí)，系統(tǒng)哈密頓量的4個(gè)本征態(tài)的Berry相γn隨著各向異性參數(shù)Δ的變化曲線。圖1d與圖1b和圖1c中相應(yīng)的曲線對(duì)比可以看出：當(dāng)θ>π/2時(shí)，曲線的變化趨勢(shì)發(fā)生了變化。但由圖1c和圖1d易知：同一個(gè)本征態(tài)對(duì)應(yīng)的幾何相的曲線沿著γ=2.0π rad的直線相互對(duì)稱，即γn(θ)=4.0π-γn(π-θ)。再由幾何相的周期可知，γn(θ)=-γn(π-θ)。

2.2 本征態(tài)的Berry相隨各向異性參數(shù) Δ的變化情況

圖2 Berry相γn隨各向異性參數(shù) Δ的變化曲線

3 結(jié)論

(1)當(dāng)保持極角θ不變時(shí)，隨著各向異性參數(shù)Δ由0增大到無(wú)窮大，模型本征態(tài)的幾何相發(fā)生了很大的改變。

(2)各向異性參數(shù)Δ變化的過(guò)程中，在Δ=1.0的海森堡模型的兩端，始終有兩個(gè)兩兩交點(diǎn)的存在，對(duì)應(yīng)γ1=γ2和γ2=γ3，交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Δ值隨著極角θ的增大而減小。

(3)當(dāng)極角θ=π/2時(shí)，對(duì)應(yīng)于外場(chǎng)為靜場(chǎng)的情況，此時(shí)無(wú)論各向異性參數(shù)Δ怎么變化，γn的值始終保持0 rad不變，即沒(méi)有幾何相產(chǎn)生。而B(niǎo)erry相的值隨著極角θ的變化曲線關(guān)于θ=π/2具有對(duì)稱關(guān)系γn(θ)=-γn(π-θ)。

(4)當(dāng)各向異性參數(shù)Δ→0時(shí)，即對(duì)應(yīng)含外場(chǎng)的XX模型時(shí)，4個(gè)本征態(tài)的Berry相γn都具有確定的非零值，這個(gè)值與外場(chǎng)極角的值有關(guān)。只有當(dāng)θ→0時(shí)，γn→0。而當(dāng)各向異性參數(shù)Δ→∞，即對(duì)于Ising模型，無(wú)論極角怎么變化，4個(gè)本征態(tài)都沒(méi)有Berry相產(chǎn)生。當(dāng)各向異性參數(shù)Δ由0增大到無(wú)窮大，極角越小，Berry相趨于穩(wěn)定越快。

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國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11504283);中國(guó)博士后基金面上項(xiàng)目(2014M562385);西安交通大學(xué)基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)自由探索與自主創(chuàng)新類項(xiàng)目(xjj2014006)

蘇耀恒(1981-),男,河南鄭州人,講師,博士,主要研究方向?yàn)榻橛^物理和量子計(jì)算.

2016-07-25

1672-6871(2017)02-0079-05

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.02.015

O469

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