孟 宇,李慶奎

(山西大學 數學科學學院,山西 太原 030006)

具有時變時延的不確定非線性系統(tǒng)的跟蹤控制

孟 宇,李慶奎

(山西大學 數學科學學院,山西 太原 030006)

針對一類具有時變時延的不確定非線性系統(tǒng)的跟蹤控制問題，利用擴張狀態(tài)觀測器估計系統(tǒng)中具有時變時延的未知項。對于在反推技術中出現虛擬控制的導數，采用非線性跟蹤微分器對其進行跟蹤，設計實際控制器以使閉環(huán)系統(tǒng)中的狀態(tài)及部分跟蹤信號收斂于原點鄰域。仿真結果驗證了該方法的可行性。

擴張狀態(tài)觀測器；微分跟蹤器；反推技術；跟蹤控制

0 引言

近年來,非線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定和跟蹤問題得到了廣泛關注[1-3]。非線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定強調系統(tǒng)的狀態(tài)收斂于系統(tǒng)原點的鄰域內，而跟蹤問題主要有狀態(tài)跟蹤和輸出跟蹤。目前，雖然對非線性系統(tǒng)輸出跟蹤控制問題的研究已有很多[4-6]，但是時延作為實際系統(tǒng)中普遍存在的現象，很大程度上會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，對具有時變時延的非線性系統(tǒng)的跟蹤控制問題的研究更有意義。

自適應反推設計是解決非線性系統(tǒng)的一種方法[7]。此外,對于系統(tǒng)中的不確定項，有些學者選用徑向基函數神經網絡或模糊邏輯系統(tǒng)來逼近未知非線性函數[8-9]。但是，隨著系統(tǒng)階和時變時滯的增加，這類系統(tǒng)的控制設計問題變得更加復雜，自抗擾控制技術可有效解決該類問題[10-11]。文獻[10]針對一類具有外部擾動的不確定非仿射純反饋非線性系統(tǒng),通過將系統(tǒng)中的未建模動態(tài)和未知項看作一個未知綜合擾動，對這個未知綜合擾動進行實時估計和補償。但是上述文獻只考慮了不確定的存在，并沒有考慮實際系統(tǒng)中不可避免的時變時延。

本文研究了具有時變時延的非線性系統(tǒng)跟蹤控制問題。首先，將具有時變時延的未知非線性項看作不確定項。然后，結合自抗擾控制技術和反推方法，針對每個子系統(tǒng)中不確定項，通過建立擴張狀態(tài)觀測器對其進行估計。而對于在每一步反推設計中出現的虛擬控制的導數,為了使問題簡單化，本文采用跟蹤微分器對其進行跟蹤。最后，通過仿真實例驗證了本文方法的有效性。

1 問題的描述和準備

考慮一類具有時變時延的不確定非線性系統(tǒng)，可表示為：

(1)其中：∑i為第i個子系統(tǒng)；x=[x1,x2,…,xn]∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)；gi為正常數；hi(xi(t))為已知函數；fi(xi(t-di(t)))為具有時變時延di(t)的未知光滑非線性函數,i=1,2,…,n；u(t)∈R,y(t)∈R分別為控制輸入和系統(tǒng)輸出。

本文的控制目標：對于具有時變時延的非線性系統(tǒng)，利用反推技術設計控制器，使得系統(tǒng)的輸出y(t)跟蹤參考信號yr，且最終閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)及部分跟蹤信號 (對不確定項的跟蹤以及對虛擬控制導數的跟蹤) 保持有界。需要作如下假設：

假設1 當xi(t)≠0,i=1,2,…,n，fi(xi(t-di(t)))連續(xù)可微，其微分有界且不為0。

假設2 系統(tǒng)的所有狀態(tài)是可測的。

為了實現對信號導數的估計,選擇非線性跟蹤微分器為：

(2)

2 主要結果

在利用反推技術設計控制器之前，先介紹自抗擾的概念?？紤]如下不確定非線性系統(tǒng)：

(3)

其中：G(x)為光滑不確定非線性函數。不失一般性，假設狀態(tài)可測，將G(x)看作是擾動項，可將系統(tǒng)(3)擴展為：

其中：H(x)是未知的，且為G(x)的導數。

然后，為系統(tǒng)(3)構建擴展狀態(tài)觀測器，如下式：

其中：Z2→G(x)。則可設計如下控制器使得系統(tǒng)鎮(zhèn)定：

其中：k>0為待設計的常數。

引理1 通過為系統(tǒng)(3)構建二階擴展狀態(tài)觀測器，可設計控制器使系統(tǒng)(3)漸近穩(wěn)定。

證明 將控制器代入系統(tǒng)(3)，可得：

利用基于擴張狀態(tài)觀測器和跟蹤微分器的反推方法，設計系統(tǒng)(1)的控制器。

步驟1 考慮子系統(tǒng)∑1，定義變量z1=y-yr，對z1求導可得：

(4)

由于f1(x1(t-d1(t)))是未知函數，使用擴張狀態(tài)觀測器對未知量進行估計。在假設1和假設2成立的條件下，構建擴張狀態(tài)觀測器，如下式：

(5)

其中：Z1,1、Z1,2為擴張狀態(tài)觀測器的狀態(tài)；β1、β2為適當參數；f1j(E1),j=1,2為滿足條件E1f1j(E1)≥0的適當非線性函數。

(6)

定義變量z2=x2-x2d，將其代入擴張狀態(tài)觀測器(5)可得：

(7)

(8)

假設z2=0，f1(x1(t-d1(t)))-Z1,2可被看作是干擾，則式(8)可變?yōu)椋?/p>

(9)

由輸入到狀態(tài)穩(wěn)定性定理可知，若z2=0時，系統(tǒng)(4)是輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的。也就是說只要f1(x1(t-d1(t)))-Z1,2有界，那么z1就有界。

步驟2 對變量z2求導，可得：

(10)

(11)

(12)

其中：Z2,1、Z2,2為擴張狀態(tài)觀測器的狀態(tài)；β1、β2為適當參數；f2j(E2),j=1,2為滿足條件E2f2j(E2)≥0的適當非線性函數。

可選Lyapunov函數為V2=V1+V21，對其進行求導并整理可得：

(14)

(15)

步驟i對zi=xi-xid進行微分得：

(16)

(17)

(18)

其中：Zi,1、Zi,2為擴張狀態(tài)觀測器的狀態(tài)；β1、β2為適當參數；fij(Ei),j=1,2是滿足條件Eifij(Ei)≥0的適當的非線性函數。

定義變量zi+1=xi+1-xi+1,d，同時可設計如下虛擬控制器：

(19)

(20)

步驟n對zn=xn-xnd進行微分得：

(21)

(22)

建立擴張狀態(tài)觀測器：

(23)

其中：Zn,1、Zn,2為擴張狀態(tài)觀測器的狀態(tài)；β1、β2為適當參數；fnj(En),j=1,2為滿足條件Enfnj(En)≥0的適當非線性函數。

根據以上步驟可設計實際控制器為：

(24)

(25)

注1 本文的擴張狀態(tài)觀測器選自文獻[10]。只要選取適當參數β1、β2和非線性函數fi,1(Ei)、fi,2(Ei)(i=1,2,…,n)，擴張狀態(tài)觀測器對多數系統(tǒng)都能估計出其狀態(tài)變量。

定理1 系統(tǒng)(1)在滿足假設1和假設2的情況下，可以通過設計虛擬控制器和實際控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)漸近收斂到原點的鄰域內且輸出信號跟蹤參考信號。

(26)

那么式(25)可以變?yōu)椋?/p>

(27)

3 仿真例子

為了證明本文方法的有效性，選取系統(tǒng)如下：

其中：g1=3.0;g2=10.9;時變時延d1(t)=1-0.5cost;時變時延d2(t)=1-0.5sint。取參考信號yr=0.5sint+sin(0.5t)，設初始值為x1(0)=2,x2(0)=-2。擴張狀態(tài)觀測器和跟蹤微分器的參數可選為：β1=255,β2=0.2,ω=3.5。仿真圖見圖1～圖4。圖1給出了系統(tǒng)輸出x1與參考信號yr隨時間變化曲線。圖2為跟蹤微分器的狀態(tài)v1,1及虛擬控制x2d的時間響應曲線，證明其跟蹤效果很好。圖3為擴張狀態(tài)觀測器狀態(tài)Z1,2及非線性項f1的時間響應曲線，圖4是擴張狀態(tài)觀測器狀態(tài)Z2,2及非線性項f2的時間響應曲線。由圖3和圖4可知：擴張狀態(tài)觀測器的狀態(tài)可以很好地估計未知非線性項。分析圖1～圖4可知：本文的設計方法有效。

圖1 系統(tǒng)輸出x1與參考信號yr隨時間變化曲線圖2 跟蹤微分器的狀態(tài)v1,1及虛擬控制x2d的時間響應曲線

4 結論

本文針對一類具有時變時延的不確定非線性系統(tǒng)的跟蹤控制問題，通過將具有時變時延的未知非線性項看作不確定項，利用擴張狀態(tài)觀測器的狀態(tài)實時估計系統(tǒng)中的不確定項，使用反推技術逐步得到實際控制器。對于在反推技術中出現的虛擬控制的導數，利用跟蹤微分器對其進行跟蹤。仿真結果驗證了本文設計方法的有效性。

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國家自然科學基金項目(61573230);山西省回國留學人員科研基金項目(2015-017)

孟宇(1990-),女,山西忻州人,碩士生;李慶奎(1971-),男,通信作者,山東郯城人,副教授,博士,碩士生導師,主要研究方向為切換時滯系統(tǒng)、網絡控制系統(tǒng)及供應鏈系統(tǒng).

2016-08-21

1672-6871(2017)02-0048-06

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.02.009

TP13

A