王位高

從近三年全國高考新課標卷概率統(tǒng)計試題來看，無論是文科卷還是理科卷，都是1道客觀題和1道解答題，分值為17分，試題的題量、題型、分值都很穩(wěn)定.

一、考情分析

概率統(tǒng)計試題對知識點的考查較為全面，以理科數(shù)學為例，考點覆蓋了概率統(tǒng)計必修與選修的各個章節(jié)內(nèi)容，考查了抽樣方法，統(tǒng)計圖表，數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，用樣本估計總體，回歸分析，獨立性檢驗，古典概型，幾何概型，條件概率，相互獨立事件的概率，獨立重復試驗的概率，離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望與方差，超幾何分布，二項分布，正態(tài)分布等基礎知識和基本方法.

二、熱門考點預測

熱點1 ：隨機抽樣

例1.某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150，120，180，150個銷售點.公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調(diào)查為①；在丙地區(qū)有20個大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其銷售收入和售后服務等情況，記這項調(diào)查為②，則完成①②這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是（ ）

A. 分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法

B. 分層抽樣法，簡單隨機抽樣法

C. 系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法

D. 簡單隨機抽樣法，分層抽樣法

解析：一般甲、乙、丙、丁四個地區(qū)會存在差異，采用分層抽樣法較好.在丙地區(qū)中抽取的樣本個數(shù)較少，易采用簡單隨機抽樣法.答案選B.

點評：本題主要考查簡單隨機抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣這三種抽樣的區(qū)別.

例2. 某中學采用系統(tǒng)抽樣方法，從該校高一年級全體800名學生中抽取50名學生做牙齒健康檢查.現(xiàn)將800名學生從1到800進行編號.已知從33～48這16個數(shù)中抽到的數(shù)是39，則在第1小組1～16中隨機抽到的數(shù)是（ ）

A. 5 B. 7 C. 11 D. 13

解析：間隔數(shù)k=■=16，即每16人抽取一個人.由于39=2×16+7，所以第1小組中抽取的數(shù)為7. 答案選B.

點評：本題考查系統(tǒng)抽樣的計算，系統(tǒng)抽樣中，易忽視抽取的樣本數(shù)也就是分段的段數(shù)，當■不是整數(shù)時，注意剔除，剔除的個體是隨機的，各段入樣的個體編號成等差數(shù)列.

熱點2：用樣本估計總體

例3. 從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）.若要從身高在[120，130），[130，140），[140，150]三組內(nèi)的學生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在[140，150]內(nèi)的學生中選取的人數(shù)應為（ ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

解析：依題意可得10×（0.005+0.01+0.02+a+0.035）=1，則a=0.03. 所以身高在[120，130），[130，140），[140，150]三組內(nèi)的學生比例為3∶2∶1.所以從身高在[140，150]內(nèi)的學生中選取的人數(shù)應為3. 答案選C.

點評：1.看頻率分布直方圖時需注意：（1）各組的頻率之和為1；（2）頻率分布直方圖的縱坐標是■，而不是頻率；2.由頻率分布直方圖進行相關計算時，需掌握下列關系式：（1）■×組距=頻率.（2）■=頻率，此關系式的變形為■=樣本容量，樣本容量×頻率=頻數(shù).

例4. 如圖是2017年某大學自主招生面試環(huán)節(jié)中，七位評委為某考生打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)依次為（ ）

A. 85，84 B. 84，85

C. 86，84 D. 84，86

解析：由圖可知，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)為84，84，84，86，87.∴平均數(shù)為■=85，眾數(shù)為84. 答案選A.

點評：莖葉統(tǒng)計圖中莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù).在樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好.繪制莖葉圖時需注意：（1）“葉”的位置只有一個數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；（2）重復出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置上的數(shù)據(jù).

熱點3：變量的相關性、統(tǒng)計案例

例5. 某單位共有名員工，他們某年的收入如下表：

已知員工年薪收入與工作年限成正相關關系，某員工工作第一年至第四年的年薪分別為3萬元、4.5萬元、5.6萬元、7.2萬元，預測該員工第五年的年薪為________.

附：線性回歸方程 ■= ■x+■ 中系數(shù)計算公式分別為：

■=■，■ =■-■■，其中■、■為樣本均值.

解析：設xi，yi（i=1，2，3，4）分別表示工作年限及相應年薪，則■=2.5， ■=5，

■（xi-■）2=2.25+0.25+0.25+2.25=5.

■（xi-■）（yi-■）=-1.5×（-2）+（-0.5）×（-0.8）+0.5×0.6+1.5×2.2=7.

■=■=■=1.4.

■ =■-■■=5-1.4×2.5=1.5.

由線性回歸方程：y=1.4x+1.5. 可預測該員工年后的年薪收入為8.5萬元.

點評：考綱中對“變量的相關性”要求，有兩個“會”、一個“了解”、一個“能”，是一個完整的作散點圖、求回歸方程，并給出回歸分析的統(tǒng)計過程，試題常體會在“會”、“能”兩個要求上，不要求記憶線性回歸方程系數(shù)公式，而對于統(tǒng)計案例，不要求記憶獨立性檢驗隨機變量K2值的計算公式，能根據(jù)公式計算結(jié)果給出獨立性檢驗結(jié)論即可.

熱點4：古典概型

例6. 某學校為了提高學生的安全意識，防止安全事故的發(fā)生，擬在未來連續(xù)7天中隨機選擇3天進行緊急疏散演練，則選擇的3天中恰好有2天連續(xù)的概率是（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

解析：連續(xù)7天中隨機選擇3天，有C37=35種情況，其中恰好有2天連續(xù)，有4+3+3+3+3+4=20種情況，所以所求的概率為■=■，答案選D.

點評：計算古典概型事件的概率三步驟： 1.算出基本事件的總個數(shù)n；2.求出事件A所包含的基本事件個數(shù)m；3.代入公式P（A）=■求出概率P. 理科試題一般會結(jié)合排列組合知識求事件數(shù).

熱點5：條件概率

例7. 某班從6名班干部（其中男生4人，女生2人）中選3人參加學校青年志愿者的競選.在男生甲被選中的情況下，則女生乙也被選中的概率為________.

解析：設“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，則P（A）=■=■，P（AB）=■=■，∴P（B|A）=■=■. 故在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為■.

點評：本題主要考查條件概率的計算，有兩種方法：1.定義法：先求P（A）和P（AB），再由P（B|A）=■，求P（B|A）；2.基本事件法：當基本事件適合有限性和等可能性時，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n（AB），得P（B|A）=■. 2014年全國卷II以選擇題形式考查過條件概率，只能用條件概率的定義法求解.

熱點6：幾何概型

例8. 設不等式組0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

解析：題目中0≤x≤2，0≤y≤2表示的區(qū)域表示正方形區(qū)域，而動點D可以存在的位置為正方形面積減去四分之一的圓的面積部分，因此P=■=■，答案選D.

點評：本題立意簡潔清新，將線性規(guī)劃和幾何概型（事件區(qū)域的度量為面積）自然結(jié)合，訓練解題基本功. 2016年全國I卷以選擇題形式考查了幾何概型（事件區(qū)域的度量為長度），幾何概型值得重視.

熱點7：正態(tài)分布

例9. 抽樣調(diào)查表明，某校高三學生成績（總分750分）X近似服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?00分. 已知P（400

解析：由下圖可以看出P（550

點評：正態(tài)分布的問題的考查無非是符號本身的認識以及圖像的了解.解此類問題的關鍵是利用正態(tài)曲線的對稱性，把待求區(qū)間內(nèi)的概率向已知區(qū)間內(nèi)的概率轉(zhuǎn)化.解題時要充分結(jié)合圖形進行分析、求解，要注意數(shù)形結(jié)合思想及化歸思想的運用.1.利用試題提供的P（μ-σ

熱點8：隨機變量及其分布列

例10. 調(diào)查表明：甲種農(nóng)作物的長勢與海拔高度、土壤酸堿度、空氣濕度的指標有極強的相關性，現(xiàn)將這三項的指標分別記為x，y，z，并對它們進行量化：0表示不合格，1表示臨界合格，2表示合格，再用綜合指標ω=x+y+z的值評定這種農(nóng)作物的長勢等級，若ω≥4，則長勢為一級；若2≤ω≤3，則長勢為二級；若0≤ω≤1，則長勢為三級，為了了解目前這種農(nóng)作物長勢情況，研究人員隨機抽取10塊種植地，得到如下表中結(jié)果：

（Ⅰ）在這10塊該農(nóng)作物的種植地中任取兩塊地，求這兩塊地的空氣濕度的指標z相同的概率；

（Ⅱ）從長勢等級是一級的種植地中任取一塊地，其綜合指標為A，從長勢等級不是一級的種植地中任取一塊地，其綜合指標為B，記隨機變量X=A-B，求X的分布列及其數(shù)學期望.

解析：（Ⅰ）由表可知：空氣濕度指標為1的有A2， A4，A5，A7， A9，A10.

空氣濕度指標為2的有A1，A3，A6，A8，

在這10塊種植地中任取兩塊地，基本事件總數(shù)n=C210=■=45.

這兩塊地的空氣溫度的指標z相同包含的基本事件個數(shù)m=C26=C24=■+■=21.

∴這兩地的空氣溫度的指標z相同的概率P=■=■=■.

（Ⅱ）由題意得10塊種植地的綜合指標如下表：

其中長勢等級是一級（ω≥4）有A1 ， A2，A3，A5， A6，A8， A9，共7個，

長勢等級不是一級（ω<4）的有A4， A7， A10，共3個，

隨機變量X=A-B的所有可能取值為1， 2，3，4， 5，

w=4的有A1 ， A2，A5， A6，A9共5塊地，w=3的有A7， A10共2塊地，

這時有X=4-3=1.

所以P（x=1）=■=■，同理P（x=2）=■=■，P（x=3）=■=■，P（x=4）=■=■，P（x=5）=■=■，

∴ X的分布列為：

E（X）=1×■+2×■+3×■+4×■+5×■=■.

點評：1.求離散型隨機變量的分布列的關鍵是分析清楚隨機變量的取值有多少，并且正確求出隨機變量所取值對應的概率.2.在求解隨機變量概率值時，注意結(jié)合計數(shù)原理、古典概型、二項分布、超幾何分布等知識求解.

例11. 某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、下周二兩天內(nèi)采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘.由于下雨會影響藥材品質(zhì)，基地收益如下表所示：

若基地額外聘請工人，可在周一當天完成全部采摘任務.無雨時收益為20萬元；有雨時，收益為10萬元.額外聘請工人的成本為a萬元.

已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬元的概率為0.36.

（I）若不額外聘請工人，寫出基地收益X的分布列及基地的預期收益；

（II）該基地是否應該外聘工人，請說明理由.

解析：（I）設下周一有雨的概率為P，由題意，p2=0.36，p=0.6，基地收益X的可能取值為20，15，10，7.5，則P（X=20）=0.36，P（X=15）=0.24，P（X=10）=0.24，P（X=7.5）=0.16，∴基地收益X的分布列為：

E（X）=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4，

∴基地的預期收益為14.4萬元.

（II）設基地額外聘請工人時的收益為Y萬元，

則其預期收益E（Y）=20×0.6+10×0.4-a=16-a 萬元，

E（Y）-E（X）=16-a，

綜上，當額外聘請工人的成本高于1.6萬元時，不外聘工人；

成本低于1.6萬元時，外聘工人；

成本恰為1.6萬元時，是否外聘工人均可以.

點評：均值能夠反映隨機變量取值的“平均水平”，因此，當均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分曉，由此可對實際問題作出決策判斷；若兩隨機變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進而進行決策.

全國卷I概率統(tǒng)計題綜合性強，客觀題經(jīng)常將古典概型與計數(shù)原理、排列組合知識結(jié)合起來考查，將幾何概型與簡單線性規(guī)劃、定積分知識結(jié)合起來考查；解答題經(jīng)常以抽樣問題為背景，以頻數(shù)分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖、散點圖等統(tǒng)計圖表為載體，以能力為立意，將統(tǒng)計知識與概率知識、函數(shù)知識綜合考查.同學們在復習備考時要注意認真審題，提高閱讀理解能力，才能奪取概率統(tǒng)計部分內(nèi)容的高分.

責任編輯 徐國堅