張 芳

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同037009）

關(guān)于幾類拓?fù)淇臻g序列的收斂性

張 芳

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同037009）

拓?fù)淇臻g序列的收斂性是拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容,通過(guò)拓?fù)淇臻g序列收斂的定義，對(duì)于幾類常用的拓?fù)淇臻g，給出序列收斂的有關(guān)性質(zhì)。

拓?fù)淇臻g;序列;收斂性

在數(shù)學(xué)分析課程中,已經(jīng)證明了一個(gè)序列如果收斂則極限唯一,因此可以從序列收斂的概念出發(fā)來(lái)研究集合的凝聚點(diǎn)、函數(shù)在某一點(diǎn)處的連續(xù)性,但在一般的拓?fù)淇臻g中情況未必如此。本文主要研究幾種常用類型拓?fù)淇臻g序列的收斂性,為了討論方便首先給出以下幾個(gè)定義:

定義1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,每一個(gè)映射S:Z+→X叫做X中的一個(gè)序列。我們常將序列S記作或者或者記作

定義2設(shè)是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)序列,x∈X。如果對(duì)于x的每一個(gè)鄰域U,存在M∈Z+使得當(dāng)i＞M時(shí),有xi∈U,則稱點(diǎn)x是序列的一個(gè)極限點(diǎn)(或極限),也稱為序列收斂于x。記作

如果序列至少有一個(gè)極限,則稱這個(gè)序列是一個(gè)收斂序列。如果序列沒(méi)有極限,則稱這個(gè)序列是一個(gè)發(fā)散序列。

注通過(guò)定義2可知拓?fù)淇臻g中序列的收斂性與它所在的拓?fù)溆嘘P(guān)。

定理1平庸空間中任何一個(gè)序列都收斂,并且收斂于它中的每一點(diǎn)。

證明設(shè)X是一個(gè)平庸空間,是X中一個(gè)序列。任取x∈X,由于點(diǎn)x的鄰域只有X,故對(duì)于任意的i∈Z+,xi∈X。于是由定義2可知,序列收斂于x,即

說(shuō)明1若平庸空間X中至少含有兩個(gè)點(diǎn),則X中的序列收斂點(diǎn)不唯一。

定理2設(shè)是離散空間X中的一個(gè)序列,則序列收斂當(dāng)且僅當(dāng)存在M∈Z+使得當(dāng)時(shí)有 xi=xj。

證明必要性。設(shè)序列收斂于x∈X。由于X為一個(gè)離散空間,所以X中的每一個(gè)單點(diǎn)集都是開(kāi)集,于是{}x為點(diǎn)x的一個(gè)鄰域,根據(jù)定義2可知存在 M∈Z+使得當(dāng)i,j＞M 時(shí),有 xi,xj∈{}x,從而xi=x=xj。[4]

充分性。若存在 M∈Z+使得當(dāng)i,j＞M時(shí)有xi=xj。不妨設(shè)x=xi=xj,則x∈X。于是對(duì)于x的每一個(gè)鄰域U,存在 M∈Z+使得當(dāng)i＞M 時(shí),有xi=x∈U。因此由定義2可知,

定理3設(shè)X是一個(gè)含有不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的可數(shù)補(bǔ)空間,則X中一個(gè)序列收斂于x∈X的充分必要條件是存在M∈Z+使得當(dāng)i＞M時(shí),有xi=x。

證明充分性由定義2顯然成立。下面證明必要性。設(shè),由于集合是一個(gè)可數(shù)集,因此D的補(bǔ)集D′是x的一個(gè)鄰域,于是存在 M∈Z+,使得當(dāng) i＞M 時(shí)有 xi∈D′,此時(shí)有xi=x。

說(shuō)明2當(dāng)X是一個(gè)含有可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的可數(shù)補(bǔ)空間,則X成為一個(gè)離散空間,從而X中序列的收斂性由定理2可得。

定理4設(shè)X是一個(gè)含有無(wú)限多個(gè)點(diǎn)的有限補(bǔ)空間,是X中的任何一個(gè)由兩兩互不相同的點(diǎn)構(gòu)成的序列,即當(dāng)i≠j時(shí),有 xi≠xj,則序列{xi}i∈Z+收斂并且X中的每一點(diǎn)都是它的收斂點(diǎn)。

證明設(shè){xi}i∈Z是X中滿足條件的序列。任取x∈X,U為x的任意一個(gè)鄰域,由于拓?fù)淇臻gX為有限補(bǔ)空間,故U的補(bǔ)集U′是一個(gè)有限集,所以序列中最多只有有限個(gè)元素在U的補(bǔ)集U′中,于是存在 M∈Z+使得當(dāng) i＞M 時(shí)有 xi∈U。即因此序列收斂于X中的任何一個(gè)點(diǎn)。

說(shuō)明3若X為含有有限多個(gè)點(diǎn)的有限補(bǔ)空間,則X為一個(gè)離散空間,從而X中序列的收斂性由定理2可得。

定理5設(shè)X是一個(gè)度量空間,則X中的任何一個(gè)收斂序列都只有唯一的極限。

證明設(shè)X是一個(gè)度量空間,ρ為X的度量,是X中一個(gè)收斂序列。

說(shuō)明4由于實(shí)數(shù)空間?和n維歐式空間?n都是度量空間,所以數(shù)學(xué)分析所研究的收斂序列都只有唯一極限。

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2010.

[2]熊金城.點(diǎn)集拓?fù)渲v義[M].北京:高等教育出版社,2011:90-94.

[3]方嘉琳.點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)[M].遼寧:遼寧人民出版社,1987.

[4]張芳.關(guān)于度量空間的幾個(gè)性質(zhì)[J].山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008,24(6):5-9.

Sequential Convergence for Several Types of Topological Spaces

ZHANG Fang
(School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

The sequential convergence is an important content about topological space.In this paper,by using the definition of se?quential convergence and under several category type of topological spaces,we present the relevant properties of sequential conver?gence.

topological space;sequence;convergence

O189.11

A

1674-0874(2017)03-0020-02

〔責(zé)任編輯 高?！?/p>

2017-03-20

張芳（1968-），女，山西陽(yáng)高人，碩士，講師，研究方向：拓?fù)鋵W(xué)與非線性泛函分析。