李少東陳永彬 劉潤華 馬曉巖

(空軍預(yù)警學(xué)院三系,武漢 430019)(2016年5月13日收到;2016年8月25日收到修改稿)

基于壓縮感知的窄帶高速自旋目標(biāo)超分辨成像物理機(jī)理分析?

李少東?陳永彬 劉潤華 馬曉巖

(空軍預(yù)警學(xué)院三系,武漢 430019)(2016年5月13日收到;2016年8月25日收到修改稿)

常規(guī)窄帶雷達(dá)系統(tǒng)對(duì)高速自旋的空天目標(biāo)成像時(shí),方位脈沖重復(fù)頻率通常難以滿足采樣率要求.而基于壓縮感知(compressive sensing,CS)理論則可實(shí)現(xiàn)欠采樣條件下窄帶高速自旋目標(biāo)的成像.本文對(duì)這一成像的物理機(jī)理進(jìn)行分析和討論.首先,構(gòu)建方位欠采樣回波模型,分析了該模型與CS理論的關(guān)系;其次,從物理角度分析基于CS理論可以保證欠采樣條件下散射點(diǎn)準(zhǔn)確重構(gòu)的機(jī)理,給出欠采樣倍數(shù)的理論下限值.仿真結(jié)果表明,欠采樣條件下窄帶雷達(dá)系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)對(duì)高速自旋目標(biāo)二維成像,同時(shí)驗(yàn)證了基于CS的欠采樣成像性能與欠采樣倍數(shù)、等效強(qiáng)散射點(diǎn)個(gè)數(shù)以及波長等有關(guān),與信號(hào)帶寬無關(guān)等結(jié)論.

欠采樣,壓縮感知,高速自旋目標(biāo),超分辨

1 引 言

對(duì)空間碎片、自旋彈頭、空中旋翼飛機(jī)等具有高速自旋特性的空天目標(biāo)進(jìn)行準(zhǔn)確的參數(shù)估計(jì)和成像[1],對(duì)于目標(biāo)識(shí)別、防空預(yù)警等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值.然而,對(duì)于高速自旋目標(biāo)而言,常規(guī)雷達(dá)很難滿足方位采樣率的需求,這將導(dǎo)致方位向欠采樣,出現(xiàn)多普勒模糊,因此立足于常規(guī)雷達(dá)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)空天自旋目標(biāo)超分辨成像具有重要的研究價(jià)值.

為解決對(duì)高速自旋目標(biāo)成像時(shí)的這一難題,眾多學(xué)者展開了相關(guān)的研究.根據(jù)研究的側(cè)重點(diǎn)可大致分為兩類.一是方位滿足采樣條件下的成像方法研究.文獻(xiàn)[2]采用雙基地雷達(dá)利用文獻(xiàn)[3]提出的單距離單元多普勒干涉法(single range Doppler interferometry,SRDI)進(jìn)行自旋目標(biāo)成像,但是SRDI受限于時(shí)頻分析的分辨率或交叉項(xiàng)等固有問題,適用范圍有限;文獻(xiàn)[4]研究了復(fù)數(shù)后向投影(back projection,BP)算法進(jìn)行成像;文獻(xiàn)[5]提出了基于實(shí)數(shù)逆Radon變換(realvalued inverse Radon transform,RIRT)和復(fù)數(shù)逆Radon變換(complex-valued inverse Radon transform,CIRT)的旋轉(zhuǎn)部件二維成像方法.這一類方法的共同特征是要求方位采樣率大于回波的最大多普勒帶寬,否則將產(chǎn)生虛假重構(gòu)散射點(diǎn),這對(duì)于高速自旋目標(biāo)而言是很難滿足的.第二類方法是在欠采樣條件下的成像方法.文獻(xiàn)[4]依據(jù)壓縮感知(compressive sensing,CS)理論進(jìn)行欠采樣條件下的自旋目標(biāo)成像方法,獲得了良好的成像效果;文獻(xiàn)[6]則使用精度更高的壓縮采樣匹配追蹤(compressive sampling matching pursuit,CoSaMP)算法成像,但是該方法的效率有所降低;文獻(xiàn)[7]提出了一種對(duì)空間碎片群的成像方法,但是并未討論自旋頻率未知時(shí)如何成像的問題.這一類方法的共同特征是要求用于成像的自旋目標(biāo)的角速度已知,并未從物理意義的角度討論欠采樣條件下可超分辨成像的機(jī)理.總結(jié)目前的研究現(xiàn)狀可知,雖然對(duì)欠采樣條件下的自旋目標(biāo)成像方法已有一些研究,但是并未對(duì)CS的欠采樣成像機(jī)理等問題進(jìn)行探討.

本文在已有的CS窄帶成像方法基礎(chǔ)上,研究基于CS理論的自旋目標(biāo)欠采樣成像的物理機(jī)理.首先構(gòu)建自旋目標(biāo)的欠采樣回波模型,明確該模型與CS理論的關(guān)系;其次,從物理角度解釋為何基于CS理論可以保證欠采樣條件下散射點(diǎn)的準(zhǔn)確重構(gòu),然后給出欠采樣倍數(shù)的理論下限值,并給出超分辨倍數(shù)的上限.本文研究可為高速自旋空天目標(biāo)的欠采樣成像提供物理依據(jù).

2 自旋目標(biāo)窄帶雷達(dá)成像回波模型

通常而言,雷達(dá)對(duì)目標(biāo)成像主要是利用大帶寬獲得距離維高分辨,利用多普勒處理技術(shù)來實(shí)現(xiàn)方位高分辨.而窄帶雷達(dá)由于帶寬的約束,一般僅能獲取目標(biāo)的距離、方位等信息,難以獲得目標(biāo)的高分辨二維圖像.但是對(duì)于空間碎片等高速自旋目標(biāo)而言,若在觀測時(shí)間內(nèi)目標(biāo)的轉(zhuǎn)角足夠大,則有可能在距離分辨率較低的條件下,對(duì)單個(gè)距離單元回波采用信號(hào)處理的手段得到其二維圖像.本文充分利用高速自旋目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)特征,探討在窄帶欠采樣條件下基于CS理論可獲取目標(biāo)二維超分辨圖像的物理機(jī)理.首先建立空間碎片等高速自旋目標(biāo)的欠采樣回波模型,并進(jìn)一步分析該模型與CS理論的關(guān)系.

為便于分析,本文假設(shè)在觀測時(shí)間內(nèi)平動(dòng)補(bǔ)償已完成,目標(biāo)繞自身旋轉(zhuǎn)中心做恒定角速度的高速自旋運(yùn)動(dòng),如圖1所示.在光學(xué)區(qū),目標(biāo)的散射場主要由強(qiáng)散射中心構(gòu)成.假設(shè)自旋目標(biāo)可等效為K個(gè)強(qiáng)散射點(diǎn),其在目標(biāo)坐標(biāo)系中的初始位置為(xk,yk),通常自旋目標(biāo)的旋轉(zhuǎn)頻率很高,為避免多普勒模糊,需要很高的脈沖重復(fù)頻率(pulse repetition frequency,PRF).然而常規(guī)雷達(dá)的PRF一般無法滿足這一需求,將出現(xiàn)方位欠采樣的情況.此外,當(dāng)部分脈沖受到干擾或遮擋時(shí)需要人為剔除部分脈沖,將造成成像數(shù)據(jù)不完整,出現(xiàn)方位隨機(jī)欠采樣的情況.本文將均勻欠采樣和隨機(jī)欠采樣統(tǒng)稱為方位欠采樣.首先構(gòu)建欠采樣回波模型.

圖1 自旋目標(biāo)與雷達(dá)關(guān)系示意圖Fig.1.Geometry of the radar and the spinning target.

假設(shè)雷達(dá)發(fā)射線性調(diào)頻(linear frequency modulation,LFM)信號(hào),遠(yuǎn)場目標(biāo)上某一散射點(diǎn)P至雷達(dá)的瞬時(shí)斜距可近似為

其中,R0為目標(biāo)自旋中心到雷達(dá)的距離,(rp,φp)為P點(diǎn)在目標(biāo)坐標(biāo)系中的初始位置和角度,ω為目標(biāo)角速度,tm為慢時(shí)間.假設(shè)共有K個(gè)強(qiáng)散射點(diǎn),對(duì)目標(biāo)回波進(jìn)行Dechirp以及補(bǔ)償剩余相位視頻項(xiàng)(RVP)處理后有[8]

其中fk為第k個(gè)散射點(diǎn)的快時(shí)間頻率,R?=Rp? Rref=rpsin(ωtm+ φp),Tp為脈沖寬度,λ為波長,γ為調(diào)頻斜率,?σk為散射點(diǎn)的后向散射場幅度,n(tf,tm)為復(fù)高斯噪聲.由(2)式及R?表達(dá)式可知,與逆合成孔徑雷達(dá)成像時(shí)目標(biāo)回波表達(dá)式不同,高速自旋目標(biāo)強(qiáng)散射點(diǎn)的包絡(luò)和相位在距離-轉(zhuǎn)角域是按正弦規(guī)律變化的,且不再滿足Taylor級(jí)數(shù)的一階近似展開條件(即sin(ωtm)/= ωtm).而利用此正弦規(guī)律可在窄帶條件下獲得高分辨的二維圖像,如RIRT算法利用包絡(luò)的正弦變化進(jìn)行成像[5];CIRT算法利用旋轉(zhuǎn)散射點(diǎn)的正弦相位沿慢時(shí)間進(jìn)行相干積累來獲得二維圖像[5].但是這兩種方法只在非欠采樣條件下效果較好.本文主要考慮利用散射點(diǎn)在方位向的相位信息來進(jìn)行超分辨成像.由于直徑是幾厘米或幾十厘米的空間碎片,即使帶寬為100 MHz左右時(shí)目標(biāo)散射點(diǎn)散射幅度最強(qiáng)的位置也將集中于一個(gè)距離單元,因此可在距離向Dechirp后幅度最大的回波所在距離單元,此時(shí)回波表達(dá)形式為

式中,R?=rpsin(ωtm+ φp)=xksin(ωtm)+ykcos(ωtm).本文的目的是從回波s(tm)中準(zhǔn)確地反演出強(qiáng)散射點(diǎn)的幅度和位置信息.因此,可將目標(biāo)等效為一組位于二維場景網(wǎng)格上的散射點(diǎn).場景圖像離散化后在距離向共有M個(gè)像素單元,在方位向上共有N個(gè)像素單元,構(gòu)成的二維圖像為X∈CM×N.由于目標(biāo)的等效強(qiáng)散射點(diǎn)共有K個(gè),實(shí)際中K?M×N,滿足稀疏性條件.為便于描述,首先給出方位滿足采樣條件時(shí)的回波稀疏表示模型.

由(3)式可以看出,回波s(tm)與三個(gè)變量有關(guān),即慢時(shí)間tm、距離向位置yi和方位向位置xi.因此首先對(duì)場景進(jìn)行向量化處理,即令x=vec(X)=[σ1,...,σ2,...,σK,...]MN×1;用t表示方位慢時(shí)間序列,t=(0:Na)/PRF,其中Na為滿采樣的方位脈沖數(shù).此時(shí)回波可稀疏表示為

其中,s為方位向采樣序列;Ψ(ω)∈CNa×MN為含參數(shù)的稀疏基,第i列為

?為Kronecker積.Ψ(ω)的計(jì)算與角速度ω有關(guān),目前已有眾多學(xué)者進(jìn)行了角速度估計(jì)的相關(guān)研究,大致可分為兩類.一類是相關(guān)法[9],這一類角速度估計(jì)的方法受到PRF的限制,估計(jì)的角速度范圍有限;二是利用圖像熵估計(jì)角速度[10],這一類方法不受PRF制約,估計(jì)性能較好.本文假設(shè)角速度已準(zhǔn)確估計(jì).

文獻(xiàn)[11]指出,為避免方位向出現(xiàn)虛假重構(gòu)散射點(diǎn),雷達(dá)系統(tǒng)的PRF應(yīng)滿足:

其中rmax為目標(biāo)最大的旋轉(zhuǎn)半徑.在實(shí)際情況下,高速自旋的目標(biāo)將產(chǎn)生方位欠采樣回波.令Na表示非欠采樣時(shí)的脈沖數(shù),假設(shè)欠采樣倍數(shù)為δ,那么實(shí)際接收到的回波脈沖數(shù)應(yīng)為此時(shí)可將方位降采樣等效為(4)式乘以欠采樣矩陣那么欠采樣回波可表示為

其中Θ(ω)為感知矩陣,(6)式即為欠采樣條件下的回波模型.此外若方位回波隨機(jī)缺損時(shí),可等效認(rèn)為A的某些行置零.

由(6)式的構(gòu)建過程可知,其利用了自旋目標(biāo)強(qiáng)散射點(diǎn)個(gè)數(shù)是稀疏的這一特征,將方位欠采樣過程等效為一個(gè)欠采樣矩陣,而這一過程恰好與CS理論相符合.因此可以認(rèn)為(6)式是一個(gè)基本的CS數(shù)學(xué)表示模型.文獻(xiàn)[4,6]分別使用正交匹配追蹤(OMP)和CoSaMP來重構(gòu)(6)式,獲得了較好的成像效果.但是并沒有就為何在欠采樣條件下可以窄帶高分辨成像的物理機(jī)理進(jìn)行研究,下面本文重點(diǎn)對(duì)此問題進(jìn)行分析.

3 基于CS理論的自旋目標(biāo)欠采樣成像機(jī)理分析

首先從物理角度分析為何基于CS理論可以保證欠采樣條件下散射點(diǎn)的準(zhǔn)確重構(gòu),然后給出欠采樣倍數(shù)的理論下限值.

將(3)式中第k個(gè)散射點(diǎn)的相位對(duì)慢時(shí)間求導(dǎo)可得到

其中fDk為第k個(gè)散射點(diǎn)的多普勒頻率.(7)式表明,每一個(gè)散射點(diǎn)的多普勒信息與散射點(diǎn)的位置、波長和目標(biāo)自旋角速度有關(guān).由于不同散射點(diǎn)的位置不同,因此其多普勒頻率也不相同,利用不同散射點(diǎn)在方位多普勒上的差異性進(jìn)行方位分辨就是窄帶條件下高速自旋目標(biāo)可成像的本質(zhì).但是(7)式同時(shí)也揭示了另一問題:散射點(diǎn)的多普勒具有周期性,若想通過直接計(jì)算多普勒來區(qū)分不同散射點(diǎn)難度較大,因?yàn)楸仨毐ＷC方位向采樣速率滿足(5)式,才能不混疊.而CS重構(gòu)時(shí)則巧妙地避開了直接計(jì)算多普勒,在利用不同散射點(diǎn)的多普勒差異性的同時(shí),通過直接尋找散射點(diǎn)“位置”信息的方式,獲得高分辨成像質(zhì)量.這種從估計(jì)散射點(diǎn)多普勒頻率到散射點(diǎn)位置的變化使得即使方位多普勒存在模糊,也可實(shí)現(xiàn)高速自旋目標(biāo)成像,這就是基于CS可實(shí)現(xiàn)欠采樣條件下的超分辨成像的原因.

上述分析表明,基于CS進(jìn)行欠采樣成像的關(guān)鍵在于重構(gòu)過程中散射點(diǎn)位置能否被正確地找到.以O(shè)MP重構(gòu)為例說明這一問題.假設(shè)目標(biāo)可等效為K個(gè)強(qiáng)散射點(diǎn),OMP算法通過迭代尋找散射點(diǎn)支撐集位置后,使用最小二乘估計(jì)恢復(fù)其散射系數(shù).令Rj?1表示第j?1次迭代的殘差,G(j)=ΘHRj?1,G(j)為第j次迭代時(shí)感知矩陣與殘差內(nèi)積.Θ的第i個(gè)原子與量測y的內(nèi)積為

由(8)式 可知,當(dāng)?xki= 0,?yki= 0,|〈Θi,y〉|為最大值,對(duì)應(yīng)的原子Θi即是真實(shí)散射點(diǎn)所在的位置.但是由于指數(shù)函數(shù)的周期性,當(dāng)下式成立時(shí),

其中k為整數(shù),(8)式相位項(xiàng)將變?yōu)閑xp(j2kπ),也有|〈Θj,y〉|=Na,此時(shí)將出現(xiàn)虛假重構(gòu)點(diǎn).但是實(shí)際上(9)式成立的概率很小.現(xiàn)推導(dǎo)其成立時(shí)?xki,?yki需要滿足的條件.對(duì)(9)式兩端同時(shí)除以?xkicos(ωtm),有

若劃分網(wǎng)格時(shí)選擇整數(shù)網(wǎng)格點(diǎn),即令?y/?x為整數(shù),則(10)式右半部分的值一般無法保證在每一個(gè)慢時(shí)間的時(shí)刻都取到整數(shù),即(10)式成立的概率很小,從而在?xj/0,?yj/0的位置,有|〈Θi,y〉|＜ Na,無法保證最大值.

進(jìn)一步對(duì)(8)式中的正弦和余弦函數(shù)用貝塞爾函數(shù)展開后,(8)式轉(zhuǎn)換為

Jl(Z)是指第l階貝塞爾函數(shù).現(xiàn)結(jié)合(11)式分析強(qiáng)散射點(diǎn)位置能否被準(zhǔn)確找到.

圖2 Jl(zki)的貝塞爾函數(shù) (a)l=0;(b)l=1;(c)l=10;(d)l=100Fig.2.Bessel functions of Jl(zki):(a)l=0;(b)l=1;(c)l=10;(d)l=100.

由于OMP重構(gòu)時(shí)是通過尋找與量測值內(nèi)積最大的列進(jìn)行的,因此使得|〈Θi,y〉|最大的列的位置即為某個(gè)強(qiáng)散射點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的位置.根據(jù)貝塞爾函數(shù)性質(zhì),當(dāng)l很大時(shí),Jl(zki)將變得很小.圖2為l取0,1,10,100,zki/λ取[?1,+1]時(shí)Jl(zki)的函數(shù)圖形.

由圖2以及貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)可知,隨著階數(shù)l的增加,Jl(Z)的取值不斷減少,且會(huì)收斂(收斂速度很快,當(dāng)l=10時(shí),在中間部分幾乎取值為0),(11)式中|〈Θi,y〉|的內(nèi)積的值主要是由第一項(xiàng)來決定.因此當(dāng)i=k時(shí),zki=0,有

(12)式成立的原因是J0(0)=1.可見對(duì)于第k個(gè)散射點(diǎn),有

此時(shí)能保證原子的位置被準(zhǔn)確找到.因此(13)式即是散射點(diǎn)能否被準(zhǔn)確找到的約束條件,由于OMP算法每次只選擇一個(gè)幅度最強(qiáng)的散射點(diǎn),且通過迭代更新殘差,因此還可以避免散射點(diǎn)之間的相互干擾與旁瓣影響.

實(shí)際上,由于網(wǎng)格失配的存在[12],zki不一定等于0,而是一個(gè)趨近于0的數(shù).由J0(zki)的圖形可知,其第1零點(diǎn)寬度為0.4λ.因此當(dāng)zki/0時(shí),應(yīng)保證J0(zki)的值盡可能的大,即保證在J0(zki)的第1零點(diǎn)寬度內(nèi)采集到值,這樣才能保證(13)式以很大的概率成立.因此對(duì)于欠采樣窄帶成像問題,網(wǎng)格失配誤差應(yīng)控制在0.4λ以內(nèi),否則會(huì)引起錯(cuò)誤重構(gòu).

此外,兩個(gè)散射點(diǎn)之間的最小間隔也應(yīng)大于0.4λ,只有這樣才能被分辨出來,這也是基于CS的窄帶成像分辨率,這一分辨率約束與BP算法相同[4].

下面進(jìn)一步給出欠采樣倍數(shù)的下限值.由于本文采用CS理論處理方位欠采樣問題,因此欠采樣后的脈沖數(shù)目應(yīng)與自旋目標(biāo)的等效散射點(diǎn)個(gè)數(shù)K以及信號(hào)維度MN有關(guān),三者應(yīng)滿足:

假設(shè)方位積累時(shí)間為Ta,滿采樣的重頻為PRF,采集脈沖數(shù)為Na,欠采樣的重頻為PRF′,采集脈沖數(shù)為,那么PRF′可表示為

可見系數(shù)δ=Na/O(Klog(MN/K))即為理論上的欠采樣倍數(shù).現(xiàn)舉例說明這一問題.依然假設(shè)一大小為1 m的空間碎片,其自旋頻率為15 Hz,共包括30個(gè)散射點(diǎn),對(duì)一1.5 m×1.5 m的場景進(jìn)行劃分,像素間隔為0.025,那么共劃分3600個(gè)像素單元,由(14)式計(jì)算得至少需要O(144)個(gè)脈沖才能保證正確重構(gòu).雷達(dá)工作于X波段,假設(shè)方位積累時(shí)間為0.2 s,則保證不產(chǎn)生虛假重構(gòu)點(diǎn)的PRF至少應(yīng)為12566 Hz,相應(yīng)的脈沖數(shù)為2513個(gè),代入到(15)式可知欠采樣系數(shù)δ的下界約為17,可見利用CS理論可保證很高的欠采樣條件下對(duì)高速自旋目標(biāo)的精確恢復(fù).

4 仿真與分析

仿真中目標(biāo)參數(shù)設(shè)置如下:對(duì)28點(diǎn)的螺旋槳形狀目標(biāo)模型進(jìn)行成像仿真,圖3為目標(biāo)的等效散射點(diǎn)模型,目標(biāo)的最大散射半徑為0.8 m,散射點(diǎn)后向散射強(qiáng)度從中心到邊緣依次為0.4,0.6,0.8和1.自旋頻率為7.5 Hz.雷達(dá)參數(shù)設(shè)置如下:雷達(dá)發(fā)射LFM信號(hào),載頻為10 GHz,信號(hào)帶寬為50 MHz,方位積累時(shí)間為0.2 s,其PRF以及相應(yīng)的脈沖數(shù)將在不同仿真時(shí)分別給出.

圖3 自旋目標(biāo)等效散射點(diǎn)模型Fig.3.Scatterer distribution of spinning target.

仿真中的脈壓前噪聲統(tǒng)一為高斯白噪聲,噪聲功率由預(yù)設(shè)信號(hào)回波的平均功率,信噪比為SNR,然后由SNR的計(jì)算公式可得到σ2=P×10?SNR/10.

對(duì)于成像質(zhì)量的評(píng)價(jià)指標(biāo).本文以圖像熵和目標(biāo)背景比(target-to-background ratio,TBR)[13]作為量化評(píng)價(jià)成像質(zhì)量的指標(biāo).

仿真1欠采樣率與成像性能關(guān)系仿真

基于CS的窄帶成像性能與感知矩陣相關(guān)性有關(guān),因此這里通過欠采樣倍數(shù)與感知矩陣相關(guān)性的關(guān)系來驗(yàn)證欠采樣率與成像性能的關(guān)系.目標(biāo)的自旋頻率為7.5 Hz,由(5)式計(jì)算得此時(shí)方位滿采樣時(shí)對(duì)應(yīng)的最小PRF應(yīng)為5026 Hz,而如此大的PRF常規(guī)地基雷達(dá)一般是很難滿足的.選擇目標(biāo)場景大小為4 m×4 m,相鄰散射點(diǎn)間隔為0.1 m,則目標(biāo)場景共對(duì)應(yīng)于1600個(gè)散射點(diǎn).

CS理論指出,當(dāng)感知矩陣Θ滿足有限等距性質(zhì)(RIP)時(shí),才能保證稀疏值魯棒有效的恢復(fù).因此本文首先分析不同欠采樣率下感知矩陣的RIP性能.由于RIP驗(yàn)證是一個(gè)NP-hard問題,因此本文采取可求解的特征值法[14]來定量衡量感知矩陣性能.仿真時(shí)稀疏度從1變化到40,對(duì)每一個(gè)稀疏度的取值,感知矩陣原子組合方式是隨機(jī)產(chǎn)生的,本文取1000次蒙特卡羅.降采樣倍數(shù)分別取4倍和6倍,用相應(yīng)維度的高斯隨機(jī)矩陣做對(duì)比,圖4為仿真結(jié)果.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)不同降采樣倍數(shù)下感知矩陣特征值對(duì)比Fig.4.(color online)Eigenvalues comparision of the sensing matrix in diff erent under sampling rates.

由圖4可知:在同一欠采樣倍數(shù)條件下,欠采樣矩陣和相應(yīng)維度的高斯隨機(jī)矩陣特征值相差不大,表明本文所使用的欠采樣矩陣具有較好的RIP性能;而隨著欠采樣倍數(shù)的增加(從4倍變大到6倍),感知矩陣的最大特征值變大,而最小特征值變小,表明有限等距常數(shù)不斷增加,意味著感知矩陣RIP性能不斷下降.圖4的結(jié)果表明本文所構(gòu)建的欠采樣感知矩陣Θ具有類似于高斯矩陣的性能,能夠滿足RIP條件,因此能保證稀疏值魯棒有效的恢復(fù).此外,如果可以設(shè)計(jì)RIP性能更好的欠采樣方式,那么重構(gòu)結(jié)果質(zhì)量將提高,這將是下一步工作的研究方向.

仿真2不同欠采樣率下的成像效果

本仿真主要驗(yàn)證欠采樣率對(duì)成像性能的影響.仿真條件與仿真1相同.分別取欠采樣倍數(shù)為1,5和7,采取BP算法[4]作為對(duì)比.圖5為均勻欠采樣率下不同CS重構(gòu)算法的成像效果.圖6為不同欠采樣率條件下的圖像熵和TBR.

從不同算法的成像結(jié)果對(duì)比結(jié)果可以看出:隨著欠采樣倍數(shù)的增加,BP算法無法有效地估計(jì)所有散射點(diǎn)信息,出現(xiàn)錯(cuò)誤估計(jì)點(diǎn)較多;而不同的CS重構(gòu)算法均能在一定的欠采樣率條件下獲得較好的散射點(diǎn)估計(jì)效果.本仿真結(jié)果表明,基于CS可實(shí)現(xiàn)欠采樣下的自旋目標(biāo)高分辨成像,且可靈活使用各種重構(gòu)算法,仿真結(jié)果驗(yàn)證了基于CS理論的欠采樣自旋目標(biāo)成像的有效性和理論分析.

仿真3分辨率分析

為驗(yàn)證本文關(guān)于分辨率分析的有效性,設(shè)置仿真條件如下:雷達(dá)載頻分別設(shè)置為1 GHz和10 GHz,對(duì)應(yīng)波長為0.3 m和0.03 m,帶寬為50 MHz,假設(shè)有兩個(gè)散射點(diǎn),其中散射點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,0),調(diào)整散射點(diǎn)B距離A的間隔.為了保證維度較低,選擇場景大小為0.7 m×0.7 m,相鄰散射點(diǎn)間隔為0.01 m,則目標(biāo)共對(duì)應(yīng)于4900個(gè)散射點(diǎn).由(14)式計(jì)算得到的量測值理論下限值為O(15),本文選取方位樣本數(shù)為51,滿足重構(gòu)的要求.圖7和圖8分別為不同的重構(gòu)算法在不同波長和不同散射點(diǎn)間隔下的成像結(jié)果.

由圖7以及上文分辨率分析可知,基于CS的欠采樣分辨率下限值為0.4λ,當(dāng)波長為0.3m時(shí),分別率即為0.12 m.從圖8的仿真結(jié)果可以看出,當(dāng)散射點(diǎn)間隔小于0.12m時(shí),散射的位置重構(gòu)誤差較大,無法準(zhǔn)確地找到散射點(diǎn)的位置;而當(dāng)散射點(diǎn)的間隔大于0.12m時(shí),則能夠準(zhǔn)確恢復(fù)其位置.仿真驗(yàn)證了上文關(guān)于分辨率分析的有效性.從圖8可以看出,當(dāng)波長變小后,間隔為0.1 m的兩個(gè)散射點(diǎn)能夠被準(zhǔn)確分辨.仿真驗(yàn)證了基于CS的窄帶成像分辨率與波長有關(guān)的這一結(jié)論.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)不同欠采樣率下的成像效果Fig.5.(color on line)Imaging resu lts of diff erent algorithms in diff erent under sampling rates.

圖6 (網(wǎng)刊彩色)不同欠采樣率下的成像質(zhì)量的定量比較Fig.6.(color on line)Quantitative evaluation of the imaging resu lts in diff erent under sampling rates.

仿真4不同帶寬條件下的成像效果

本仿真主要驗(yàn)證成像分辨率與帶寬的關(guān)系.仿真條件和目標(biāo)場景劃分與仿真1相同.發(fā)射LFM的帶寬分別設(shè)置為50,1 MHz,欠采樣率為4倍.圖9為不同帶寬條件下的成像結(jié)果.

從圖9的結(jié)果可以看出,不同帶寬條件下的成像結(jié)果基本相同.這主要是由于高速自旋目標(biāo)成像時(shí),主要是利用散射點(diǎn)在方位向上的差異性信息,因此與距離分辨率無關(guān).仿真進(jìn)一步驗(yàn)證了基于CS進(jìn)行自旋目標(biāo)超分辨成像的有效性.

圖7 (網(wǎng)刊彩色)波長為0.3 m時(shí)不同散射點(diǎn)間隔時(shí)的成像結(jié)果Fig.7.(color on line)Imaging resu lts of d iff erent algorithms as the wavelength is 0.3 munder d iff erent intervals of the scatterer.

圖8 (網(wǎng)刊彩色)波長為0.03 m時(shí)不同散射點(diǎn)間隔時(shí)的成像結(jié)果Fig.8.(color on line)Imaging resu lts of d iff erent algorithms as the wavelength is 0.03 munder d iff erent intervals of the scatterer.

圖9 (網(wǎng)刊彩色)不同帶寬條件下的成像結(jié)果Fig.9.(color on line)Imaging resu lts under d iff erent bandwid th conditions.

5 結(jié) 論

常規(guī)雷達(dá)在觀測高速自旋目標(biāo)時(shí),不可避免地會(huì)存在方位欠采樣.為實(shí)現(xiàn)欠采樣且自旋頻率未知條件下的高速自旋目標(biāo)成像,本文對(duì)基于CS理論進(jìn)行欠采樣窄帶自旋目標(biāo)的超分辨成像機(jī)理進(jìn)行了物理解釋,并給出了一種自旋角速度的估計(jì)方法.從本文的分析和仿真結(jié)果可以看出,基于CS的自旋目標(biāo)超分辨成像方法主要有以下兩個(gè)特征:1)成像機(jī)理與常規(guī)的成像(如RD算法)方法不同,CS重構(gòu)在利用不同散射點(diǎn)的多普勒差異性的同時(shí),通過直接尋找散射點(diǎn)“位置”信息的方式避開多普勒頻率重構(gòu),這種從估計(jì)散射點(diǎn)多普勒頻率到散射點(diǎn)位置的變化就是基于CS可實(shí)現(xiàn)欠采樣條件下的超分辨成像的物理機(jī)理;2)基于CS理論的成像分辨率和允許的網(wǎng)格失配誤差與波長有關(guān),都為0.4λ,且與帶寬無關(guān).但是本文在目標(biāo)模型假設(shè)方面只是考慮了簡單的散射點(diǎn)模型,且散射點(diǎn)與稀疏基嚴(yán)格匹配.該模型假設(shè)較為理想,在后續(xù)研究中,將重點(diǎn)分析以下幾個(gè)方面的問題:

1)當(dāng)強(qiáng)散射點(diǎn)的位置與稀疏基失配時(shí),如何獲得高質(zhì)量的成像結(jié)果,此時(shí)可借鑒連續(xù)壓縮感知的相關(guān)理論[15];

2)當(dāng)目標(biāo)自旋時(shí)散射點(diǎn)由于視角不同以及遮擋效應(yīng)而發(fā)生散射幅度時(shí)變時(shí),如何獲得高質(zhì)量圖像,此時(shí)可借鑒動(dòng)態(tài)壓縮感知的相關(guān)理論[16];

3)當(dāng)估計(jì)得到的自旋頻率存在誤差時(shí),如何自適應(yīng)的進(jìn)行誤差校正與成像.

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PACS:84.40.Xb,84.40.Ua,07.07.D fDOI:10.7498/aps.66.038401

Analysis on the compressive sensing based narrow-band radar super resolu tion imaging mechan ismof rapid ly spinning targets?

Li Shao-Dong?Chen Yong-Bin Liu Run-Hua Ma Xiao-Yan

(No.Three Department,Air Force Early W arning Academy,W uhan 430019,China)(Received 13 May 2016;revised manuscript received 25 August 2016)

According tothe characteristics of spinning targets,the narrow-band radar echoes can be directly used for imaging spinning targets.However,spurious peaks appear due toazimuth down sampling with a lowpulse repetition frequency(PRF).By exploiting the sparsity of the targets,the compressed sensing(CS)theory can be adopted toobtain super resolution image under sub-sampling condition.This paper main ly focuses on analyzing the physicalmechanismof the CS-based narrow-band imaging method.Firstly,the narrow-band radar’s under-sampling echoes’model fromrapid ly spinning targets is established.The relationshipbetween CS and the model is analyzed.Then the reasons why the CS-based narrow-band imagingmethod can guarantee the exact recovery of the spinning target are given fromphysical view.The theoretical lower limit of sub-sampling pulse numbers is provided.Finally,the simu lation results verify the eff ectiveness of the theoretical analysis.Themain results obtained in the paper are listed as follows.One is that the mechanismof the CS-based narrow-band imaging method diff ers fromthose of the conventional range Doppler imaging methods.The spurious peaks appear due tocalcu lating the Doppler frequency directly under a lowPRF.Toavoid this phenomenon,the CS-based method searches the positions of the scatterers instead.The variation fromcalcu lating the Doppler frequency directly tosearching the positions of the scatterers is the physicalmechanismof the CS-based super resolution imaging method.The other is that the resolution and the allowab le grid mismatch of the CS-based imaging method are related tothe wavelength,which is 0.4λand unrelated tothe bandwid th.Sothe performance of the CS-based imaging method is related tothe sub-sampling rate,the number of the scatters and the wavelength,and unrelated tothe bandwidth of thewave.However,this paper on ly considers the ideal point scatteringmodeland the grid is perfectly matched with themodel.In the following,three aspects can be further studied.First,due tothe spinning target distribution on a continuous scene,the off-grid problemwould severely aff ect the performance of the CS-based imagingmethod.The continuous compressive sensing theory can be used for solving the off-grid prob lemand explaining the related physical mechanism.Second,the illumination of the radar cannot reach some scatterers on the target in some observation intervals,which results in the occlusion eff ect and the time-varying scattering amplitude.The dynamic CS theory can be used for reference in solving this problem.Finally,if the estimated spinning frequency has error,howtocorrect and compensate for the error adaptively needs tobe further studied.

sub-sampling,compressive sensing,rapid ly spinning targets,super resolution

10.7498/aps.66.038401

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):61671469)資助的課題.

?通信作者.E-mail:liying198798@126.com

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(G rant No.61671469).

?Corresponding author.E-mail:liying198798@126.com